鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形能力提升练习题1(附答案)

鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形能力提升练习题1（附答案）一．选择题（共10小题）

1．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠BCE＝28°，则∠D＝（）

A．28°B．38°C．52°D．62°

2．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝CD，∠ACB＝2∠ACD，则∠B的度数为（）

A．50°B．65°C．70°D．72°

3．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠ABC＝75°，则∠EAF 的度数为（）

A．60°B．65°C．70°D．75°

4．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点P，∠BAC＝∠CDB＝90°，AB＝AD＝DC．则cos∠DPC的值是（）

A．B．C．D．

5．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝，E为CD中点，连接AE，且AE＝2，∠DAE＝30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF＝（）

A．1B．3﹣C．﹣1D．4﹣2

6．如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（）

A．①②B．②④C．③④D．①③

7．已知四边形ABCD，在①AB∥CD；②AD＝BC；③AB＝CD；④∠A＝∠C四个条件中，不能推出四边形ABCD是平行四边形的条件是（）

A．①②B．①③C．①④D．②③

8．在?ABCD中，E，F是对角线AC上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形BEDF 一定为平行四边形的是

（）A．AE＝CF B．∠ABE＝∠CDF C．BF∥DE D．BE＝DF

9．如图，E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AB∥CD，BE＝DF，则下列结论

①AE＝CF，②AD＝BC，③AD∥BC，④∠BCF＝∠DAE

其中正确的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

10．下列说法中正确的是（）

A．一组对边平行的四边形是等腰梯形B．等腰梯形的两底角相等

C．同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形D．等腰梯形有两条对称轴

二．填空题（共10小题）

11．如图，在?ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°，∠BAD与∠CDA的角平分线AE、DF相交于点G，且交BC于点E、F，则图中阴影部分的面积是．

12．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM＝4，AN＝3，且∠MAN＝60°，则AB的长是．

13．如图，四边形ABCO是平行四边形，OA＝2，AB＝8，点C在x轴的正半轴上，将平行四边形ABCO绕点A顺时针旋转得到平行四边形ADEF，AD恰好经过点O，点F恰好落在x轴的负半轴上．则点D的坐标是．

14．我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“完美等腰梯形”，若一个“完美等腰梯形”的对角线长为10，且该梯形的一个内角为75°，则这个梯形的高等于．15．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝7，且AB∥DE，则三角形DEC的周长是．

16．若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14cm，则当OA ＝cm时，四边形ABCD是平行四边形．

17．四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，添加一个条件，则使四边形ABCD成为平行四边形．

18．有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为．

19．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有次．

20．一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可以是平行四边形，还可以是形．三．解答题（共8小题）

21．如图，?ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB．若AB＝6cm，AD＝10cm，试求OA，OB的长．

22．已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD、BC于E、F两点，连结BE、DF．求证：DE＝BF．

23．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E为梯形内一点，且EB＝EC，求证：EA＝ED．

24．如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC＝2，BD平分∠ABC．∠A＝60°，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．

25．如图，已知：AD为△ABC的中线，过B、C两点分别作AD所在直线的垂线段BE和CF，E、F为垂足，过点E作EG∥AB交BC于点H，连结HF并延长交AB于点P．（1）求证：DE＝DF

（2）若BH：HC＝11：5；

①求：DF：DA的值；

②求证：四边形HGAP为平行四边形．

26．如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．求证：四边形CDBF是平行四边形．

27．如图，在?ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF．

（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．

（2）若EF＝2AE＝2，∠ACB＝45°，且BE⊥AC，求?ABCD的面积．

28．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交CD于点E，∠ADC的平分线DF交AB于点F．

（1）若AD＝4，AB＝6，求BF的长．

（2）求证：四边形DEBF是平行四边形．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠BCE＝28°，则∠D＝（）

A．28°B．38°C．52°D．62°

【解答】解：∵CE⊥AB，

∴∠CEB＝90°，

∵∠BCE＝28°，

∴∠B＝62°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠D＝∠B＝62°，

故选：D．

2．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝CD，∠ACB＝2∠ACD，则∠B的度数为（）

A．50°B．65°C．70°D．72°

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC∥AD，

∴∠CAD＝∠ACB，∠D+∠BCD＝180°，

∵CD＝AC，

∴∠D＝∠CAD，

∴∠D＝∠ACB，

∵∠ACB＝2∠ACD，

∴∠D＝2∠ACD，

∴∠D+∠DCB＝5∠ACD＝180°，

∴∠ACD＝36°，

∴∠D＝72°，

在?ABCD中，∠B＝∠D＝72°，

故选：D．

3．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠ABC＝75°，则∠EAF 的度数为（）

A．60°B．65°C．70°D．75°

【解答】解：∵平行四边形ABCD中，∠ABC＝75°，

∴∠C＝105°，

又∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，

∴四边形AECF中，∠EAF＝360°﹣180°﹣105°＝75°，

故选：D．

4．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点P，∠BAC＝∠CDB＝90°，AB＝AD＝DC．则cos∠DPC的值是（）

A．B．C．D．

【解答】解：∵梯形ABCD是等腰梯形，

∴∠DAB+∠ABC＝180°，AD∥BC，

∴∠DAP＝∠ACB，∠ADB＝∠ABD，

∵AB＝AD＝DC，

∴∠ABD＝∠ADB，∠DAP＝∠ACD，

∴∠DAP＝∠ABD＝∠DBC，

∵∠BAC＝∠CDB＝90°，

∴3∠ABD＝90°，

∴∠ABD＝30°，

在△ABP中，

∵∠ABD＝30°，∠BAC＝90°，

∴∠APB＝60°，

∴∠DPC＝60°，

∴cos∠DPC＝cos60°＝．

故选：A．

5．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝，E为CD中点，连接AE，且AE＝2，∠DAE＝30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF＝（）

A．1B．3﹣C．﹣1D．4﹣2

【解答】解：如图，延长AE交BC的延长线于G，

∵E为CD中点，

∴CE＝DE，

∵AD∥BC，

∴∠DAE＝∠G＝30°，

在△ADE和△GCE中，

，

∴△ADE≌△GCE（AAS），

∴CG＝AD＝，AE＝EG＝2，

∴AG＝AE+EG＝2+2＝4，

∵AE⊥AF，

∴AF＝AG tan30°＝4×＝4，

GF＝AG÷cos30°＝4÷＝8，

过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，

则MN＝AD＝，

∵四边形ABCD为等腰梯形，

∴BM＝CN，

∵MG＝AG?cos30°＝4×＝6，

∴CN＝MG﹣MN﹣CG＝6﹣﹣＝6﹣2，

∵AF⊥AE，AM⊥BC，

∴∠F AM＝∠G＝30°，

∴FM＝AF?sin30°＝4×＝2，

∴BF＝BM﹣MF＝6﹣2﹣2＝4﹣2．

故选：D．

6．如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（）

A．①②B．②④C．③④D．①③

【解答】解：只有①③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，

∴带①③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．

故选：D．

7．已知四边形ABCD，在①AB∥CD；②AD＝BC；③AB＝CD；④∠A＝∠C四个条件中，不能推出四边形ABCD是平行四边形的条件是（）

A．①②B．①③C．①④D．②③

【解答】解：根据“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可以选①③和①④；

根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，选②③；

所以不能推出四边形ABCD为平行四边形的是①②；

故选：B．

8．在?ABCD中，E，F是对角线AC上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形BEDF 一定为平行四边形的是

（）

A．AE＝CF B．∠ABE＝∠CDF C．BF∥DE D．BE＝DF

【解答】解：如图，连接BD与AC相交于O，

在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，

要使四边形BEDF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；

A、若AE＝CF，则OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；

B、∠ABE＝∠CDF能够利用“角角边”证明△BCF和△ADE全等，从而得到CF＝AE，

然后同A，故本选项不符合题意；

C、BF∥DE能够利用“角角边”证明△BOE和△DOF全等，从而得到OE＝OF，故本

选项不符合题意；

D、若BE＝DF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；

故选：D．

9．如图，E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AB∥CD，BE＝DF，则下列结论

①AE＝CF，②AD＝BC，③AD∥BC，④∠BCF＝∠DAE

其中正确的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解答】解：∵AE∥CF，AB∥CD，

∴∠AEF＝∠CFE，∠ABE＝∠CDF，

∴∠AEB＝∠CFD，

在△ABE与△CDF中

，

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴AE＝CF，

∵BE＝DF，

∴BE+EF＝DF+EF，

即BF＝DE，

在△ADE与△CBF中

，

∴△ADE≌△CBF（SAS），

∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，∠BCF＝∠DAE

∴AD∥BC，

故选：D．

10．下列说法中正确的是（）

A．一组对边平行的四边形是等腰梯形

B．等腰梯形的两底角相等

C．同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形

D．等腰梯形有两条对称轴

【解答】解：A、一组对边平行而另一组对边相等的四边形是等腰梯形，故本选项错误；

B、等腰梯形在同一底上的两角相等，故本选项错误；

C、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，故本选项正确；

D、等腰梯形有一条对称轴，是过两底中点的中线，故本选项错误；

故选：C．

二．填空题（共10小题）

11．如图，在?ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°，∠BAD与∠CDA的角平分线AE、

DF相交于点G，且交BC于点E、F，则图中阴影部分的面积是14．

【解答】解：过G作GH⊥AD于点H，反向延长，交BC于点I．

则HI＝AB?sin B＝6×＝3，S平行四边形ABCD＝8×3＝24．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AEB，

又∵∠DAE＝∠BAE，

∴∠BAE＝∠AEB，

∴BE＝AB＝6，

同理，CF＝CD＝AB＝6，

∴EF＝BE+CF﹣BC＝6+6﹣8＝4，

∵AD∥BC，

∴△ADG∽△EFG，

∴＝＝＝2，

∴HG＝2，GI＝，

则S△ADG＝AD?HG＝×8×2＝8，

S△EFG＝EF?GI＝×4×＝2，

∴S阴影＝S平行四边形ABCD﹣S△ADG﹣S△EFG＝24﹣8﹣2＝14．

故答案是：14．

12．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM＝4，AN＝3，且∠

MAN＝60°，则AB的长是．

【解答】解：延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，如图．∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CE，

∴∠BAM＝∠CEM，∠B＝∠ECM．

∵M为BC的中点，

∴BM＝CM．

在△ABM和△ECM中，

，

∴△ABM≌△ECM（AAS），

∴AB＝CD＝CE，AM＝EM＝4，

∵N为边DC的中点，

∴NE＝3NC＝AB，即AB＝NE，

∵AN＝3，AE＝2AM＝8，且∠MAN＝60°，

∴∠AEH＝30°，

∴AH＝AE＝4，

∴EH＝＝4，

∴NH＝AH﹣AN＝4﹣3＝1，

∴EN＝＝7，

∴AB＝×7＝．

故答案为．

13．如图，四边形ABCO是平行四边形，OA＝2，AB＝8，点C在x轴的正半轴上，将平行四边形ABCO绕点A顺时针旋转得到平行四边形ADEF，AD恰好经过点O，点F恰好落在x轴的负半轴上．则点D的坐标是（3，3）．

【解答】解：作DE⊥OC于G，如图：

由题意可得：OA＝AF＝2，

∴∠AFO＝∠AOF，∵AB∥OF，∠BAO＝∠OAF，

∴∠BAO＝∠AOF，∠BAF+∠AFO＝180°，

解得，∠BAO＝60°，

∴∠DOC＝60°，

∵AO＝2，AD＝AB＝8，

∴OD＝6，

∴OG＝OD＝3，DG＝OG＝3，

∴点D的坐标为（3，3）；

故答案为：（3，3）．

14．我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“完美等腰梯形”，若一个“完美等腰梯形”的对角线长为10，且该梯形的一个内角为75°，则这个梯形的高等于5．【解答】解：如图，AB＝CD，AD∥BC，BD＝BC＝10，∠C＝75°．

作DH⊥BC于H．

∵BD＝BC，

∴∠BDC＝∠C＝75°，

∴∠DBC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，

∴DH＝BD＝5．

故答案为5

15．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝7，且AB∥DE，则三角形DEC的周长是13．

【解答】解：∵AD∥BC，AB∥DE，

∴ABED是平行四边形，

∴DE＝CD＝AB＝5，EB＝AD＝4，

∴EC＝7﹣4＝3，

则△DEC的周长＝DE+DC+EC＝5+5+3＝13．

故答案是：13．

16．若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14cm，则当OA ＝7cm时，四边形ABCD是平行四边形．

【解答】解：由题意得：当OA＝7时，OC＝14﹣7＝7＝OA，

∵OB＝OD时，

∴四边形ABCD是平行四边形，

故答案为：7．

17．四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，添加一个条件AD＝BC或AB∥CD，则使四边形ABCD成为平行四边形．

【解答】解：∵∠A+∠B＝180°，

∴AD∥BC，

∴只要添加AD＝BC或AB∥CD，四边形ABCD是平行四边形，

故答案为：AD＝BC或AB∥CD．

18．有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为AB＝2BC．

【解答】解：过A作AE⊥BC于E、作AF⊥CD于F，

∵甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，

∴AE＝2AF，

∵纸条的两边互相平行，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC＝∠ADC，AD＝BC，

∵∠AEB＝∠AFD＝90°，

∴△ABE∽△ADF，

∴，即．

故答案为：AB＝2BC

19．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有3次．

【解答】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，

∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，

∴DP＝BQ，

分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，

此时方程t＝0，此时不符合题意；

②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t，

解得：t＝4.8；

③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，

解得：t＝8；

④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t，

解得：t＝9.6；

⑤点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣48）＝12﹣t，

解得：t＝16，

此时P点走的路程为16＞AD，此时不符合题意．

∴共3次．

故答案为：3．

20．一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可以是平行四边形，还可以是等腰梯形．【解答】解：一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可以是平行四边形，还可以是等腰梯形，

故答案为：等腰梯．

三．解答题（共8小题）

21．如图，?ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB．若AB＝6cm，AD＝10cm，试求OA，OB的长．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，BC＝AD＝10cm，

∵AC⊥AB，

∴∠BAC＝90°，

∴AC＝＝8cm，

∴OA＝AC＝4cm，

∴OB＝＝＝2（cm）．

22．已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD、BC于E、F两点，连结BE、DF．求证：DE＝BF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O为对角线BD的中点，

∴BO＝DO，AD∥BC

∴∠EDB＝∠FBO，

在△EOD和△FOB中

，

∴△DOE≌△BOF（ASA），

∴DE＝BF．

23．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E为梯形内一点，且EB＝EC，求证：EA＝ED．

【解答】解：∵四边形ABCD为等腰梯形，

∴∠ABC＝∠DCB，AB＝DC，

∵EB＝EC，

∴∠EBC＝∠ECB，

∴∠ABE＝∠DCE，

在△ABE和△DCE中

，

∴△ABE≌△DCE，

∴EA＝DE．

24．如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC＝2，BD平分∠ABC．∠A＝60°，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．

【解答】解：∵DC∥AB，AD＝BC，

∴∠A＝∠ABC．

∵BD平分∠ABC，∠A＝60°，

∴∠ABD＝∠ABC＝30°．

∴∠ADB＝90°．

∵AD＝2，

∴AB＝2AD＝4．

∴BD＝．

过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G．

∵DC∥AB，BD平分∠ABC，

∴∠CDB＝∠ABD＝∠CBD．

∵BC＝2，

∴DC＝BC＝2．

在Rt△ADH和Rt△BCG中，，

∴Rt△ADH≌Rt△BCG．

∴AH＝BG．

∵∠A＝60°，

∴∠ADH＝30°．

∴AH＝AD＝1，DH＝．

∵DC＝HG＝2，

∴AB＝4．

∴梯形ABCD的面积＝．

25．如图，已知：AD为△ABC的中线，过B、C两点分别作AD所在直线的垂线段BE和CF，E、F为垂足，过点E作EG∥AB交BC于点H，连结HF并延长交AB于点P．（1）求证：DE＝DF

（2）若BH：HC＝11：5；

①求：DF：DA的值；

②求证：四边形HGAP为平行四边形．