2019江苏常州中考数学解析
2019年江苏省常州市初中毕业、升学考试
数学试题
（满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的） 1．（2019·江苏常州，1，2）－3的相反数是（ ）
A ．
13 B ．－1
3
C ．3
D ．－3 【答案】C ．
【解析】本题考查了相反数的定义，和为0的两个数互为相反数，由于－3＋3＝0，从而－3的相反数是3，因此本题选C ．
【知识点】实数的概念；相反数
2．（2019·江苏常州，2，2）若代数式
1
3
x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＝－1 B ．x ＝3 C ．x ≠－1 D ．x ≠3
【答案】D ．
【解析】本题考查了分式有意义的条件，只要分母不为0，分式就有意义，由x －3≠0得x ≠3，因此本题选D ． 【知识点】分式有意义的条件 3．（2019·江苏常州，3，2）下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A ．3圆柱
B ．正方体
C ．圆锥
D ．球
【答案】A
【解析】本题考查了由几何体的三视图认识几何体，因为该几何体的主视图与左视图都是矩形，所以该几何体是柱体；又因为该几何体的俯视图是圆，所以该几何体是圆柱，因此本题选A ． 【知识点】三视图 4．（2019·江苏常州，4，2）如图，在线段PA 、PB 、PC 、PD 中，长度最小的是（ ）
A ．线段PA
B ．线段PB
C ．线段PC
D ．线段PD
【答案】B
【解析】本题考查了垂线的性质及点到直线的距离，根据“垂线段最短”，易知在线段PA 、PB 、PC 、PD 中，长度最小的是PB ，因此本题选B ．
【知识点】垂线的性质；点到直线的距离
第4题图
D
C B A
P
第3题图
5．（2019·江苏常州，5，2）若△ABC ∽△A B C '''，相似比为1﹕2，则△ABC 与△A B C '''的周长的比为（ ）
A ．2﹕1
B ．1﹕2
C ．4﹕1
D ．1﹕4
【答案】B
【解析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，知△ABC 与△A B C '''的周长的比为1﹕2，因此本题选B ． 【知识点】相似三角形的性质
6．（2019·江苏常州，6，2）下列各数中与2＋3的积是有理数的是（ ）
A ．2＋3
B ．2
C ．3
D ．2－3 【答案】D
【解析】本题考查了分母有理化及二次根式的乘法法则，因数(2＋3)(2－3)＝1，因此本题选D ．
【知识点】分母有理化；二次根式的乘法法则 7．（2019·江苏常州，7，2）判断命题“如果n ＜1，那么n 2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n 可以
为（ ）
A ．－2
B ．－
12 C ．0 D ．12
【答案】A
【解析】本题考查了用举反例的方法证明一个假命题，根据反例的意义：即命题的条件成立，但命题的结论不成立的例子即可为反例，本题中由“－2＜1，而(－2)2－1＝3＞1”，从而反例中的n 可以为－2，因此本题选A ． 【知识点】命题与证明；反证法；举反例 8．（2019·江苏常州，8，2）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．
某市一天中PM2.5的值y 1（ug/m 3）随着时间t （h ）的变化如图所示，设y 2表示0到t 时PM2.5的值的极 差（即0时到t 时PM2.5的最大值与最小值的差），则y 2与t 的函数关系大致是（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．5
【答案】B
【解析】本题考查了极差的意义及函数图像的应用，将一天24小时分成三段：0≤t ≤10、10≤t ≤20、20≤t ≤24，在0≤t ≤10，y 2随t 的增大而增大；在10≤t ≤20，y 2随t 的增大而不变（恒为85－42＝43），在20≤t ≤24，y 2随t 的增大而增大，因此本题选B ． 【知识点】极差的意义；函数图像的应用
A ．
B ．
C ．
D ．
98
024y 2t
98
024y 2
t 98
024y 2
t t y 2240
98
y 1
t
10
20244285140第8题图
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位
置上）
9．（2019·江苏常州，9，2）计算：a 3÷a ＝__________． 【答案】a 2
【解析】本题考查了同底幂的除法法则：同底幂相除，底数不变，指数相减，而a 3÷a ＝a 3－
1＝a 2，因此本题答案为a 2．
【知识点】同底幂的除法法则
10．（2019·江苏常州，10，2）4的算术平方根是__________． 【答案】2
【解析】本题考查了算术平方根的定义，因为22＝4，所以4的算术平方根为2，因此本题答案为2． 【知识点】算术平方根的定义
11．（2019·江苏常州，11，2）分解因式：ax 2－4a ＝__________． 【答案】a (x ＋2)(x ＋2)
【解析】本题考查了因式分解的常用方法，根据因式分解的步骤，先提公因式，再运用公式法进行分解，ax 2－4a ＝a (x 2－4)＝a (x ＋2)(x ＋2)，因此本题答案为a (x ＋2)(x ＋2)． 【知识点】因式分解 12．（2019·江苏常州，12，2）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于__________°． 【答案】55°
【解析】本题考查了余角的定义，根据和为90°的两个角称为互为余角，∵35°＋55°＝90°，∴∠α的余角等于55°，因此本题答案为55°． 【知识点】余角的定义
13．（2019·江苏常州，13，2）如果a －b －2＝0，那么代数式1＋2a －2b 的值是__________． 【答案】5
【解析】本题考查了整式的求值问题，将条件进行转化，然后利用整体代入的方法进行求值．∵a －b －2＝0，∴a －b ＝2．∴1＋2a －2b ＝1＋2(a －b )＝1＋2×2＝5，因此本题答案为5． 【知识点】整式的求值问题；整体思想 14．（2019·江苏常州，14，2）平面直角坐标系中，点P (－3，4)到原点的距离是__________． 【答案】5
【解析】本题考查了平面内两点间的距离公式及勾股定理知识，根据两点间的距离公式或勾股定理，可求得点P (－3，4)到原点的距离是2
2
34+＝5，因此本题答案为5． 【知识点】平面内两点间的距离公式；勾股定理
15．（2019·江苏常州，15，2）若1
2x y =??=?
是关于x 、y 的二元一次方程ax ＋y ＝3的解，则a ＝__________．
【答案】1
【解析】本题考查了二元一次方程的解的定义，将1
2
x y =??=?代入方程ax ＋y ＝3，得a ＋2＝3，a ＝1，因此本题答
案为1．
【知识点】二元一次方程的解的定义
16．（2019·江苏常州，16，2）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠AOC ＝120°，则∠CDB ＝__________°．
【答案】30
【解析】本题考查了圆周角定理，∵AB 是⊙O 的直径，∠AOC ＝120°，∴∠BOC ＝60°．∴∠CDB ＝30°．因此本题答案为30．
【知识点】圆周角定理
17．（2019·江苏常州，17，2）如图，半径为3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切．连
接OC ，则tan ∠OCB ＝__________．
【答案】
3
5
． 【解析】本题考查了切线长定理、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识．设⊙O 与BC 边相切于点D ，连接OB 、OD ．由等边三角形的性质得∠ABC ＝60°，再由切线长定理易求∠OBC ＝30°，而OD ＝3，从而由tan ∠OBD
＝
OD BD ，得BD ＝3tan 30 ＝3，于是CD ＝BC －BD ＝8－3＝5．在Rt △OCD 中，由正切函数定义，得tan ∠OCB ＝
OD
CD ＝
35．因此本题答案为3
5
．
【知识点】切线长定理；等边三角形的性质；锐角三角函数
O C B
A
D
第17题答图
第17题图
O C
B
A
第16题图
O D
C
B
A
18．（2019·江苏常州，18，2）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3AB ＝310．点P 是AD 的中点，点E 在BC 上，
CE ＝2BE ，点M 、N 在线段BD 上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，则MN ＝__________．
【答案】6．
【解析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点．首先由勾股定理，求得BD ＝10，然后由“AD ＝3AB ＝310．点P 是AD 的中点，点E 在BC 上，CE
＝2BE ”，求得PD ＝
3102，CE ＝210，这样由tan ∠DEC ＝1
2
DC EC =；第四步过点P 作PH ⊥BD 于点H ，在BD 上依次取点M 、N ，使MH ＝NH ＝2PH ，于是因此△PMN 是所求符合条件的图形；第五步由△DPH ∽△DBA ，得
PH PD BA BD =
，即3
10
21010
PH =，得PH ＝3
2，于是MN ＝4PH ＝6，本题答案为6．
【知识点】矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数；压轴题
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、
演算步骤或推理过程） 19．（2019·江苏常州，19，8）计算：（1）0121
()(3)2
π-+-；（2）(x －1)(x ＋1)－x (x －1) ．
【思路分析】本题考查了实数的运算、整式的加减乘除法运算，解题的关键是按实数的运算法则与运算顺序、整式的乘法法则及加减法法则进行计算即可． 【解题过程】解：（1）原式＝1＋2－3＝0；
（2）原式＝x 2－1－x 2＋x ＝x －1． 【知识点】实数的运算；整式的加减乘除法运算 20．（2019·江苏常州，20，6）解不等式组10
38x x x
+>??
-≤-?并把解集在数轴上表示出来．
【思路分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及在数轴上表示法，解题先分别求每一个不等式的解集，然后借助数轴找它们解集的公共部分即为原不等式组的解集，另外，画出数轴按相关要求将其解集表示出来． 【解题过程】
解：不等式①的解集为x ＞－1；
不等式②的解集为：3x ＋x ≤8，
H
N
M
P E
D
C
B
A
第18题答图
第18题图
P
E
D
C
B
A
4x ≤8， x ≤2．
∴原不等式组的解集为－1＜x ≤2，在数轴上表示如下：
【知识点】一元一次不等式组的解法；不等式的解集在数轴上表示法
21．（2019·江苏常州，21，8）如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在C '处，BC '与AD 相交于
点E ．
（1）连接AC '，则AC '与BD 的位置关系是_________； （2）EB 与ED 相等吗?证明你的结论．
【思路分析】本题考查了折叠、平行四边形的性质、平行线的判定、等腰三角形的判定等知识点，连接AC '，从图形上容易看出并证明四边形ABDC '是等腰梯形，故AC '∥BD ．由折叠（轴对称性质）及平行四边形的性质、等角对等边可证明EB ＝ED ．
【解题过程】解：（1）AC '∥BD ；
（2）EB ＝ED ．理由如下：
由折叠可知∠CBD ＝∠EBD ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ．
∴∠CBD ＝∠EDB ． ∴∠EBD ＝∠EDB ． ∴EB ＝ED ．
【知识点】折叠；平行四边形的性质；平行线的判定；等腰三角形的判定
22．（2019·江苏常州，22，8）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分
学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．
（1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元； （2）求这组数据的平均数；
（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．
第21题答图
第21题图
第20题答图
-4-3-2-14
3210
【思路分析】本题考查了统计中的条形图的应用，众数、平均数的求法及用样本估计总体的统计核心思想．将条形图的四组数据相加即可样本容量；由图可知这组数据的众数为10元；利用加权平均数计算公式即可求出这组数据的平均数；最后用样本平均数去乘数据总个数即可计该校学生的捐款总数． 【解题过程】
解：（1）30，10； （2）x ＝
56101115820530?+?+?+?＝360
30
＝12（元）；
（3）∵12×600＝7200（元），
∴估计该校学生的捐款总数为7200元．
【知识点】统计中的条形图的应用；众数、平均数的求法；用样本估计总体 23．（2019·江苏常州，23，8）将图中的A 型（正方形）、B 型（菱形）、C 型（等腰直角三角形）纸片分别放在
3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中． 根据以上信息，解决下列问题：
（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中
的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）
【思路分析】本题考查了概率的求法，第（1）问用简单枚举法及概率的意义较易求出；第（2）问用列表法或画树状图法可以解决． 【解题过程】解：（1）
2
3
； （2）现画树状图如下：
由图可知共有6种等可能的结果，其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果有2种，故P (拼成
第23题答图
(C,B)
(C,A)(B,C)(B,A)(A,C)(A,B)结果：第二次：第一次：开始
A
B
C A
B
C C
B A 第23题图
1
1
1
C B
A
第22题图
11
8
6
5
20
15105
0捐款数/元
人数
的图形是轴对称图形)＝
26＝13
． 【知识点】概率的求法
24．（2019·江苏常州，24，8）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零
件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？ 【思路分析】本题考查了分式方程的应用，解题时按列分式方程解应用的步骤进行操作即可，本题的等量关系是：甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等． 【解题过程】
解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做(30－x )个零件，根据题意，得
180120
30x x
=
-，解得x ＝18． 经检验，x ＝18是原方程的解，则30－x ＝12．
答：甲、乙两人每小时分别做18个和12个零件． 【知识点】分式方程的应用
25．（2019·江苏常州，25，8）如图，在□ABCD 中，OA ＝22，∠AOC ＝45°，点C 在y 轴上，点D 是BC 的
中点，反比例函数y ＝
k
x
（x ＞0）的图像经过点A 、D ． （1）求k 的值；
（2）求点D 的坐标．
【思路分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、反比例函数等知识点．（1）如答图，延长BA 交x 轴于点F ，取OA 的中点E ，连接DE ．由OA ＝22，∠AOC ＝45°，利用等腰直角三角形的边角关系易求OF ＝AF ＝2，从而A (2，2)，并代入双曲线的解析式即可得k ＝4．（2）由中点公式，易求点E 的坐标，从而D 点的横坐标与E 点相同，在y ＝
4
x
，将点E 的横坐标代入可求y 的值，从而求出点D 的坐标． 【解题过程】
解：（1）如答图，延长BA 交x 轴于点F ，取OA 的中点E ，连接DE ，则AF ⊥x 轴于点F ． 在Rt △AOF 中，OA ＝22，∠AOC ＝45°，可得OF ＝AF ＝2，从而A (2，2)． ∵反比例函数y ＝
k
x
（x ＞0）的图像经过点A 、D ， ∴k ＝2×2＝4．
（2）∵O (0，0)，A (2，2)，
∴线段OA 的中点E 的坐标为 (1，1)．
第25题图
y
x
O D
C
B A
∵在y ＝
k
x
中，当x ＝1，y ＝4， ∴点D 的坐标为(1，4)．
【知识点】平行四边形的性质；等腰直角三角形的性质；反比例函数
26．（2019·江苏常州，26，10）
【阅读】
数学中，常对同一个量．．．．
（图形的面积、点的个数、三角形内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】
（1）如图1，两个边长分别为a 、b 、c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个梯
形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，n 行n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得到等式：n 2＝
___________________________．
【运用】
（3）n 边形有n 个顶点，在它的内部再画m 个点，以(m ＋n )点为顶点，把n 边形剪成若干个三角形，设
最多可以剪得y 个这样的三角形．当n ＝3，m ＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y ＝7．
①当n ＝4，m ＝2时，如图4，y ＝______；当n ＝5，m ＝_______时，y ＝9；
②对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，通过归纳思想，可得y ＝__________（用含m 、n 的代
数式表示）．请对同．一个量．．．
用算两次的方法说明你的猜想成立． 图26—1
a
b
c c
b
a
图26—2
第25题答图
F
E y
x
O
D C
B
A
【思路分析】本题考查了勾股定理的验证、数列的求和公式推导、规律探究等知识点．（1）利用梯形面积的两种不同的计算方式，得到关于直角三角形三边a 、b 、c 的数量关系：a 2＋b 2＝c 2，从而得到结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．（2）根据图2中n 行n 列个点的计算方式，得到n 2＝1＋3＋5＋…＋2n －1（n 为正整数）．（3）先观察图3和图4，不难解决第①问；②利用多边形的内角和公式，得到在n 边形内有不共线的m 个点，最多能剪出y 个三角形，这些y 个三角形的内角和的总和为(180y )°，也等于n 边形的内角和与m 个周角的和，即可得到y 与m 、n 的数量关系式． 【解题过程】
解：（1）∵S 梯形＝
12(a ＋b )(a ＋b )＝1
2
(a 2＋2ab ＋b 2)， 又∵S 梯形＝2×12ab ＋1
2
c 2，
∴12(a 2＋2ab ＋b 2)＝2×12ab ＋1
2
c 2． ∴a 2＋2ab ＋b 2＝2ab ＋c 2． ∴a 2＋b 2＝c 2．
结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
（2）1＋3＋5＋…＋2n －1（n 为正整数）． （3）①6，3；
②n ＋2m －2，理由如下：如答图，在n 边形内有不共线的m 个点，最多能剪出y 个三角形，这些y 个三角形的内角和的总和为(180y )°，也等于n 边形的内角和与m 个周角的和，即180°?(n －2)＋m ?360°，故180y ＝180(n －2)＋360 m ，故y ＝n ＋2m －2．
【知识点】勾股定理的验证；数列的求和公式推导；规律探究；阅读理解题 27．（2019·江苏常州，27，10）如图，二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图像与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，
点A 坐标为(－1，0)，点D 为OC 的中点，点P 在抛物线上． （1）b ＝_____；
（2）若点P 在第一象限，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，PH 与BC 、BD 分别交于点M 、N ．是否存在这
样的点P ，使得PM ＝MN ＝NH ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P 的横坐标小于3，过点P 作PQ ⊥BD ，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且S △PQB ＝2S △QRB ，
求点P 的坐标．
第26题答图
图26—3 图26—
4
【思路分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到的知识点有：用待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法、相似三角形的性质与判定等．（1）直接将点A坐标代入抛物线解析式，得到关于b的一元一次方程，
解之即可；（2）先求直线BC、BD的解析式，然后令P(m，－m2＋2m＋3)，则M(m，－m＋3)、N(m，－1
2
m＋
3
2
)，
再利用PM＝MN＝NH，得到m的一元二次方程解之即可锁定符合条件的点P坐标；（3）如答图2，过点P作PK ⊥AB于点K，过点Q作QJ⊥AB于点J，则PK∥QJ．通过面积关系及相似三角形知识，将问题转化为点P的纵坐标为点Q纵坐标3倍关系，最后利用坐标法仿照（2）得到符合条件的点P的坐标．
【解题过程】
解：（1）∵二次函数y＝－x2＋bx＋3的图像过点A(－1，0)，
∴0＝－(－1)2－b＋3．
∴b＝2．
（2）如答图1，连接BD、BC，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC、BD分别于点M、N．
∵抛物线y＝－x2＋2x＋3交x轴于点A(－1，0)、B(3，0)，交y轴于点C(0，3)，且点D为OC
的中点，
∴D(0，3
2 )．
易求直线BC的解析式为y＝－x＋3，直线BD的解析式为y＝－1
2
x＋
3
2
．
假设存在符合条件点P(m，－m2＋2m＋3)，则M(m，－m＋3)、N(m，－1
2
m＋
3
2
)．
∵PM＝MN＝NH，
∴－1
2
m＋
3
2
＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)．
J K
R
Q
P
x
O
D
C
B
A
y
第27题答图2
H
N
M
P
x
O
D
C
B
A
y
第27题答图1
第27题图第27题备用图
x
O
D
C
B
A
y
x
O
D
C
B
A
y
整理，得2m 2－7m ＋3＝0，解得m 1＝1
2
，m 2＝3（不合题意，舍去）． ∴P (
12，15
4
)即为所求的符合条件的点． （3）如答图2，过点P 作PK ⊥AB 于点K ，过点Q 作QJ ⊥AB 于点J ，则PK ∥QJ ． ∵过点P 作PQ ⊥BD ，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且S △PQB ＝2S △QRB ， ∴PQ ＝2QR ，从而PR ＝3QR ． ∵PK ∥QJ ，
∴△RQJ ∽△RPK ．
∴
1
3
QJ RQ PK RP ==． ∴PK ＝3QJ ．
设P (n ，－n 2＋2n ＋3)，由BD 的解析式为y ＝－
12x ＋3
2
，且直线PQ ⊥BD ，可令直线PQ 的解析式为y ＝2x ＋t ，则－n 2＋2n ＋3＝2n ＋t ，解得t ＝3－n 2，于是，PQ ：y ＝2x ＋3－n 2．
由2132223y x y x n ?=-+???=+-?，解得222355
1955x n y n ?
=-???
?=-+??
，从而Q (22355n -，21955n -+)．由PK ＝3QJ ，得－n 2＋2n ＋3＝3(21
9
55
n -+
)，整理，得n 2－5n ＋6＝0，解得n 1＝2，n 2＝3（舍去）． 当n ＝2时，－n 2＋2n ＋3＝3，故P (2，3)即为所求的点．
【知识点】二次函数的综合应用；用待定系数法求函数解析式；一元二次方程的解法；相似三角形的性质与判定；压轴题
28．（2019·江苏常州，28，10）已知平面图形S ，点P 、Q 是S 上任意两点，我们把线段PQ 的长度的最大值称
为平面图形S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度． （1）写出下列图形的宽距：
①半径为1的圆：________；
②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形”：________；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A (－1，0)、B (1，0)，C 是坐标平面内的点，连接AB 、BC 、
CA 所形成的图形为S ，记S 的宽距为d ．
①若d ＝2，用直尺和圆规画出点C 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；
②若点C 在⊙M 上运动，⊙M 的半径为1，圆心M 在过点(0，2)且与y 轴垂直的直线上．对于⊙M
上的任意点C ，都有5≤d ≤8，直接写出圆心M 的横坐标x 的取值范围．
【思路分析】本题考查了新定义问题、点到圆的最大距离、扇形的面积、尺规作图、动态问题、探究问题等内容．（1）
易知直径是圆有最大的弦；在“窗户形”图形中，中利用点到圆的最大距离的线段在点与圆心的连心线上找，据
B A
x
y O
1
-11-1
图28—2
图28—1
此可求该图形的宽距．（2）解答本问的两个问题都遵循“一找二求”原则：找出符合条件的图形，再根据条件求相应结论．具体思路参照答图2至答图4，充分利用数形结合思想与分类思想，并利用勾股定理进行求解即可． 【解题过程】
解：（1）①2（直径是圆的宽距）；
②5＋1．（如答图1，点A 与半圆圆心的连线与半圆相交于点D ，则AD 的长最大）
（2）①如答图2所示，分别以A 、B 为圆心，以AB 为半径所作的圆心角为120°的两条弧所形成的
阴影部分即为点C 所在的区域．
S 阴影＝2(21202360π?－12312??)＝8233
π
-．
②23－1≤x ≤35－1或1－35≤x ≤1－23．
【知识点】新定义问题；点到圆的最大距离；扇形的面积；尺规作图；动态问题；探究问题；压轴题
第28题答图3 第28题答图4
A
B O
x
y
M
C
N N C
M
y
x
O
B
A
O
D
C
B
A
第28题答图1
第28题答图2
B A x
y
O 1
-1
1-1
2019-2020年中考数学试题及答案试题
2019-2020年中考数学试题及答案试题 一、选择题（2分×12=24分） 1．如果a 与-2互为倒数，那么a 是（ ）A 、-2 B 、-21 C 、2 1 D 、 2 2．比-1大1的数是 （ ）A 、-2 B 、-1 C 、0 D 、1 3．计算：x 3·x 2的结果是 （ ）A 、x 9 B 、x 8 C 、x 6 D 、x 5 4．9的算术平方根是 （ ）A 、-3 B 、3 C 、± 3 D 、81 5．反比例函数y= -x 2的图象位于 （ ） A 、第一、二象限 B 、第一、三象限 C 、第二、三象限 D 、第二、四象限 6．二次函数y=(x-1)2+2的最小值是 （ ）A 、-2 B 、2 C 、-1 D 、1 7．在比例尺为1：40000的工程示意图上，将于2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm,它的实际长度约为（ ） A 、0.2172km B 、2.172km C 、21.72km D 、217.2km 8.下列四个几何体中，主视图、左视图与俯视图是全等图形的几何体是（ ） A 、球 B 、圆柱 C 、三棱柱 D 、圆锥 9．如图，在⊿ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB 的值是（ ） A 、43 B 、34 C 、53 D 、54 10．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上 的概率是（ ） A 、41 B 、21 C 、4 3 D 、1 11．如图，身高为1.6m 的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 到A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=3.2m ,CA=0.8m, 则树的高度为（ ） A 、4.8m B 、6.4m C 、8m D 、10m 12.右图是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图。 根据统计图，下面对全年食品支出费用判断正确的是（ ） A 、甲户比乙户多 B 、乙户比甲户多 C 、甲、乙两户一样多 D 、无法确定哪一户多 二、填空题（3分×4=12 分） 13．10在两个连续整数a 和b 之间，a<10 D C B A A 重庆市2019年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（B卷） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为( a2 b -, a4 b ac 42 - )，对称轴公式为x= a2 b -. 一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分） 1.5的绝对值是（） A、5； B、-5； C、 5 1 ；D、 5 1 -. 提示：根据绝对值的概念.答案A. 2.如图是一个由5个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（） .答案D. 3.下列命题是真命题的是（） A、如果两个三角形相似，相似比为4︰9，那么这两个三角形的周长比为2︰3； B、如果两个三角形相似，相似比为4︰9，那么这两个三角形的周长比为4︰9； C、如果两个三角形相似，相似比为4︰9，那么这两个三角形的面积比为2︰3； D、如果两个三角形相似，相似比为4︰9，那么这两个三角形的面积比为4︰9. 提示：根据相似三角形的性质.答案B. 4.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C=40°， 则∠B的度数为（） A、60°； B、50°； C、40°； D、30°. 提示：利用圆的切线性质.答案B. 5.抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是（） A、直线x=2； B、直线x=-2； C、直线x=1； D、直线x=-1. 提示：根据试卷提供的参考公式.答案C. 6.某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（） A、13； B、14； C、15； D、16. 提示：用验证法.答案C. 7.估计10 2 5? +的值应在（） A、5和6之间； B、6和7之间； C、7和8之间； D、8和9之间. 提示：化简得5 3.答案B. 8.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是-2，若输入x 的值是-8，则输出y A、5； B、10； C、 提示：先求出b.答案C. 1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC; (2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠E DC=∠F BC ，DE=BF ，试判断△E CF 的形 状，并证明你的结论； (3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值. [解析] （1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M, 则AM=BC=2. 又tan ∠ADC=2,所以2 12 DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形. 证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以，△DEC ≌△BFC 所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠. 所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=? 即△ECF 是等腰直角三角形. （3）设BE k =,则2CE CF k ==，所以EF =. 因为135BEC ∠=?，又45CEF ∠=?，所以90BEF ∠=?. 所以3BF k = = 所以1sin 33 k BFE k ∠= =. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． [解析] （1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝ 21AB ，CF ＝2 1 CD ． ∴AE ＝CF ∴△ADE ≌△CBF ． （2）当四边形BEDF 是菱形时， 四边形 AGBD 是矩形． E B F C D A 重庆市2020年中考数学试卷（B卷） 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）（共12题；共48分） 1.5的倒数是（） A. 5 B. C. ﹣5 D. ﹣ 2.围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（） A. 长方体 B. 圆柱体 C. 球体 D. 圆锥体 3.计算a?a2结果正确的是（） A. a B. a2 C. a3 D. a4 4.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB.若∠B＝35°，则∠AOB的度数为（） A. 65° B. 55° C. 45° D. 35° 5.已知a+b＝4，则代数式1+ + 的值为（） A. 3 B. 1 C. 0 D. ﹣1 6.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心.已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（） A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：5 7.小明准备用40元钱购买作业本和签字笔.已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8.下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 9.如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE 的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（） （参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93） A. 23米 B. 24米 C. 24.5米 D. 25米 10.若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程+ ＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（） A. ﹣1 B. ﹣2 C. ﹣3 D. 0 11.如图，在△ABC中，AC＝2 ，∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD.过点A作AE，使∠DAE＝∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（） A. B. 3 C. 2 D. 42019年重庆市中考数学B卷(含答案)
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