广东省湛江一中2020至2021学年高二下学期期中数学
湛江一中2020-2021学年度第二学期期中考试
高二级文科数学试卷
考试时间：120分钟 满分为150分 命题教师：W T S
一、选择题：（本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。） 1在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.如果复数
i
bi
212+-（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等（ ） A.2 B.32 C.3
2
- D.2
3. 圆5cos 53sin ρθθ=-的圆心坐标是（ ）
A. )32,
5(π- B. (5,)3π- C. (5,)3π D. 5(5,)3
π- 4. 如果某地的财政收入x 与支出y 满足线性回归方程e a bx y ++=（单位：亿元），其中
5.0||,2,8.0≤==e a b ，如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过
A 9亿
B 10亿
C 9.5亿
D 10.5亿 5．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）
A.若K 2
的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;
B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病;
C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误;
D.以上三种说法都不正确.
6．命题：“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论是错误的，其原因是
A 大前提错误
B 小前提错误
C 推理形式错误
D 以上都不是 7.将两个数a ＝8，b ＝17交换，使a ＝17，b ＝8，下面语句正确的一组是 (
)
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8． 有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察
的结果如图所示.如果记3的对面的数字为m ，4的对面的数字为n ，那么m+n 的值为
( )
A 3
B 7
C 8
D 11
（第8题图）
9．给出右面的程序框图，输出的数是（ ）
A ．2450
B ．2550
C ．5050
D ．4900
10．已知数列{}n a 满足12a =，111n
n n
a a a ++=-（*n ∈N 则2012321a a a a ???的值为A 2 B -3 C 2
1
-
D 1 （第9题图） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．） 11、定义运算
, a c ad bc b d
=-复数z 满足
1,1 z i i i
=+则z ＝ ；
12．在Rt ABC ?中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则
222111h a b
=+，由此类比：三棱锥S ABC -中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则 ．
13. 观察下图中各正方形图案，每条边上有(2)n n ≥个圆圈，每个图案中圆圈的总数是n S ，按此规律推出：当2n ≥时，n S 与n 的关系式
24n S == 38n S == 412n S ==
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14．设直线l 1的参数方程为???
??
x ＝1＋t ，
y ＝1＋3t
(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1
与l 2间的距离为________．
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 15 (本小题满分12分)
……
(1)计算： i
i i +-++2)
1(3)21(2；
(2). 把复数z 的共轭复数记作z ，已知i z i 34)21(+=+，求z
16．(本小题满分l2分)
以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单
位．已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ－π
3)＝6，圆C 的参数方程为?
????
x ＝10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参
数)，求直线l 被圆C 截得的弦长．
17．（本小题满分14分） 为了研究某灌溉渠道水的流速y 与水深x 之间的关系，测得一组数
据如下表:
(1) 画出散点图,判断变量y 与是否具有相关关系;
(2) 若y 与x 之间具有线性相关关系,求y 对x 的回归直线方程;
(
3.165
1
2
=∑=i i
x
,5.185
1
=∑=i i i y x )
(3) 预测水深为1.95m 水的流速是多少.
参考公式： 2
1
211
2
1
)()
)((x
n x
y x n y
x x x
y y x x
b n
i i
n
i i
i n
i i
n
i i i
--=
---=
∑∑∑∑==== x b y a -=
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18．(本小题满分14分)在△ABC 中，C
B C
B A cos cos sin sin sin ++=
，判断△ABC 的形状并证明.
19． (本小题满分14分) 先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知R a a ∈21,，121=+a a ，求证2
12
221≥
+a a ，
证明：构造函数2
221)()()(a x a x x f -+-=
2
22
12
2
22
121222)(22)(a a x x a a x a a x x f ++-=+++-=
因为对一切x ∈R ，恒有)(x f ≥0，所以)(842
221a a +-=?≤0,
从而得2
12
221≥
+a a ，
（1）若R a a a n ∈,,,21 ，121=+++n a a a ，请写出上述结论的推广式； （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。 20. (本小题满分l4分)已知数列{a n }的各项均为正数，观察程序框图，若k=5,k=10时，分别
有S=
115和S=21
10
. （1）试求数列{a n }的通项；
（2）令n a
n b 2=,求b 1+b 2+…+b m 的值.
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湛江一中2020-2021学年度第二学期期中考试
高二级文科数学答题卷
考试时间：120分钟 满分为150分 命题教师：W T S
一、选择题：（本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．）
题号
1 2 3 4 5 6 7
8
9
10
答案
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．）
11． 12。
13． 14。 三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
15．(本小题满分12分)
第 5页共8页16．(本小题满分12分)
17．（本小题满分14分）
第 6页共8页18．（本小题满分14分）
19．（本小题满分14分）
第 7页共8页20．（本小题满分14分）
第 8页 共8页
湛江一中2020-2021学年度第二学期期中考试
高二级文科数学答案
考试时间：120分钟 满分为150分 命题教师：W T S
一、选择题：（本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
B
C
A
D
C
A
B
C
A
D
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．） 11．i -2 12。
22221111
h a b c
=++ 13．22
(2)n n -- =4n-4 14。3105
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 15 (本小题满分12分)
解：(1) i
i
i i i i +-++-=+-++233432)1(3)21(2
=+=
i i 2i i i 5
2
515)2(+=-……………6分 (2)解:设yi x z R y R x yi x z -=∈∈+=则),,(
=-++=-+=+i y x y x yi x i z i )2()2())(21()21(i 34+…….9分
则
3242=-=+y x y x ,解得 1
2
==y x
∴z=2+i ，…………….12分
16．(本小题满分l2分)解：由ρsin(θ－π3)＝ρ(12sin θ－3
2
cos θ)＝6得
ρsin θ－3ρcos θ＝12. ∴y －3x ＝12.。。。。。。。4分 圆C::2
2210=+y x 圆心C （0，0），10=r
∴点C 到直线的距离为d ＝|0＋0＋12|
3＋1＝6.。。。。。。。。8分
∴直线l 被圆截得的弦长为2102
－62
＝16.。。。。。。。12分
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17．（本小题满分14分）
解：（1）散点图略，有相关关系。…………3分 （2）经计算可得 8.1=x ，2=y ，
3.165
1
2=∑=i i
x
，5.185
1
=∑=i i i y x …………5分
b =
2
5
1
25
155x x
y
x y
x i i
i i
i
?-?-∑∑===
58.153.162
8.155.182
=?-??- ……7分
a =y －
b x =2－58.1?=-7. …………9分
故所求的回归直线方程为y
=5x -7. …………10分 (3)当95.1=x 时，75.2795.15=-?=y
。
即水深为1.95m 时水的流速约是2.75m/s. …………14分 18．(本小题满分14分) 解:π
=++++=
C B A C B C
B A ,cos cos sin sin sin 。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
)sin()sin(cos sin cos sin B A C A C A B A +++=+∴。。。。。。5分 0cos )sin (sin cos sin cos sin =+=+∴A B C A B A C 。。。。。。8分 的内角为ABC C B A ?,,
20cos ,0sin sin π
=
?=∴≠+A A B C 。。。。。。。。。。。。。。。。。12
分
所以三角形ABC 是直角三角形。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
14分
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19． (本小题满分14分)
解：（1）若R a a a n ∈,,,21 ，121=+++n a a a ，
求证：n
n a a a 12
2221≥
+++ …………………………………………………6分
（2）证明：构造函数2
2221)()()()(n a x a x a x x f -++-+-= …8 分
2
2221212)(2n n a a a x a a a nx +++++++-= ………………10分 2222122n a a a x nx ++++-= ……………12分
因为对一切x ∈R ，都有)(x f ≥0，所以△=)(442
2221n a a a n +++- ≤0, 从而证得：n
n a a a 12
2221≥
+++ . ……………14分
20. (本小题满分l4分)
解：由框图可知.1111
3221++???++=
k k a a a a a a S …………………………..1分 因为{a n }是等差数列，设公差为d,则有???
?
??-=++111111k k k k a a d a a ，………2分 所以.11111111111113221???
?
??-=???? ??-+???+-+-=++k k k a a d a a a a a a d S ………4分
（1）由题意可知，k=5时，115=
S ;k=10时，21
10
=S . 所以???????=???? ??-=???? ??-,21
10111,115
111111
61
a a d a a d 解得???==2,11d a 或???-=-=2,11d a （舍去）………………8分
故a n =a 1+(n-1)d=2n-1…………………………………………………………10分 （2）由（1）可得：1222
-==n a n n
b ，……………………………………11分
所以1
23121222-+???++=+???++m m b b b
()
)14(3
241412-=--=m m …………………………………………………14分
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