计算方法的课后答案
《计算方法》习题答案
第一章 数值计算中的误差
1．什么是计算方法（狭义解释）
答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么
答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤：
实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果
4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5
3
-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 400)(2
3
4
5
-+?+-?+=x x x x x x P ，从而
所以，多项式4)(5
3
-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。
5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面：
（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方
法误差）。
（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。
6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。
答：设*
x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=*
为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e *
，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。
把绝对误差e 与精确值*
x 之比
***x x x x e e r -=
=称为近似值x 的相对误差，称*
x ε
η=为近似值x 的相对误差限η
≤r
e ，由于真值*
x
是未知的，所以常常用
x
e
x x x e r =
-=*来表示相对
误差，于是相对误差可以从绝对误差求
出。
7．近似值的规格化表示形式如何
答：一般地，对于一个精确值*
x ，其近似值x 的规格化形式为m
p
x x x x 10.021?±=Λ，其中{}),2,1(9,2,1,0,01p i x x i
ΛΛ=∈≠，p 为正整数，m 为整数。 8．有效数字的概念是什么掌握有效数字与误差的关系。
答：若近似值x 的（绝对）误差限是它的某一位的半个单位，也就是说该近似值准确到这一位，且从该位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字都称为有效数字。
若近似值x 的（绝对）误差限为
n m x x e -?≤
-=102
1
*，则称x 为具有n 位有效数字的
有效数，或称它精确到n
m -10位，其中的每一位数字n
x x x Λ,,2
1
都是x 的有效数字。
设精确值*
x 的近似值x 的规格化形式为m
p
x x x x 10.021?±=Λ，若x 具有n 位有效数字，
则其相对误差限为n r
x e -?≤
11
1021
；反之，若x 的
相对误差限为n
r
x e
-?+≤
1110)
1(21，则x 至少有n 位有
效数字。 9．下列各数都是对真值进行四舍五入后获得的近似值，试分别写出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数。
（1）024.01
=x （2）4135.02
=x （3）50.573
=x （4）600004=x （5）5
5
108?=x ； 解：（1）0005.01*
1
≤-=x x e ；0021.0*
≤=-=x
e x x x e r
；有三位有效数字。 （2）00005
.02
*2
≤-=x
x e ；
000121
.0*≤=-=x
e x x x e r ；
有四位有效数字。
（3）005.03
*3
≤-=x x e ；000087
.0*≤=-=x
e x x x e
r
；
有四位有效数字。
（4）5.04
*4
≤-=x x e ；0000084
.0*≤=-=x
e x x x e
r
；有五位有效数字。
（5）5.05
*5
≤-=x x e ；000000625
.0*≤=-=x
e x x x e
r
；
有六位有效数字。
10．为了使19的相对误差≤%，问至少应取几位有效数字
解：由19的首位数是4.设近似数*
x 有n 位有效数字，由定理可知，相对误差
001.0104
21
)(1*≤??≤
-n r x e ，解得097.3≥n ，即取4位有效
数字，近似数的相对误差不超过%。
11．已知33,3
100
,1150)(*2
==
-+==x x x x x P y ，计算)
3
100
(*
p y
=及)33(P y =，并求x 和y 的相对误差。
解：Λ
55555.51150)3
100()3100()3100(2*
-≈-+==p y
281150)33()33()33(2
-=-+==P y
Λ333.0)(*
≈-=x x x e
Λ0101.0)()(≈=x x e x e r
Λ
44444.22)(*
≈-=y y
y e
Λ801587.0)()(≈=y y e y e r
12．写出误差估计的一般公式（以二元函数),(y x f z =为例）。
解：二元函数),(y x f z =的绝对误差：
)(|)(|)()
,()
,(y e y
f x e x f z e y x y x ???+???≈ 二元函数的相对误差：
z
y e y f z x e x f z z e z e y x y x r
)(|)(|)()()
,()
,(???+???≈=
)(|)(|),(),(y e y
f
z y x e x
f z x r y x r y x ????+
????=
13．用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为V V 2220±=，A I 1.010±=，求这个电阻的阻值R ，并估算其绝对误差和相对误差。
解：2)(≤V e ，1.0)(≤I e ，又2
,1,I
V
I R I V R I V R -=??=??=。所以：
42.01.0100
2202101)(|)(|)(|)(|)(),(),(),(),(=?+?=???+???≤???+???≈
I e I R V e V R I e I
R
V e V R R e I V I V I V I V
21099.1)
()(-?≈=
R
R e R e r 。 14．若01
.045.0,01.003.1*
2*1
±=±=x x
，计算2
2
1
21
x e x
y +=的近
似值，并估计)(y e 及其上界。 解：45.02
2
1)
03.1(e y +≈
)(2
1))(()21()21()(2*22*21*11*11*
1*x x x x e e x x x x e x e x y y y e -++-=+-+
=-=
)
,(,01.02
11006.2)(21))((*
2221*1
1*
12*2x x e e e x x x x x x ∈??+?=-++-≤-ξξ
15．已测得某场地长为m l 110=，宽d 的值为
m
d 80=，已知m l l l
e 2.0)(*
≤-=，m d d d e 1.0)(*
≤-=，试求面积ld s =的绝对误差限和相对误差限。
解：由
ld
s =,
l d
s d l s =??=??,，
m
l l l e 2.0)(*≤-=，m
d d d
e 1.0)(*≤-=。可得：
30
1.080
2.0110)(|)(|)(|)(|)(),(),(),(),(=?+?=???+???≤???+???≈
d e d
s
l e l s d e d s l e l s s e d l d l d l d l
3104.3)
()(-?≈=
s
s e s e r 。
16．掌握二元函数的加、减、乘、除和开方运算的绝对误差和相对误差估计公式。 解：（1）加、减运算： 由于()1/=?+?x y x ()()(),1/,1/,1/-=?-?=?-?=?+?y y x x y x y y x ，所以
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()|
||/|||/|||,//,,//,y e y x y x e y x x y x e y e y x y x e y x x y x e y e x e y x e y e y x y x e y x x y x e y e x e y x e r r r r r r r r r ?-+
?-≤-?--?-≈--≈-?++?+≈++≈+从而有
（2）乘法运算：
由
于
()()，x y
xy y x xy =??=??,所以()()()()()()y e x e xy e y xe x ye r r r +≈+≈,x y e ，
从
而
()()()|
||||||||y e x x e y xy e ?+?≤
（3）除法运算： 由于
2
)(,1)(y
x y y x y x y x -=??=??，所以
)()(1)(2y e y
x
x e y y x e -≈，)()()(y e x e y
x
e r
r
r
-≈ （4）乘方及开方运算： 由于()
1
-=??n n
nx x
x ，所以()()()
()
x ne x e x e nx
x e r n r n n
≈≈-,1
17．求方程01562
=+-x x 的两个根，使它至少具有4位有效数字（982.27783≈）。 解：
782
.55982.27281
21
14)56(5621=+≈???--+=x
017863.0782
.55112≈==
x c x
19．求方程01162
=+-x x 的较小正根，要求有3位有效数字。
解：
937
.15937.781
2114)16(1621=+≈???--+=x
062747.0937
.15112≈==
x c x 所以较小正根为062747
.02
≈x 。
20．设4
1
10,,2,1,0,Λ==?n dx e x I
x n n
。
（1）证明：4
1
10,,2,1,0,Λ=-=-n nI e I n n
； （2）给出一个数值稳定的算法，并证明算法的稳定性。
（1）证明：1
1
110
10
---=-===???n x n x n x n n
nI e x d e nx e e d x dx e x I
（2）)(1
1
n n I e n
I
-=
- 设n
n n
I I e -=*，则
n n
n
n n n n n n n e n I I e e n
I I e e n I I e 1
110*0022
*221*11=
-==-==-=------Λ
Λ
当n 无限大时，n
e 越小，所以该算法稳定。 21．用递推算法计算积分?=+=1
010
,2,1,0,41Λn dx x
x I n
n ，
并验证算法的数值稳定性。
解：
1
10110110114
1
41)41(4141441------=+-=+-+=???n n n n n n n I n dx x x dx x dx x x x x I
设0
*
00
I I e -=，则
010
10*
10100
22*
2201*1141
4
141
e I I e e I I e e I I e =
-==-==
-=Λ
Λ
所以该算法是稳定的。 22．设计一个计算36
24
12
163)(x x x x f ++=的最小计算
量的算法。
解：24
12121244
2
36
24
12
163163)(x x x x x x
x x x x x x x f ??+??+????=++=
23．什么是数值稳定的算法数值计算应遵循的六条规则是什么
答：一个算法如果原始数据有误差（扰动），而计算过程中舍入误差不增长或增长可以控制，则称此算法是数值稳定的。否则，称此算法是数值不稳定的。
数值计算应遵循的六条规则是：
（1）选用数值稳定的算法（计算公式）；
（2）尽量避免两个相近数相减；（3）尽量避免用绝对值很大的数作乘数；
（4）尽量避免用绝对值很小的数作除数；
（5）防止大数“吃掉”（或“淹没”）小数（即合理安排运算顺序）；（6）简化计算步骤，减少运算次数。
第二章 非线性方程的数值解法
1．叙述零点定理的内容。
答：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且0)()(
b a x ∈使0)(*
=x f ，即)(x f 在区间),(b a 内存在实的零点，称区间],[b a 为方程的有根区间。 2．方程求根的两个步骤是什么确定方程有根区间的方法有哪些
答：第一步 确定方程0)(=x f 的有根区间。
第二步 近似根的精确化。
确定方程有根区间的方法有两种：作图法和逐步搜索法。
3．利用作图法确定方程01)(3
=--=x x x f 的有根区间。
解：
1
)(3
--=x x x f
由于,05128)2(,01)0(>=--=<-=f f 于是，在区间)2,0(内至少有一个根，取步长5.0=h 向右进行根的搜索，即计算)5.1(),0.1(),5.0(f f f 的值得到0)5.1(,0)0.1(,0)5.0(>< 3 =++-=x x x x f 的有根区间。 解：由于,05)1(,03)0(<-=->=f f 于是，方程在)0,1(-内至少有一个实根，所以，从1-=x ，取步长5.0=h 向右进行根的搜索，即计算)5.0(-f 得 到08 1)5.0(>=-f ，从而，原方程的有根区间缩小为)2 1 ,1(--。 5．确定方程0 10423 =-+x x 的有根区间。 解：由于函数104)(2 3 -+=x x x f 的定义域为()+∞∞-,，用逐步搜索法：由于014)2(,010)0(>=<-=f f ，于是，方程在)2,0(内至少有一个实根，所以，从0=x ,取步长5.0=h 向右进行根的搜索，即计算)5.1(),0.1(),5.0(f f f 的值得到0)5.1(,0)1(,0)5.0(>< 7．以方程0)(=x f 的有根区间为[]b a ,为例)0)(,0)((> 用区间[]b a ,的中点2b a +将[] b a ,分为两个相等区间，计算中点的函数值)2(b a f +。若0)2 (=+b a f ，则2 * b a x += 就是方程 )(=x f 的根；否则，若 0)2 ( <+b a f ，由于)(x f 在左半区间?? ? ???+2,b a a 内不变号，所以方程的有根区间变为?? ? ???+b b a ,2。同理， 若0)2(>+b a f ，则方程的有根区间变为?? ? ???+2,b a a ，从而将新的有根区间记为[]1 1 ,b a ，且区间[] 1 1 ,b a 的长度仅为区间[]b a ,的一半，即2 1 1 a b a b -= -。 第二步：对压缩了的有根区间[] 1 1 ,b a 又可施行同样的方法，即用中点2 1 1 b a +将区间[]1 1 ,b a 再分为两半，然后通过根的搜索判定所求的根位于哪半个区间，从而又确定一个新的有根区间[]2 2 ,b a ，该区间的长度是区间[]1 1 ,b a 的一半。 如此反复可得出一系列有根区间且具有关系[][][]ΛΛ????k k b a b a b a ,,,1 1 ，其中后一个区间长是前一个区间长的一半，因此区间 []k k b a ,的长度k k k a b a b 2-= -，当∞→k 时，区间[]k k b a ,的 长度必趋于零，即这些区间最终收缩于一点* x ，显然* x 就是方程0)(=x f 的根。 8．以方程0)(=x f 的有根区间为[]b a ,，精度要求为ε，试写出利用二分法求该方程的近似根所需二分次数k 的计算公式。 解：若事先给定的精度要求为0>ε，则 只需ε<-≤ -+1 * 2 k k a b x x ，即2 ln 2ln εa b k -> ，此时k x 就是满足 给定精度要求的近似值，k 为二分法的次 数。 9．用二分法求下列方程在给定的有限区间及精度要求下的近似值及二分次数k （编程） （1）2)(-=x xe x f []1,5.0 0001.0=JD 解：852600.0=k x 12=k （2） 343)(2 3 -+-=x x x x f []5.1,1 00001.0=JD 解：499992.1=k x 15=k （3）104)(2 3 -+=x x x f []2,1 0005.0=JD 解：364746.1=k x 10=k （4）1)(3 --=x x x f []5.1,1 00005.0=JD 解：324707.1=k x 13=k 10．若应用二分法求方程0 2 sin =--x e x π在区间[] 1,0上误差不超过5 21的近似值，应二分多少次 解：其近似根为437500.0，应分5=k 次。 11．迭代法的基本思想是什么 解：迭代法是一种逐次逼近法，首先给定方程0)(=x f 的一个粗糙的初始近似根0 x ，然后用一个固定公式反复校正这个根的近似值使之逐步精确化，直到满足预先给定的精度要求为止。 12．迭代法的具体做法如何 解：(1)将方程0)(=x f 改写成等价形式)(x x ?=,在根* x 的附近任取一个初始近似根0 x 。 (2)构造近似根序列：将0 x 代入)(x ?计算得到)(01x x ?=，一般01x x ≠，再把1 x 作为新的近似根代入)(x ?得到)(1 2x x ?=，重复上述步骤即可。 13.迭代法的几何意义是什么 答：方程()x x ?=的求根问题在几何上就是确定曲线()x y ?=与直线x y =交点* p 的横坐标* x 。设迭代初值为0x ，曲线()x y ?=上以0 x 为横坐标的点为0p ，()0x ?为0p 点的纵坐标，过0 p 点引平行于x 轴的直线，并与直线x y =相交于0P '，其横坐标为()01x x ?=，然后过点0 P '引平行线于y 轴的直线，并与曲线()x y ?=的交点记作1p ，重复上述过程可得点列,,,,,21K K k p p p 他们横 坐标依次由迭代公式()k k x x ?=+1 ，Λ1,0=k 所确定。如果点列,,,,,2 1 K K k p p p 逐步逼近* p ，则迭代过程收敛，否则迭代过程发散。 14．叙述迭代过程收敛定理的内容。 解：假设迭代函数满足下列两个条件 （1）对任意的[]b a x ,∈有b x a ≤≤)(?； （2）存在正数1 则（1）对任意初值[]b a x ,0 ∈迭代过程)(1k k x x ?=+均收敛于方程)(x x ?=的根* x ，即)(lim * ∞→=k x x k 。 (2)误差事后估计公式为 k k k x x L x x --≤ -+1*11 。 15．试构造收敛的迭代公式求解下列方程： （1）4sin cos x x x +=； （2）x x 24-=。 解：（1）将方程 4 sin cos x x x += 改写为4 ) 4 sin(2π + = x x ， 从而得到迭代公式Λ 0,1,2,k 4 )4sin(21 =+ = +π k k x x 。 （2）将方程x x 24-=改写为)4ln(x x -=，从 而得到迭代公式Λ,2,1,0 )4ln(1 =-=+k x x k k 。 16．判断迭代法解方程0)2ln()(=+-=x x x f 在[]2,0内的根时所用的迭代过程的收敛性。 解：将方程0)2ln(=+-x x 改写为)2ln(+=x x ，从而得到迭代公式Λ,2,1,0),2ln(1 =+=+k x x k k 。则 ) 2ln()(+=x x ?为迭代函数。由12 1 )(<+='x x ?，由定理可得该迭代法是收敛的。 17．用迭代法计算4 4 4 4 6666Λ++++=s 的近似值。 19．牛顿法的基本思想是什么具体做法如何 解：基本思想：牛顿迭代法实质上是一种线性化的方法，其基本思想是将非线性方程0)(=x f 逐步归结为某种线性方程来求解的方法。 具体做法：设已知方程0)(=x f 有近似根k x ，将)(x f 在k x 作一阶泰勒展开，于是方程0)(=x f 可近似地表示为0))(()(=-'+k k k x x x f x f 是一个 线性方程，设0)(≠'k x f ，则) ()(k k k x f x f x x '- =,于是就有 牛顿迭代公式Λ,2,1,0,) () (1 ='- =+k x f x f x x k k k k 。 20．牛顿法的几何意义是什么 解：牛顿迭代法实质上是用过点))(,(k k x f x 的切线与x 轴交点的横坐标1 +k x 来逐步逼近曲线)(x f y =与x 轴交点的横坐标* x ,所以牛顿法又叫切线法。 22．试证：用牛顿法求方程0)3()2(2 =+-x x 在[]3,1内的根2* =x 是线性收敛的。 证明：由牛顿迭代公式Λ,2,1,0,) () (1 ='- =+k x f x f x x k k k k ， 可得， 4 36 32)()()(2+++= '-=x x x x f x f x x ?，显然，0)2(≠'?，所 以该迭代过程是线性收敛的。 23．用牛顿法求方程03 =-a x ，导出求立方根3 a 的迭代公式，并讨论其收敛性。 解：设0)(3 =-=a x x f ，得牛顿迭代公式为 Λ,1,0,32 31 ==--=+k x a x x x k k k k ，牛顿迭代函数 2 332)(x a x x += ?， 3 3322)(x a x x -= '?，1 0)( 3 <='a ?，所以该迭代公式收敛。 26．正割迭代法的基本思想是什么具体做 第一章 误差 1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差. 解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2 4A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生 的误差即为模型误差. 在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值: 12 222...q q π=? ?? 其中 11 2,3,... n q q n +?=?? ==?? 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得 3.141587725...π≈ 这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差. 2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字: 816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236 3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位 4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位 5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +?各有几位有效数字? 解: 已知4311 d 10,d 1022 a b -- 2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过3102 1-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2 11 a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211 a b k 即可，亦即 7287.1312 lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f + =，则3 2)(x x f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。 （2）令321)(x x f +=，则322)1(3 2)(-+='x x x f ，由于 《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称 计算方法第3版习题答案 习题1解答 1.1 解：直接根据定义得 *411()102x δ-≤?*411()102r x δ-≤?*3*12211 ()10,()1026 r x x δδ--≤?≤?*2*5331()10,()102r x x δδ--≤?≤ 1.2 解：取4位有效数字 1.3解：433 5124124124 ()()() 101010() 1.810257.563 r a a a a a a a a a δδδδ----++++++≤≤=?++? 123()r a a a δ≤ 123132231123 ()()() a a a a a a a a a a a a δδδ++0.016= 1.4 解：由于'1(),()n n f x x f x nx -==，故***1*(())()()()n n n f x x x n x x x δ-=-≈- 故** * ***(()) (())()0.02()r r n f x x x f x n n x n x x δδδ-= ≈== 1.5 解： 设长、宽和高分别为 ***50,20,10l l h h εεωωεεεε=±=±=±=±=±=± 2()l lh h ωωA =++，*************()2[()()()()()()]l l l h h l h h εδωωδδδωδδωA =+++++ ***4[]320l h εωε=++= 令3201ε<，解得0.0031ε≤， 1.6 解：设边长为x 时，其面积为S ，则有2()S f x x ==，故 '()()()2()S f x x x x δδδ≈= 现100,()1x S δ=≤，从而得() 1 ()0.00522100 S x x δδ≈ ≤ =? 1.7 解：因S ld =，故 S d l ?=?，S l d ?=?，*****()()()()()S S S l d l d δδδ??≈+?? * 2 ()(3.12 4.32)0.010.0744S m δ=+?=, *** ** * () () 0.0744 ()0.55%13.4784 r S S S l d S δδδ= = = ≈ 1.8 解：（1）4.472 （2）4.47 1.9 解：(1) （B ）避免相近数相减 (2)（C ）避免小除数和相近数相减 (3)（A ）避免相近数相减 (3)（C ）避免小除数和相近数相减，且节省对数运算 1.10 解 （1）357sin ...3!5!7!x x x x x =-+-+ 故有357 sin ..3!5!7! x x x x x -=-+-， （2） 1 (1)(1)1lnxdx ln ln ln N+N =N N +-N N +N +-? 1 (1)1ln ln N +=N +N +-N 1.11 解：0.00548。 1.12解：21 16 27 3102 ()()() -? 1.13解：0.000021 习题二 1. 证明方程043 =-+x x 在区间[1，2]内有一个根。如果用二分法求它具有5位有效数字的根，需要 二分多少次。 证明: （1） 不妨令 4)(3-+=x x x f ，求得： 02)1(<-=f 06)2(>=f 又因为4)(3-+=x x x f 在区间[1，2]内是连续的，所以在区间[1，2]内有至少一个根。 又因为 13)(2'+=x x f 在区间[1，2]内013)(2'>+=x x f ，所以4)(3-+=x x x f 单调。 得证，043 =-+x x 在区间[1，2]内仅有一个根。 （2）具有5位有效数字的根，说明根可以表示成 5 4321.a a a a a ，所以绝对误差限应该是 5a 位上的 一半，即： 4105.0-?=ε。由公式： ε≤-+1 2 k a b 可得到, 14=k 迭代次数为151=+k 次。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. 用二分法求方程 0)2 (sin )(2=-=x x x f 在区间[1.5，2]内的近似根（精确到10-3）。 解：043499.05625.099749.0)25.1(5.1sin )5.1(2 >=-=-=f 009070.0190930.0)22(2sin )2(2 <-=-=-=f 所以0)2 (sin )(2 =-=x x x f 在区间[1.5，2]内有根，又 x cos )('-=x x f 在区间[1.5，2]内 0x cos )('<-=x x f 所以 0)2 (sin )(2=-=x x x f 在区间[1.5，2]内有根，且唯一。符合二分条件，可以用二分法，二分的 次数为： 数值计算方法习题一（2） 习题二（6） 习题三（15） 习题四（29） 习题五（37） 习题六（62） 习题七（70） 2009．9，9 习题一 1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。 解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式： (())(())'()()()() f x x f x f x x f x f x δδ?= ≈得 （1）()f x = 11 ()()*2%1% 22x x δδδ≈ ===； （2）4 ()f x x =时 44 4 ()()'()4()4*2%8%x x x x x x δδδ≈ === 2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。 （1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。 解：由教材9P 关于1212.m n x a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效 数字位数分别为：3，4，5 3．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352） 哪个较精确？ 解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈2 1 ((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ?+?+ =2 (0.3443100.1352)fl ?+ =0.3457210? （2）31.97+（2.456+0.1352） 2 1 (0.319710(0.245610))fl fl ≈?+? = 21 (0.3197100.259110)fl ?+? =0.34562 10? 易见31.97+2.456+0.1352=0.3456122 10?，故（2）的计算结果较精确。 4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？ 引论试题（11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明： （1 ）(2 2 11222k k k k k k k k x a x a x x x x x +-??-+=+= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为 00678.07 .20183 .011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 21021 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字 6102 1 113255-?≤-π，具有7位有效数字 第五章 7.试比较缺页中断机构与一般的中断，他们之间有何明显的区别？ 答：缺页中断作为中断，同样需要经历保护CPU现场、分析中断原因、转缺页中断处理程序进行处理、恢复CPU现场等步骤。但缺页中断又是一种特殊的中断，它与一般中断的主要区别是： （ 1）在指令执行期间产生和处理中断信号。通常，CPU都是在一条指令执行完后去检查是否有中断请求到达。若有便去响应中断；否则继续执行下一条指令。而缺页中断是在指令执行期间，发现所要访问的指令或数据不在内存时产生和处理的。 (2)一条指令在执行期间可能产生多次缺页中断。例如，对于一条读取数据的多字节指令，指令本身跨越两个页面，假定指令后一部分所在页面和数据所在页面均不在内存，则该指令的执行至少产生两次缺页中断。 8.试说明请求分页系统中的页面调入过程。 答：请求分页系统中的缺页从何处调入内存分三种情况： （1）系统拥有足够对换区空间时，可以全部从对换区调入所需页面，提高调页速度。在进程运行前将与该进程有关的文件从文件区拷贝到对换区。 （2）系统缺少足够对换区空间时，不被修改的文件直接从文件区调入；当换出这些页面时，未被修改的不必换出，再调入时，仍从文件区直接调入。对于可能修改的，在换出时便调到对换区，以后需要时再从对换区调入。 （3）UNIX 方式。未运行页面从文件区调入。曾经运行过但被换出页面，下次从对换区调入。UNIX 系统允许页面共享，某进程请求的页面有可能已调入内存，直接使用不再调入。 19.何谓工作集？它是基于什么原理确定的？ 答：工作集：在某段时间间隔里，进程实际所要访问页面的集合。 原理：用程序的过去某段时间内的行为作为程序在将来某段时间内行为的近似。 24.说明请求分段式系统中的缺页中断处理过程。 答：在请求分段系统中，每当发现运行进程所要访问的段尚未调入内存时，便由缺段中断机构产生一缺段中断信号，进入操作系统后由缺段中断处理程序将所需的段调入内存。缺段中断机构与缺页中断机构类似，它同样需要在一条指令的执行期间，产生和处理中断，以及在一条指令执行期间，可能产生多次缺段中断。 计算方法模拟试题 一、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1．近似值210450.0?的误差限为（ ）。 A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ，则=∞A （ ）。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ，则乘幂法计算公式1e =（ ）。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 14159.3=π，具有4位有效数字的近似值为 。 2. 已知近似值21,x x ，则=-?)(21x x 。 3．已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。 4．雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。计算方法引论课后答案.
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