人教【数学】数学一元二次方程的专项培优 易错 难题练习题附答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．

（1）求k 的取值范围；

（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．

【答案】（1）12

k ≤

；（2）3k = 【解析】

试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ?=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤

12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，

∴k 1＝1，k 2＝－3.

∵k ≤12

，∴k ＝－3. 2．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的

n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？

【答案】存在，n=0.

【解析】

【分析】

在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.

【详解】

若存在n 满足题意.

设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324

n +-

，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-

12

，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14

(舍)， 综上所述，n=0.

3．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg ，为了倡导低碳，减

少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．

（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？

（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加

1.6%，例如润滑用油量为89kg 时，用油的重复利用率为61.6%．

①润滑用油量为80kg ，用油量的重复利用率为多少？

②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？

【答案】（1）28（2）①76%②75，84%

【解析】

试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；

（2）①利用润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，得出等式求出答案．

试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg ）；

（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；

②设润滑用油量是x 千克，则

x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x ）]}=12，

整理得：x 2﹣65x ﹣750=0，

（x ﹣75）（x+10）=0，

解得：x 1=75，x 2=﹣10（舍去），

60%+1.6%（90﹣x ）=84%，

答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．

考点：一元二次方程的应用

4．已知关于x 的一元二次方程()22

2130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围；

()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．

【答案】（1）134

k ≤

；（2）2k =-． 【解析】

【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()

22[2k 1]41k 38k 50=---??-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．

【详解】

解：()1关于x 的一元二次方程()22

2130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---??-=-+≥， 解得134

k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，

()

222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，

221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-， 134

k ≤， 4k ∴=舍去，

2k ∴=-．

【点睛】

本题考查了一元二次方程2

ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．

5．计算题

（1）先化简，再求值：2

1

x x -÷（1+211x -），其中x=2017． （2）已知方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，求m 的值．

【答案】（1）2018；（2）m=4

【解析】

分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；

（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.

详解：（1）2

1

x x -÷（1+211x -） =2221111

x x x x -+÷-- =()()22

111x x x x x +-?- =x+1，

当x=2017时，原式=2017+1=2018

（2）解：∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，

∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0，

解得，m=4

点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.

6．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（） 【答案】124x x 23

==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.

试题解析：因式分解，得

2212x x 3-=-（）（）

开平方，得

12x x 3-=-，或12x x 3-=--（）

解得124x x 23

==-，

7．已知x=﹣1是关于x 的方程x 2+2ax+a 2=0的一个根，求a 的值．

【答案】1

【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得到关于a 的一元二次方程1﹣2a+a 2=0，然后解此一元二次方程即可．

试题解析：把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得

1﹣2a+a 2=0，

解得a 1=a 2=1，

所以a 的值为1.

8．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根．

(1)求n 的取值范围；

(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．

【答案】(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2．

【解析】

【分析】

(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ?=-> ，即可求出n 的取值范围； （2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案.

【详解】

(1)根据题意知，[]

224(2)41(1)0b ac n ?=-=--??-->

解之得：0n >；

(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数，

∴1n =，

则方程为220x x -=，

即(2)0x x -=，

解得120,2x x ==．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程

20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ?=-的关系（①当>0? 时，方程有两个不相等的实数根；②当0?= 时方程有两个相等的实数根；③当?<0 时，方程无实数根）是解题关键.

9．校园空地上有一面墙，长度为20m ，用长为32m 的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．

（1）能围成面积是126m 2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由． （2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积能达到170m 2吗？请说明理由．

【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．

【解析】

【分析】

（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.

（2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.

【详解】

（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，

根据题意得：x(32﹣2x)=126，

解得：x 1=7，x 2=9，

∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，

∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．

（2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米，

根据题意得：y(36﹣2y)=170，

整理得：y 2﹣18y+85=0．

∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，

∴该方程无解，

∴假设不成立，即若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．

10．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.

【解析】

试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．

试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，

解得 x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20

考点：一元二次方程的应用．