离散型随机变量及其分布列,高考历年真题

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【考点34】离散型随机变量及其分布列

2009年考题

1、（2009广东高考）已知离散型随机变量X 的分布列如右表． 若0EX =，1DX =，则a = ，b = ．

【解析】由题知1211=++c b a ，06

1=++-c a ，

1121211222=?+?+?c a ，解得12

5

=a ，41=b .

答案：12

5

=a ，41=b .

2、（2009上海高考）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ_____（结果用最简分数表示）.

【解析】ξ可取0，1，2，因此P （ξ＝0）＝2110

272

5=C C ， P （ξ＝1）＝21102

71

215=C C C ， P （ξ＝2）＝21

1

272

2=C C ，E ξ＝0×2112211012110?+?+＝47.

答案：

4

7

3、（2009山东高考）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

（1） 求q 2的值； （2）

求随机变量ξ的数学期望E ξ;

（3） 试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。

【解析】（1）设该同学在A 处投中为事件A,在B 处投中为事件B,则事件A,B 相互独立,且P(A)=0.25,()0.75P A =, P(B)= q 2,2()1P B q =-.

根据分布列知: ξ=0时22()()()()0.75(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.03,所以210.2q -=，q 2=0.8. （2）当ξ=2时, P 1=)()()(B B A P B B A P B B A B B A P +=+

)()()()()()(B P B P A P B P B P A P +==0.75 q 2( 21q -)×2=1.5 q 2( 21q -)=0.24

当ξ=3时, P 2 =22()()()()0.25(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.01, 当ξ=4时, P 3=22()()()()0.75P ABB P A P B P B q ===0.48, 当ξ=5时, P 4=()()()P ABB AB P ABB P AB +=+

222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P B P A P B q q q =+=-+=0.24

所以随机变量ξ的分布列为

随机变量ξ的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=?+?+?+?+?= （3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()P BBB BBB BB ++

()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=;

该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大.

4、（2009天津高考）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：

（I ） 取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望； （II ） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。 【解析】（Ⅰ）由于从10件产品中任取3件的结果为

310

C

，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等

品的结果数为C C k

k -373，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P(X=k)=

C C C k

k 310

373-,k=0,1,2,3.

所以随机变量X 的分布列是

X 的数学期望EX=10

9120134072402112470=?+?+?+?

（Ⅱ）设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”

为事件A 1“恰好取出2件一等品“为事件A 2，”恰好取出3件一等品”为事件A 3由于事件A 1，A 2，

A 3彼此互斥，且A=A 1∪A 2∪A 3而,403)(310

23

131=C C C A P P(A 2)=P(X=2)= 407,P(A 3)=P(X=3)= 1201,

所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)= 403+407+1201=120

31

5、（2009浙江高考）在1,2,3,,9这9个自然数中，任取3个数．

（I ）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；

（II ）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数

1,2和2,3，此时ξ的值是2）

．求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ． 【解析】（I ）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A ，则1

2453

910

()21

C C P A C ==；

（II ）随机变量ξ的取值为0,1,2,ξ的分布列为

所以ξ的数学期望为012122123

E ξ=?+?+?= 6、（2009辽宁高考）

某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为

1

3

。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。 （Ⅰ）设X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；

（Ⅱ）若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P （A ） 【解析】（Ⅰ）依题意X 的分列为

X

………………6分

（Ⅱ）设A 1表示事件“第一次击中目标时，击中第i 部分”，i=1，2. B 1表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”，i=1，2.

依题意知P （A 1）=P(B 1)=0.1，P （A 2）=P(B 2)=0.3，11111122A A B A B A B A B =???, 所求的概率为11111122()()()()P A P A B P A B P

A B P A B =+++（） 11111122()()())()()()P A B P A P

B P A P B P A P B

+++（ 0.10.90.90.10.10.10.30?+?+?+?= ………12分

7、（2009福建高考）从集合{}1,2,3,4,5的所有非空子集．．．．中，等可能地取出一个。 （1） 记性质r ：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r 的概率； （2） 记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ 【解析】（1）记”所取出的非空子集满足性质r”为事件A

基本事件总数n=123555C C C +++45

55

C C +=31 事件A 包含的基本事件是{1,4,5}、{2，3，5}、{1，2，3，4} 事件A 包含的基本事件数m=3 所以3

()31

m p A n =

= （II ）依题意，ξ的所有可能取值为1，2，3，4，5

又155(1)3131C p ξ==

=， 2510(2)3131C p ξ===， 3510(3)3131C p ξ=== 455(4)3131C p ξ===， 551

(5)3131

C p ξ===

故ξ的分布列为：

从而E 1ξ=?31+231?+331?+431?+53131

?=

8、（2009安徽高考）某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A 到过疫区. B 肯定是受A 感染的.对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感

染的概率都是

12.同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是1

3

.在这种假定之下，B 、C 、D 中直接．． 受A 感染的人数X 就是一个随机变量.写出X 的分布列(不要求写出计算过程),并求X 的均值（即数学期望）. 【解析】随机变量X 的分布列是

X 的均值为1233266

EX =?+?+?=

附：X 的分布列的一种求法

共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是1

： 在情形①和②之下，A 直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A 直接感染了两个人；在情形⑥之下，A 直接感染了三个人。

9、（2009全国Ⅰ）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（I ）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（II ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ得分布列及数学期望。 【解析】（1）记i A 表示事件：第i 局甲获胜，3,4,5i =；j B 表示事件：第j 局乙获胜，3,4j =

B 表示事件：甲获胜，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中， 甲获胜2局，从而34345345B A A B A A A B A =++，由于各局比赛结果相互独立， 故34345345()()()()P B P A A P B A A P A B A =++

34345345()()()()()()()()P A P A P B P A P A P A P B P A =++

0.60.60.40.60.60.60.40.60.648=?+??+??=

（2）ξ的取值可以为2，3，由于各局比赛结果相互独立，

故343434343434(2)()()()()()()()P P A A B B P A A P B B P A P A P B P B ξ==+=+=+

0.60.60.40.40.52=?+?=

(3)1(2)10.520.48P P ξξ==-==-=

所以随机变量ξ的分布列为

随机变量ξ的数学期望2(2)3(3)20.5230.48 2.48E P P ξξξ==+==?+?=

10、（2009北京高考）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是

1

3

，遇到红灯时停留的时间都是2min. （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.

【解析】（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件 “这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”， 所以事件A 的概率为()1114

1133327

P A ?

???=-?-?

=

? ?????. （Ⅱ）由题意，可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min ）.事件“2k ξ=”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（k =0，1，2，3，4），

∴()()44

1220,1,2,3,433k

k

k P k C k ξ-????=== ? ?????

，

∴即ξ的分布列是

∴ξ的期望是163288810246881812781813

E ξ=?+?+?+?+?=.

11、（2009湖北高考）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x ；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y ，记随机变量η＝x ＋y ，求η的分布列和数学期望。

【解析】依题意，可分别取5η=、6、????11取，则有

1123(5),(6),(7)441616164321

(8),(9),(10),(11)16161616p p p p p p p ηηηηηηη==

=====?========

η∴的分布列为

567891011816161616161616

E η=?+?+?+?+?+?+?=.

12、（2009湖南高考）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.12、13、1

6

，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 （I ）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

（II ）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求ξ 的分布列及数

学期望。

【解析】记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件i A ,i B ,i C ，i=1，2，3.由题意知1A 23A A 相互独立，1B 23B B 相互独立，1C 23C C 相互独立，i A ,j B ,k C （i ，j ，k=1，2，3，且i ，j ，k 互不相同）相互独立，且P （1A ）=

12，P （1B ）=13，P （1C ）=16

（1） 他们选择的项目所属类别互不相同的概率

P=3！P （1A 2B 3C ）=6P （1A ）P （2B ）P （3C ）=6?

12?13?16=1

6

(2) 方法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η-B （3，

13

），且ξ=3-η。 所以P （ξ=0）=P （η=3）=3

3C 3

1

()3

=

127， P （ξ=1）=P （η=2）= 23C 3

1()3 2()3= 29

P （ξ=2）=P （η=1）=1

3C 1()3

2

2()3

=

49 P （ξ=3）=P （η=0）= 0

3C 32()3= 827

故ξ的分布是

ξ的数学期望E ξ=0?

127+1?29+2?49+3?827

=2 方法2 第i 名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件i D ， i=1,2,3 ，由此已知，123D D D ，，相互独立，且 P （1D ）=P （1A +1C ）= P （1A ）+P （1C ）=

12+16=2

3

所以ξ--2(3,)3B ,既3321()()()33

K K K P K C ξ-==，0,1,2,3.k =

故ξ的分布列是

13、（2009江西高考）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是

1

2

.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额． (1) 写出ξ的分布列；

(2) 求数学期望E ξ． 【解析】（1）ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30

1(0)

64P ξ== 3(5)32P ξ== 15(10)64P ξ== 5

(15)16

P ξ==

15

(20)64

P ξ== 3(25)32P ξ== 1(30)64P ξ==

（2）315515315101520253015326416643264E ξ=?+?+?+?+?+?=. 14、（2009陕西高考）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：

(Ⅰ)求a 的值和ξ的数学期望；

（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次

的概率。

【解析】（1）由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1，解答a=0.2

ξ∴的概率分布为

00.110.320.430.2 1.7E ξ∴=?+?+?+?=

（2）设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”事件1A 表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件2A 表示“两个月内每月均被投诉1次” 则由事件的独立性得

11222212()(0)20.40.10.08

()[(1)]0.30.09

()()()0.080.090.17

P A C P P A P P A P A P A ξξ===??=====∴=+=+=

故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17

15、（2009四川高考）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有1

3

持金卡，在省内游客中有

2

3

持银卡。 （I ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

（II ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ。

【解析】（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事

件B 为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，

事件1A 为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，

事件2A 为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。

12()()()P B P A P A =+12111

921962133

3636

C C C C C C C =+92734170=+3685= 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是

36

85

。

…………………………………………………………6分

（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3

33391(0)84C P C ξ===, 12

633

93

(1)14C C P C ξ=== 21633915(2)28C C P C ξ===，363

915

(3)21

C P C ξ===， 所以ξ的分布列为

所以0123284142821

E ξ=?+?+?+?=， ……………………12分 16、（2009重庆高考）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为

23和1

2

，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中： （Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；

（Ⅱ）成活的株数ξ的分布列与期望． 【解析】设k A 表示甲种大树成活k 株，k ＝0，1，2

l B 表示乙种大树成活l 株，l ＝0，1，2

则k A ，l B 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 2221()()()3

3

k

k

k

k k P A C --= , 1

2211()()()

2

2

l

l

l k P B C --= .

据此算得

01

()9P A = , 14

()9P A = , 24()9P A = . 01

()4

P B = , 11

()2P B =

, 21()4

P B = . (Ⅰ) 所求概率为 1111412()()()929

P A B P A P B ?=?=

?= . (Ⅱ) 方法一： ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且

00001

11

(0)()()()9436P P A B P A P B ξ==?=?=

?= , 0110

11

411(1)()()92

946

P P A B P A B ξ==?+?=?+?= ,

0211201

14141(2)()()()949294

P P A B P A B P A B ξ==?+?+?=?+?+? =

1336

, 122141411

(3)()()9

4923

P P A B P A B ξ==?+?=?+?=

. 22411

(4)()949

P P A B ξ==?=?= . 综上知ξ有分布列

从而，ξ的期望为

111311012343663639E ξ=?

+?+?+?+?73

= 方法二：分布列的求法同上

令12ξξ，分别表示甲乙两种树成活的株数，则

12ξξ::21

B(2,)，B(2,)32

故有121E E ξξ?=?=241

=2=，2332

从而知127

3

E E E ξξξ=+=

2008年考题

1、（2008山东高考）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中3人答对的概率分别为2

1

,32,32且各人正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． （Ⅰ）求随机变量ξ分布列和数学期望；

(Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．

【解析】(Ⅰ)解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3,且

031

2332233

321222(0)(1),(1)(1),

32733922428P C P C ξξ==?-===??-=

所以ξ的分布列为

ξ的数学期望为E ξ=.227

39291270=?+?+?+? 解法二：根据题设可知2

(3,)3

B ξ～

2333222(),0,1,2,3.

()(1)333

22

(3,),32

33

k k

k

k k P k C C k B E ξξξ-===?=??-=?=因为～所以 （Ⅱ）方法一：用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB =C ∪D ,且C 、D 互斥，又

223433352221112111110

()()(1-)[]=,

333323323323

21114

()()(),

33323

k P C C P D C -=?????+??+??=????=

由互斥事件的概率公式得

4551043434

()()()333243

P AB P C P D =+=

+== 方法二：用A k 表示“甲队得k 分”这一事件，用B k 表示“已队得k 分”这一事件，k =0,1,2,3由于事件A 3B 0,A 2B 1为互斥事件，故事件

P (AB )=P (A 3B 0∪A 2B 1)=P (A 3B 0)+P (A 2B 1)．

=2321

32232221121112()()()3323232334.243

k k C C --??+??+??= 2、（2008广东高考）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ． （1）求ξ的分布列；

（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；

（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4．73万元，则三等品率最多是多少？ 【解析】ξ的所有可能取值有6，2，1，-2；126(6)0.63200P ξ==

=，50

(2)0.25200

P ξ=== 20

(1)0.1200

P ξ==

=，4(2)0.02200P ξ=-== 故ξ的分布列为：

ξ

6 2 1 -2 P

0．63

0．25

0．1

0．02

（2）60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=?+?+?+-?= （3）设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为

()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x x =?+?---++-?=-≤≤

依题意，() 4.73E x ≥，即4.76 4.73x -≥，解得0.03x ≤ 所以三等品率最多为3%

3、（2008海南宁夏高考）A B ，两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2．根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为

（Ⅰ）在A B ，两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差DY 1，DY 2；

（Ⅱ）将(0100)x x ≤≤万元投资A 项目，100x -万元投资B 项目，()f x 表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求()f x 的最小值，并指出x 为何值时，()f x 取到最小值．（注：

2()D aX b a DX +=）

【解析】（Ⅰ）由题设可知1Y

和2Y 的分布列分别为

221(56)0.8(106)0.24DY =-?+-?=，

220.280.5120.38EY =?+?+?=，

2222(28)0.2(88)0.5(128)0.312DY =-?+-?+-?=．

（Ⅱ）12100()100100x x f x D Y D Y -????=+ ? ?????2

2

12100100100x x DY DY -????=+ ? ?????

22

243(100)100x x ??=

+-??2224(46003100)100

x x =-+?， 当600

7524

x =

=?时，()3f x =为最小值． 4、（2008全国Ⅱ）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为4

1010.999-．

（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；

（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．

【解析】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则

4~(10)B p ξ，．

（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=，

()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--，又4

10()10.999P A =-，故0.001p =．

（Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 100005000ξ+

，

盈利 10000(10000500a ηξ=-+， 盈利的期望为 1000010000

500

E a E ηξ=-

-， 由4

3

~(1010)B ξ-，知，3

1000010E ξ-=?，

4441010510E a E ηξ=--?4443410101010510a -=-??-?． 0E η≥4441010105100a ?-?-?≥

1050a ?--≥15a ?≥（元）． 故每位投保人应交纳的最低保费为15元．

5、（2008北京高考）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．

（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；

（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．

【解析】（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3

324541

()40

A A P E C A ==，

即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是

140

． （Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541

()10

A P E C A ==，

所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10

P E P E =-=

． （Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，

则23

5334541

(2)4

C A P C A ξ===．

所以3

(1)1(2)4

P P ξξ==-==

，ξ的分布列是

6、（2008四川高考） 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。 （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望。 【解析】记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品， 记B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，

记C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种， 记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，

（Ⅰ）C A B A B =?+? ()(

)P C P A B A B =?+

?()()P A B P A B =?+?()()()()

P A P B P A P B

=?+? 0.50.40.50.6=?+?0.5=

（Ⅱ）D A B =?

()(

)P D P A B =?()()P A P B =?0.50.4=?0.2=

()()10.8

P D P D =-= （Ⅲ）()3,0.8B ξ

，

()300.20.008P ξ=== ()1

2310.80.20.096P C ξ==??= ()22320.80.20.384P C ξ==??= ()330.80.512

P ξ=== 故ξ的分布列

所以

=0×0.008+1×0.096+2×0.384+3×0.512=2.4

7、（2008天津高考）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为2

1

与p ，且乙投球2次均未命中的概率为

16

1． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；

（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；

（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．

【解析】（Ⅰ）方法一：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ． 由题意得()()()16

1

112

2

=

-=-p B P 解得43=

p 或4

5（舍去），所以乙投球的命中率为43．

方法二：设设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ．

由题意得1()()16P B P B =

，于是1()4P B =或1()4P B =-（舍去），故3

1()4p P B =-=． 所以乙投球的命中率为3

4

．

（Ⅱ）方法一：由题设和（Ⅰ）知()()2

1,21==

A P A P ． 故甲投球2次至少命中1次的概率为(

)

4

3

1=?-A A P

方法二：由题设和（Ⅰ）知()()

2

1

,21==A P A P

故甲投球2次至少命中1次的概率为()()

()()4

3

1

2=

+A P A P A P A P C （Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，()()()()

4

1

,43,21,21====B P B P A P A P

甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次。概率分别为

()()()()1631212=

?B P B P C A P A P C ，()()641=??B B P A A P ，()

()64

9

=??B B P A A P 所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为32

11649641163=++． 8、（2008安徽高考)为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望3E ξ=，

标准差σξ为

（Ⅰ）求n,p 的值并写出ξ的分布列；

（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率 【解析】(1)由2

33,()(1),2E np np p ξσξ===-=得112

p -=, 从而1

6,2

n p ==

ξ的分布列为

(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则()(3),P A P ξ=≤ 得 1615

2021

(),64

32

P A +++=

=

或 156121()1(3)16432P A P ξ++=->=-= 9、（2008江西高考）某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是

0.5、0.5. 若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5； 第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6. 实施每种方案，第二年与第一年相互独立。令(1,2)i i ξ=表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． （1）．写出12ξξ、的分布列；

（2）．实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？

（3）．不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？

【解析】（1）1ξ的所有取值为0.8 0.9 1.0 1.125 1.25、

、、、 2ξ的所有取值为0.8 0.96 1.0 1.2 1.44、

、、、, 1ξ、2ξ的分布列分别为：

（2）令A 、B 分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，

()0.150.150.3P A =+=,()0.240.080.32P B =+=

可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大 （3）令i η表示方案i 所带来的效益，则

所以1214.75,14.1E E ηη==

可见，方案一所带来的平均效益更大。

10、（2008湖北高考）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. （Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；

（Ⅱ）若a b ηξ=+, 1E η=,11D η=,试求a,b 的值. 【解析】（Ⅰ）ξ的分布列为：

∴01234 1.5.22010205

E ξ=?

+?+?+?+?= D 22

22211131(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5) 2.75.22010205

ξ=-?+-?+-?+-?+-?=（Ⅱ）由

D a D η=ξ2，得a 2×2.75＝11，即 2.a =±又,

E aE b η=ξ+所以

当a =2时，由1＝2×1.5+b ,得b =-2; 当a =-2时，由1＝-2×1.5+b ，得b =4.

∴2,2a b =??

=-?或2,4a b =-??=?

即为所求.

11、（2008湖南高考）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是

1

2

，且面试是否合格互不影响.求： （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率; （Ⅱ）签约人数ξ的分布列和数学期望.

【解析】 用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立，

且P （A ）＝P （B ）＝P （C ）＝1

2

. （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是

317

1()1()()()1().28

P ABC P A P B P C -=-=-=

（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3. (0)()()()P P AB C P A BC P A B C

ξ==++

＝()()()()()()

()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++＝3331113

()()().2228

++= (1)()()()P P A BC P A B C P A B C

ξ==++

=()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++=3331113()()().2228

++=

1(2)()()()().8P P A B C P A P B P C ξ====

1

(3)()()()().

8

P P A B C P A P B P C ξ====

所以， ξ的分布列是

ξ的期望0123 1.8888

E ξ=?+?+?+?=

12、（2008陕西高考）某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i 次击中目标得

4~i (123)i =，，分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互

不影响．

（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；

（Ⅱ）该射手的得分记为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

【解析】（Ⅰ）设该射手第i 次击中目标的事件为(123)i A i =，，，则()0.8()0.2i i P A P A ==，， ∴该射手恰好设计两次的概率：

()()()0.20.80.16i i i i P A A P A P A ==?=．

（Ⅱ）ξ可能取的值为0，1，2，3．

ξ的分布列为

00.00810.03220.1630.8 2.752E ξ=?+?+?

+?=.

13、（2008重庆高考）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中