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排列组合二项式定理总结(含知识点,试题和答案)

高中数学重点-排列组合二项定理

学科：数学任课教师：授课时间：年月日

考试内容：

分类计数原理与分步计数原理．排列．排列数公式．

组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质．考试要求：

（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．

（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．

排列组合二项定理知识要点

一、两个原理.

1. 乘法原理、加法原理.

2. 可．以有．．重复．．元素．．

的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：n

m 种）

二、排列.

1. ?对排列定义的理解.

定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列.

如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数.

从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个

不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m

n A 表示.

?排列数公式：

),,()!

)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=

+--=

注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1

111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11

--=m n m n nA A 规定10

==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．

的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!

!...!!

21k n n n n n =

例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!

2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .

三、组合.

1. ?组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.

?组合数公式：)!

(!!!

)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m

n m n -=

+--==

?两个公式：①;m n n m n C C -= ②m

n m n m n C C C 11+-=+

①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.

（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含

红球选法有1m n 111m n C C C --=?一类是不含红球的选法有m

n C ）

②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不

取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C m n 种，依分类原理有m n m n m n C C C 11+-=+.

?排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ?①几个常用组合数公式 n n n n n n C C C 2

210=+++ 1

2115314201

1112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k

n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC

kC C C C C C C C C C C C

②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：

)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!

)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.

v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413

353433+=+++n n C C C C C .

vi. 构造二项式. 如：n n

n n n n C C C C 222120)()()(=+++ 证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为

2120022110)

()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=?++?+?+?-- ，而右边n

n C 2= 四、排列、组合综合.

1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.

③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元

素必相邻的排列有m m m n m n A A ?+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m

m A 则是“局部排列”.

又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 22

1A A n ?-.

②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有22

11A A n

n ?--. ③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有11

2--?n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.

④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.

例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？m

m n m n m n A A 1

+---?（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤2

1+n 时有意义.

⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有

m m

n n A A 种排列方法.

例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？

解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法）m m n n A A /.

⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有

k k

n n k n kn A C C C )1(-?.

例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!

4=C （平均分组就用不着管组与

组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（!

2/1020

818C

C C P =

）

注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？

有m

m m n m n m n A A A /1+---?，当n – m+1 ≥m, 即m≤2

1+n 时有意义. ⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.

例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然

124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,432y y y ，对应着惟一的一

种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插

隔板的方法数3

11C .

注意：若为非负数解的x 个数，即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-?=+++1...11...21321，进而转

化为求a 的正整数解的个数为1

-+n n A C .

x 24

⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r

个指定位置则有r

k r n r r A A --.

例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？

固定在某一位置上：11

--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----?+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有m n A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一

样的）

⑩指定元素排列组合问题.

i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内。先C 后A 策

略，排列k k r k r n r r A C C --；组合r k r n r r C C --.

ii. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合），规定某r 个元素都不包含在内。先C 后A 策

略，排列k k k r n A C -；组合k r n C -.

iii 从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r 个元

素中的s 个元素。先C 后A 策略，排列k k s k r n s r A C C --；组合s k r n s r C C --.

II. 排列组合常见解题策略：

①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；

⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题.

①均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，假定其中r 组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为r r A A /（其中A 为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K 组均匀分组应再除以k k

A . 例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为1575

/224448210=A C C C .若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为44

222224262819110/A A C C C C C C ? ②非均匀编号分组: n 个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为m m

A A ? 例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：33

5538210A C C C ???种. 若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有33

4538210A C C C ?种 ③均匀编号分组：n 个不同元素分成m 组，其中r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为m m

r r A A A ?/. 例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为332

448210A A C C C ?

④非均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，

不管是否分尽，其分法种数为1

m n C A =21m m -n C …k m )m ...m (m -n 1-k 21C +++

例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为25205538210=C C C 若从10人中选出6人分成三组，

各组人数分别为1、2、3，其分法种数为126003

729110=C C C .

五、二项式定理.

1. ?二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .

展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项；

② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r

n n n n C C C C C

③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ?二项展开式的通项.

n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r

r n r n r ∈≤≤=-+.

?二项式系数的性质.

①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n 是偶数时，中间项是第12

项，它的二项式系数2n

n C 最大；

II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第12

++n 项，它们的二项式系数21

21+-=n n

n n C C

最大. ③系数和：

314201022

-=++=+++=+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C

附：一般来说b a by ax n ,()(+为常数）在求系数最大的项或最小的项．．．．．．．．．．．时均可直接根据性质二求解. 当

11≠≠b a 或时，一般采用解不等式组111

11(,+-+-+???≤≤??

?≥≥k k k k

k k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解.

?如何来求n c b a )(++展开式中含r q p c b a 的系数呢？其中,,,N r q p ∈且n r q p =++把n

n c b a c b a ])[()(++=++视为二项式，先找出含有r C 的项r r n r

n C b a C -+)(，另一方面在r n b a -+)(中含有q b 的项为q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=，故在n c b a )(++中含r q p c

b a 的项为r

q p q r n r n

c b a C C -.其系数为r

r q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --==---?-=

!!!)!(!)!()!(!!.

2. 近似计算的处理方法.

当a 的绝对值与1相比很小且n 不大时，常用近似公式na a n +≈+1)1(，因为这时展开式的后面部分

n n n n n a C a C a C +++ 3322很小，可以忽略不计。类似地，有na a n -≈-1)1(但使用这两个公式时应注意a 的条件，

以及对计算精确度的要求.

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定：组合数性质： .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011 =+++=+=+--…… ，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注：若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

排列组合题型总结

排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。一．直接法、 1．特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理： 25A 24A =240 2．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 1 4A 24A =192所以总共有192+60=252 二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ??个，其中0在百位的有 2242?C ?22A 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数333352A C ??-2242?C ?22A =432 （个）三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有11019A A ?=100中插入方法。四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44A ×4 4A =576 练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种（3324A C ） 2．某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注：若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略（1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。（43．排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；（3）．相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。（4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。（5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法；（6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。（8）．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数； ③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。 4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题：均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4．分配问题：定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。

高中数学排列组合题型归纳总结材料

排列组合 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略例1、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解: 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2、 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解： 522 480A A A = 练习题：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例3.、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解54 56A A 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两

个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.、 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4 7A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法练习题: 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10 C 五.重排问题求幂策略例5.、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法练习题： 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87 六.环排问题线排策略例6.、 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

(完整版)排列组合知识点与方法归纳

排列组合知识点与方法归纳一、知识要点 1.分类计数原理与分步计算原理（1）分类计算原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ m n种不同的方法。（2）分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有 N= m1× m2×…× m n种不同的方法。 2.排列（1）定义从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为 . （2）排列数的公式与性质 a)排列数的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）= 特例：当m=n时， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1规定：0！ =1 b)排列数的性质：（Ⅰ） =（Ⅱ）（Ⅲ） 3.组合（1）定义

a)从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 b)从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。（2）组合数的公式与性质 a)组合数公式：（乘积表示）（阶乘表示）特例： b)组合数的主要性质：（Ⅰ）（Ⅱ） 4.排列组合的区别与联系（1）排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。（2）注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系：二、经典例题例1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式是（） A .5种 B.6种 C. 7种 D. 8种解：注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论：第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有1种方法；第二类，再买2片软件，不买磁盘，只有1种方法；第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2种方法；第四类，不买软件，再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有3种方法；于是由分类计数原理可知，共有

排列组合解题技巧归纳总结

排列组合解题技巧归纳总结排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。教学内容 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A =

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合（一）典型分类讲解一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有6 7种不同的排法练习题： 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识 1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取mm≤n个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 pn,m表示. pn,m=nn-1n-2……n-m+1= n!/n-m!规定0!=1. 2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取mm≤n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 cn,m 表示. cn,m=pn,m/m!=n!/n-m!*m!;cn,m=cn,n-m; 3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=pn,r/r=n!/rn-r!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/n1!*n2!*...*nk!. k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为cm+k-1,m. 排列Pnmn为下标，m为上标 Pnm=n×n-1....n-m+1;Pnm=n!/n-m!注：!是阶乘符号;Pnn两个n分别为上标和下标=n!;0!=1;Pn1n为下标1为上标=n 组合Cnmn为下标，m为上标 Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!n-m!;Cnn两个n分别为上标和下标 =1 ;Cn1n为下标1为上标=n;Cnm=Cnn-m 加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。

排列组合方法总结

排列组合方法总结(新导航用) 1、【特殊元素、特殊位置】优先法在排列、组合问题中，如果某些元素或位置有特殊要求，则一般需要优先满足要求。例：有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为（）解析：五位奇数的末尾必须是奇数，还有首位不能为0，都应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置，先安排末位共有13C ；然后排首位共计有1 4C ；最后排其他位置共计有 34A ；由分步计数原理得.288341413=A C C 2、【相邻问题】捆绑法题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例：,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（）解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种， 3、【相离问题】插空法元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例：七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数有（）解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有2 6A 种，不同的排法种数是52563600A A =种 4、【选排问题】先选后排法从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先选后排法. 例：四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：先取:四个球中选两个为一组(捆绑法)，其余两个球各自为一组的方法有2 4C 种，再排：在四个盒中每次排3个有34A 种，故共有2344144C A =种. 5、【相同元素分配问题】隔板法将n 个相同的元素分成m 份(m,n 均为正整数)，每份至少一个元素，可以用 m-1块隔板插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为:1 1--m n C 。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵

高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(生)教学内容

高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(生)

排列组合复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有 m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有 m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4 个舞蹈,2个相声,3个独唱 ,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m n A n 一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究. 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11m n C --

两个计数原理与排列组合知识点及例题

两个计数原理与排列组合知识点及例题两个计数原理内容 1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法. 2、分步计数原理：完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法. 例题分析例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。现要配成一荤一素一汤的套餐。问可以配制出多少种不同的品种？分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤） 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 解：属于分步：第一步配一个荤菜有3种选择第二步配一个素菜有5种选择第三步配一个汤有2种选择共有N=3×5×2=30（种）例2 有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书。（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？（1）分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？ 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算。解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择第二类从下层取一本书有4种选择共有N=5+4=9（种）（2）分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？ 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择第二步从下层取一本书有4种选择共有N=5×4=20（种）例3、有1、2、3、4、5五个数字. （1）可以组成多少个不同的三位数？（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？（3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？（1）分析： 1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？（配百位数、配十位数、配个位数） 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 略解：N=5×5×5=125（个）【例题解析】 1、某人有4条不同颜色的领带和6件不同款式的衬衣，问可以有多少种不同的搭配方法？

(完整版)☆排列组合解题技巧归纳总结

排列组合解题技巧归纳总结教学内容 1. 分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有mi 种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有： N m 1 m 2 L m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m i 种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，…, 做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有： N g m 2 L m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列冋题（有序）还是组合（无序）冋题,兀素总数是多少及取出多少个兀素. 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有 C ；然后排首位共有C 1 最后排其它位置共有A 3 由分步计数原理得C 4C 3A 3 288 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二. 相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 A^A I A 2 480种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三. 不相邻问题插空策略例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？ A 3 1 3

排列组合知识点总结

排列组合二项式定理 1，分类计数原理完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同 3，组合组合定义从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合组合数从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素的所有组合个数 m n C m n C = ! !()! n m n m - 性质 m n C =n m n C - 1 1m m m n n n C C C -+=+

排列组合题型总结一．直接法 1 .特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择 25A ，其余 2位有四个可供选择 24A ，由乘法原理： 25A 24A =240 2．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有1 4A 种，余下的有 24A ，共有14A 1 4A 24A =192所以总共有192+60=252 二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法 2 435462A A A +-=252 Eg 有五张卡片，它的正反面分别写 0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数3 33352A C ??个，其中0在百位的有22 4 2?C ?22A 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数333352A C ??-22 4 2?C ?22A =432 Eg 三个女生和五个男生排成一排

高中数学排列组合题型总结与易错点提示25587汇编

排列组合复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1 m 种不同的方法，在第2类办法中有2 m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1 m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =???种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13 C C 1 4 A 3 4 C 1 3 然后排首位共有14 C 最后排其它位置共有34 A 由分步计数原理得113434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花

不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有5225 2 2 480A A A 种不同的排法乙甲丁丙练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55 A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456 A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列 ,同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端

高中数学排列组合知识点

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排列组合复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73 73/A A

排列组合归纳总结

排列、组合及二项式定理一、计数分类加法计数原理和分步乘法计数原理 → 1.分类加法计数原理定义完成一件事，可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种方法，在第二类办法中有m 2种方法，……，在第n 类办法中有种不同的方法，那么，完成这件事情共有N ＝m 1+ m 2+…种不同的方法． 2．分步乘法计数原理定义完成一件事情需要经过n 个步骤，缺一不可，做第一步有m 1种方法,做第二步有m 2种方法，……，做第n 步有种方法,那么完成这件事共有N ＝m 1 m 2…种不同的方法． 3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理区别与联系联系；都涉及完成一件事情的不同方法的种数．区别：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． 4. 分类分步标准分类就是一步到位，(1)类与类之间要互斥；（2）总数完整。分步是局部到位，（1）按事件发生的连贯过程进行分步；（2）步与步之间相互独立，互不干扰；（3）保证连续性。 → 排列与组合 1．排列（1）排列定义：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（2）排列数公式：＝A C m m m n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)或写成＝.特殊: (1)! （3）特征：有序且不重复 2.组合（1）组合定义：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素组成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．

（2）组合数公式：＝m m m n A A 或写成＝. (3)组合数的性质 ①＝； ②＝＋. （4）特征：有序且不重复 3.排列与组合的区别与联系：区别：排列有序，组合无序联系：排列可视为先组合后全排 4.基本原则：（1）先特殊后一般；（2）先选后排；（3）先分类后分步。 →排列组合的应用（常用方法：直接法，间接法） 1.抽取问题：（1）关键：特殊优先；（2）题型：① 把n 个相同的小球，一次性的放入到m 个不同的盒子中（n ≤m ），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？ ②把n 个相同的小球，依次性的放入到m 个不同的盒子中（n ≤m ），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？ ③把n 个相同的小球，放入到m 个不同的盒子中（n ≤m ），每个盒子放球数目不限，有多少种不同的方法？ ④把n 个不同的小球，放入到m 个不同的盒子中（n ≤m ），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？ ⑤把n 个相同的小球，依次性的放入到m 个不同的盒子中（n ≥m ），每个盒子至多1个，有多少种不同的方法？-1m1 隔板法 2.排序问题：特殊优先（1）排队问题： ① 对n 个元素做不重复排序;

排列组合 二项式定理总结(含知识点,试题和答案)