高考数学模拟复习试卷试题模拟卷180

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【高频考点解读】

1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．

2.理解全称量词与存在量词的意义．

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

【热点题型】

题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断

例1、(1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()

A．(p)∨(q)B．p∨(q)

C．(p)∧(q) D．p∨q

(2)如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论：

①命题“p且q”是真命题；

②命题“p且q”是假命题；

③命题“p或q”是真命题；

④命题“p或q”是假命题．

其中正确的结论是()

A．①③ B．②④C．②③ D．①④

【提分秘籍】

(1)“p∨q”、“p∧q”、“p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：①明确其构成形式；②判断其中命题p、q的真假；③确定“p∨q”、“p∧q”、“p”形式命题的真假．

(2)p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”．

【举一反三】

已知命题p：?x0∈R，使sin x0＝

5

2；命题q：?x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：

①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∨q”是真命题；③命题“p∨q”是假命题；④命题“p∧q”是假命题．其中正确的是()

A．②③B．②④

C．③④ D．①②③

题型二全称命题、特称命题的真假判断

例2 下列命题中，真命题是()

A ．?m0∈R ，使函数f(x)＝x2＋m0x(x ∈R)是偶函数

B ．?m0∈R ，使函数f(x)＝x2＋m0x(x ∈R)是奇函数

C ．?m ∈R ，函数f(x)＝x2＋mx(x ∈R)都是偶函数

D ．?m ∈R ，函数f(x)＝x2＋mx(x ∈R)都是奇函数 【提分秘籍】

(1)①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p(x)成立．②要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x0，使p(x0)不成立即可．

(2)要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．

【举一反三】

下列命题中是假命题的是( )

A ．?x ∈?

??

?0，π2，x>sin x

B ．?x0∈R ，sin x0＋cos x0＝2

C ．?x ∈R,3x>0

D ．?x0∈R ，lg x0＝0

题型三含有一个量词的命题否定

例3、命题“对任意x ∈R ，都有x2≥0”的否定为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x2<0 B ．不存在x ∈R ，使得x2<0 C ．存在x0∈R ，使得x20≥0 D ．存在x0∈R ，使得x20<0 【提分秘籍】

全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．

【举一反三】

设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题p ：?x ∈A,2x ∈B ，则() A ．p ：?x ∈A,2x ?B B ．p ：?x ?A,2x ?B

C ．綈p ：?x ?A,2x ∈B

D ．綈p ：?x ∈A,2x ?B

【高考风向标】

1.【高考山东，文5】设m R ∈,命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是( ) （A ）若方程20x x m +-=有实根，则0m > (B) 若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤ (C) 若方程20x x m +-=没有实根，则0m > (D) 若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤

2.【高考湖北，文3】命题“0(0,)x ?∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ?∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ??+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ?∈+∞，ln 1x x ≠-

D ．(0,)x ??+∞，ln 1x x =-

1．（·安徽卷） 命题“?x ∈R ，|x|＋x2≥0”的否定是( ) A ．?x ∈R ，|x|＋x2<0 B ．?x ∈R ，|x|＋x2≤0 C ．?x0∈R ，|x0|＋x20<0 D ．?x0∈R ，|x0|＋x20≥0

2．（·福建卷） 命题“?x ∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( ) A ．?x ∈(－∞，0)，x3＋x<0 B ．?x ∈(－∞，0)，x3＋x≥0 C ．?x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0 D ．?x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0

3．（·湖北卷） 命题“?x ∈R ，x2≠x”的否定是( ) A ．?x ∈/R ，x2≠x B ．?x ∈R ，x2＝x C ．?x0∈/R ，x20≠x0 D ．?x0∈R ，x20＝x0

4．（·湖南卷） 设命题p ：?x ∈R ，x2＋1＞0，则綈p 为( ) A ．?x0∈R ，x20＋1＞0 B ．?x0∈R ，x20＋1≤0 C ．?x0∈R ，x20＋1＜0 D ．?x ∈R ，x2＋1≤0

5．（·天津卷） 已知命题p ：?x>0，总有(x ＋1)ex>1，则綈p 为( ) A ．?x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1 B. ?x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1

C. ?x ＞0，总有(x ＋1)ex≤1

D. ?x≤0，总有(x ＋1)ex≤1

6.（·新课标全国卷Ⅰ] 已知命题p ：x ∈，2x ＜3x ；命题q ：?x ∈，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )

A ．p ∧q

B ．?p ∧q

C ．p ∧?q

D ．?p ∧?q

7．（·重庆卷） 命题“对任意x ∈R ，都有x2≥0”的否定为( ) A ．存在x0∈R ，使得x20<0 B ．对任意x ∈R ，都有x2<0 C ．存在x0∈R ，使得x20≥0 D ．不存在x ∈R ，使得x2<0 【高考押题】

1．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cosx 的图象关于直线x ＝π

2对称．则下列判断正确的是( )

A ．p 为真

B ．q 为假

C ．p ∧q 为假

D ．p ∨q 为真

2．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )

A ．?p ∨q

B ．p ∧q

C ．?p ∧?q

D ．?p ∨?q 3．下列命题中的假命题是( ) A ．?x ∈R ，sinx ＝5

2B ．?x ∈R ，log2x ＝1 C ．?x ∈R ，(1

2)x>0D ．?x ∈R ，x2≥0

4．已知命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p 为( ) A ．所有的指数函数都不是单调函数 B ．所有的单调函数都不是指数函数 C ．存在一个指数函数，它不是单调函数 D ．存在一个单调函数，它不是指数函数

5．已知集合M ＝{x|0

6．下列结论正确的个数是( )

①已知复数z ＝i(1－i)，z 在复平面内对应的点位于第四象限； ②若x ，y 是实数，则“x2≠y2”的充要条件是“x≠y 或x≠－y”；

③命题p ：“?x0∈R ，x20－x0－1>0”的否定綈p ：“?x ∈R ，x2－x －1≤0”； A ．3B ．2C ．1D ．0

7．已知命题p ：?x ∈R ，x －2>lgx ，命题q ：?x ∈R ，x2>0，则( ) A ．p ∨q 是假命题B ．p ∧q 是真命题 C ．p ∧(?q)是真命题D ．p ∨(綈q)是假命题 8．下列结论正确的是( )

A ．若p ：?x ∈R ，x2＋x ＋1<0，则?p ：?x ∈R ，x2＋x ＋1<0

B ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 也为真命题

C ．“函数f(x)为奇函数”是“f(0)＝0”的充分不必要条件

D ．命题“若x2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题为真命题 9．已知命题p ：x2＋2x －3>0；命题q ：1

3－x

>1，若“?q 且p”为真，则x 的取值范围是____________________．

10．下列结论：

①若命题p ：?x ∈R ，tanx ＝1；命题q ：?x ∈R ，x2－x ＋1>0.则命题“p ∧(?q)”是假命题； ②已知直线l1：ax ＋3y －1＝0，l2：x ＋by ＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是a

b ＝－3；

③命题“若x2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x≠1，则x2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．

11．给定两个命题，命题p ：对任意实数x 都有ax2>－ax －1恒成立，命题q ：关于x 的方程x2－x ＋a ＝0有实数根．若“p ∨q”为真命题，“p ∧q”为假命题，则实数a 的取值范围是________．

12．已知c>0，且c≠1，设p ：函数y ＝cx 在R 上单调递减；q ：函数f(x)＝x2－2cx ＋1在???

?12，＋∞上为增函数，若“p 且q”为假，“p 或q”为真，求实数c 的取值范围．

13．已知c>0，设命题p ：函数y ＝cx 为减函数．命题q ：当x ∈????12，2时，函数f(x)＝x ＋1x >1c 恒成

立．如果“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，求c 的取值范围．

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【高频考点解读】 1.理解等差数列的概念；

2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；

4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 【热点题型】

题型一 等差数列基本量的运算

例1、(1)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n ∈N*有2an ＋1＝1＋2an ，则数列{an}前10项的和为( )

A ．2

B ．10C.52D.5

4

(2)(·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，Sm －1＝－2，Sm ＝0，Sm ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 (1)C (2)C

【提分秘籍】

(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a1，an ，d ，n ，Sn ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．

(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．

【举一反三】

(1)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于( ) A ．12B ．13C ．14D ．15

(2)记等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝1

2，S4＝20，则S6等于( ) A ．16B ．24C ．36D ．48

(3)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足S33－S2

2＝1，则数列{an}的公差是( ) A.1

2B ．1C ．2D ．3 答案 (1)B (2)D (3)C 解析 (1)由题意得S5＝5

a1＋a5

2

＝5a3＝25，故a3＝5，公差d ＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d ＝3＋5×2＝13.

(2)∵S4＝2＋6d ＝20，∴d ＝3，故S6＝3＋15d ＝48. (3)∵Sn ＝n a1＋an 2，∴Sn n ＝a1＋an 2，又S33－S2

2＝1， 得

a1＋a32－a1＋a2

2＝1，即a3－a2＝2，

∴数列{an}的公差为2.

题型二 等差数列的性质及应用

例2、(1)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( ) A ．63B ．45C ．36D ．27

(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )

A ．13

B ．12

C ．11

D ．10

(3)已知Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a1＝－，S －S

＝6，则S ＝________. 答案 (1)B (2)A (3)

解析 (1)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列． 即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.

【提分秘籍】

在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；{Sn

n}也是等差数列．等差数列的

性质是解题的重要工具．

【举一反三】

(1)设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于()

A．14B．21C．28D．35

(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.

答案(1)C(2)60

解析(1)∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，

∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.

(2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，

∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，

∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.

题型三等差数列的判定与证明

例3、已知数列{an}中，a1＝3

5，an＝2－

1

an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝

1

an－1(n∈N*)．

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．

(1)证明因为an＝2－1

an－1(n≥2，n∈N*)，

bn ＝1

an －1

(n ∈N*)，

所以bn ＋1－bn ＝1an ＋1－1－1

an －1

＝

12－1an －1

－1an －1＝an an －1－1

an －1

＝1. 又b1＝1a1－1

＝－5

2.

所以数列{bn}是以－5

2为首项，1为公差的等差数列． (2)解 由(1)知bn ＝n －7

2， 则an ＝1＋1bn ＝1＋2

2n －7.

设f(x)＝1＋2

2x －7

，

则f(x)在区间(－∞，72)和(7

2，＋∞)上为减函数．

所以当n ＝3时，an 取得最小值－1，当n ＝4时，an 取得最大值3. 【提分秘籍】

等差数列的四个判定方法：

(1)定义法：证明对任意正整数n 都有an ＋1－an 等于同一个常数．

(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2an ＋1＝an ＋an ＋2后，可递推得出an ＋2－an ＋1＝an ＋1－an ＝an －an －1＝an －1－an －2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．

(3)通项公式法：得出an ＝pn ＋q 后，得an ＋1－an ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．

(4)前n 项和公式法：得出Sn ＝An2＋Bn 后，根据Sn ，an 的关系，得出an ，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．

【举一反三】

(1)若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n －1＋2a2n}是( ) A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列

(2)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝12，2an ＋1＝1an ＋1

an ＋2(n ∈N*)，则该数列的通项为( )

A ．an ＝1n

B ．an ＝2

n ＋1

C ．an ＝2n ＋2

D ．an ＝3

n

答案 (1)C (2)A

【高考风向标】

【高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则

10a =（）

（A ）

172（B ）19

2

（C ）10（D ）12 【答案】B

【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +??=+??，解得1a =1

2

，∴101119

9922

a a d =+=

+=，故选B. 【高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为，则该数列的首项为________ 【答案】5

【解析】若这组数有21n +个，则11010n a +=，212015n a +=，又12112n n a a a +++=，所以15a =； 若这组数有2n 个，则1101022020n n a a ++=?=，22015n a =，又121n n n a a a a ++=+，所以15a =； 故答案为5

【高考福建，文16】若,a b 是函数()()2

0,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2

a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．

【答案】9

【高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且

1221a a +=，则1a =，d =．

【答案】

2,13

- 【解析】由题可得，2

111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即

131a d +=，所以121,3

d a =-=

. 1．（·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.

【答案】1

【解析】因为数列{an}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列．又 a1＋1，a3＋3，a5＋5构为公比为q 的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5为常数列，故q ＝1.

2．（·北京卷）若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n ＝________时，{an}的前n 项和最大．

【答案】8

【解析】∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a8>0，a9<0，∴n ＝8时，数列{an}的前n 项和最大．

3．（·福建卷）等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 【答案】C

【解析】设等差数列{an}的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得S3＝3×2＋3×2

2d ＝12，解得d ＝2，则a6＝a1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12.

4．（·湖北卷）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式．

(2)记Sn 为数列{an}的前n 项和，是否存在正整数n ，使得Sn>60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．

【解析】(1)设数列{an}的公差为d ， 依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，

化简得d2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，an ＝2；

当d ＝4时，an ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.

从而得数列{an}的通项公式为an ＝2或an ＝4n －2.

5．（·湖南卷）已知数列{an}满足a1＝1，|an ＋1－an|＝pn ，n ∈N*. (1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p 的值；

(2)若p ＝1

2，且{a2n －1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式． 【解析】(1)因为{an}是递增数列，所以an ＋1－an ＝|an ＋1－an|＝pn.而a1＝1，因此

a2＝p ＋1，a3＝p2＋p ＋1.又a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，因而3p2－p ＝0，解得p ＝1

3

或p ＝0.

当p ＝0时，an ＋1＝an ，这与{an}是递增数列矛盾，故p ＝1

3.

(2)由于{a2n －1}是递增数列，因而a2n ＋1－a2n －1>0，于是(a2n ＋1－a2n)＋(a2n －a2n －1)>0.① 因为122n <122n －1

，所以|a2n ＋1－a2n|<|a2n －a2n －1|.②

由①②知，a2n －a2n －1>0，因此a2n －a2n －1＝???

?122n －1＝（－1）2n

22n －1

.③

因为{a2n}是递减数列，同理可得，a2n ＋1－a2n<0，故a2n ＋1－a2n ＝－????122n

＝（－1）2n ＋1

22n

.④ 由③④可知，an ＋1－an ＝

（－1）n ＋1

2n

. 于是an ＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an －an －1)＝1＋12－1

22＋…＋（－1）n 2n －1

＝1＋

12·

1－???

?－12n －1

1＋12

＝43＋13·（－1）n

2n －1

.

故数列{an}的通项公式为an ＝43＋13·（－1）n

2n －1

.

6．（·辽宁卷）设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( ) A ．d<0 B ．d>0 C ．a1d<0 D ．a1d>0 【答案】C

【解析】令bn ＝2a1an ，因为数列{2a1an}为递减数列，所以bn ＋1bn ＝2a1an ＋1

2a1an ＝2a1(an ＋1－an)＝2a1d<1，所得a1d<0.

7．（·全国卷）等差数列{an}的前n 项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式；

(2)设bn ＝1anan ＋1

，求数列{bn}的前n 项和Tn.

8．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，an≠0，anan ＋1＝λSn －1，其中λ为常数．

(1)证明：an ＋2－an ＝λ.

(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．

9．（·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn ，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn ＝(－1)n －14n anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.

【解析】 (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋2×1

2×2＝2a1＋2， S4＝4a1＋4×3

2×2＝4a1＋12，

由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1， 所以an ＝2n －1. (2)由题意可知， bn ＝(－1)n －14n

anan ＋1

＝(－1)n －14n

（2n －1）（2n ＋1）

＝(－1)n －1????1

2n －1＋12n ＋1.

当n 为偶数时，

Tn ＝????1＋13－????13＋15＋…＋??12n －3＋

??12n －1－????12n －1＋12n ＋1

＝1－12n ＋1

＝2n

2n ＋1

. 当n 为奇数时，

Tn ＝

????1＋13－????13＋15＋…－????12n －3＋12n －1＋????12n －1＋12n ＋1 ＝1＋1

2n ＋1

＝2n ＋2

2n ＋1

. 所以Tn ＝?????2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n

2n ＋1，n 为偶数.? ????

或Tn ＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋1 10．（·陕西卷）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C)； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．

11．（·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．

【答案】－1

2

【解析】∵S2＝2a1－1，S4＝4a1＋4×3

2×(－1)＝4a1－6，S1，S2，S4成等比数列， ∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－1

2.

12．（·重庆卷）设a1＝1，an ＋1＝a2n －2an ＋2＋b(n ∈N*)． (1)若b ＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．

(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a2n

(an ＋1－1)2＝(an －1)2＋1.

从而{(an －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(an －1)2＝n －1，即an ＝n －1＋1(n ∈N*)． 方法二：a2＝2，a3＝2＋1.

可写为a1＝1－1＋1，a2＝2－1＋1，a3＝3－1＋1.因此猜想an ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式． 当n ＝1时，结论显然成立．

假设n ＝k 时结论成立，即ak ＝k －1＋1，则

ak ＋1＝（ak －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1， 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以an ＝n －1＋1(n ∈N*)．

(2)方法一：设f(x)＝（x －1）2＋1－1，则an ＋1＝f(an)． 令c ＝f(c)，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14. 下面用数学归纳法证明命题 a2n

当n ＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝2－1，所以a2<1

4f(a2k ＋1)>f(1)＝a2，即 1>c>a2k ＋2>a2.

再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f(c)

故c

4使a2n

即0≤ak ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立． 再证：a2n

当n ＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(a2)＝f(0)＝2－1，所以a2f(a2k ＋1)＝a2k ＋2， a2(k ＋1)＝f(a2k ＋1)

这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N*成立． 由②得a2n

又由①②及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得f(a2n)>f(a2n ＋1)，即a2n ＋1>a2n ＋2. 所以a2n ＋1>a22n ＋1－2a2n ＋1＋2－1，解得a2n ＋1>1

4.④ 综上，由②③④知存在c ＝1

4使a2n

13．（·新课标全国卷Ⅰ] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为( )

图1－3

A．16＋8π B．8＋8π

C．16＋16π D．8＋16π

【答案】A

【解析】由三视图可知该组合体下半部分是一个半圆柱，上半部分是一个长方体，故体积为V＝2×2×4

＋1

2×π×22×4＝16＋8π.

14．（·新课标全国卷Ⅰ] 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m

＝()

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

15．（·广东卷）在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．

【答案】20

【解析】方法一：a3＋a8＝2a1＋9d＝10，而3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d＝2(2a1＋9d)＝20.

方法二：3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a5＋a6)＝2(a3＋a8)＝20.

16．（·北京卷）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.

(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写

出d1，d2，d3，d4的值；

(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；

(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1，2，3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.

【解析】(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.

(2)(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤an≤….

因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－an＋1＝－d(n＝1，2，3，…)．

(必要性)因为dn＝－d≤0(n＝1，2，3，…)．所以An＝Bn＋dn≤Bn.

又因为an≤An，an＋1≥Bn，

所以an≤an＋1.

于是，An＝an，Bn＝an＋1.

因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d，

即{an}是公差为d的等差数列．

17．（·全国卷）等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．

【解析】设{an}的公差为d.

由S3＝a22，得3a2＝a22，故a2＝0或a2＝3. 由S1，S2，S4成等比数列得S22＝S1S4. 又S1＝a2－d ，S2＝2a2－d ，S4＝4a2＋2d ， 故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)． 若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d ＝0， 此时Sn ＝0，不合题意；

若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)， 解得d ＝0或d ＝2.

因此{an}的通项公式为an ＝3或an ＝2n －1.

18．（·山东卷）设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S4＝4S2，a2n ＝2an ＋1. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}的前n 项和为Tn ，且Tn ＋an ＋1

2n ＝λ(λ为常数)，令cn ＝b2n(n ∈N*)，求数列{cn}的前n 项和Rn.

【解析】(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 由S4＝4S2，a2n ＝2an ＋1

得?

????4a1＋6d ＝8a1＋4d ，a1＋（2n －1）d ＝2a1＋2（n －1）d ＋1， 解得a1＝1，d ＝2，因此an ＝2n －1，n ∈N*.

(2)由题意知Tn ＝λ－n 2n －1，所以n≥2时，bn ＝Tn －Tn －1＝－n 2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.

故cn ＝b2n ＝2n －222n －1

＝(n －1)????14n －1，n ∈N*.

所以Rn ＝0×????140

＋1×????141

＋2×????142

＋3×????143

＋…＋(n －1)×???

?14

n －1

，

则14Rn ＝0×????141＋1×????142＋2×????143＋…＋(n －2)×????14n －1＋(n －1)×????14n ， 两式相减得

34Rn ＝????141＋????142＋????143＋…＋????14n －1－(n －1)×????14n ＝14－????14n

1－14

－(n －1)×????14n