函数定义域的求法及常见题型
一、函数定义域求法
(一)常规函数
函数解析式确定且已知,求函数定义域。其解法是根据解析式有意义所需条件,列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组),即得函数定义域。
例1.求函数y =的定义域。
(二)抽象函数
1.有关概念
定义域:函数y=f(x)的自变量x 的取值围,可以理解为函数y=f(x)图象向x 轴投影的区间;凡是函数的定义域,永远是指自变量x 的取值围;
2.四种类型
题型一:已知抽象函数y=f(x)的定义域为[m,n],如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域?
例题2.已知函数y=f(x)的定义域[0,3],求函数y=f(3+2x)的定义域
强化训练:
1.已知函数y=f(x)的定义域[-1,5],求函数y=f(3x-5)的定义域;
2.已知函数y=f(x)的定义域[1/2,2],求函数y=f(log 2x)的定义域;
3.已知(x)f 的定义域为[-2,2],求2(x 1)f -的定义域。
题型二:已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n],如何求抽象函数y=f(x)的的定义域?
例题4.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3],求函数y=f(x)的定义域.
强化训练:
1.已知函数y=f(x 2-2x+2)的定义域[0,3],求函数y=f(x)的定义域.
2.已知函数y=f[lg(x+1)]的定义域[0,9],求函数y=f(x)的定义域.
题型三:已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n],如何求复合抽象函数y=f(h(x))定义域的定义域?
例题5.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3],求函数y=f(3+x)的定义域.
强化训练:
1.已知函数y=f(x+1)的定义域[-2,3],求函数y=f(2x-1)的定义域.
2.已知函数y=f(2x)的定义域[-1,1],求函数y=f(log 2x)的定义域.
3. 已知f(x+1)的定义域为[-1/2,2],求f(x 2)定义域。
题型四:已知f(x)的定义域,求与f(x)相关四则运算型函数的定义域。
例6.已知f(x)的定义域为[-3,5],求φ(x )=f(-x)+f(2x+5)定义域。
强化训练:
1.已知f(x)的定义域为(0,5],求g(x)=f(x+a)f(x-a)定义域,其中-1﹤a ≦0。
二、与函数定义域相关的变形题型
(一)逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值围。特别是对于已知定义域为R ,求参数的围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例7.已知函数的定义域为R ,数m 的取值围。
例8.已知函数27(x)43
kx f kx kx +=++的定义域是R ,数k 的取值围。
(二)参数型
对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论。
例9.已知(x)f 的定义域为[0,1],求函数(x)(x )(x a)F f a f =++-的定义域。
(三)隐含型
有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域隐含在问题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此,求函数的单调区间,必须先求定义域。
例10.求函数22log (x 2x 3)y =-++的单调区间。
(四)实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外,还要注意问题的实际意义对自变量的限制,这点要加倍注意,并形成意识。
例11.将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式,并求函数的定义域。
例12.用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底边长为2x ,求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式,并求定义域。
求函数解析式的几种基本方法及例题:
1、凑配法:已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域。 此法较适合简单题目。
例1、(1)已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2).
(2) 已知221)1(x
x x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式
2、换元法:已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化。
例2 (1) 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f
(2)如果).(,,)(x f x x
x x f 时,求则当1011
≠-=
3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。
例3、已知f(x)是二次函数,且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x).
四、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式。
例4 设,)1(2)()(x x
f x f x f =-满足求)(x f
五、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。
例5 已知:1)0(=f ,对于任意实数x 、y ,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f
例6、(分段函数)设f(x)=1,2x g(x) x x +=?????>+≤--1111212,,x
x 求f[g(x)]的表达式. 变式训练:
1、已知f(x+1)=x 2-2x,求f(x)及f(x-2).
2、已知f (x +1)=x+2x +1,求f(x)的解析式。
3、已知f(x)为多项式,f(x+1)+f(x-1)=2x 2-2x+4.求f(x)的解析式。
4、已知f(x)=2x+a,?(x)=4
1(x 2+3),且?[f(x)]=x 2+x+1,则a= .
5、如果函数f(x)满足方程,0,)1()(≠∈=+x R x ax x
f x af 且a 为常数,且a ≠±1,求f(x)的解析式。
.1)( 1
x 1-x -41 x )1()(62的取值范围的自变量求使得、设函数x x f x x f ≥?????≥<+= 7、已知函数f(x)对任意正数m,n 均有f(mn)=f(m)+f(n)成立,且f(8)=3,试求f(2)的值。
函数的值域求解方式
1.已知函数的定义域为集合A,函数的值域为集合B,求A∩B和(C
R A)∩(C
R
B).
2.已知函数f(x)=x2﹣bx+3,且f(0)=f(4).
(1)求函数y=f(x)的零点,写出满足条件f(x)<0的x的集合;(2)求函数y=f(x)在区间(0,3]上的值域.
3.求函数的值域:.
4.求下列函数的值域:
(1)y=3x2﹣x+2;(2);
(3);(4);
(5)(6);
5.求函数的值域:y=|x﹣1|+|x+4|.
6.求下列函数的值域.
(1)y=﹣x2+x+2;(2)y=3﹣2x,x∈[﹣2,9];(3)y=x2﹣2x﹣3,x∈(﹣1,2];(4)y=.
7.已知函数f(x)=22x+2x+1+3,求f(x)的值域.8.已知f(x)的值域为,求y=的值域.
9.设的值域为[﹣1,4],求a、b的值.
实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)
【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c.
【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859=====
指数函数典型例题详细解析
指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---21 3321 x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥- 2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<. 0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0)
3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y =c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b
解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6
解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<< <.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵>,>, ∴>. ---- 45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y 1=4.5x ,y 2=3.7x 的图像如图2.6-3,取x =3.6,得4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6. 说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有