西城初三二模数学试题及答案
北京市西城区2016年初三二模试卷
数 学
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．
是符合题意的． 1．调查显示，2016年“两会”期间，通过手机等移动端设备对“两会”相关话题的浏览量高达115 000 000次．将115 000 000用科学记数法表示应为 A ． ×10
9
B ．×107
C ．×108
D ．
2．“瓦当”是中国古代用以装饰美化建筑物檐头的建筑附件，其图案 各式各样，属于中国特有的文化艺术遗产．下列“瓦当”的图案中， 是轴对称图形的为
A B C D
3．下列各式中计算正确的是
A ．246x x x ?=
B ．()2121m n m n -+=-+
C ．551023x x x +=
D ．()3
322a a =
4．有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6个大小相同的扇形．在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色．为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的概率为2
3
，则下列各图中涂色方案正确的是
A B C D
5．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5cm 的一个等边三角形放大成边长为20cm 的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为 A ． 1:2
B ．1:4
C ．1:8
D ．1:16
6．如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于点E．
若AB=24，OE=5，则⊙O的半径为
A．15B．13C．12D．10
7．如图，在一次定向越野活动中，“超越”小组准备从目前所在的
A处前往相距2km的B处，则相对于A处来说，B处的位置是
A．南偏西50°，2km B．南偏东50°，2km
C．北偏西40°，2km D．北偏东40°，2km
8．教材中“整式的加减”一章的知识结构如图所示，则A和B分别代表的是
A．分式，因式分解 B．二次根式，合并同类项
C．多项式，因式分解 D．多项式，合并同类项
9．某商店在节日期间开展优惠促销活动：购买原价超过200元的商品，超过
．．200元的部分可以享受打折优惠．若购买商品的实际付款金额y（单位：元）与商品原价x（单位：元）的
函数关系的图象如图所示，则超过
．．200元的部分可以享受的优惠是
A．打八折 B．打七折 C．打六折 D．打五折
10．一组管道如图1所示，其中四边形ABCD是矩形，O是AC的中点，管道由AB，BC，CD，DA，OA，OB，OC，OD组成，在BC的中点M处放置了一台定位仪器．一个机器人在管道内匀速行进，对管道进行检测．设机器人行进的时间为x，机器人与定位仪器之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则机器人的行进路线可能为
图1 图2
A ．A →O →D
B ．B →O →D
C ．A →B →O
D ．A →D →O
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．若20x +=，则xy 的值为 ．
12．一个扇形的半径长为5，且圆心角为72°，则此扇形的弧长为___________．
13．有一张直角三角形纸片，记作△ABC ，其中∠B =90°．
按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下 的四边形ADEC 中，若∠1=165°，则∠2的度数 为 °．
14．某班级进行了一次诗歌朗诵比赛，甲、乙两组学生的成绩如下表所示（满分10分）：
组别 平均分 中位数 方差 甲 8 乙
7
你认为哪一组的成绩更好一些？并说明理由．
答： 组（填“甲”或“乙”），理由是 ． 15．有一列有序数对：（1，2），（4，5），（9，10），（16，17），……，按此规律，第5对有序
数对为 ；若在平面直角坐标系xOy 中，以这些有序数对为坐标的点都在同一条直线上，则这条直线的表达式为 ．
16．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（1，0）．P 是第一象限内任意一点，连接PO ，
PA ．若∠POA = m °，∠PAO = n °，则我们把P （m °，n °）叫做点P 的“双角坐标”．例
如，点（1，1）的“双角坐标”为（45°，90°）．
（1）点（12______________； （2）若点P 到x 轴的距离为1
2
，则m +n 的最小值为__________．
三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29
题8分）
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．计算：()()3
9222sin 30--+-++?．
18．如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，且DC =DB ．
点E 在CD 的延长线上，且∠EBC =∠ACB ． 求证：AC =EB ．
19．先化简，再求值：2
21
()1221
x x x x x +÷----，其中1x =．
20．如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB =5，AC =6，BD =8． （1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）过点A 作AH ⊥BC 于点H ，求AH 的长．
21．已知关于x 的方程2
2
4490x mx m -+-=． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为1x ，2x ，其中1x <2x ．若1221x x =+，求m 的值．
22．列方程或方程组解应用题
为祝贺北京成功获得2022年冬奥会主办权，某工艺品厂准备生产纪念北京申办冬奥
会成功的“纪念章”和“冬奥印”．生产一枚“纪念章”需要用甲种原料4盒，乙种原料3盒；生产一枚“冬奥印”需要用甲种原料5盒，乙种原料10盒．该厂购进甲、乙两种原料分别为20000盒和30000盒，如果将所购进原料正好全部都用完，那么能生产“纪念章”和“冬奥印”各多少枚？
23．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数x
k
y =
1的图象与一次函数2y ax b =+的图象交于点A （1，3）和(3)B m -，． （1）求反比例函数x
k
y =
1和一次函数2y ax b =+的表达式； （2）点C 是坐标平面内一点，BC ∥x 轴，AD ⊥BC 交直线BC 于点D ，连接AC ．
若AC ，求点C 的坐标．
24．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在CB 的延长线上，连接AC ，AE ，∠ACB =∠BAE =45°． （1）求证：AE 是⊙O 的切线；
（2）若AB =AD ，AC =，tan ∠ADC =3，
求CD 的长．
25．阅读下列材料：
根据联合国《人口老龄化及其社会经济后果》中提到的标准，当一个国家或地区65岁及以上老年人口数量占总人口比例超过7%时，意味着这个国家或地区进入老龄化．从
经济角度，一般可用“老年人口抚养比”来反映人口老龄化社会的后果．所谓“老年人口抚养比”是指某范围人口中，老年人口数（65岁及以上人口数）与劳动年龄人口数（15–64岁人口数）之比，通常用百分比表示，用以表明每100名劳动年龄人口要负担多少名老年人．
以下是根据我国近几年的人口相关数据制作的统计图和统计表．
2011–2014年全国人口年龄分布图
2011–2014年全国人口年龄分布表
*以上图表中数据均为年末的数据．根据以上材料解答下列问题：
（1）2011年末，我国总人口约为________亿，全国人口年龄分布表中m的值为_________；
（2）若按目前我国的人口自然增长率推测，到2027年末我国约有亿人．假设0-14岁人口占总人口的百分比一直稳定在%，15-64岁的人口一直稳定在10亿，那么2027年末
我国0-14岁人口约为___________亿，“老年人口抚养比”约为___________；（精确
到1%）
（3）2016年1月1日起我国开始施行“全面二孩”政策，一对夫妻可生育两个孩子．在未来
．．10．．年．内．，假设出生率显著提高，这________（填“会”或“不会”）对我国的
“老年人口抚养比”产生影响．
26．【探究函数
9
y x
x
=+的图象与性质】
（1）函数
9
y x
x
=+的自变量x的取值范围是；
（2）下列四个函数图象中，函数
9
y x
x
=+的图象大致是__________；
A B C D
（3）对于函数
9
y x
x
=+，求当0
x>时，y的取值范围．
请将下面求解此问题的过程补充完整：解：∵0
x>，
∴
9
y x
x
=+
22
=+
2
=+______．
∵20
≥，∴y_________．
【拓展运用】
（4）若函数259
x x y x
-+=，则y 的取值范围是 ．
27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：2144y ax ax =--的顶点在x 轴上，直线l ：25
y x =-+与x 轴交于点A ．
（1）求抛物线1C ：2144y ax ax =--的表达式及其顶点坐标；
（2）点B 是线段OA 上的一个动点，且点B 的坐标为（t ，0）．过点B 作直线BD ⊥x 轴交直
线l 于点D ，交抛物线2C ：2344y ax ax t =--+于点E ．设点D 的纵坐标为m ，点E 的纵坐标为n ，求证：m n ≥；
（3）在（2）的条件下，若抛物线2C ：2344y ax ax t =--+与线段BD 有公共点，结合函
数的图象，求t 的取值范围．
28．在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°．点P 为直线AB 上一个动点（点P 不与点
A ，
B 重合），连接P
C ，点
D 在直线BC 上，且PD =PC ．过点P 作EP ⊥PC 于点P ，点D ，E
在直线AC 的同侧，且PE =PC ，连接BE ．
（1）情况一：当点P 在线段AB 上时，图形如图1所示；
情况二：如图2，当点P 在BA 的延长线上，且AP ，完成下列问题： ①求证：∠ACP =∠DPB ； ②用等式表示线段BC ，BP ，BE 之间的数量关系，并证明． 图1 图2 29．给出如下规定： 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），以及两个无公共点的图形1W 和2W ，若在图形1W 和2W 上分别存在点M （1x ，1y ）和N （2x ，2y ），使得P 是线段MN 的中点，则称点M 和N 被点P “关联”，并称点P 为图形1W 和2W 的一个“中位点”，此时P ，M ，N 三个点的坐标满足122x x x += ，12 2 y y y +=． （1）已知点(0,1),(4,1),(3,1),(3,2)A B C D --，连接AB ，CD ． ①对于线段AB 和线段CD ，若点A 和C 被点P “关联”，则点P 的坐标为__________； ②线段AB 和线段CD 的一个“中位点”是1 (2,)2 Q -，求这两条线段上被点Q “关联”的两个点的坐标； （2）如图1，已知点R （－2,0）和抛物线1W ：2 2y x x =-，对于抛物线1W 上的每一个 点M ，在抛物线2W 上都存在点N ，使得点N 和M 被点R “关联”，请在图1中画出符合条件的抛物线2W ； （3）正方形EFGH 的顶点分别是(4,1),(4,1),(2,1),(2,1)E F G H ------，⊙T 的圆心为 (3,0)T ，半径为1．请在图2中画出由正方形EFGH 和⊙T 的所有“中位点”组成的 图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积． 图1 图2 北京市西城区2016年初三二模试卷 数学参考答案及评分标准 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11． ． 12． ． 13．105 ． 14．理由包含表格所给信息，且支撑结论．如：乙，乙组的平均成绩较高，方差较小，成绩相 对稳定． 15．（25，26）； y =x +1． 16．（1）（60°，60°）；（2）90． 三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29 题8分） 17．解：原式=9821-+ ……………………………………………………………4分 ………………………………………………………………………5分 18．证明：∵DC =DB ， ∴∠DCB =∠DBC ． …………………………1分 在△ACB 和△EBC 中， , ,,ACB EBC CB BC ABC ECB ∠=∠?? =??∠=∠? ∴△ACB ≌△EBC ． ……………………………………………………………4分 ∴AC =EB ． ………………………………………………………………………5分 19．解：原式= 2122 x x x x ÷ -- ………………………………………………………………1分 =2(1) (1)(1)x x x x x -?+- ………………………………………………………2分 = 2 1 x +． ………………………………………………………………………3分 当1x =时， 原式 ……………………………………………………………………4分 6-2π ． …………………………………………………………………………5分 20．（1）证明：如图1． ∵在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC =6，BD =8， ∴AO = 1 2AC=3， BO =1 2 BD=4． ………………………1分 ∵AB =5，且222345+=， ∴2 2 2 AO BO AB +=． ∴△AOB 是直角三角形，且∠AOB =90°． …………2分 ∴AC ⊥BD ． ∴四边形ABCD 是菱形． …………………………………………………3分 （2）解：如图2． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴BC = AB =5． ……………………………4分 ∵11 22 ABC S AC BO BC AH ?= ?=?， ∴11 64=522AH ????． ∴AH =245 ． ……………………………………………………………………5分 21．（1）证明：∵22(4)4(49)m m ?=--- …………………………………………………1分 =36 > 0， ∴此方程有两个不相等的实数根． …………………………………………2分 （2）解：∵由求根公式可得 x = ， ∴23x m =±．…………………………………………………………………3分 ∵12x x <， ∴123x m =-，223x m =+． ………………………………………………4分 ∵1221x x =+， 图1 图2 ∴2(23)231m m -=++． 解得5m =． ……………………………………………………………………5分 22．解：设能生产“纪念章”x 枚，生产“冬奥印”y 枚．………………………………1分 根据题意，得 4520000, 31030000.x y x y +=??+=? ………………………………………………3分 解得 2000, 2400.x y =??=? ……………………………………………………………………4分 答：能生产“纪念章”2000枚，生产“冬奥印”2400枚． ……………………5分 23．解：（1）∵反比例函数x k y = 1的图象与一次函数2y ax b =+的图象交于点A （1，3）和(3)B m -，． ∴点A （1，3）在反比例函数x k y =1的图象上， ∴3k =． ∴反比例函数的表达式为13 y x = ． …………………………………………1分 ∵点(3)B m -，在反比例函数13 y x = 的图象上， ∴1m =-． ……………………………………………………………………2分 ∵点A （1，3）和点(31)B --，在一次函数2y ax b =+的图象上， ∴3,3 1.a b a b +=??-+=-? 解得 1,2.a b =??=? ∴一次函数的表达式为22y x =+． …………………………………………3分 （2）如图． ∵BC ∥x 轴， ∴点C 的纵坐标为1-． ∵AD ⊥BC 于点D ， ∴∠ADC =90°， 点D 的坐标为（1，1-）． ∴AD =4． ∵在Rt △ACD 中，222AC AD CD =+， 且AC ， ∴222)4CD =+． 解得2CD =． ∴点C 1的坐标为（3，1-），点C 2的坐标为（1-，1-）． ……………5分 综上可得，点C 的坐标为（3，1-）或（1-，1-）． 24．（1）证明：连接OA ，OB ，如图1． ∵∠ACB =45°， ∴∠AOB=2∠ACB = 90°． ……………1分 ∵OA =OB ， ∴∠OAB =∠OBA=45°． ∵∠BAE=45°， ∴∠OAE =∠OAB+∠BAE =90°． ∴OA ⊥AE ． ∵点A 在⊙O 上， ∴AE 是⊙O 的切线． ………………………………………………………2分 （2）解：过点A 作AF ⊥CD 于点F ，如图2． ∵AB =AD ， ∴ 弧AB=弧AD ∴∠ACB =∠ACD =45°．…………………3分 ∵AF ⊥CD 于点F ， ∴∠AFC =∠AFD =90°． ∵AC = ∴在Rt △AFC 中，AF =CF =AC ·sin ∠ACF =2． ……………………………4分 ∵在Rt △AFD 中，tan 3AF D DF ∠= =， 图1 图2 ∴DF = 23 ． ∴CD = CF +DF =8 3 ． …………………………………………………………5分 25．解：（1），%； …………………………………………………………………2分 （2）；22%； ……………………………………………………………………4分 （3）不会．……………………………………………………………………………5分 26．解：（1）0x ≠； …………………………………………………………………………1分 （2）C ； ………………………………………………………………………………2分 （3）6，6y ≥； ……………………………………………………………………3分 （4）11y ≤-或1y ≥． ……………………………………………………………5分 27．（1）解：∵抛物线1C ：2144y ax ax =--， ∴它的对称轴为直线422a x a -=- =． ∵抛物线1C 的顶点在x 轴上， ∴它的顶点为（2，0）． ……………………………………………………1分 ∴当2x =时，440y a =--=． ∴1a =-． ∴抛物线1C 的表达式为2144y x x =-+-． ………………………………2分 （2）证明：∵点B 的坐标为（t ，0），且直线BD ⊥x 轴交直线l ：25y x =-+于点D ， ∴点D 的坐标为（t ，5t -+）． ……………………………………………3分 ∵直线BD 交抛物线2C ：2344y x x t =-+-+于点E ， ∴点E 的坐标为（t ，254t t -+-）． ……………………………………4分 ∵m n - =(5)t -+2(54)t t --+- 269t t =-+ 2(3)0t =-≥， ∴m n ≥． ……………………………………………………………………5分 （3）解：∵抛物线2C ：2344y x x t =-+-+与线段BD 有公共点， ∴点E 应在线段BD 上． ∵由（2）可知，点D 要么与点E 重合，要么在点E 的上方， ∴只需0n ≥， 即2540t t -+-≥． ∵当2540t t -+-=时， 解得1t =或4t =． ∴结合函数254y t t =-+-的图象可知，符合题意的t 的取值范围是14t ≤≤． …………………………………………………………………………………7分 28．解：（1）补全图形如图1所示； ………………………2分 （2）情况一： ①证明：如图2． ∵AB =AC ，∠BAC =90°， ∴∠ABC =∠ACB =45°． ∵PD =PC ， ∴∠D =∠1． ………………………3分 ∵∠ACB =∠1+∠2=45°， ∠ABC =∠D +∠3=45°， ∴∠2=∠3． 即∠ACP =∠DPB ． ………………4分 ②结论：BC BP +BE ． …………………5分 证明：过点P 作PF ⊥PB 交直线BC 于点F ， 如图3． ∵PF ⊥PB 交直线BC 于点F ， ∴∠BPF =90°． ∵EP ⊥PC ， ∴∠EPC =90°． 图2 图3 图1 ∴∠BPF =∠EPC ． ∴∠4+∠5=∠6+∠5． ∴∠4=∠6． ∵∠PBF =45°， ∴∠PBF =∠PFB =45°． ∴PB =PF ． 在△PBE 和△PFC 中， ,46,,PB PF PE PC =?? ∠=∠??=? ∴△PBE ≌△PFC ． ………………………………………………6分 ∴BE =FC ． ∵在Rt △PBF 中，BF BP ， ∴BC =BF +FC BP +BE ． ………………………………………7分 （说明：情况二中②BC －BE ．） 29．解：（1）①（32 ，0）；……………………………………………………………………2分 ②设在线段AB 和线段CD 上分别存在点K （x ，1）和L （3，y ）被点 Q （2，1 2 -）“关联”，则Q 是线段KL 的中点． ∴3 22 x +=，1122y +-=． 解得1x =，2y =-． ∴这两条线段上被点Q “关联”的两个点的坐标分别是（1，1），（3，2-）． ……………………………………………………………………………4分 （2）所求作的抛物线如图1所示．…………………………………………………6分 图1 （3）图形如图2 所示（阴影区域及其边界）；……………………………………7分 该图形的面积为34 π + ． ………………………………………………………8分 图2