数学归纳法经典例题详解
例1．用数学归纳法证明：
()()12121217
51531311+=+-++?+?+?n n n n ． 请读者分析下面的证法：
证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3
1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：
()()12121217
51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 那么当n =k +1时，有：
()()()()32121121217
51531311++++-++?+?+?k k k k ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ?
?-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++?=??? ??+-=
k k k ()1
121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．
由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．
评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．
正确方法是：当n =k +1时．
()()()()32121121217
51531311++++-++?+?+?k k k k ()()
3212112++++=k k k k ()()()()()()
321211232121322++++=++++=k k k k k k k k
()1
121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，
例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：
a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)
都成立，并证明你的结论．
分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．
?????=++=+=603224
26321
211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．
故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．
下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．
因为起始值已证，可证第二步骤．
假设n =k 时，等式成立，即
a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)
那么当n =k +1时，
a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1
= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]
=(k +1)(k 2+2k +3k +6)
=(k +1)(k +2)(k +3)
=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]
这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．
例3．证明不等式n n 21
31
21
1<++++ (n ∈N)．
证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．
左边<右边，不等式成立．
②假设n =k 时，不等式成立，即k k 21
31
21
1<++++ ．
那么当n =k +1时，
11
1
31
21
1++++++k k
1
1
1211
2+++=++ 1211211 1+=++=++++ 这就是说，当n =k +1时，不等式成立． 由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是 121113 1 21 1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ． 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ． 求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除． 分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法． ①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除． ②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时， a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3 =a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1 =a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1 =3a 4k +2+2a 4k +1 由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除． 因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除． 由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．