函数及其表示.板块二.函数的表示法.学生版

题型一 求函数值

【例1】若函数()f x 满足(21)1f x x -=+，则(1)f = ．

【例2】（2006年安徽高考） 函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()

f x f x +=，若(1)5f =-，则((5))f f = ．

【例3】若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f = ．

【例4】已知函数2

2(),1x f x x R x

=∈+. （1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234

f f f f f f f ++++++.

【例5】已知,a b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++求5a b -的值．

【例6】若函数2()f x x =，则对任意实数12,x x ，下列不等式总成立的是（ ）

A ．12(

)2x x f +≤12()()2f x f x + B ．12()2x x f +<12()()2

f x f x + C ．12()2x x f +≥12()()2f x f x + D ．12()2x x f +>12()()2f x f x +

典例分析

板块二.函数的表示法

【例7】（2006．台湾）

将正整数18分解成两个正整数的乘积有：118?，29?，36?三种，又36?是这三种分解中两数的差最小的，我们称36?为18的最佳分解．当p q ?()p q ≤ 是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数()p F n q =，例如31(18)62F ==，下列有关函数()F n 的叙述，正确的序号为 （把你认为正确的序号都写上）

⑴(4)1F =；⑵3(24)8F =；⑶1(27)3

F =； ⑷若n 是一个质数，则()F n 1n

=；⑸若n 是一个完全平方数，则()1F n =

【例8】设函数3(100)(),(89).[(5)](100)x x f x f f f x x -≥?=?

+

求

【例9】（2001上海理，1）设函数f （x ）＝812,(,1]log ,(1,)x x x -?∈-∞??∈+∞??，则满足f （x ）=14的x 值为 。

【例10】（2006山东 文2）设1232,2()((2))log (1) 2.

x e x f x f f x x -??=?-≥??＜，则的值为，（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

题型二 求函数解析式

一、定义法：

【例11】设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .

人教A版数学《函数的表示法》导学案

1．2．2函数的表示法（2课时） 一．教学目标 1．知识与技能 （1）明确函数的三种表示方法； （2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数； （3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用． 2．过程与方法： 学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程． 3．情态与价值 让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法。 二．教学重点和难点 教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念． 教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象． 三．学法 学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标． 四．学习流程 （一）、知识连线 1、函数的三种表示法：__________ , __________ , __________ 。 2、什么是分段函数？分段函数表示的是_____个函数 3、设A 、B 是两个非空的_____，如果按照某种确定的_________，使对于集合A 中的___________，在集合B 中都有___________和它对应，那么就称对应f ：A →B 为_____________的一个映射。（观察：映射与函数的关系） （二）、知识演练 4、阅读分析课文中例3、4、 5、 6、7 5、练习课本P23第1，2，4题 6、 已知f ( x )= 求f ｛f [ f ( 3 1 ) ]｝的值 7、已知f ( x +1)=2x 2 -4x ，求f ( x ) x 1{ 2X (0＜x ＜1） （x ≥1）

8、设f ( 11+x )=112-x ,则f ( x )= __________ , f ( -3 )= _______ 9、若f ( x )= a x 3+cx x b +，其中a 、b 、 c 都是常数，且f (1)=10，则f ( -1)= _______ 10、画出下列函数的图像： （1） （2）y=|x-2| （3）y=x |x |+ x 11、设集合A={a ，b ，c }，B={1，0}，则从A 到B 的映射共有______个 12、在给定A →B 的映射f ：（x ，y ）→（x+y ，x-y ）下，集合A 中的元素（2，1）对应着B 中的元素______ （三）、知识提升 13、函数y=f ( x )的图像与直线x=a 有（ ）个交点 A 、1 B 、0 C 、至多有1 D 、可能有2 14、设函数f ( x )的定义域为R ，且满足下列两个条件： ①存在x 1≠ x 2，使f ( x 1 )≠ f ( x 2 )； ②对任意x ，y ∈R ，有f ( x+y )= f ( x ) f ( y )， 求f ( 0 )的值 （四）、归纳总结 1、通过本节你学习了哪些知识？ 2、在解决分段函数时应注意什么问题？ （五）、作业布置 x 1y={ x (0＜x ＜1） （x ≥1）

高一函数的表示方法

函数的表示方法 1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数； 2、 了解简单的分段函数，并能简单应用； 一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法 如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。 例如，s =602t ，A =π2 r ，2S rl π=,2)y x = ≥等等都是用解析式表示函 数关系的。 特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。 解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。 2、列表法： 通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。 例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的. 特别提醒： 列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格

常常应用到实际生产和生活中。 列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。 3、图象法： 用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。 例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。 特别提醒： 图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。 图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。 二、函数图像： 1、判断一个图像是不是函数图像的方法： 要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与x轴垂直的直线，当该直线保持与x轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数图像。 2、函数图像的作图方法大致分为两种： （1）描点作图法。步骤分三步：列表，描点，连线成图。 （2）图像变换法。利用我们熟知基本初等函数图像，将其进行平移、对成等变换，从而得到我们所求的函数图像的方法。 三、根据函数图像确定函数的定义域和值域： 1、由函数图像来确定函数的值域的方法是看函数图像在y轴上的正投影所覆盖的区域； 2、由函数图像来确定函数的定义域的方法是看函数图像在x轴上的正投影所覆盖的区域； 四、分段函数图像： 有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。由此可知，作分段函数的图像时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。

第三章 3.1 3.1.1 第二课时 函数的表示方法

第二课时函数的表示方法 课标要求 素养要求 1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图像法以及各自的优缺点. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 1.结合实例，经历函数三种表示法的抽象过程，体会三种表示法的作用，培养学生的数学抽象素养. 2.结合实例，加深对分段函数概念的理解及应用，提升逻辑推理、数学运算素养. 教材知识探究 (1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值为380千米/时.若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y 是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式. (2)如图是我国人口出生率变化曲线： (3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表 污染源距离50100200300500 氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01 问题 提示解析法、图像法和列表法. 1.函数的三种表示方法函数的定义中，对应关系有哪三种表达形式

(1)解析法：在函数y ＝f (x )中，如果f (x )是用代数式(或解析式)来表示的，这种表示函数的方法称为解析法. (2)列表法：用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法. (3)图像法 ①函数图像：一般地，将函数y ＝f (x )，x ∈A 中的自变量x 和对应的函数值y ，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x ，y )组成的集合F 称为函数的图像，即F ＝{(x ，y )|y ＝f (x )，x ∈A }. ②图像上点的坐标与函数的关系：如果F 是函数y ＝f (x )的图像，则图像上任意一点的坐标(x ，y )都满足函数关系y ＝f (x )；反之，满足函数关系y ＝f (x )的点(x ，y )都在函数图像F 上. ③图像法：用函数的图像表示函数的方法称为图像法. ④作函数图像的方法 ⅰ.描点作图法：实际作图时，经常先描出函数图像上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图像，这称为描点作图法.其步骤是列表、描点、连线. ⅱ.变换作图法 图像的变换不简单 b.对称：y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x ). 求解y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )的关系时需利用该结论. c.其他：y ＝f (x )―――――――――――――――→保留x 轴上方图像，再把x 轴下方图像翻折到上方 y ＝|f (x )|； y ＝f (x )――――――――――――――――――――――――――――――→删掉y 轴左侧的图像，保留y 轴右侧的图像， 并把y 轴右侧的图像翻折到左侧，得到y 轴左侧的图像y ＝f (|x |). 2.分段函数与常数函数

函数的几种表示方法

D C B A 1.2.2 函数的表示方法 第一课时 函数的几种表示方法 【教学目标】 1．掌握函数的三种主要表示方法 2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系 3．会画简单函数的图像 【教学重难点】 教学重难点：图像法、列表法、解析法表示函数 【教学过程】 一、复习引入： 1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？ 2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？ 3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？ 二、讲解新课：函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种. ⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式. 例如，s=602 t ，A=π2 r ，S=2rl π,y=a 2 x +bx+c(a ≠0),y= 2-x (x ≥2)等等都是用解析 式表示函数关系的. 优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数. ⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高 125 135 140 156 138 172 167 158 169 用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表 优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本 中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的. 优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质. 三、例题讲解 例1某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y （元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像 解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为 y=5x ，x ∈{1,2,3,4}.

高一数学函数的概念及表示方法

全方位教学辅导教案姓名性别年级高一 教学 内容 函数与映射的概念及其函数的表示法 重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念 教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. 5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况： 交流与沟通 针 对 性 授 课 一、函数的概念 一、复习引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的 值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做 函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数 的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1：（）是函数吗？ 问题2：与是同一函数吗？ 观察对应： 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦 求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课：

函数的表示方法1导学案人教A版必修1

1 §1.2.2 函数的表示法（1） 1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图 象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； 2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 1921 复习1： （1）函数的三要素是 、 、 . （2）已知函数21 ()1 f x x =-，则(0)f = ， 1 ()f x = ，()f x 的定义域为 . （3）分析二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式. 复习2：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明. 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：函数的三种表示方法 讨论：结合具体实例，如：二次函数解析式、股市走势图、银行利率表等，说明三种表示法及优缺点. 小结： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值. ※ 典型例题 例1 某种笔记本的单价是2元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y 元．试用三种表示法表示函数()y f x =. 变式：作业本每本0.3元，买x 个作业本的钱数y （元）. 试用三种方法表示此实例中的函数. 反思： 例1及变式的函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？ 例2 邮局寄信，不超过20g 重时付邮资0.5元，超过20g 重而不超过40g 重付邮资1元. 每封x 克（0

函数的概念与表示法

函数的概念和函数的表示法 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有 唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。 例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（ ） ① A={x x ∈Z}，B={y y ∈Z}，对应法则f ：x →y= 3 x ; ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈R}，对应法则f ：x →2y =3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2 x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ） ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①22x y +=2 1= ③ A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（ ） A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点 B.y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点 C.y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点 D.y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点 变式4.对于函数y ＝f(x)，以下说法正确的有…( ) ①y 是x 的函数 ②对于不同的x ，y 的值也不同 ③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 变式5．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( ) A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③ D ．② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） ①. y=x ②.y = ③. 2 y = ④.y=t ⑤.3 3x y = ；⑥.2x y =

函数的图象第二课时导学案2教案

函数的图象（第二课时）导学案 主备人：李丽荣 执教人： 时间：2009-11-5 学习目标：1、熟练掌握画简单函数图象的方法（列表、描点、连线）； 2、能从图象上看出重要的信息和特征； 3、结合实例培养自己数形结合的思想和读图能力． 学习重点：熟练画简单函数图象，并从中读出重要信息。 学习难点：能从函数图象中体会到函数的一些主要性质。 一、知识回顾 1、一般地，对于一个函数，如果把自变量x 与函数y 的每对对应值分别作为点的 坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的_________． 2、通过函数图象可以 地研究函数。 二、新知预习 描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步： （表中给出一些自变量的值及其对应的函数值） 第二步： （在直角坐标系中，以 的值为横坐标，相应的函数值为 ，描出表格中数值对应的点） 第三步： （按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用 的曲线或线段连接起来） 三：例题解析 1．试一试：画出y= 6 x （x>0）的图象，该函数的自变量的取值为 的实数，即正x … 0．5 1．5 2．5 3 3．5 … y … 6 2 1．5 … 曲线从左向右 ，即当x 由小变大时，y ＝ 6 x 随之 ． 2．议一议：自学课本103页---104页（思考）小组讨论后，回答后面的问题。 3．某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，它们一天生产零件y （个）与生产时间t （小时）的函数关系如图所示。 甲 乙 4 10 2 5 40 y 个

（1）根据图像填空：①甲、乙中， 先完成一天的生产任务；在生产过程中， 因机器故障停止生产 小时；②当t= 时，甲、乙生产的零件个数相等。 （2）谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数。 四、随堂练习 1、画出函数2 x y 的图象。并结合图象完成课本104页的练习3的第（2）小问。 （1） ：（2）描点和连线 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … … 2、小颖从家出发，直走了20分钟，到一个离家1000米的图书室，看了40分钟的书后，用20分钟返回到家，下图中表示小颖离家时间与距离之间的关系的是（ ) 3、(2006 湖北十堰课改)学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的（ ） 3.（2006 益阳课改）小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，途中自行车出了故 1000 x （分） 20 60 80 D ． O 1000 x （分） 20 60 75 A ． O 1000 x （分） 20 75 B ． O 1000 x （分） 60 75 C ． O 时间 Ａ． 高度 时间 Ｂ． 高度 时间 Ｃ． 高度 时间 Ｄ． 高度

人教版·数学Ⅰ_§1.2.2函数的表示法 (2)

课题：§1.2.2函数的表示法 教学目的：（1）明确函数的三种表示方法； （2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； （3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用； （4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识． 教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念． 教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象． 教学过程： 一、引入课题 1.复习：函数的概念； 2.常用的函数表示法及各自的优点： （1）解析法； （2）图象法； （3）列表法． 二、新课教学 （一）典型例题 例1．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ． 分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表． 解：（略） 注意： ○1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据； ○2解析法：必须注明函数的定义域； ○3图象法：是否连线； ○4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 巩固练习： ——————————————第 1 页（共4页）——————————————

课本P27练习第1题 例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表： 第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95 张城90 76 88 75 86 80 赵磊68 65 73 72 75 82 班平均分88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析． 分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？ 解：（略） 注意： ○1本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点； ○2本例能否用解析法？为什么？ 巩固练习： 课本P27练习第2题 例3．画出函数y = | x | ． 解：（略） 巩固练习：课本P27练习第3题 拓展练习： 任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系． 课本P27练习第3题 例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）乘坐汽车5公里以内，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． ——————————————第 2 页（共4页）——————————————

函数的基本概念及表示法

题一：定义集合{1,2,…,n }到{1,2,…,n }上的函数f ：k →i k ，k =1,2,…,n .记作：121,2,,,,,n n i i i ?? ??? . 设121,2,,,,,n n f i i i ??= ??? ，12 1,2,,,,,n n g j j j ??= ??? (这里的j 1，j 2，…，j n n j j j ,,,21 也是1,2,…,n 这n 个整数的一个排列).定义g f 12 1,2,,,,,n n i i i ??= ??? 121,2,,,,,n n j j j ?? ??? ，其中)]([)(k g f k g f = ，k =1,2,…,n ..则? ?? ? ?????? ??4,5,1,2,35,4,3,2,13,1,2,4,55,4,3,2,1= 题二：在加工爆米花的过程中，爆开且不糊的粒数占加工总数的比率称为可食用率p .它的大小主要取决于加工时间t (单位：分钟). 做了三次实验，数据记录如图所示.已知图中三个点都在函数p =－0.2t 2+bt +c 上，则由此得到的理论最佳加工时间为 分钟. 题三：3,10 ()((5)),10x x f x f f x x -≥?=?+

第五章 5.2 5.2.1 第二课时 三角函数值的符号及公式一

第二课时三角函数值的符号及公式一 课标要求素养要求 1. 能利用三角函数的定义，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. 2.通过任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等. 通过三角函数值在各象限内的符号和公式一的应用，重点提升学生的数学运算和逻辑推理素养 . 教材知识探究 地球自转会引起昼夜的交替变化，而公转引起四季交替变化，月亮圆缺变化的周期性，而三角函数值是否有“周而复始”的变化规律呢？ 问题如图，角α的终边OP绕原点O，旋转无数周后的三角函数值与α的对应的三角函数值相等吗？ 提示相等，根据任意角的三角函数的定义可得，终边相同角的同一三角函数值相等. 1.三角函数值在各象限的符号 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图). 2.公式一函数名称不变 (1)语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值相等.

(2)式子表示：???sin （α＋k ·2π）＝sin α， cos （α＋k ·2π）＝cos α，其中k ∈Z .tan （α＋k ·2π）＝tan α， (3)角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现. 教材拓展补遗 [微判断] 1.同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.(√) 2.若sin α·cos α>0，则角α为第一象限角.(×) 提示 sin α·cos α>0，则sin α，cos α同号，则α为第一、三象限角. 3.终边相同角的同名三角函数的值相等.(√) 4.sin 3>0，cos 4<0.(√) 5.sin α>0，则α为第一、二象限角.(×) 提示 α的终边位于第一、二象限或y 轴正半轴. [微训练] 1.sin 390°的值为( ) A.32 B.22 C.12 D.－12 解析 sin 390°＝sin(360°＋30°)＝sin 30°＝1 2，故选C. 答案 C 2.下列4个实数中，最小的数是( ) A.sin 1 B.sin 2 C.sin 3 D.sin 4 解析 ∵4位于第三象限，故sin 4<0，故选D. 答案 D 3.计算：sin(2π＋π6)＝________，cos 19π 3＝________. 解析 sin(2π＋π6)＝sin π6＝12，cos 19π3＝cos(6π＋π3)＝cos π3＝1 2. 答案 12 12

2019-2020学年高中数学 1.2.2《函数的表示法》导学案 新人教A版必修1.doc

2019-2020学年高中数学 1.2.2《函数的表示法》导学案 新人教A 版 必修1 姓名: 班级: 组别: 组名:____________ 【学习目标】 1、明确函数的三种表示方法，会根据不同的实际情境选择合适的方法表示函数； 2、通过具体实例，了解简单的分段函数及其应用 3、知道映射的定义； 【重点难点】 重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念 难点：分段函数的表示、求值及其图象 【知识链接】 我们在初中接触过的函数有些是用表格的形式呈现的，如小明从小学一年级至六年级每 年的身高与体重之间对应的函数关系，可以用一个表格的形式表示出来；有的可以用函数解 析式，如二次函数1232-+=x x y ；当然有的也可以用图象表示，如二次函数的图象是一条 抛物线. 【学习过程】 阅读课本19至20页的内容，尝试回答以下问题： 知识点二 分段函数 阅读课本21至22页的内容，尝试回答以下问题： 定义：例5中得出的票价与里程之间的函数关系式中对于不同范围内的x 对应不同的y 的表 达式，像这种在定义域的不同部分对应________________的函数称为分段函数. 注意：①虽然分段函数在定义域的不同部分对应不同的对应关系，但分段函数是一个函数， 不能误认为分段函数是“几个函数”； ②分段函数的定义域是各段定义域的并集 ③分段函数的值域是各段函数值域的并集 同步练习：

若函数?? ???≥<<--≤+=2,222,2,2)(2x x x x x x x f ， (1) 试求)]3([),3(),5(---f f f f 的值； (2) 若1)(=a f ，求a 的值； (3) 写出函数的定义域、值域； (4) 作出函数的图象. 知识点三 映射 阅读课本22页至23页的内容，尝试回答下列问题： 1、一般地，设B ,A 是_____________,如果按照某种确定的___________,使对于集合A 中的 ____________，在集合B 中都有______________________,那么就称____________为从集合 A 到集合 B 的一个_______.集合A 中的元素叫原象，集合B 中与A 中的元素相对应的元素 叫象. 2、与函数概念相比，在映射的概念中只是将函数概念中的__________换为____________,所 以可以说函数是一种特殊的映射，但映射不一定是函数. 同步练习：1、下列集合A 到集合B 的对应中，哪些是A 到B 的映射？ （1）B y A x x y x f B N ∈∈-=→==,,:,Z ,A 对应法则； （2）B x A x x y x f R B R A ∈∈=→==++,,1:,,； （3）{}{}B y A x x y x f B A ∈∈±=→--=--=,,,2,1,1,2,4,1,1,4：对应法则； （4）{}三角形平面内边长不同的等边=A ，{}平面内半径不同的圆=B ，对应法则 圆：作等边三角形的内切f . 2、已知在）（y x ,映射f 下的象是),(2y x y x -+，

函数的定义及表示方法

函数的定义及表示方法 1若函数()f x 满足(21)1f x x -=+，则(1)f = ． 2函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)() f x f x += ，若(1)5f =-，则((5))f f = ． 3若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f = ． 4已知函数2 2 (),1x f x x R x =∈+. （1）求1()()f x f x +的值； （2）计算：111 (1)(2)(3)(4)()()()234 f f f f f f f ++++++. 5已知,a b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++求5a b -的值 6设函数3 (100)(),(89).[(5)](100)x x f x f f f x x -≥?=? +

《函数与它的表示法》第二课时教案

5.1函数与它的表示法(2) 教材分析： 本节内容是在上节课的基础上引导学生进一步认识函数的概念和自变量的取值范围，为 今后学习反比例函数和二次函数的性质做好知识准备，对学生函数性质接受有很重要的作用，因此本节内容在教材中有着承上启下的作用． 教学设想： 本节课主要采用小组探究式、师生合作的学习方式，让学生通过观察和动手操作得到 结论．通过问题引导学生对函数的概念进行再认识，紧接着探究函数的取值范围，在探究过 程中采用小组合作交流，教师适时点拨的形式，鼓励学生大胆发言，培养学生思维的全面性．教学目标： 知识与技能：1、通过对实例的探究，进一步了解函数的概念. 2、会根据具体情境写出函数的解析式并确定自变量的取值范围. 过程与方法：经历探索确定函数自变量范围的方法，培养学生操作、归纳、推理能力，让学生接触并解决一些现实生活中的问题，逐步培养学生的应用能力． 情感态度和价值观:通过真实的、贴近学生生活的素材和适当的问题情境，激发学生学习数 学的热情和兴趣，操作活动中，培养学生的合作精神． 教学重难点： 重点：确定函数解析式及自变量的取值范围. 难点：确定自变量的取值范围. 课前准备 教具准备 PPT课件 课时安排：2课时 教学过程： 情景导入： 这节课我们进一步研究上一节课的三个例子，思考下列问题： (1)在这些问题中，自变量可以取值的范围分别是什么? (2)对于自变量在它可以取值的范围内每取一个值,另一个变量是否都有唯一确定的值与 它对应? (3)由此你对函数有了哪些进一步的认识? 【设计意图】： 通过师生相互交流可以帮助学生建立学习信心,为解决后来的问题降低了难度． 合作探究一：函数的定义 回忆七年级学的函数概念：在同一变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每—个值，y都有唯一的值与之对应，我们就把y叫做x的函数，其中x叫做自变量.

3.1.2(1)函数的表示法

邹平一中2020级高一数学导学案016 主备人：吴继崟审核人：陈亚男日期：9.25 3.1.2函数的表示法 第一课时函数的表示法 【学习目标】 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.（重点，难点） 2.尝试作图并从图象上获取有用的信息.（重点） 3.掌握求函数解析式的常见方法.（难点） 一、设计问题，创设情境 二、学生探索、尝试解决 问题1：根据初中所学知识，请判断案例(1)、(2)、(3)分别是函数的哪种表示法？问题2：三种表示法的优缺点分别是什么？

三、运用规律，解决问题 【例1】 某种笔记本的单价是5元，买x(x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元．试用函数的三种表示法表示函数y ＝f(x). 列表法： 图象法： 解析法： 【例2】 作出下列函数的图象并求出其值域． (1) y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2 x ，x ∈[2，＋∞)； (3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．

问题4：已知 ，代入法可得 。 反之，已知，如何求f(x)解析式？ 即已知f(g(x))的解析式，如何 求f(x)的解析式？ 【例3】 (1)已知 ，则f(x)＝________； (2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x +8，则f(x)＝________； (3) 已知函数f(x)对于任意的x 都有f(x)+2）x 1（ f ＝x(x≠0)，求f(x)的解析式． 练一练：已知函数f(x)对于任意的x 都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x ，则f(x)＝________. 四．信息交流，教学相长 学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？

函数的概念第二课时教学设计

函数的概念第二课时教学设计 A【教学目标】 1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准； 2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域． 3．经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。 B【教学重难点】 教学重点 能熟练求解常见函数的定义域和值域． 教学难点 对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解． C【教学过程】 1、创设情境 下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数？为什么？ （1）f(x)＝(x－1)0；g(x)＝1；（2）f(x)＝x；g(x)＝x； 、（3）f(x)＝x2；g(x)＝(x+1)2；（4）f(x)＝|x|；g(x)＝． 2、讲解新课 总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同 3、典例 例1求下列函数的定义域： （1）y?x?1?x?1；（2）y?1 x2?3?5?x2；

分析：一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合． 解：（1）由??x?1?0,?x?1,得?即x?1，故函数y?x?1?x?1的定义域是[1，??)．x?1?0,x??1,?? 2???x?3?0,?x??,（2）由?得?即?5≤x≤5且x≠±， 2???5?x?0,???x?5, 故函数的定义域是{x|?≤x≤且x≠±3}． 点评：求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的x的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个： ①分式中，分母不等于零． ②偶次根式中，被开方数为非负数． ③对于y?x0中，要求x≠0． （专业的、优秀的、实惠的教育辅导机构） y?(x?1)0 x|?xy?2x?3?1 2?x? 变式练习1求下列函数的定义域：（1）；（2）1x． ?x?1?0,?x??1,(x?1)0解（2）由?得?故函数y?是{x|x<0，且x ≠?1}．x|?x?x?0,?|x|?x?0,

函数的概念及表示方法

函数的概念及表示方法 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 数)(x y ?=的图象与直线a x =的交点个数为（ ） A 、必有1个 B 、1个或2个 C 、至多1个 D 、可能2个以上 2、 下列四组中的函数 )(x f 与)(x g ，表示相同函数的一组是（ ） A 、2)()(,)(x x g x x f == B 、1)(,11)(2-=-+=x x g x x x f C 、 x x x g x x f ==)(,)(0 D 、2)(,)(x x g x x f == 3、 下列选项正确的是（ ） （1）x x y -+-= 12可以表示函数 （2）521=-+-y x 可以表示函数（3）122=+y x 可以表示函数 （4）12=+y x 可以表示函数 A 、 （2）（4） B 、（1）（3） C 、（1）（2） D 、（3）（4） 4、下列关于分段函数的叙述正确的是（ ） （1） 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 （2）分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则，但它们是同一个函数 （3）若21,D D 分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，则Φ=21D D I A 、 （1） B 、（2）、（3） C 、（1）、（2） D 、（1）、（3） 5、设2:x x f →是集合A 到B 的映射，如果{}2,1=B ，那么B A I =( ) A 、 Φ B 、 {}1 C 、Φ 或{}2 D 、Φ或{}1 6、若函数)(x f 满足),)(()()(R y x y f x f y x f ∈+=+，则下列各项不恒成立 的是（ ） A 、0)0(=f B 、)1(3)3(f f = C 、)1(2 1)21(f f = D 、0)()(<-x f x f 7、将x y 1=的图像变换至函数23++=x x y 的图像，需先向 平移 个单位，再向 平移 个单位（ ） A 、左,2，上，1 B 、左，2，下，1 C 、右，2，上，1 D 、右，2，上，1 8、已知函数)(x f 的定义域是),(b a ，其中b>a+2,则)13()13()(+--=x f x f x f 的定义域是（ ）

高中数学《函数的表示法》导学案

1.2.2函数的表示法 第1课时函数的表示法 1．函数的表示法 (1)解析法：□1用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． (2)图象法：□2用图象表示两个变量之间的对应关系． (3)列表法：□3列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 2．对三种表示法的说明 (1)解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域． (2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点． (3)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用列表法表示．() (2)任何一个函数都可以用解析法表示．() (3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．() 答案(1)×(2)×(3)× 2．做一做 (1)函数f(x)是一次函数，若f(1)＝1，f(2)＝2，则函数f(x)的解析式是________． (2)某教师将其1周课时节次列表如下： X(星期)12345

Y (节次) 2 4 5 3 1 从这个表中看出这个函数的定义域是________，值域是________． (3)(教材改编P 23T 3)画出函数y ＝|x ＋2|的图象． 答案 (1)f (x )＝x (2){1,2,3,4,5} {2,4,5,3,1} (3) 探究1 作函数的图象 例1 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2 x ，x ∈[2，＋∞)； (2)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]． 解 (1)列表： x 2 3 4 5 … y 1 23 12 25 … 画图象，当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2 x 的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]．

函数的概念与表示法

函数的概念和函数的表示法 考点一:由函数的概念判断是否构成函数 函数概念:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的关系ｆ，使对于集合A中的任意一个数x,在集合Ｂ中都有唯一确定的数f（x）和它对应,那么就称 f:Ａ→B为从集合A到集合Ｂ的一个函数。 例１. 下列从集合A到集合Ｂ的对应关系中,能确定y是x的函数的是（ ) ①｛x x∈Ｚ},{y y∈Z}，对应法则f：x→ 3 x; ②{ｘｘ＞0∈R｝, {y y∈R},对应法则ｆ：x→2y＝3ｘ; ③, 对应法则f:x→2x; 变式1. 下列图像中,是函数图像的是（ ) ①②③④ 变式２. 下列式子能确定y是ｘ的函数的有（) ①22 x y+=2 1= Ａ、0个Ｂ、１个 C、2个 D、3个变式3．已知函数（x)，则对于直线(ａ为常数),以下说法正确的是（） A.(x）图像与直线必有一个交点（x）图像与直线没有交点 (x）图像与直线最少有一个交点(x)图像与直线最多有一个交点 变式4.对于函数ｙ=f(ｘ）,以下说法正确的有…( ) ①y是x的函数 ②对于不同的x，y的值也不同

A ．1个 B ．2个 C.３个 Ｄ.4个 变式５．设集合M ＝｛0≤x≤2}，N ＝{０≤ｙ≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合Ｍ到集合N 的函数关系的有( ) A.①②③④ B ．①②③ Ｃ.②③ D.② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例２． 下列哪个函数与相同( ） ①. x ②.y = ③． 2 y = ④ ⑤.33x y =；⑥.2x y = 变式1.下列函数中哪个与函数y ) A ． y = B ． y =-y =- D ． y x = 变式２. 下列各组函数表示相等函数的是( ） A. 29 3 x y x -=- 与 3y x =+ B. 1y = 与 1y x =- C. 0y x =（x ≠0） 与 1y =（ｘ≠0） D. 21y x =+，x ∈Z 与21y x =-,x ∈Z 变式3． 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？