当前位置：文档库 › 概率论中几种具有可加性的分布及其关系课件

概率论中几种具有可加性的分布及其关系课件

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Key words (1)

引言 (1)

1 几种常见的具有可加性的分布 (1)

1.1 二项分布 (2)

1.2 泊松分布（Possion分布） (3)

1.3 正态分布 (4)

1.4 伽玛分布 (6)

1.5 柯西分布 (7)

1.6 卡方分布 (7)

2 具有可加性的概率分布间的关系 (8)

2.1 二项分布的泊松近似 (8)

2.2 二项分布的正态近似 (9)

2.3 正态分布与泊松分布间的关系 (10)

2.4 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系 (11)

3 小结 (12)

参考文献 (12)

致谢 (13)

概率论中几种具有可加性的分布及其关系

摘要概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容.所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布.结合其特点，这里给出了概率论中几种具有可加性的分布：二项分布，泊松分布，正态分布，柯西分布，卡方分布以及伽玛分布.文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明，这里给出了证明分布可加性的两种方法，即利用卷积公式和随机变量的特征函数.除此之外，文章就可加性分布之间的各种关系，如二项分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等，进行了不同层次的讨论. 关键词概率分布可加性相互独立特征函数

Several Kinds of Probability Dstribution and its Relationship

with Additive

Abstract Probability and mathematical statistics in the probability distribution of additivity is a very important content.The distribution of the so-called additivity refers to the distribution of the same kind of independent random variables and distribution are still belong to this kind of https://www.wendangku.net/doc/607084696.html,bined with its characteristics, here given several has additivity distribution in probability theory: the binomial distribution, poisson distribution and normal distribution and cauchy distribution, chi-square distribution and gamma distribution.Article discusses the nature of all kinds of distribution and its proof of additivity, additive of proof distribution are also given two methods, namely using convolution formula and characteristic function of a random variable. In addition, this paper the relationships between the additive property distribution, such as the binomial distribution of poisson approximation, Di mo - Laplace's central limit theorem, and so on,

has carried on the different levels of discussion. Key Words probability distribution additivity property mutual independence characteristic function

引言概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科，在概率论与数理统计中，有时候我们需要求一些随机变量的和的分布，在这些情形中，有一种求和类型比较特殊，即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变，这一求和过程称为概率分布的“可加性”.概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念，本文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布，包括二项分布，泊松分布，正态分布，伽玛分布，柯西分布和卡方分布.文章最后讨论了几项分布之间的关系，如二项分布的泊松近似，正态近似等等.

1 几种常见的具有可加性的分布

在讨论概率分布的可加性之前，我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数,首先来看卷积公式[1]：

①离散场合的卷积公式设离散型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的分布列分别是n k a k P k ,1,0,)(???===ζ和.,,1,0,)(n k b k P k ???===ξ则ξζ?+=的概率分布列可表示

为

.2,1,0,)()()(0

???==-====-==∑∑k b a i k P i P k P i k k

i i k

i ξζ?

②连续场合的卷积公式设连续型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的密度函数分别是)(),(y f x f ξζ，则它们的和ξζ?+=的密度函数如下

.)()()(dx x z f x f f f z f -?=?=?+∞

∞-ξζξζ? )2(

其证明如下：

ξζ?+=的分布函数是dxdy y f x f z f z F z

y x )()()()(ξζ?ξζ??≤+=≤+=

{}dx x f dy y f x

z )()(ζξ?

+∞

∞--∞

.)()(dx x f x z F ζξ-=?+∞

∞

其中)(x F ζ为ζ的分布函数，对上式两端进行求导，则可得到ξζ?+=的密度函数： .)()()(dx x z f x f f f z f -?=?=?+∞

∞-ξζξζ? 即证.

在概率分布可加性的证明中，除了卷积公式，我们常用的证明方法还有利用随机变量的特征函数.

下面我们来讨论一下这几种具有可加性的分布及其可加性证明的过程中卷积公式和特征函数的应用. 1.1 二项分布

1.1.1 二项分布),(p n B 的概念

如果记ζ为n 次伯努利试验中成功（记为事件A ）的次数，则ζ的可能取值为0，1，2，……，n.记p 为事件A 发生的概率，则,)(p A p =(p A ),1p -=记为.q 即.1p q -=

因n 次伯努利试验的基本结果可以记作 ?=（w 1,w 2，…?n ），w i 或为A 或为A ,这样的w 共有2n 个，这2n 个样本点w 组成了样本空间Ω.

下求ζ的分布列，即求事件{ζk =}的概率.若某个样本点 ?=（w 1,w 2，…?n ）∈{k =ζ}，意味着w 1,w 2，…?n 中有k 个A ，k n -个A ，由独立性即可得:P (ζ).)1(k n k p p --=

而事件{ζ=k }中这样的w 共有??

??n k 个，所以ζ的分布列为

)(k P =ζ=??

? ??n k p k （1-p ）k

n -，.,1,0n k ??????=

此分布即称为二项分布，记作),(~p n B ζ.且我们易验证其和恒为.1.也就是

概率论中几种具有可加性的分布及其关系

n k n

k n k p p -=-??? ??∑)1(0

=[]n p p )1(-+1=. n=1时，二项分布),(p n B 称为两点分布，有时也称之为10-分布. 二项分布的图像具有以下特点：

①二项分布的图像形状取决于n 和p 的大小，随着p 的增加，分布图高峰逐渐右移. ②当5.0=p 时，图像是对称的. 1.1.2 二项分布的可加性

定理 1.1.1设),,(~),,(~p m B p n B ξζ而且ξζ,相互独立，记,ξζ?+=则有

).,(~p m n B +?

证明因,ξζ?+=所以易知?可以取m n +???2,1,0等1++m n 个值.根据卷积公式

)1(，事件{

}k =?的概率可以表示为 )()()(0i k P i P k P k

i -====∑=ξζ?

i k m i k m

i k i n i k i n i p p p p +----=-??? ???-??

? ??=∑)1()1(0

.)1(0??

? ????? ??-=-=-+∑m i k k

i n i k

m n k p p 又因.0???

??=??

? ????? ??+-=∑m n k m i k k

i n i 所以

.,1,0,)1()(m n k p p k P k m n k

m n k +???=-??

? ??==-++?

也就是说，).,(~p m n B +?即证！ 1.2 泊松分布(Possion 分布)

与二项分布一样，泊松分布也是一种离散分布，许多随机现象，特别是社会现象与物理学中的一些随机现象都服从于泊松分布.泊松分布可作为描述大量试验中稀有事件出现次数的概率分布的数学模型. 1.2.1 泊松分布的概率分布列

泊松分布的概率分布如下所示： 2,1,0,!

)(==

=-k e k k P k

λλζ…，其中λ大于0，记作)(~λζP .

对于泊松分布而言，它的参数λ即是期望又是它的方差：

λλλλλλλλλ

==-==-

+∞

=---+∞

=∑∑e e k e

k k

E k k k k

)!1(!

)(.

又因， λλ

λλλ-+∞

=-+∞

=∑∑-==e k k

k k

E k k

k 102

1(!

)( =[]

λλ

-+∞

=-+-∑e k k k

k )!

1(1)1(1

=∑∑+∞

=--+∞

=---+-1

2)!1()!2(k k k k k e k e

λλλλλ

=λλ+2

故ζ的方差为22))(()()(ζζζE E Var -==λλλλ=-+22 1.2.2泊松分布的可加性

定理 1.2.1 设随机变量)(~),(~2211λζλζP P ，且21,ζζ相互独立，则

).(~2121λλζζ++P

证明此处???==

===--,2,1,0,!

)(,!

)(21

1k e k k P e

k k P k k λλλζλζ

根据卷积公式)1(，有 21

)!(!

)(2

121λλλλζζ---=-?

==+∑

e i k e

i k P i k k

i i

k i k

i i k i k k e -=+-∑-=210)

()!

(!!!21λλλλ .,1,0,!

)()

(2121???=+=

+-k e k k λλλλ 所以).(~)(2121λλζζ++P 即证！

同样我们可以利用特征函数对其进行证明，此处不再赘述. 1.3 正态分布

1.3.1 正态分布的定义[6]

定义1.3 对于已经给定的两个常数μ和σ>0，定义函数

222/)(,21

)(σμσμπ

σ--=

x e x p ),(+∞-∞∈x )1( 它含有两个参数μ和σ.显然的，)(,x p σμ取正值.

我们称密度函数为)(,x p σμ的分布为正态分布，记作),(2σμN ，它的分布函数记为

dt e

x F x

t ?

∞

---

22)(,21)(σμσμπ

σ ),(+∞-∞∈x

正态分布的密度函数的图像是一条钟形曲线，中间高两边低，而且关于μ=x 对称，

在此处)(,x p σμ取最大值.21

πσ

我们称μ为该正态分布的中心，在μ=x 附近取值的可能

性比较大，在σμ±=x 处有拐点.

若将μ固定，改变σ的取值，则σ越大，曲线峰顶越低，图像较为平坦；σ越小，曲线封顶越高，图像较为陡峭.因此正态密度函数的尺度由σ确定，故称σ为尺度参数.

同样的，将σ固定，而去改变μ的值，会发现图像沿x 轴平移而并不改变形状，也就说明该函数的位置由μ决定，故称其为位置参数.

当1,0==σμ时的正态分布称为标准正态分布，记作)1,0(N .它的密度函数记为

)(u ?，分布函数记为)(u Φ.则有

),(,21)(2

/2+∞-∞∈=-u e u u π

概率论中几种具有可加性的分布及其关系

),(,21)(2/2

+∞-∞∈=

Φ?

∞

--u dt e u u

t π

1.3.2 一般正态分布的标准化

对于正态分布族

{

},0),,(;),(2>+∞-∞∈=?σμσμN

标准正态分布)1,0(N 只是其中一个成员.其实在应用中很少有随机变量恰好服从标准正态分布，可是一般正态分布均可以利用线性变换转变成标准正态分布.所以一切与正态变量有关的事件的概率均可通过标准正态分布分布求取.

定理1.3.1 如果随机变量),(~σμN Y ，则)1,0(~/)(N Y X σμ-=，其中X 为标准正态变量.

证明记Y 与X 的分布函数分别为)(y F Y 和)(x F X ，易知

).()()()(x F x Y P x Y P x X P x F Y X σμσμσ

μ+=+≤=??????

≤-=≤=

因为正态分布函数严格递增而且处处可导，所以如果记Y 和X 的密度函数分别是)(y p Y 和)(x p X ，会有

,21)()()(2

/2μπσσμσμ-=?+=+=e x p x F dx d x p Y Y X 由此即得，).1,0(~N Y X σ

-= 即证.

对于标准正态随机变量),1,0(~N X X 的数学期望为

,21)(2

/2dx xe X E x ?+∞∞

--=π

因被积函数2/2

)(x xe x h -=为奇函数，故上述积分值为0，也就是说.0)(=X E

而对于一般正态变量),(~2σμN Y ，如果满足X Y σμ+=，由数学期望的线性性质则可得到.0)(μσμ=?+=Y E

所以我们可以知道正态分布),(2σμN 的数学期望即为其参数μ. 因为

dx e x X E X E X Var x ?+∞∞

--=-=2/22

2221))(()()(π

?+∞∞

---=)(212

/2x e xd π

}

{?+∞∞

--∞+∞--+-=

dx e xe x x 2

/2/22|21π

.1221

212/2===?+∞∞

--ππ

πdx e x 且X Y σμ+=,由方差的性质

.)()(2σσμ=+=x Var Y Var

也就是说，正态分布的方差即是其另一个参数.2σ 1.3.3 正态分布的可加性

定理1.3.2 设随机变量而且X 和Y 彼此独立，且),,(~),,(~2

22211σμσμN Y N X 则有

).,(~2

22121σσμμ+++N Y X

证明知Y X ,服从于正态分布，且它们的密度函数分别是

).2

exp(),2

exp(22222

211t

t i t t i Y X σμ?σμ?-

=-=

又因Y X ,彼此独立，所以

)()()(t t t Y X Y X ???=+.)()(exp 2

222121??

???+-+=t t i σσμμ

这正是数学期望为,21μμ+方差为2

221σσ+的正态分布的特征函数，即证！

我们同样可以使用连续场合的卷积公式进行证明，详见文献[5]，此处不再赘述. 1.4 伽玛分布

在讨论伽玛分布之前，我们先来看一下伽玛函数：

我们称

dx e x x -+∞

-?=Γ01)(αα )0(>α

为伽玛函数，α为其参数.它的性质如下：

①;)2

(,1)1(π=Γ=Γ

②).()1(αααΓ=+Γα取自然数n 的时候，有 !.)()1(n n n n =Γ=+Γ 1.4.1 伽玛分布的定义

定义1.4 如果随机变量X 的密度函数为

??<≥Γ=--,

0,0;0,)

()(1x x e x x p x

λαααλ 就称作X 服从伽玛分布，记为),,(~λαGa X 且λα,的值均大于0.α为伽玛分布的形状参数，λ为其尺度参数.当10<<α时，)(x p 为严格单调递减的函数，在0=x 处取得奇异点；

当1=α时，)(x p 亦严格单调减，且0=x 时有;)0(λ=p 当21≤<α时，)(x p 为单峰函数，先上凸然后下凸；

当2>α时，先下凸再上凸，最后下凸.而且随着α的增大，)(x p 逐渐接近于正态分布的密度函数.

1.4.2 伽玛分布的可加性

定理 1.4.1 设随机变量),,(~),,(~21λαλαGa Y Ga X 且X 和Y 彼此独立，则).,(~21λαα++Ga Y X

证明知 ,)1()(,)1()(21ααλ

?λ?---=-=it

t it t Y X

且X 与Y 彼此独立，所以

,)1()()()()(21ααλ

???+-+-==it

t t t Y X Y X

此即为)(21αα+Ga 的特征函数，根据惟一性定理则可知).,(~21λαα++Ga Y X 结论得证！

概率论中几种具有可加性的分布及其关系

如正态分布，对于伽玛分布，我们同样可以利用连续场合的卷积公式对其可加性进行证明，详见文献[5]; 1.5 柯西分布[4]

1.5.1 柯西分布的密度函数

柯西分布是几个常见的连续分布之一.它的密度函数为

).,(,)(1),,(2

2+∞-∞∈-+=x x x p μλλ

πμλ

0,1==μλ时的柯西分布密度函数称为标准柯西分布密度函数，即

).,(,11

1)(2

+∞-∞∈+=x x

x p π 为方便起见，往后我们分别记这两类密度函数为),(μλp 和).1,0(p 对于柯西分布的数学期望和方差，因

(1),,(22+∞=-+?=??+∞∞-+∞∞-dx x x dx x p x μλλ

πμλ 所以dx x p x ),,(μλ?+∞

∞-不收敛，故柯西分布的数学期望与方差均不存在.

1.5.2 柯西分布的可加性

定理 1.5.1 设随机变量),,(~),,(~2211μλμλp Y p X 且Y X ,彼此独立，则有

).,(~2121μμλλ+++p Y X

证明因Y X ,均服从于柯西分布，且Y X ,的特征函数分别是 ,)(11t

t i X e t λμ?-=.)(22t

t i Y e

t λμ?-=

又因Y X ,彼此独立，所以

)()()(t t t Y X Y X ????=+.)()(2121t

t i e λλμμ+-+=

这恰好就是参数为2121,μμλλ++的柯西分布的特征函数，所以).,(~2121μμλλ+++p Y X 即证！ 1.6 卡方分布（2χ分布）

1.6.1卡方分布（2χ分布）的定义及密度函数

定义 1.6[7] 设n X X X ???,,21独立同分布与标准正态分布分布),1,0(N 则称

22212n

X X X +???++=χ所服从的分布为自由度为n 的卡方分布，记为).(~22n χχ 卡方分布的密度函数为

???????≤>Γ=--.

0,0;0,)2(21)(12

22x x x e n

x p n x n

1.6.2 卡方分布可加性

卡方分布密度函数的图像是一个只取非负值的偏态图像.它的图像随着自由度的增加而逐渐趋于对称，当自由度∞→n 时，其图像趋于正态分布的图像.这也从另一个侧面告诉我们，卡方分布是由其自由度决定的，不同的自由度对应了不同的卡方分布.

由1.6.1，我们可以知道卡方分布即伽玛分布的一个特例，所以由伽玛分布的可加性我们易知卡方分布亦满足可加性定理，即

定理1.6.1[5]

设),(~),(~22221n m χχχχ且2

221,χχ彼此独立，则有

).(~22

221n m ++χχχ 证明由卡方分布的定义，设

,,2

2221222222121n m m m m X X X X X X ++++???++=+???++=χχ 且,,,2,1),1,0(~n m i N X i +???=j i X X ,彼此独立.则有，

2221222212221n m m m m X X X X X X ++++???++++???++=+χχ

从从卡方分布的定义，因此).(~22

221n m ++χχχ即证！

2 具有可加性的概率分布间的关系

2.1 二项分布的泊松近似

[4]

当n 的取值很大时，二项分布),(p n B 的计算是令人头疼的.这里介绍了泊松分布的一个十分有用的特性，我们可利用泊松分布作为二项分布的一种特殊近似，即二项分布的泊松近似.下面我们来看泊松定理，当n 取值较大，而p 取值偏小的情况下使用泊松定理，可大大减小二项分布的计算量.

定理 2.1[8]（Possion 定理) 在n 重伯努利试验中，记事件A 在每次试验中发生的概率为,n p 它与试验发生的次数n 有关，若当0>n 时，有,λ→n np 即,lim λ=+∞

→n n np 则对任

意给定的k （k 为非负整数），有

)1(lim λλ--+∞→=-??? ??e k p p k

k n n k

n n k n

证明设,n n np =λ则有,n

p n

n λ=

所以

k n n k n k n k

n n k n n k k n n n n p p ---+-???--=-??

? ??)1()(!)1()2)(1()1(λλ

.)1(!)11()21)(11(k n n k

n n

k n k n n --??--

???--=λλ .)1()1(!)11()21)(11(k n n n k

n n

n k n k n n ---??--

???--=λλλ 由已知有，,lim λλ=+∞

→n n 则对于给定的k 值，有;lim k k

n n λλ=+∞

→且

+∞→n lim 1)1

1()21)(11(=--

???--n

k n n ； ;)

1(lim )1(lim )

(λλλλλ--?-

+∞

→+∞

→=-

e n

n n

.1)1(lim =-

-+∞

→k n

n n

所以有

)1(lim λλ--+∞→=-??? ??e k p p k

k n n k

n n k n 即证！

因Possion 定理的条件之一为,lim λ=+∞

→n n np 所以在二项分布的计算中，若n 值很大，p

的值却很小，且λ=np 的大小适中时（一般认为当,1.0,100≤≥p n 且10≤=np λ时），二

概率论中几种具有可加性的分布及其关系

项分布),(p n B 可以使用参数为λ的泊松分布来做近似，即有

,2,1,0,!)1(???=≈-??

? ??--k e k p p np k

k n n k

n n k λ

此即为二项分布),(p n B 的泊松近似，而且n 的值应尽可能的大，这样计算结果才能更精确.

二项分布),(p n B 的泊松近似经常被用于稀有事件（即每次试验中事件发生的概率很小）的研究中，大量实例表明，一般情况下概率1.0

定理 2.2[7]（棣莫佛-拉普拉斯（De Laplace Moivre -）极限定理）设随机变量

),(~p n B X （???=<<,2,1,0,10n p ），则对任意的实数x ，有

()).(211lim 2

/2x dt e x p np np X P x t n Φ==??

???????

?≤--?∞--+∞→π 证明因随机变量X 服从二项分布),(p n B ，所以X 可看做是n 个相互独立的且服

从于同一参数p 的两点分布的随机变量n X X X ,,,21???的和，即,1

∑==n

i i X X 而且

??????=-==,2,1),1()(,)(i p p X Var p X E i i 根据Levy Lindeberg -中心极限定理，有

).(21)1(lim 2/12x dt e x p np np X P x t n i i n Φ==??

???

???????≤--?∑∞--=+∞→π 定理得证！ De Laplace Moivre -中心极限定理说明，n 相当大时，服从二项分布),(p n B 的随机变量X 的概率的计算服从正态分布))1(,(p np np N -的随机变量的计算.也就是说，二

项分布可以用正态分布来近似计算.比如k n k

n k p p k X P --??

? ??==)1()(，在n 比较大的时候

的计算量时十分大的.根据De Laplace Moivre -中心极限定理，因 )

1(np np np

X --近似服

从于标准正态分布，或者说是X 近似服从于))1(,(p np np N -分布，也就是说

k n k n

k p p k X P --??

??==)1()(≈

.)1()1(1)

1(21

)

1(2)(2???

? ??---=----

p np np k p np e

p np p np np x ?π 对于,)1()(k n k

b k a n k p p b X a P -≤≤-??

? ??=≤≤∑有

))1()1()1(()(21

21p np np

a p np np X p np np a P a X a P --≤--≤--=≤≤ ))

1(())1((12

p np np

a p np np a --Φ---Φ≈ )(* 我们只需查一下标准正态分布表，就可以求出我们需要的相当精确的值.但是，当p 较大或者较小时近似效果可能差一些，利用公式时p 的值最好满足9.01.0≤≤p .另外，

因二项分布是离散分布，正态分布是连续分布，所以在我们实际的应用中，为减小误差，常常使用

≈≤≤)(21a X a P ))

1(5.0())1(5.0(12p np np

a p np np a --+Φ---+Φ

来替换)(*式.

2.3 正态分布与泊松分布之间的关系[9]

由上面的定理2.1和定理2.2我们可以知道，二项分布),(p n B 可以用泊松分布来做近似，同样也可以用正态分布来近似.所以，从某个方面来说，泊松分布与正态分布也具有某种近似的关系，首先我们来看特征函数的连续性定理.

定理 2.3.1[11] 分布函数列{})(x F n 弱收敛于分布函数)(x F 的充分必要条件是它的相应的特征函数列{})(t n ?收敛于)(x F 的特征函数).(t ?

定理2.3.2[11] 设随机变量),(~λλP X 则有.21lim 2

dt e

x X P x

t ?

∞

∞→=

???

??<-πλλλλ

证明知λX 服从泊松分布，则λX 的特征函数为.)()

1(-=it e e t λλ?

所以λ

μλλ-=

X 的特征函数是.)(1t i e t

i e

t λλλλ

ψ-????

? ?

?-=

对于任何一个,t 我们有.,1!212∞→??

??+-+=λλολλλ

t it

e t

所以有

.,212122∞→-→???

???+-=-???

? ?

?-λλολλλλ

t t t i e

因此对于任意的点列,∞→n λ有.)(lim 2

t e

t n n -∞

→=λλψ

又知2

2t e

是标准正态分布)1,0(N 的特征函数，因此由连续性定理可以得到，

.21

lim 2

dt e

x X P x

t n n n

n ?

∞

∞→=???

? ??<-πλλλλ

由n λ的任意性，所以有dt e

x X P x

t ?

∞

∞→=

??<-2

221lim πλλλλ成立.

我们来看泊松分布的正态逼近. 定理2.3.3[8] 对于任意的,21a a <有

,21!lim

∑

-<<-+∞

→=a a x k k dx e

k e β

αλ

λπ

λ其中.,21λ

βλλα-=-=

a a 其证明见文献[8].

由前可知，),(p n B 的正态近似与泊松近似的条件是不同的，当p 的取值特别小时，哪怕n 的值不是太大，用泊松分布来近似二项分布也是可以的.但在这种情况下，用正态近似却是不合理的.我们可以想象，若p 值很小，但n 的值也不是太大，则np =λ的值

概率论中几种具有可加性的分布及其关系

肯定不会很大，而由定理2.3.1，我们可知，此时正态分布就不可能很好的进行泊松近似.

2.4 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布之间的关系首先来看正态分布与柯西分布的关系.

定理 2.4.1 设).1,0(~),1,0(~N Y N X 且X 与Y 独立同分布，记Y X Z /=,则

)1,0(~N Z .

证明易知Z 的取值范围是),(+∞-∞，所以对于),(+∞-∞∈z ，我们利用商的公式，可以得到

??∞

+∞+∞-?

?????+-==0222)1(exp 1)()()(dt z t t dt t t p zt p z p Y X Z π .)

1(1

2z +=

π 这正是1,0==μλ时的柯西分布的密度函数，所以结论得证！

正态分布与卡方分布的关系如下：

定理2.4.2 若随机变量),1,0(~N X 则).1(~22χX

定理证明见文献[10].这说明了标准正态分布与自由度为1的卡方分布之间的关系.

若().,2,1,1,0~n i N X i ???=且i X 彼此独立，记2

22212n

X X X +???++=χ，根据卡方分布的定义，我们知2χ服从自由度为n 的卡方分布.

对于伽玛分布，当其参数2

,2==λαn 时即为自由度为n 的卡方分布，记为

).()2

,2(2n n Ga χ=

3 小结

文章第一部分我们讨论了六种具有可加性的分布以及它们的简单性质，上述分布的可

加性均可利用卷积公式或者特征函数进行证明.正态分布是概率论中最重要的分布，一般地，如果某个数量指标受到大量随机因素影响，而每一因素起的作用很小，则这个数量指标就近似服从正态分布.在第二部分里研究了二项分布、正态分布与泊松分布的关系，从此处我们可以知道二项分布不仅可以用泊松分布近似，同样也可由正态分布来近似. 参考文献

[1] 罗建华.卷积公式的应用注记[J].中南林业科技大学学报，2007年，第27卷，第1期：152页. [2] 李贤平，沈崇生，陈子毅.概率论与数理统计[M].上海：复旦大学出版社，2003.5：221-231. [3]唐玲，徐怀.复合泊松分布和泊松过程的可加性[J].安徽建筑工业学院学报，2007.05：83页. [4] 郭彦.对柯西分布性质的进一步讨论[J].淮阴工学院学报，2005.05：12页.

[5] 茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004.7:155-160; [6] 王梓坤.概率论基础及应用[M].北京：北京师范大学出版社，1996.3:61-64. [7] 宋立新.概率论与数理统计[M].北京：人民大学出版社，2003.9:176-177.

[8]于洋.浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系[J].《企业科技与发展》，2008 年第20期：120页.

[9]魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，1983.10:208-211.

[10]孟凡华.浅谈几种概率分布之间的相互关系[J].信阳农专学报，1992年第3卷第2期:63-65.

[11]王淑云.特征函数及其应用[J].邯郸学院学报，2008年第18卷第3期:52-56.

(完整word版)概率论与数理统计教案(48课时)

《概率论与数理统计》课程教案第一章随机事件及其概率一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2) 掌握随机事件之间的关系与运算,； (3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算； (4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。了解概率的公理化定义。 (5) 理解条件概率、全概率公式、Bayes 公式及其意义。理解事件的独立性。二．本章的教学内容及学时分配第一节随机事件及事件之间的关系第二节频率与概率 2学时第三节等可能概型（古典概型） 2 学时第四节条件概率第五节事件的独立性 2 学时三．本章教学内容的重点和难点 1）随机事件及随机事件之间的关系； 2）古典概型及概率计算； 3）概率的性质； 4）条件概率，全概率公式和Bayes 公式 5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四．教学过程中应注意的问题 1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件； 2）注意让学生理解事件,,,,,A B A B A B A B AB A ???-=Φ…的具体含义，理解事件的互斥关系； 3）让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律； 4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理； 5）讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回；五．思考题和习题思考题：1. 集合的并运算?和差运算－是否存在消去律？

2. 怎样理解互斥事件和逆事件？ 3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题：第二章随机变量及其分布一．本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率； (2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；二．本章的教学内容及学时分配第一节随机变量第二节第二节离散型随机变量及其分布离散随机变量及分布律、分布律的特征第三节常用的离散型随机变量常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布） 2学时第四节随机变量的分布函数分布函数的定义和基本性质，公式第五节连续型随机变量及其分布连续随机变量及密度函数、密度函数的性质 2学时第六节常用的连续型随机变量常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算 2学时三．本章教学内容的重点和难点 a) 随机变量的定义、分布函数及性质； b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率； c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布)；四．教学过程中应注意的问题 a) 注意分布函数(){}F x P X x =<的特殊值及左连续性概念的理解； b) 构成离散随机变量X 的分布律的条件，它与分布函数()F x 之间的关系； c) 构成连续随机变量X 的密度函数的条件，它与分布函数()F x 之间的关系； d) 连续型随机变量的分布函数()F x 关于x 处处连续，且()0P X x ==，其中x 为任