压轴题经典的不等式专题
经典的不等式专题
1、 证明：2221111+
...223n
+++< ； 2、 若：332a b +=，求证：2a b +≤ ；
3、 若：n N +
∈，求证：
1111...12122n n n
≤+++<++； 4、 若：,0a b >，且3ab a b =++，求：a b +的取值范围 ； 5、 若：,,a b c 是ABC ?的三边，求证：111a b c a b c
+>+++ ； 6、 当2n ≥时，求证：222111111
(12)
123n n n
-
<+++<-+ ； 7、 若x R ∈
，求y =的值域 ；
8、
求函数2cos y θ
θ=-的最大值和最小值 ；
9、 若,,0a b c >，求证：
2229a b b c c a a b c
++>+++++ ； 10、 若,,a b c R ∈，且22225a b c ++=，试求：22a b c -+的取值范围 ； 11、 若,,a b c R ∈，且226a b c --=，求222a b c ++的最小值 ；
12、 若,,a b c R ∈，且222
(1)(2)(3)11654
a b c -+-++=，求a b c ++的最大值和最小值； 13、 若,,0a b c >，,,0x y z >，且满足22225a b c ++=，222
36x y z ++=，
30ax by cz ++=，求：a b c
x y z
++++的值 ；
14、 求证：21
15
3n
k k =<∑
；（这回比较紧） 15、 当2n ≥时，求证：
12(1)3n
n
<+< ； 16、
求证：
113135135...(21)...224246246 (2)
n n ???????-++++
17、
求证：1)1...1)<++++< ； 18、 已知：0x >,求证：
ln(1)1x
x x x
<+<+ ; 19、 已知：n N +∈，求证：11111
...ln(1)1 (23)
12x n n
+++<+<++++ ； 20、 已知：2n ≥，求证：2
(1)n
n n >- ；
21、 已知：n N +
∈，求证：21111 (23212)
n
++++>- ； 22、
设：...n S =+，
求证：2(1)2(1)n n n S n +<<+ ； 23、 已知：n N +∈，求证： 111
1 (21231)
n n n <+++<+++ .
【解答】 1. 证明：222111
1+
...223n
+++< ； 1、证明：221222111111111112(1)1
n
n n n k k k k k k k k k k n ====????
=+<+=+-=+-< ???--????∑∑∑
∑. 从第二项开始放缩后，进行裂项求和. 2. 若：332a b +=，求证：2a b +< ；
2、证明：3322
()()()a b a b a b ab ab a b +=++-≥+，即：()2ab a b +≤ 则：3()6ab a b +≤，333()8a b ab a b +++≤，即：3
()8a b +≤
即：2a b +≤.
立方和公式以及均值不等式配合.
3. 若：n N +
∈，求证：
1111...12122n n n
≤+++<++； 3、由：n n n k n +≥+> (1,2,...,)k n =得：
111
2n n k n
≤<+ ， 则：111111
2n
n n
k k k n n k n
===≤<+∑∑∑， 即： 111...212n n n n n n n n ≤+++<+++
故：1
111...12122n n n
≤
+++<++ . 从一开始就放缩，然后求和.
4.若：,0a b >，且3ab a b =++，求：a b +的取值范围 ；
4、解：222
()244(3)4()12a b a b ab ab a b a b +=++≥=++=++，
令：t a b =+，则上式为：24120t t --≥. 解之得：6t ≥. 均值不等式和二次不等式. 5. 若：,,a b c 是ABC ?的三边，求证：
111a b c a b c
+>+++ ； 5、证明：构造函数()1x
f x x
=+，则在0x >时，()f x 为增函数.
所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即：a b c +>， 那么，()()f a b f c +>，即：
11a b c
a b c
+>+++ .
111111a b a b a b c a b a b a b a b c
++>+=>+++++++++. 构造函数法，利用单调性，再放缩，得到结果. 6. 当2n ≥时，求证：222111111
(12)
123n n n
-
<+++<-+ ； 6. 证明：当2n ≥时，11n n n -<<+，
都扩大n 倍得：2
(1)(1)n n n n n -<<+，
取倒数得：
2111
(1)(1)n n n n n >>-+，
裂项：21111111n n n n n ->>--+， 求和：2
22211111()()11n n n
k k k k k k k
k ===->>--+∑∑∑， 即： 2221111111 (2321)
n n n -
>+++>-+ 先放缩，裂项求和，再放缩.
7、若x R ∈
，求y =的值域 ；
7
、解：y =-=-
设：1(,22
m x =+，
1(,22n x =-， 则：4m x ?
=+ ?
，24n x ?=- ??，(1,0)m n -=
代入向量不等式：m n m n -<
-得：
1y m n m n =-≤-=，故：11y -≤≤.
这回用绝对值不等式. 8、求函数2cos y θ
θ
=
-的最大值和最小值 ；
8、解：将函数稍作变形为：
M N y == ，
设点(,)M M M x y ，点(,)N N N x y ，则(2,0)M ，(cos ,sin )N θθ-，
而点N 在单位圆上，y 就是一条直线的斜率，是过点M 和圆上点N 直线 N 点.直线与单位圆的交点的纵坐标范围 就是：11y -≤≤ .故y 的最大值是1，最小值是-1.
原本要计算一番，这用分析法，免计算了. 9、若,,0a b c >，求证：
2229a b b c c a a b c
++>+++++ 9、证明：由柯西不等式：
()()(
)2
1
11a b b c c a a b b c c a ??++?+++++≥+?? ???+++?? 即：()()21
11239a b c a b b c c a ??++?++≥=??
???+++??
即：(
)2
229a b b c c a a b c ??++≥ ?+++++??
柯西不等式.
10、若,,a b c R ∈，且22225a b c ++=，试求：22a b c -+的取值范围 ；
10、解：柯西不等式：()(
)()222222212222a b c a b c ??+-+++≥-+??； 即：()2
92522a b c ?≥-+，故：2215a b c -+≤； 所以：152215a b c -≤-+≤. 柯西不等式.
11、若,,a b c R ∈，且226a b c --=，求222
a b c ++的最小值 ；
11、解：设：(2,1,2)m =--，(,,)n x y z =，
则：2
222
2(1)(2)9m =+-+-=；
2
222n a b c =++；
22m n a b c ?=--；
代入m n m n ≥?得：()()2
222
92236a b c a b c ++≥--=；
即：222
4a b c ++≥，故：最小值为4.