2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章-7-第7讲-函数的图象
第7讲 函数的图象
1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
[
(1)平移变换
(2)对称变换
①y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称
y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称
y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――――――→关于原点对称
y ＝－f (－x )；
④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称
y ＝log a x (x ＞0)． (3)翻折变换
，
①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴及上方图象
将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|．
②y ＝f (x )――――――――――――→保留y 轴及右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (4)伸缩变换 ①y ＝f (x )
a ＞1，横坐标缩短为原来的1
a 倍，纵坐标不变
0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1
a 倍，纵坐标不变→ y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )
a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变
0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变
→
#
y ＝af (x )．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (2)函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )(a >0且a ≠1)的图象相同．( ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( )
(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) —
(5)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× [教材衍化]
1．(必修1P35例5改编)函数f (x )＝x ＋1
x 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．x 轴对称 C ．原点对称
D ．直线y ＝x 对称
解析：选C.函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，故选C.
2．(必修1P36练习T2改编)已知图①中的图象是函数y ＝f (x )的图象，则图②中的图象对应的函数可能是( )
^
A ．y ＝f (|x |)
B ．y ＝|f (x )|
C ．y ＝f (－|x |)
D ．y ＝－f (－|x |)
解析：选C.因为图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数y ＝f (x )的图象在y 轴右侧的部分，然后将y 轴左侧图象翻折到y 轴右侧得来的，所以图②中的图象对应的函数可能是y ＝f (－|x |)．故选C.
3.(必修1P75A 组T10改编)如图，函数f (x ) 的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是________．
解析：在同一坐标系内作出y ＝f (x )和y ＝log 2(x ＋1)的图象(如图)．由图象
知不等式的解集是(－1，1]．
答案：(－1，1]
？
[易错纠偏]
(1)函数图象的平移、伸缩法则记混出错； (2)不注意函数的定义域出错．
1．设f (x )＝2－
x ，g (x )的图象与f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，h (x )的图象由g (x )的图象
向右平移1个单位得到，则h (x )＝________．
解析：与f (x )的图象关于直线y ＝x 对称的图象所对应的函数为g (x )＝－log 2x ，再将其图象右移1个单位得到h (x )＝－log 2(x －1)的图象．
答案：－log 2(x －1)
2．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log
2f (x )的定义域是________．
！
解析：当f (x )＞0时，函数g (x )＝log
2f (x )有意义，由函数
f (x )的图象知满足f (x )＞0时，
x ∈(2，8]．
答案：(2，8]
作函数的图象
分别作出下列函数的图象． (1)y ＝2x ＋
2； (2)y ＝|lg x |；
@
(3)y ＝x ＋2x －1
.
【解】 (1)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图所示．
(2)y ＝?
????lg x ，x ≥1，－lg x ，0 (3)因为y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位长度， 再向上平移1个单位长度，即得y ＝x ＋2 x －1 的图象，图象如图所示． (变条件)将本例(3)的函数变为“y ＝x ＋2 x ＋3 ”，函数的图象如何 ￥ 解：y ＝x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3 ，该函数图象可由函数y ＝－1 x 向左平移3个单位，再向上平移1 个单位得到，如图所示． 函数图象的画法 分别作出下列函数的图象． (1)y ＝|x －2|(x ＋1)； (2)y ＝??? ?12； ] (3)y ＝log 2|x －1|. 解：(1)当x ≥2，即x －2≥0时， y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝??? ?x －12－9 4； 当x <2，即x －2<0时， y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－????x －12＋9 4. 所以y ＝?????????x －12－94 ，x ≥2， －??? ?x －12＋94，x <2. 这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)． … (2)作出y ＝????12的图象，保留y ＝????12图象中x ≥0的部分，加上y ＝??? ?12的图象中x >0部分 关于y 轴的对称部分，即得y ＝??? ?12的图象，如图中实线部分． (3)作y ＝log 2|x |的图象，再将图象向右平移一个单位，如图，即得到y ＝log 2|x －1|的图象． 函数图象的识别(高频考点) 函数图象的识别是每年高考的重点，题型为选择题，难度适中．主要命题角度有： (1)知式选图； ! (2)知图选式； (3)由实际问题的变化过程探究函数图象． 角度一 知式选图 (1)(2019·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ??? ?x ＋12(a >0，且a ≠1) 的图象可能是( ) (2)(2018·高考浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( ) 【解析】 (1)通解：若0 象过点????12，0，结合选项可知，选项D 可能成立；若a >1，则y ＝1a x 是减函数，而y ＝log a ??? ?x ＋12 是增函数且其图象过点??? ?12，0，结合选项可知，没有符合的图象，故选D. — 优解：分别取a ＝1 2和a ＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可 知选D. (2)设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝2| －x | ·sin(－2x )＝－f (x )， 所以y ＝f (x )是奇函数，故排除选项A ，B ；令f (x )＝0，所以sin 2x ＝0，所以2x ＝k π(k ∈Z )，所以x ＝k π 2(k ∈Z )，故排除选项C.故选D. 【答案】 (1)D (2)D 角度二 知图选式 (2020·温州高三质检)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝ln|x | x B ．f (x )＝e x x C ．f (x )＝1 x 2－1 D ．f (x )＝x －1 x 》 【解析】 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1 x ，则 x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A. 【答案】 A 角度三 由实际问题的变化过程探究函数图象 如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( ) 【解析】 当x ∈[0，π 4]时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2 x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C. 当x ∈[π4，3π4]时，f (π4)＝f (3π4)＝1＋5，f (π2)＝2 2.因为 22＜1＋5，所以 f (π 2)＜f (π4)＝f (3π 4)，从而排除D ，故选B. 《 【答案】 B 识别函数图象的方法技巧 函数图象的识辨可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的特殊点，排除不合要求的图象． ？ [提醒] 由实际情景探究函数图象，关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意 实际问题中的定义域问题． 1．函数f (x )＝? ?? ?x －1x ·cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( ) A B C D 解析：选D.函数f (x )＝(x －1 x )cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝(π－1π)·cos π＝1 π －π＜0，排除选项C ，故选D. 2．(2020·金华名校高三第二次统练)已知函数f (x )＝1 ax 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，则 a ＋ b ＋ c ＝( ) 《 A ．－6 B ．6 C ．－3 D ．3 解析：选C.由直线x ＝2，x ＝4，知ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －4)，又由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称性和图象知顶点为(3，1)，则a ＝－1，故b ＝6，c ＝－8，则a ＋b ＋c ＝－3. 3.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( ) 解析：选C.当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C. 函数图象的应用(高频考点) ； 函数图象的应用是每年高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度偏大．主要命 题角度有： (1)利用函数图象研究函数性质； (2)利用函数图象求解不等式； (3)利用函数图象求参数的取值范围； (4)利用函数图象确定方程根的个数(见本章第8讲)． 角度一 利用函数图象研究函数的性质 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) ] B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) 【解析】 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝? ????x 2－2x ，x ≥0， －x 2－2x ，x <0， 画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减． 【答案】 C 角度二 利用函数图象求解不等式 — 函数f (x )是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f (3) ＝0，若x ·[f (x )－f (－x )]<0，则x 的取值范围为________． 【解析】 函数f (x )的图象大致如图所示． 因为f (x )为奇函数，且x ·[f (x )－f (－x )]<0， 所以2x ·f (x )<0. 由图可知，不等式的解集为(－3，0)∪(0，3)． 【答案】 (－3，0)∪(0，3) 角度三 利用函数图象求参数的取值范围 - (2020·浙江省十校第一次联合模拟)已知函数f (x )＝? ????log 2（1－x ）＋1，－1≤x <0， x 3 －3x ＋2，0≤x ≤a 的值域是[0，2]，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，1] B ．[1， 3 ] C ．[1，2] D ．[3，2] 【解析】 先作出函数y ＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究y ＝x 3－3x ＋2，0≤x ≤a 的图象．令y ′＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由y ′>0，得x >1，由y ′<0，得0 【答案】 B 函数图象应用的求解策略 { (1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最 值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性；④从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点等． (2)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解． 1．(2020·广州五校联考)已知函数f (x )＝? ????－x 2－2x ，x ≥0， x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2) 的取值范围是________． 解析：如图，画出f (x )的图象， 由图象易得f (x )在R 上单调递减， 因为f (3－a 2) 。 解得－3 2．(2020·瑞安四校联考)已知函数f (x )＝???? ?4|log 2x |，0 x 2－5x ＋12，x ≥2，若存在实数a ，b ，c ，d ， 满足f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，其中d >c >b >a >0，则abcd 的取值范围是________． 解析：画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示， 由图象可得0 则f (a )＝4|log 2a |＝－4log 2a ，f (b )＝4|log 2b |＝4log 2b ， 因为f (a )＝f (b )，所以－log 2a ＝log 2b ， | 所以ab ＝1，令1 2x 2－5x ＋12＝0，即x 2－10x ＋24＝0， 解得x ＝4或x ＝6，而二次函数y ＝1 2x 2－5x ＋12的图象的对称轴为直线x ＝5，由图象知， 2 点(c ，f (c ))和点(d ，f (d ))均在二次函数y ＝1 2x 2－5x ＋12x ＋8的图象上，故有c ＋d 2＝5，所以d ＝10－c ， 所以abcd ＝1×cd ＝cd ＝c (10－c )＝－c 2＋10c ＝－(c －5)2＋25， 因为2 所以abcd 的取值范围是(16，24)． 答案：(16，24) ^ 思想方法系列2 数形结合思想在函数问题中的应用 已知函数f (x )＝? ????x 2＋2x －1，x ≥0， x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不 等式成立的是( ) A ．f (x 1)＋f (x 2)<0 B ．f (x 1)＋f (x 2)>0 C ．f (x 1)－f (x 2)>0 D ．f (x 1)－f (x 2)<0 【解析】 函数f (x )的图象如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x 1|<|x 2|，所以f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0. 【答案】 D | 数形结合思想的主要方面是“以形助数”寻找解决问题的途径，在函数问题中数形结合思想的应用非常广泛．本例借助图形得出函数f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数的性质，进而得出结论f (x 1)－f (x 2)＜0. 函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象所有交 点的横坐标之和等于( ) A ．3 B ．6 C ．4 D ．2 解析：选B.由图象变换的法则可知，y ＝ln x 的图象关于y 轴对称后和原来的一起构成y ＝ln|x |的图象，向右平移1个单位得到y ＝ln|x －1|的图象；y ＝－2cos πx 的周期T ＝2.如图所示，两图象都关于直线x ＝1对称，且有3对交点，每对交点关于直线x ＝1对称，故所有交点的横坐标之和为2×3＝6. [基础题组练] 1．(2020·台州市高考模拟)函数f (x )＝(x 3－3x )sin x 的大致图象是( ) & 解析：选C.函数f (x )＝(x 3－3x )sin x 是偶函数，排除A ，D ；当x ＝π4时，f (π4)＝[(π 4)3－3×π4]×2 2＜0，排除B ，故选C. 2.若函数f (x )＝? ??? ?ax ＋b ，x <－1ln （x ＋a ），x ≥－1 的图象如图所示，则f (－3)等于 ( ) A ．－1 2 B ．－54 C ．－1 D ．－2 解析：选 C.由图象可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝ ? ????2x ＋5，x <－1ln （x ＋2），x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C. 3．在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a 2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图象不可能的是( ) ' 解析：选B.当a ＝0时，函数为y 1＝－x 与y 2＝x ，排除D.当a ≠0时，y 1＝ax 2－x ＋a 2＝ a ??? ?x －12a －14a ＋a 2，而y 2＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，求导得y ′2＝3a 2x 2－4ax ＋1，令y ′2＝0，解得x 1＝13a ，x 2＝1a ，所以x 1＝13a 与x 2＝1a 是函数y 2的两个极值点．当a ＞0时，13a ＜12a ＜1 a ；当a ＜0时，13a ＞12a ＞1 a ，即二次函数y 1的对称轴在函数y 2的两个极值点之间，所以选项B 不合要求，故选B. 4．已知y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (2x )的图象的对称轴是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝－1 2 D ．x ＝1 2 解析：选D.因为函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，而函数y ＝f (2x )的图象是将函数y ＝f (2x ＋1)的图象向右平移12个单位，所以对称轴也向右平移1 2个单位，所以函数y ＝f (2x )的图象的对称轴为x ＝1 2. 5．(2020·绍兴一中模拟)函数y ＝ x 33x 4－1 的图象大致是( ) 》 解析：选A.因为y ＝ x 33 x 4－1 ，所以函数y ＝ x 33x 4－1 是奇函数，图象关于原点对称，故排 除C ；当x ＜－1时，恒有y ＜0，故排除D ；－1＜x ＜0时，y ＞0，故可排除B ；故选A. 6．设函数f (x )＝min{|x －2|，x 2，|x ＋2|}，其中min{x ，y ，z }表示x ，y ，z 中的最小者，下列说法错误的是( ) A ．函数f (x )为偶函数 B ．若x ∈[1，＋∞)时，有f (x －2)≤f (x ) C ．若x ∈R 时，f (f (x ))≤f (x ) D ．若x ∈[－4，4]时，|f (x －2)|≥f (x ) 解析：选D.在同一坐标系中画出f (x )的图象如图所示． — f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数，故A 正确． 由图可知x ∈[1，＋∞)时，有f (x －2)≤f (x )，故B 成立． 从图象上看，当x ∈[0，＋∞)时，有0≤f (x )≤x 成立，令t ＝f (x )，则t ≥0，故f (f (x ))≤f (x )，故C 成立． 取x ＝32，则f ????－12＝f ??? ?12＝14， f ??? ?32＝1 2，|f (x －2)| 综上，选D. 7．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________． " 解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝ log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)． 答案：(－∞，－1) (－1，＋∞) 8.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为 (0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ??? ?1f （3）的值等于________． 解析：由图象知f (3)＝1， 所以1f （3）＝1.所以f ????1f （3）＝f (1)＝2. 答案：2 9．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________． 、 解析：当x ∈[－1，0]时，设y ＝kx ＋b ，由图象得?????－k ＋b ＝0，k ×0＋b ＝1，解得? ????k ＝1，b ＝1，所以y ＝x ＋1； 当x ∈(0，＋∞)时，设y ＝a (x －2)2－1， 由图象得0＝a ·(4－2)2－1，解得a ＝1 4， 所以y ＝1 4(x －2)2－1. 综上可知，f (x )＝???? ?x ＋1，x ∈[－1，0]，14（x －2）2－1，x ∈（0，＋∞）. 答案：f (x )＝?????x ＋1，x ∈[－1，0]，14 （x －2）2－1，x ∈（0，＋∞） 10．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 解析：y ＝? ????x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x ＜0，作出图象，如图所示． | 此曲线与y 轴交于点(0，a )，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －1 4＜ 1＜a ，所以1＜a ＜5 4. 答案：??? ?1，54 11.已知函数f (x )＝? ????3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5]. (1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间； (3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． 解：(1)函数f (x )的图象如图所示． ) (2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]． (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3. 12．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1 x ＋2的图象关于点A (0，1)对称． (1)求f (x )的解析式； (2)若g (x )＝f (x )＋a x ，且g (x )在区间(0，2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0，1)点的对称点P ′(－x ，2－y )在h (x )的图象上， 即2－y ＝－x －1 x ＋2， 、 即y ＝f (x )＝x ＋1 x (x ≠0)． (2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x 2. 因为g (x )在(0，2]上为减函数， 所以1－a ＋1 x 2≤0在x ∈(0，2]上恒成立， 即a ＋1≥x 2在x ∈(0，2]上恒成立， 所以a ＋1≥4，即a ≥3， 故实数a 的取值范围是[3，＋∞)． [综合题组练] ; 1．(2020·金华市东阳二中高三调研)已知函数f (x )＝x －4＋9 x ＋1 ，x ∈(0，4)，当x ＝a 时， f (x )取得最小值b ，则函数 g (x )＝??? ?1a 的图象为( ) 解析：选B.因为x ∈(0，4)，所以x ＋1>1. 所以f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9 x ＋1－5 ≥2 （x ＋1）·9 x ＋1 －5＝1， 当且仅当x ＝2时取等号，f (x )的最小值为1. 所以a ＝2，b ＝1， 所以函数g (x )＝????1a ＝??? ?12，关于直线x ＝－1对称，故选B. ！ 2．定义函数f (x )＝???4－8??? ?x －3 2，1≤x ≤2，12f ???? x 2，x >2， 则函数g (x )＝xf (x )－6在区间[1，2n ](n ∈N * ) 内所有零点的和为( ) A ．n B ．2n (2n －1) (2n －1) 解析：选D.由g (x )＝xf (x )－6＝0得f (x )＝6 x ， 故函数g (x )的零点即为函数y ＝f (x )和函数y ＝6 x 图象交点的横坐标． 由f (x )＝12f ??? ?x 2可得，函数y ＝f (x )是以区间(2n － 1，2n )为一段， 其图象为在水平方向上伸长为原来的2倍，同时在竖直方向上缩短为原来的12，从而先作出函数y ＝f (x )在区间[1，2]上的图象，再依次作出其在[2，4]，[4，8]，…，[2n － 1，2n ]上的图象(如图)． 然后再作出函数y ＝6 x 的图象，结合图象可得两图象的交点在函数y ＝f (x )的极大值点的位置，由此可得函数g (x )在区间(2 n －1 ，2n )上的零点为x n ＝2n － 1＋2n 2＝34·2n ，故所有零点之和 为S n ＝34·2（1－2n ）1－2 ＝3（2n －1） 2.故选D. 3．设函数f (x )＝? ????－4x 2，x <0x 2－x ，x ≥0，若f (a )＝－1 4，则a ＝________，若方程f (x )－b ＝0有三 个不同的实根，则实数b 的取值范围是________． ; 解析：若－4a 2＝－14，解得a ＝－1 4， 若a 2－a ＝－14，解得a ＝1 2， 故a ＝－14或1 2；当x ＜0时，f (x )＜0， 当x ＞0时，f (x )＝????x －12－1 4，f (x )的最小值是－14， 若方程f (x )－b ＝0有三个不同的实根， 则b ＝f (x )有3个交点，故b ∈??? ?－14，0. 故答案为：－14或12；???? －14，0. 答案：－14或12 ??? ? －14，0 4．(2020·学军中学模拟)函数f (x )＝???ln x （x >0）， －－x （x ≤0） 与g (x )＝|x ＋a |＋1的图象上存在关 于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是________． 解析：设y ＝h (x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称， 则h (x )＝f (－x )＝???ln （－x ），x <0， －x ，x ≥0， 作出y ＝h (x )与y ＝g (x )的函数图象如图所示． 因为f (x )与g (x )图象上存在关于y 轴对称的点，所以y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象有交点，所 以－a ≤－e ，即a ≥e. 答案：[e ，＋∞) 5．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R . (1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解两个解 (2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示， 由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解； 当0 因为H (t )＝ ????t ＋12－14在区间(0，＋∞)上是增函数， 所以H (t )>H (0)＝0. 因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]． 6．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证：y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称； (2)若函数f (x )＝log 2|ax －1|的图象的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值． 解：(1)证明：设P (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象上任意一点，则y 0＝f (x 0)． 设P 点关于x ＝m 的对称点为P ′， 则P ′的坐标为(2m －x 0，y 0)． 由已知f (x ＋m )＝f (m －x )，得 f (2m －x 0)＝f [m ＋(m －x 0)] ＝f [m －(m －x 0)]＝f (x 0)＝y 0. 即P ′(2m －x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上． 所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称． (2)对定义域内的任意x ， 有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立． 所以|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立， 即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立． 又因为a ≠0， 所以2a －1＝0，得a ＝1 2. 高中数学常见函数图像1. 2.对数函数： 3.幂函数： 定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像 性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴． 函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =； 当2x k π π=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ??++???? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ； 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关 2011年高考理科数学函数、导函数试题汇编 一、选择题： 1. 【2011安徽理】（3）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f -=22)(,则=)1(f (A)-3 (B)-1 (C) 1 (D)3 2.【2011安徽理】（10）函数n m x ax x f )1()(-=在区间[0,1]上的图像如图所示，则m,n 的值可能是 (A) m=1,n=1 (B) m=1,n=2 (C) m=2,n=1 (D) m=3,n=1 3. 【2011北京理】6．根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ??? ?≥<=A x A c A x x c x f ,, ,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件 产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 4.【2011广东理】4. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列 结论恒成立的是 Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数 Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数 5.【2011湖北理】6．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()222f x g x a a -+=-+（a ＞0,且0a ≠）．若()2g a =，则()2f = A ．2 B ． 15 4 C ． 17 4 D ．2 a 6.【2011湖南理】8.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ） A ．1 B ． 12 C D 7.【2011江西理】3 ．若()f x = ，则()f x 的定义域为 A ．(,)1-02 B ．(,]1-02 C ．(,)1 - +∞2 D ．(,)0+∞ 8.【2011江西理】4．若()ln f x x x x 2=-2-4，则'()f x >0的解集为 A ．(,)0+∞ B ．-+10?2∞（，）（，） C ．(,)2+∞ D ．(,)-10 9.【2011辽宁理】9．设函数? ??>-≤=-1,log 11 ,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是 A ．1[-，2] B ．[0，2] C ．[1，+∞] D ．[0，+∞] 10.【2011辽宁理】11．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为 A ．（1-，1） B ．（1-，+∞） C ．（∞-，1-） D ．（∞-，+∞） 11.【2011全国理】2 ．函数0)y x =≥的反函数为 A ．2()4x y x R =∈ B ．2 (0)4 x y x =≥ C ．24y x =()x R ∈ D ．24(0)y x x =≥ 12. 【2011全国理】9．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则 5()2f -= A ．-1 2 B ．1 4 - C ． 14 D ． 12 高考理科常用数学公式总结 1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 2.U U A B A A B B A B C B C A =?=????U A C B ?=ΦU C A B R ?= 3.()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式 2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性:①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=.②函数()y f x =的图象关于直线 2 a b x +=对称()()f a mx f b mx ?+=-()()f a b mx f mx ?+-=. 7.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线 0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线 2a b x m +=对称.③函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 8.分数指数幂 m n a =（0,,a m n N *>∈，且1n >）. 1 m n m n a a -=（0,,a m n N *>∈，且1n >）. 9. log (0,1,0)b a N b a N a a N =?=>≠>. 10.对数的换底公式 log log log m a m N N a =.推论 log log m n a a n b b m =. 11.11, 1,2 n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++). 12.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈； 其前n 项和公式 1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-. 13.等比数列的通项公式1*11()n n n a a a q q n N q -==?∈； 高中数学常见函数图像 1.指数函数： 定义 函数 (0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数 图象 1a > 01a << 定义域 R 值域 (0,)+∞ 过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R 上是增函数 在R 上是减函数 2.对数函数： 定义 函数 log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数 图象 1a > 01a << 定义域 (0,)+∞ 值域 R 过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0,)+∞上是增函数 在(0,)+∞上是减函数 x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1) O 1 y =x y O (1,0) 1 x =log a y x =x y O (1,0) 1 x =log a y x = 3.幂函数： 定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像 性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴． 4. 函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =； 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ? ?++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ； 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 2.2常见函数 一、一次函数和常函数： 思维导图： （一） 、一次函数 （二）、常函数 定义域：（- ∞，+ ∞） 定义域: （- ∞，+ ∞） 值 域：（- ∞，+ ∞） 正 k=0 反 值 域：{ b } 解析式：y = kx + b ( k ≠ 0 ) 解析式：y = b ( b 为常数) 图 像：一条与x 轴、y 轴相交的直线 图 像：一条与x 轴平行或重合的直线 b>0 b=0 b<0 K > 0 k < 0 单调性： k > 0 ,在（- ∞，+ ∞）↑ 单调性：在（- ∞，+ ∞）上不单调 k < 0 ,在（- ∞，+ ∞）↓ 奇偶性：奇函数?=0b 奇偶性: 偶函数 非奇非偶?≠0b 周期性: 非周期函数 周期性：周期函数，周期为任意非零实数 反函数：在（- ∞，+ ∞）上有反函数 反函数:在（- ∞，+ ∞）上没有反函数 反函数仍是一次函数 例题： 二、二次函数 1、定义域：（- ∞，+ ∞） 2、值 域： ),44[,02 +∞-∈>a b a c y a ]44,(,02 a b a c y a --∞∈< 3、解析式：)0(2 ≠++=a c bx ax y 4、图 像:一条开口向上或向下的抛物线 开口向下，开口向上；正负：增大，开口缩小 绝对值：随着,00<>a a a a 正半轴相交与负半轴相交与y c y c c ,0,0>< 对称轴：a b x 2-=对称轴： ；) 44,2(2a b a c a b --顶点： 轴交点个数图像与x a c b →-=?42：与x 轴交点的个数。 两个交点,0>?一个交点,0=?无交点,0),2[]2,(,0a b a b a ↓+∞-↑--∞<),2[]2,(,0a b a b a 6、奇偶性：偶函数?=0b 7、周期性：非周期函数 8、反函数：在（- ∞，+ ∞）上无反函数， 上及其子集上有反函数或在),2[]2,(+∞---∞a b a b 例题: 2013年全国高考理科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理））函数 的定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若 a b c <<,则函数 ()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( ) A.(),a b 和(),b c 内 B.(),a -∞和(),a b 内 C.(),b c 和(),c +∞内 D.(),a -∞和(),c +∞内 【答案】A 3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数 1 2 ()f x x - =的大致图像是( ) 【答案】A 4 ．（2013年高考四川卷（理）） 设函数 ()f x =(a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( ) (A)[1,]e (B)1 [,-11]e -， (C)[1,1]e + (D)1 [-1,1]e e -+ 【答案】A 5 ．（2013年高考新课标1（理））已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ?-+≤?+>? ,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是 A.(,0]-∞ B.(,1]-∞ C.[2,1]- D.[2,0]- 【答案】D 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））函数 ()()21=log 10f x x x ?? +> ??? 的反函数()1=f x - 函 数 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数 x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： 精华练习答案 函数三性，两域部分 1、【06江苏1】已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝ （A ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1 2、【08全国II 9】． 设奇函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，且0)1(=f ，则不等式 0) ()(<--x x f x f 的解集为（D ） (A) ),1()0,1(+∞?- (B) )1,0()1,(?--∞ (C) ),1()1,(+∞?--∞ (D) )1,0()0,1(?- 3、【06北京理5】已知(31)4,1 ()log ,1 a a x a x f x x x -+0）的单调递增区间是)∞+???,1e . 解析：用求导法：.10ln 0)(1ln 1ln )('' e x x x f x x x x x f ≥?≥≥=? +=，，令＋ 5、【05江苏15】 答案：?? ? ?????????- 1,430,41 6、【08上海理8】：设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是()()+∞?-,10,1 7、【08广东理19】设A ∈R ，函数 试讨论函数F(x)的单调性． 【解析】1 ,1,1()(),1, kx x x F x f x kx kx x ?- 给自己看的----Matlab的内部常数（转） 2008/06/19 14:01[Ctrl C/V--学校 ] MATLAB基本知识 Matlab的内部常数 pi 圆周率 exp(1) 自然对数的底数e i 或j 虚数单位 Inf或inf 无穷大 Matlab的常用内部数学函数 如何用matlab进行多项式运算 （1）合并同类项 syms 表达式中包含的变量 collect(表达式，指定的变量) （2）因式分解 syms 表达式中包含的变量factor(表达式) （3）展开 syms 表达式中包含的变量 expand(表达式) 我们也可在matlab中调用maple的命令进行多项式的运算，调用格式如下： maple（’maple中多项式的运算命令’） 如何用matlab进行分式运算 发现matlab只有一条处理分式问题的命令，其使用格式如下： [n，d]=numden（f）把符号表达式f化简为有理形式，其中分子和分母的系数为整数且分子分母不含公约项，返回结果n为分子，d为分母。注意：f必须为符号表达式 不过我们可以调用maple的命令，调用方法如下： maple（’denom（f）’）提取分式f的分母 maple(’numer（f）’)提取分式f的分子 maple(’normal（f）’ ) 把分式f的分子与分母约分成最简形式 maple(’expand（f）’) 把分式f的分子展开,分母不变且被看成单项。 maple(’factor（f）’) 把分式f的分母和分子因式分解，并进行约分。 如何用Matlab进行因式分解 syms 表达式中包含的变量factor(表达式) 如何用Matlab展开 syms 表达式中包含的变量expand(表达式) 如何用Matlab进行化简 syms 表达式中包含的变量simplify(表达式) 如何用Matlab合并同类项 syms 表达式中包含的变量collect(表达式，指定的变量) 如何用Matlab进行数学式的转换 调用Maple中数学式的转换命令，调用格式如下： maple(‘Maple的数学式转换命令’) 即：maple(‘convert(表达式，form)’)将表达式转换成form的表示方式 maple(‘convert(表达式，form, x)’)指定变量为x，将依赖于变量x的函数转换成form的表示方式（此指令仅对form为exp与sincos的转换式有用） 如何用Matlab进行变量替换 syms 表达式和代换式中包含的所有变量subs(表达式，要替换的变量或式子，代换式) 如何用matlab进行复数运算 a+b*i 或 a +b*j表示复数a+bi 或a+bj real（z）求复数z的实部 imag（z）求复数z的虚部 abs（z）求复数z的模 angle（z）求复数z的辐角， conj（z）求复数z的共轭复数 exp（z）复数的指数函数，表示e^z 如何在matlab中表示集合 [a, b, c,…] 表示由a, b, c,…组成的集合（注意：元素之间也可用空格隔开） unique(A) 表示集合A的最小等效集合（每个元素只出现一次） 也可调用maple的命令，格式如下： maple('{a, b, c,…}')表示由a, b, c,…组成的集合 下列命令可以生成特殊的集合： maple(‘{seq(f(i),i=n..m)}’)生成集合{f(n), f(n+1), f(n+2), … , f(m)} 如何用Matlab求集合的交集、并集、差集和补集 2014-2015高考理科数学《函数的图象》练习题 [A 组 基础演练·能力提升] 一、选择题 1．函数f (x )＝log 12cos x ? ????－π 2 解析：由f (x )＝??? 3x x ≤1 log 1 3x x >1 ，得f (1－x )＝??? 31－x x ≥0log 1 3 1－x x <0 . 因此，x ≥0时，y ＝f (1－x )为减函数，且y >0；x <0时，y ＝f (1－x )为增函数，且y <0.故选C. 答案：C 5．对实数a 和b ，定义运算“?”：a ?b ＝?? ? a ，a － b ≤1， b ，a －b >1. 设函数f (x )＝(x 2－2)?(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴上恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( ) A ．(－1,1]∪(2，＋∞) B ．(－2，－1]∪(1,2] C ．(－∞，－2)∪(1,2] D ．[－2，－1] 解析：令(x 2 －2)－(x －1)≤1，得－1≤x ≤2，∴f (x )＝?? ? x 2 －2－1≤x ≤2x －1x <－1或x >2 ，∵y ＝f (x ) －c 与x 轴恰有两个公共点，画出函数的图象得知实数c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．故选B. 答案：B 6．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位长度后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2 －x 1)<0恒成立，设a ＝f ? ?? ?? －12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c 解析：由题意得f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，则f (x )的图象关于x ＝1对称，满足f (x )＝f (2－x )，∴a ＝f ? ????－12＝f ? ????52. 又由已知得f (x )在(1，＋∞)上为减函数，∴f (2)>f ? ?? ??52>f (3)，即b >a >c . 答案：D 二、填空题 7.直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 解析：如图，作出y ＝x 2 －|x |＋a 的图象，若要使y ＝1与其有4个交点，则需满足a －1 4 <1 O 4 8 8 16 t(s) S ( （A ） O 4 8 8 16 t(s) S (（B ） O 4 8 8 16 t(s) S ( （C ） O 4 8 8 16 t(s) S (（D ） 专题二：函数图像 1、（2013年潍坊市）用固定的速度向如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是（ ）. 2、（2013成都市）在平面直角坐标系中，下列函数的图像经过原点的是（ ） A.y=-x+3 B.5y x = C.y=2x D.2 y 27x x =-+- 3、（2013?天津）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境： ①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x 分，离出发地的距离为y 千米； ②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x 分，桶内的水量为y 升； ③矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，动点P 从点A 出发，依次沿对角线AC 、 边CD 、边DA 运动至点A 停止，设点P 的运动路程为x ，当点P 与点A 不重合时，y=S △ABP ；当点P 与点A 重合时，y=0． 其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 4、(2013年临沂)如图，正方形ABCD 中，AB=8cm,对角线AC,BD 相交于 点O,点E,F 分别从B,C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC,CD 运动， 到点C,D 时停止运动，设运动时间为t(s),△OE 的面积为s(2 cm )，则 s(2cm )与t(s)的函数关系可用图像表示为（ ） 5、（2013四川南充，9，3分） 如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从 2013高中文科数学知识点（函数） 一、函数的概念： 1. 函数的概念： 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 函数的三要素：定义域、对应关系、值域. 2.函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 二、定义域的求法： 能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时，列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1； (5) 指数为零，底不可以等于零； (6) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合； (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 三、值域的求法: 1.函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类： (1)求常见函数值域； (2)求由常见函数复合而成的函数的值域； (3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域 2.函数值域的常用方法： (1)观察法： 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 (2)配方法： (二次或四次) 转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值； 常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如：),(,)(2 n m x c bx ax x f ∈++=的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值。 (3)换元法： 代数换元法通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的；三角代换法可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想。 (4)分离常数法： 对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域。 (5)判别式法： 若函数y =f （x ）可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程a （y ）x 2 + b （y ）x +c （y ） =0，则在a （y ）≠0时，由于x 、y 为实数，故必须有Δ=b 2 （y ）－4a （y ）·c （y ）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x 值。 (6)最值法： 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值，并与边界值f(a)，f(b)作比较,求出函数的最值，可得到函数y 的值域。 四、解析式的求法： 1. 待定系数法： 已知函数图象，确定函数解析式，或已知函数的类型且函数满足的方程时，常用待定系数法。 2. 函数性质法： 如果题目中给出函数的某些性质（如奇偶性、周期性），则可利用这些性质求出解析式。 C++常用数学函数库 数学函数,所在函数库为math.h、stdlib.h、string.h、float.h ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- int abs(int i) 返回整型参数i的绝对值 double cabs(struct complex znum) 返回复数znum的绝对值 double fabs(double x) 返回双精度参数x的绝对值 long labs(long n) 返回长整型参数n的绝对值 double exp(double x) 返回指数函数ex的值 double frexp(double value,int *eptr) 返回value=x*2n中x的值,n存贮在eptr中double ldexp(double value,int exp); 返回value*2exp的值 double log(double x) 返回logex的值 double log10(double x) 返回log10x的值 double pow(double x,double y) 返回xy的值 double pow10(int p) 返回10p的值 double sqrt(double x) 返回x的开方 double acos(double x) 返回x的反余弦cos-1(x)值,x为弧度 double asin(double x) 返回x的反正弦sin-1(x)值,x为弧度 double atan(double x) 返回x的反正切tan-1(x)值,x为弧度 double atan2(double y,double x) 返回y/x的反正切tan-1(x)值,y的x为弧度 double cos(double x) 返回x的余弦cos(x)值,x为弧度 double sin(double x) 返回x的正弦sin(x)值,x为弧度 double tan(double x) 返回x的正切tan(x)值,x为弧度 double cosh(double x) 返回x的双曲余弦cosh(x)值,x为弧度 double sinh(double x) 返回x的双曲正弦sinh(x)值,x为弧度 double tanh(double x) 返回x的双曲正切tanh(x)值,x为弧度 double hypot(double x,double y) 返回直角三角形斜边的长度(z), x和y为直角边的长度,z2=x2+y2 double ceil(double x) 返回不小于x的最小整数 double floor(double x) 返回不大于x的最大整数 void srand(unsigned seed) 初始化随机数发生器 int rand() 产生一个随机数并返回这个数 double poly(double x,int n,double c[]) 从参数产生一个多项式 double modf(double value,double *iptr) 将双精度数value分解成尾数和阶 double fmod(double x,double y) 返回x/y的余数 double frexp(double value,int *eptr) 将双精度数value分成尾数和阶 double atof(char *nptr) 将字符串nptr转换成浮点数并返回这个浮点数 double atoi(char *nptr) 将字符串nptr转换成整数并返回这个整数 double atol(char *nptr) 将字符串nptr转换成长整数并返回这个整数 char *ecvt(double value,int ndigit,int *decpt,int *sign) 将浮点数value转换成字符串并返回该字符串 char *fcvt(double value,int ndigit,int *decpt,int *sign) 1.指数函数 0(>=a a y x 且)1≠a 图像： 性质：恒过定点（0,1）； 当0=x 时，1=y ； 当1>a 时，y 单调递增，当)0,(-∞∈x 时，)1,0(∈y ；当),0(+∞∈x 时，),1(+∞∈y . 当10<=a x y a 且)1≠a 对数运算法则： N M MN a a a log log log += N M N M a a a log log log -= M n M a n a log log =)(R n ∈ N N a a =log （对数恒等式） a N N b b a log log log = （换底公式） 图像 x ) 1>(=a y x 性质：恒过定点（1,0）； 当1=x 时，0=y ； 当1>a 时，y 单调递增， 当)1,0(∈x 时，)0,(-∞∈y ；当),1(+∞∈x 时，),0(+∞∈y . 当10<a x ) 10(< 高考理科数学函数知识点 高考数学函数知识点 1。函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集 合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=fx，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fx|x∈A}叫做函数 的值域。 注意：2如果只给出解析式y=fx，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能 使这个式子有意义的实数的集合;3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式。 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组 的主要依据是：1分式的分母不等于零;2偶次方根的被开方数不小于零;3对数式的真数必须大于零;4指数、对数式的底必须大于零且不等于1。5如果函数是由一些基本函数通过 四则运算结合而成的。那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合。6指 数为零底不可以等于零6实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。 又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对 应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等 或为同一函数2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变 量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致两点必须同 时具备 见课本21页相关例2 值域补充 1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考 虑其定义域。2。应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。 3。函数图象知识归纳 1定义：在平面直角坐标系中，以函数y=fx,x∈A中的x为横坐标，函数值y为纵坐 标的点Px，y的集合C，叫做函数y=fx,x∈A的图象。 高考理科数学公式总结 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 高考理科常用数学公式总结 1. 德摩根公式: ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 2. U U A B A A B B A B C B C A =?=????U A C B ?=Φ 3. ()()card A B cardA cardB card A B =+- 含有n 个元素的集合的子集个数为2n ,真子集个数为21n -. 4. 二次函数的解析式的三种形式: ①一般式:2()(0)f x ax bx c a =++≠; ② 顶点式:2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5. 函数单调性：设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []1212 ()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如 果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6. 函数()y f x =的图象的对称性: 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y 轴对称. ① 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称高中数学常见函数图像
高三数学精品教案：专题1：函数专题(理科)
2011年高考理科数学函数、导函数试题汇编
高考理科数学常用公式大全
高中数学常见函数图像
2.2 常见函数(附思维导图)
全国高考理科数学试题分类汇编：函数
高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选(含答案) (1)
绝对精选!高考数学函数最后一题练习+答案
最新Matlab中常见数学函数的使用
高考理科数学《函数的图象》练习题
中考数学专题：函数图像
高考文科数学知识点(函数部分)
C++常用数学函数库
高中数学常用函数图像及性质
高考理科数学函数知识点
高考理科数学公式总结完整版