中国人民大学附中高考数学综合能力题30讲第12讲 复数的运算与几何意义

数学高考综合能力题选讲12

复数的运算与几何意义

100080 北京中国人民大学附中 梁丽平

题型预测

从近几年的高考试题看，复数部分考查的难度在下降，题量也在减少，考查的内容主要集中在三个方面：一、复数的运算．包括代数形式及三角形式的计算，复数模、辐角及其主值的计算．二、以复数运算和某些概念的几何意义为核心而形成的数形结合的题目．三、复数与方程的题目．估计今后几年高考试题仍将侧重于复数的概念、运算、复数与三角、复数与几何、复数与不等式等综合型试题．

范例选讲

例1 若复平面内单位圆上三点所对应的复数321,,z z z ，满足312

2

z z z =且032=-+i iz z ，求复数321,,z z z ．

讲解：当已知复数的模时，往往可以利用复数的三角形式解题．

解1： 设ααsin cos 1i z +=，ββsin cos 2i z +=，γγsin cos 3i z +=，则由

032=-+i iz z 可得：

?

?

?=-+=+01cos sin 0

sin cos γβγβ 利用1sin cos 2

2=+ββ，可解得：???

????

±==23sin 21cos γγ，

所以，2

313i

z ±=

． 当2313i z +=时，()23132i

z i z +=--=，132

21==z z z ；

当2

313i z -=时，()23132i

z i z +-=--=，132

21==z z z ．

若能注意到本题的特点：则可充分利用模的性质，得到下面的解2． 解2：由题可知321,,z z z 都等于1，又由032=-+i iz z 得：()132--=z i z ，所以，1123==-z z ，

所以，3z 所对应的点的轨迹为圆122=+y x 与圆()1122

=+-y x 的交点．

解之得：2

313i

z ±=

． 以下同解1．略．

用复数的代数形式去解本题也未尝不可．

解3：设fi e z di c z bi a z +=+=+=321,,，其中R f e d c b a ∈,,,,,，则由题可得：

????

??

???????=-+=-+=-=-=+=+=+)7(01)6(0

)5(2)4()3(1)2(1

)1(12

2222

222e d f c be af cd bf

ae d c f e d c b a 解这个6元方程组，需要较高的技巧，如果能够注意到（2）、（3）、（6）、

（7）只与f e d c ,,,相关，则可将此四个方程联立，解得：2

1

=

e ，所以，23±=

f ．

下略．

点评：复数的代数形式、三角形式、模的性质是解决复数问题的3大支柱．

例2 设复数21,z z 满足：()014

12

222121=++-z a z z z ，()0>a ，它们在复平

面内分别对应于不同的点A 、点B ，O 为坐标原点，若4

12

2a z -=，求使得△

AOB 有最大面积时的a 的值，并求出最大面积．

讲解：由于AOB z z AOB OB OA S AOB ∠??=∠??=?sin 21

sin 2121，所以，首先

应结合题目条件，考虑1z 与2z 的关系．

首先，02≠z ，所以，()

01412

212

21=++???? ??-???? ??a z z z z ，解这个关于2

1z z 的方程，得：

2

121ai

z z ±=．

所以，2

1212

21a ai z z +=±=，a AOB ±=∠tan ， 所以，2

1sin a

a AOB +=∠．

所以，AOB z z AOB OB OA S AOB ∠??=∠??=

?sin 2

1

sin 2121 222

1412

121a a

a a +????? ?

?-?+?=

()

2

2

44a a -= ()()

2

2224

2442?--=

a a a

()(

)3

2

2234422161

??

?

?

?

?-+-+?≤a a a

9

3

=．

等号当且仅当2242a a -=，即3

3

2=

a 时取得．此时，△AOB 取得最大面积，为

9

3． 点评： 正确理解复数运算的几何意义是数形结合和实现问题转化的关键．

高考真题

1．（1994年全国高考）已知z ＝1＋i,

（Ⅰ）设ω＝z 2＋3z －4,求ω的三角形式;；

（Ⅱ）如果1

z z b

az z 22+-++＝1－i,求实数a,b 的值.

2．（1995年全国高考）在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z 1，Z 2，Z 3，O(O 为原点),已知Z 2对应复数z 2＝1＋3i,求点Z 1和Z 3所对应的复数．

3．(1997年全国高考)已知复数z ＝

i i 2

222,2123+=-ω,复数zw ,z 2w 3

在复数平面上所对应的点分别为P,Q,证明△OPQ 是等腰直角三角形(其中O 是原点).

[答案与提示：1．（Ⅰ）??? ?

?

+=45sin 45cos 2ππωi ；（Ⅱ）

2,1=-=b a ． 2．i z 2132311-++=

；i z 2

1

32313-+-=． 3．略．]

复数的几何意义--教案

复数的几何意义 教学目标 １. 了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。 ２. 了解复数加、减法的几何意义，进一步体会数形结合的思想。 教学重点 复数的几何意义与复数的加、减法的几何意义。 教学过程 前面我们是从“数”的角度研究了复数的概念及其四则运算，本节课我们将从“形”的角度来研究复数的几何表示和复数加减法的几何意义。 一、 问题情境 我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表示，那么，复数是否也能用点来表示呢？ 二、 学生活动 知识回顾： ①形如bi a +的数叫复数，通常用字母z 表示，即bi a z +=),(R b a ∈，其中a 与b 分别叫做复数的实部与虚部。???=≠=+=时为纯虚数）当虚数　（实数　（复数0)(0) 0a b b bi a z 。 ②两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等 即 ???==?+=+d b c a di c bi a 。 问题１ 复数相等的充要条件表明，任何一个复数bi a +都可以由一个有序实数对),(b a 惟一确定，而有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点是一一对应的，那么，我们怎么用平面内的点来表示复数呢？

问题２ 我们知道平面直角坐标系中的点A 与以原点O 为起点、A 为终点的向量OA 是一一对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？ 三、 建构数学 师生共同活动： １. 在平面直角坐标系xOy 中，以复数bi a z +=的实部a 为横坐标、虚部b 为纵坐标就确定了点),(b a Z ，我们可以用点),(b a Z 来表示复数bi a +，这就是复数的几何意义。 ２. 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（也称为高斯平面），x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。实轴上的的点都表示实数，除原点外虚轴上的点都表示虚数。 ３. 因为复平面内的点),(b a Z 与以原点O 为起点、Z 为终点的向量一一对应（实数０与零向量对应），所以我们也可以用向量OZ 来表示复数bi a +，这也是复数的几何意义。 ４. 根据上面的讨论，我们可以得到复数bi a z +=、复平 面内的点),(b a Z 和平面向量OZ 这间的关系（如图）。今后， 常把复数bi a z +=说成点Z 或向量（并且规定相等的 向量表示同一个复数） ５. 相对于复数的代数形式bi a z +=，我们把点),(b a Z 称为复数z 的几何形式，向量称为复数的向量形式。 四、数学运用 运用１ （１）例１ 在复平面内，分别用点和向量表示下列复数 4，i +2，i -，i 31+-，i 23-

复数的概念与几何意义

1 第三章第一节 数系的扩充与复数的概念 学习目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会数与现实世界的联系。 2.理解复数基本概念以及复数相等的充要条件。 自学探究 问题1. 在实数集中方程x 2-1=0是什么？ 方程x 2 +1=0有实数解吗？联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能 设想一种方法，使这个方程有解吗？ 问题2.复数的概念是什么？ 问题3.若复数a+bi=c+di ，则实数a 、b 、c 、d 满足什么条件？ 问题4.你能对复数集进行恰当地分类吗？并举出相应例子。 练习题： （一）完成课本104页1，2，3 （二）1.实数m 取何值时，复数z=m+1+(m-1)i 是实数？虚数？纯虚数？ 2.已知i 是虚数单位，复数Z=(m 2 -4)+(m+2)i ，当m 取何实数时，Z 是：（1）实数 （2）纯虚数 3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,求实数a 的值。 4.若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，则,x y 的值是？ 5.已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程x 2 -4x+3=0的两根，试求：,,a b k 的值。 [思考]：你能得出判断一个数是实数、虚数，纯虚数的方法吗？ 第三章第二节 复数的几何意义 学习目标 1.通过复数与从原点出发的向量的对应关系了解复数的几何意义，从中体会数形结合的思想； 2.从复数几何意义的引入过程中体会用几何研究代数问题的方法。 自学探究 问题1.在直角坐标系中，有序实数对与点一一对应，类比此种对应，复数能与什么建立一一对应？ 问题2.复数Z= (,)a bi a b R +∈（ 可以与复平面的向量对应吗？复数的几何意义是什么？ 问题3.怎样求一个复数的模？ 练习题： （一）完成课本105页1，2，3；106页A 组全做 （二） 1.若复数12z i =+，求z 的模。 2.若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数m 的取值，并求z 的模。 3.在复平面内指出与复数112z i =+，223z i =，332z i =，42z i =-+对应的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z . 试 判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论. 第三章第三节 复数代数形式的加减运算及其几何意义 1.会进行复数的代数形式的加、减运算，了解其几何意义； 2.通过复数加法几何意义的探究渗透数形结合、类比的数学思想。 自学探究 问题1.复数与复平面内的向量有一一对应的关系，类比向量加法，你能得出复数的加法运算法则吗？ 复数加法的几何意义呢？ 问题2.复数的加法满足交换律、结合律吗？请结合复数加法运算法则证明。 问题3.若复数z 1+z 2=z 3,你能否用z 2和z 3表示出z 1 ？请画图说明。 你能因此得出复数减法法则及其几何意义吗？ 练习题： （一）完成课本109页1，2 （二）计算 （1）(56)(2)(34)i i i -+---+ （2）5i -(-2+3i )+(4-7i ) 2 . 已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0，32i +，24i -+，试求： （1）AO 表示的复数； （2）CA 表示的复数； （3）B 点对应的复数. 3.ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是13,,2i i i +-+，求点D 对应的复数. 4. 当2 13 m <<时，复数(3)(2)m i i +-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 第三章第四节 复数代数形式的乘除运算 学习目标 1. 理解共轭复数的概念； 2. 能进行复数的代数形式的乘、除运算，从中体会类比数学思想。 自学探究 问题1.类比(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,你能得出(a+bi)(c+di)=? 问题2.复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？请举例说明。 问题3.复数34i +与3-4i 有何关系？a bi +的共轭复数是什么？bi 的共轭复数是什么？ 思考：若12,z z 是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系如何？ （2）12z z ?是一个怎样的数？有何特征？ 问题4.类比实数的除法是乘法的逆运算，请探究（1+2i ）Z =4+3i 中的复数Z =？ 你能得出复数除法运算法则吗？ 练习题： （一）完成课本111页1，2，3；112页A 组1至6题;116页A 组全做，B 组1，2题。 （二）1. 复数5 2 i -的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -- D ．2i - 2.如果复数212bi i -+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为（ ） A 2 B ．-2 C ．23- D ．2 3 3. 若12z i =，则22z z -的值为 4. 计算 （1）13()(1)2i -+； （2）3113 ()()22-- 5. 若复数z 满足11z i z -=+，则|1|z +的值为 第三章 数系的扩充与复数的引入（复习课） 1. 设134z i =-，223z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 2(1)i i -?等于（ ） A ．22i - B ．22i + C ．2- D ．2 3. 复数21 (1)i +的值是（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2-

复数几何意义的应用学案.

复数几何意义的应用学案 一、复数相关知识 1.复数z a bi (a,b R)的几何意义是什么？ 2. I z I的几何意义是什么？ 3. 复数z1,z 2差的模I Z1-Z 2 I的几何意义是什么？ 二、轨迹问题 (一)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设Z(x,y)以Z0(x0, y0)为圆心，r(r 0)为半径的圆上任意一点，则点 Z(x,y)满足ZZ o r (r0) 1. 该圆向量形式的方程是什么 2. 该圆复数形式的方程是什么 3.该圆代数形式的方程是什么(二)椭圆的定义：平面内与两定点Z1,Z2的距离的和等于常数(大于乙Z2 ) 的点的集合(轨迹) 设Z(x, y)是以Z i(x i, y2)Z2(X2,y2)为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任 意一点，则点Z(x, y)满足ZZ1ZZ22a (2a 乙Z?) 1.该椭圆向量形式的方程是什么

2.该椭圆复数形式的方程是什么 变式(1)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨 迹是什么？ 变式(2)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨 迹是什么？ (三)双曲线的定义：平面内与两定点Z1, Z2的距离的差的绝对值等于 常数(小于乙Z2 )的点的集合(轨迹) 设Z(x, y)是以Z i(x i, y2)Z2(X2, y2)为焦点，2a为实轴长的椭圆的上 任意一点，则点Z(x, y)满足ZZ1ZZJ 2a （2a 乙Z2） 1.该双曲线向量形式的方程是什么 2.该双曲线复数形式的方程是什么 变式(1)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨 迹是什么？ 变式(2)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a 0"那么点Z的轨迹是什么？

复数的几何意义 说课稿 教案 教学设计

复数的几何意义 一、教学目标： 1.理解复平面、实轴、虚轴等概念. 2.理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用. 3.理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别与联系. 二、教学重点： 重点：理解并掌握复数的几何意义. 难点：复平面内的点(,),,z a b OZ z a bi =+的关系；复数模的问题. 三、教学过程 【使用说明与学法指导】 1.课前用20分钟预习课本P 104-105内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学. 2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑. 【问题导学】 1. 复平面? 2.复数的几何意义？ 3.复数的模？ 4.复平面的虚轴的单位长度是1，还是i? 【合作探究】 问题1：复数与复平面内点的关系 1.复数2z i =对应的点在复平面的（ B ） A. 第一象限内 B. 实轴上 C. 虚轴上 D. 第四象限内 2.在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ D ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.在复平面内表示复数()3z m =-+的点在直线y x =上，则实数m 的值为 9 . 4.已知复数() ()2232z x x x i =--+-在复平面内的对应点位于第二象限，求实数x 的取值范围. 解：23x << 问题2：复数与复平面内向量的关系 1.向量1OZ 对应的复数是54i -，向量2OZ 对应的复数是54i -+，则1OZ +2OZ 对应的复数是 0 . 2. 复数43i +与25i --分别表示向量OA 与OB ，则向量AB 表示的复数是68i --.

(完整word版)复数的概念及其几何意义练习题

一．选择题（共10小题） 1．（2015?遵义校级一模）已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（） A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i 2．（2015?安庆校级三模）设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（） A．﹣2﹣6i B．﹣2+2i C．4+2i D．4﹣6i 3．（2015?广西校级学业考试）实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 4．（2015?泉州校级模拟）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣2 5．（2015?潍坊模拟）设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（） A．B．C．±1 D． 6．（2015?浠水县校级模拟）已知复数z与（z+2）2﹣8i是纯虚数，则z=（） A．﹣2i B．2i C．﹣i或i D．2i或﹣2i 7．（2015?新课标II）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 8．（2015?南平模拟）已知x，y∈R，i为虚数单位，且yi﹣x=﹣1+i，则（1﹣i）x+y的值为（）A．2 B．﹣2i C．﹣4 D．2i 9．（2015?宜宾模拟）在复平面内，复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为（） A．﹣2+2i B．2﹣2i C．﹣1+i D．1﹣i 10．（2015?上饶校级一模）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二．填空题（共5小题） 11．（2015?岳阳二模）已知z=x+yi，x，y∈R，i为虚数单位，且z=（1+i）2，则ix+y=．12．（2015春?常州期中）计算i+i2+…+i2015的值为． 13．（2015春?肇庆期末）从{0，1，2，3，4，5} 中任取2个互不相等的数a，b组成a+bi，其中虚数有个． 14．（2015?泸州模拟）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=． 15．（2014?奎文区校级模拟）设O是原点，向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么，向量 对应的复数是． 三．解答题（共8小题） 17．（2015?赫章县校级模拟）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3﹣i． （1）求点C，D对应的复数； （2）求平行四边形ABCD的面积． 18．（2015春?蠡县校级期末）实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：

3-1-2 复数的几何意义

基础巩固强化 一、选择题 1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3i D ．3 [答案] C [解析] 由OZ →＝(0，－3)，得点Z 的坐标为(0，－3)， ∴OZ →对应的复数为0－3i ＝－3i.故选C. 2．复数z 与它的模相等的充要条件是( ) A ．z 为纯虚数 B ．z 是实数 C ．z 是正实数 D ．z 是非负实数 [答案] D [解析] ∵z ＝|z |，∴z 为实数且z ≥0. 3．已知复数z ＝a ＋i(其中a ∈R ，i 为虚数单位)的模为|z |＝2，则a 等于( ) A ．1 B ．±1 C. 3 D ．±3 [答案] D [解析] ∵|z |＝2，∴a 2＋1＝4，∴a ＝±3. 4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A 、B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋8i B ．8＋2i

C ．2＋4i D ．4＋i [答案] C [解析] 由题意，得点A (6,5)，B (－2,3)．由C 为线段AB 的中点，得点C (2,4)， ∴点C 对应的复数为2＋4i. 5．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2或a ≠－1 C ．a ＝2或a ＝0 D ．a ＝0 [答案] C [解析] 由题意知a 2－2a ＝0， 解得a ＝0或2. 6．当2 30，m －1<0. 二、填空题 7．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是________． [答案] (1,2) [解析] 由已知，得? ???? x 2－6x ＋5<0 x －2<0，

第二讲 复数的模及其几何意义

第二讲 复数的模及其几何意义 （一）复数模的运算 复数()R b a bi a ∈+,的模：z = ； 例1. 已知84z z i +=-，求复数z 。 例2. 已知复数12cos ,sin z i z i θθ=-=+，求12z z ?的最值。 运算律： ； ； ； 例1：已知()()() 2321331i i i z --+=，则—z = 例2：复数()()()223321i a i a i z ---=，则3 2=z ，则a =

（二）复数的几何意义 1. 复数加法，减法的运算的几何意义满足 ； 2. 21z z -表示复平面上 ； 例1：复平面内，说出下列复数z 对应的点的集合构成的图形； （1）1z = （2）1z i -+=（3）4z i z i ++-= （4）|1|||z z i +=- 例2：（1）若 2=z ，则i z +-1的取值范围为 。 （2）已知C z ∈，且132=--i z ，求cos sin z i θθ--?的最大值和最小值。 （3）若 622=-++i z i z ，则i z 5-的取值范围为 。 （4）复平面内，曲线11=+-i z 关于直线x y =的对称曲线方程为 。

例3：已知1z =，设2 1u z i =-+，求u 的取值范围。 例4：已知123,5z z ==，126z z +=，求12z z -的值。 （三）综合问题 例1. 已知复数z 的实部大于零，且满足)()cos sin z i R θθθ= +∈，2z 的虚部为2． （1）求复数z ； （2）设22 z z z z -、、在复平面上的对应点分别为,,A B C ，求AB AC ? 的值．

3.1.2复数的几何意义(学、教案)

3. 1.2复数的几何意义 课前预习学案 课前预习： 1、复数与复平面的点之间的对应关系 1、复数模的计算 2、共轭复数的概念及性质 4、 提出疑惑： 通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 学习目标： 1. 理解复数与复平面的点之间的一一对应关系 2.理解复数的几何意义 并掌握复数模的计算方法 3、理解共轭复数的概念，了解共轭复数的简单性质 学习过程 一、自主学习 阅读 课本相关内容，并完成下面题目 1、复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是 的 2、 叫做复平面， x 轴叫做 ，y 轴叫做 实轴上的点都表示 虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表示 3、复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数 ←???→一一对应复平面内的点 ←???→一一对应 平面向量 4、共轭复数 5、复数z =a +bi (a 、b ∈R )的模 二、探究以下问题 1、实数与数轴上点有什么关系？类比实数，复数是否也可以用点来表示 吗？ 2、复数与从原点出发的向量的是如何对应的？ 3、复数的几何意义你是怎样理解的？ 4、复数的模与向量的模有什么联系？ 5、你能从几何的角度得出共轭复数的性质吗？ 三、精讲点拨、有效训练 见教案

反思总结 1、你对复数的几何意义的理解 2、复数的模的运算及含义 3共轭复数及其性质 当堂检测 1、判断正误 （1） 实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数 （2） 若|z 1|=|z 2|，则z 1=z 2 （3） 若|z 1|= z 1，则z 1>0 2、()12m z i =当＜时，复数＋m-1在复平面上对应的点位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 3、已知a ，判断z=i a a a a )22()42(22+--+-所对应的点在第几象限 4、设Z 为纯虚数，且|z+2|=|4-3 i |，求复数Z

新人教版高中数学必修第二册 第7章 复数 7.1.2 复数的几何意义

7．1.2 复数的几何意义 考点 学习目标 核心素养 复平面 了解复平面的概念 数学抽象 复数的几何意义 理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系 直观想象 复数的模 掌握复数的模的概念，会求复数的模 数学运算 共轭复数 掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数 数学运算 问题导学 预习教材P70－P72的内容，思考以下问题： 1．复平面是如何定义的？ 2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 3．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数是什么？ 1．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的两种几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←――→一一对应 复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ←――→一一对应平面向量OZ →. ■名师点拨 (1)复平面内的点Z 的坐标是(a ，b )，而不是(a ，b i)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i. (2)当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i ＝0＋b i ＝b i 是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b )(b ≠0)都表示纯虚数． (3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中的z ，书写时应小写；复平面内的点Z (a ，b )中的Z ，书写时应大写． 3．复数的模

复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ → 的模叫做复数z 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2． ■名师点拨 如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(a 的绝对值)． 4．共轭复数 (1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． (2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (3)复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z － ＝a －b i ． ■名师点拨 复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为(a ，b )，复数z － ＝a －b i 在复平面内对应的点为(a ，－b )，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点．( ) (2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．( ) (3)若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2.( ) (4)若z 1与z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 复数1－2i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D 复数z ＝1＋3i 的模等于( ) A ．2 B ．4 C.10 D ．2 2 答案：C 复数z ＝－2＋5i 的共轭复数z － ＝________． 答案：－2－5i

17.3复数的几何意义和三角形式学习资料

南京商业学校教案 授课日期2015年月日第周时数课型新课课题§17.3复数的几何意义和三角形式 教学目标知识目标：了解复平面的概念；掌握复数的几何表示和向量表示； 理解复数的模、辐角及辐角主值的概念；掌握复数的 三角形式及其特征。 能力目标：会在复平面内描出表示复数的点及向量；会求复数的模和辐角、和辐角主值（特殊角）；会进行复数的三 角形式与代数形式的互化。 情感目标：培养学生数形结合的数学思想和辩证唯物主义思想。 教学重点用复平面上的点、向量和三角形式表示复数；复数的模和辐角、辐角主值的概念。 教学难点复数几何表示法的理解；复数几种表示形式的互化；复数辐角的求法。 教学资源课本，教学参考书，学习指导书，网络 教法与学法教师启发、引导，学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果。 学情分析（含更新、补充、删节内容） 复数的几何表示和向量表示是复数的两种常见形式，复数的向量表示学生不易理解的，教学时要充分揭示复数与向量之间的关系，并借助向量进一步加强学生对复数的理解。 板书设计 17.3复数的几何意义和三角形式 1. 复平面例1 例3 2. 复数的几何表示 3．复数的向量表示例2 4．复数的三角形式

教后记

教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计） 师生活动 一、引入新课 根据复数的定义，复数表示为）（R b ,a bi a z ∈+=的形式，我们把这种形式叫做复数的代数形式，复数还有其他表现形式吗？这些表示形式之间有什么关系？ 二、讲授新课 1．复平面 在平面上建立直角坐标系xOy ，横轴、纵轴上的坐标分别表示复数的实部和虚部，这样的平面叫做复平面，其中横轴叫做实轴，纵轴叫做虚轴。 2．复数的几何表示 有序实数对（)b ,a 与直角坐标系内的点一一对应的，由复数代数形式bi a z +=可以知道，任何一个复数）（R b ,a bi a z ∈+=，都可以有一个有序的实数对（b ,a ）唯一确定，即复数 图1 bi a z +=与有序实数对（b ,a ）之间一一对应。由此可知，复数bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的（如图1所示），即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。我们把这种表示形式叫做复数的几何表示。 想一想：实数、纯虚数、虚数表示的点分别在复平面的什么位置？ （复平面内，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，表示非纯虚数的点分别在四个象限内．） 3. 复数的向量表示 直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。 r 学生思考并回答 图2 y Z(b ,a ) O x b a

第三章 §3.1 3.1.2 复数的几何意义(优秀经典公开课比赛教案)

[A 组 学业达标] 1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：z ＝－1－2i 对应点Z (－1，－2)，位于第三象限. 答案：C 2．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3 D ．2 解析：依题意可得 (m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3，故选A. 答案：A 3．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－3) 解析：由题意知????? m ＋3>0，m －1<0， 即－3

5．如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( ) A ．－34＋i B.34－i C ．－34－i D.34＋i 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由复数相等的充要条件，得????? a ＋a 2＋ b 2＝2，b ＝1，解得??? a ＝34，b ＝1， 即z ＝34 ＋i. 答案：D 6．在复平面内，复数z ＝sin 2＋cos 2i 对应的点位于________象限． 解析：由π2<2<π，知sin 2>0，cos 2<0 ∴复数z 对应点(sin 2，cos 2)位于第四象限． 答案：第四 7．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________. 解析：复数z 1＝2－3i 对应的点为(2，－3)，则z 2对应的点为(－2,3)．所以z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i 8．已知在△ABC 中，AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的 复数为________． 解析：因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，所以AB →＝(－1,2)，AC →＝ (－2，－3)，又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的 复数为－1－5i. 答案：－1－5i

3.1.2复数的几何意义 教案.doc教学设计

第三章数系的扩充与复数的引入 【课题】：3.1.2 复数的几何意义 【学情分析】： 教学对象是高二的学生，学生已经学过代数、解析几何的相关知识,所以本节课要求学生通过类比实数的几何意义自己探索复数的几何意义，由于学生已经学过平面向量及其几何表示、坐标表示，得到用平面向量来表示复数就比较容易了. 【教学目标】： （1）知识与技能： 了解复数的几何意义，会用复平面的点和向量来表示复数； （2）过程与方法： 在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对复数几何意义的理解； （3）情感态度与价值观： 培养学生用联系的观点分析、解决问题的能力。 【教学重点】： 复数的代数形式和复数的向量表示. 【教学难点】： 复数的向量表示. 【课前准备】： powerpoint课件

六、 作业 1、在复平面内，复数 2)31(1i i i +++对应的点位于 （ B ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、复数,111-++-= i i z 在复平面内，z 所对应的点在 （ B ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、 在复平面内指出与复数i z i z i z i z +-=-=+= +=2,23,32,214321 对应的点 4321,,,Z Z Z Z .试判断这四个点是否在同一个圆上？并证明你的结论. 解：因为 ︱1z ︱=52122= +，︱2z ︱=5，︱3z ︱=5，︱4z ︱=5， 所以，4321,,,Z Z Z Z 这四个点都在以圆点为圆心，半径为5的圆上. 4、如果P 是复平面内表示表示复数a +bi （a ，b ∈R ）的点，分别指出在下列条件下点P 的位置： （！）a >0，b>0; (2) a <0,b>o; (3)a =0,b ≤0; (4)b<0. 解：（1）第一象限 （2）第二象限 （3）位于原点或虚轴的下半轴上 （4）位于实轴下方 5、如果复数z 的实部为正数，虚部为3，那么在复平面内，复数z 对应的点应位于怎样的图形上？ 解：平面直角坐标系中以（0，3）为端点的一条射线，但不包括端点（0，3） 6、已知复数z 的虚部为3，在复平面内复数z 对应的向量的模为2，求该复数z . 解：由已知，设)(3R a i a z ∈+ = 则.432 2=+ a 解得 ±=a 1. 所以 .31i z +±=

复数的概念、几何意义及运算

高考数学一轮复习专题训练(40) 复数的概念、几何意义及运算 班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日 一、填空题 1. 复数z＝ 1 1－i 的虚部是________． 2. 设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________． 3. 若复数a＋i 1＋i 为纯虚数，则实数a的值是________． 4. 若复数z＝2－i 3－4i ，则z的共轭复数为z＝________． 5. 在复平面内，复数1－i 2＋i ＋i2 019对应的点位于第 ________象限． 6. 若复数z＝ 1 a－2 ＋(a2－4)i(a∈R)是实数，则a＝ ________．

7. 已知i是虚数单位，则满足z－i＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点在第________象限． 8. 满足条件|z－i|＝|z＋3|的复数z在复平面上对应点的轨迹是________． 9. 已知i是虚数单位，a、b∈R，则“a＝b＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 10. 若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m＋6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值为________． 11. 设a∈R，若复数a＋i 1＋i (i为虚数单位)的实部和虚部相 等，则a＝________． 12. 已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋a i＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋b i，则复数z＝________． 13. 若复数(x－2)＋y i(x，y∈R)的模为3，则y x的最大值

7.1.2 复数的几何意义

7.1.2复数的几何意义 课标要求素养要求 理解复数的代数表示及其几何意义，掌 握用向量的模表示复数模的方法，理解 共轭复数的概念. 通过复数代数形式及其几何意义的理 解、复数模的运用，共轭复数的概念的 理解，体会数学抽象及数学运算素养. 教材知识探究 19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数 基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平 面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点 或有向线段(向量)建立了复数的几何基础. 复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”， 为进一步研究复数奠定了基础. 问题实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？ 提示任何一个复数z＝a＋b i，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应. 1.复平面复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部 2.复数的几何意义 (1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). (2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ → . 3.复数的模

(1)定义：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模或绝对值. (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R ). 如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数，它的模就等于|a |(a 的绝对值). 4.共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭 复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z 的共轭复数用z － __表 示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z － ＝a －b i. 教材拓展补遗 [微判断] 1.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.(√) 2.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.(×) 3.复数的模一定是正实数.(×) 4.两个共轭复数的和是实数.(√) 5.两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.(×) 提示 1.在复平面内对应于实数的点都在实轴上是正确的. 2.原点在虚轴上，但不是纯虚数. 3.复数的模可以为0. 4.根据共轭复数的定义可知正确. 5.应该是充分条件. [微训练] 1.向量a ＝(1，－2)所对应的复数的共轭复数是( ) A.1＋2i B.1－2i C.－1＋2i D.－2＋i 解析 因为复数与向量一一对应，所以向量a ＝(1，－2)的复数形式为z ＝1－2i ， 所以z － ＝1＋2i. 答案 A 2.已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则|z |＝________.

3.3复数的几何意义 学案(含答案)

3.3复数的几何意义学案（含答案） 3.3复数的几何意义学习目标 1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴.虚轴.模等概念. 3.理解向量加法.减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，平面向量可以用坐标表示，类比一下，复数怎样来表示呢答案任何一个复数zabi，都和一个有序实数对a，b一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系梳理建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点二复数的几何意义1复数与点.向量间的对应关系2复数的模复数zabia，bR，对应的向量为，则向量的模叫做复数zabi的模或绝对值，记作|z|或|abi|.由模的定义可知|z||abi|.知识点三复数加.减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗答案如图，设，分别与复数abi，cdi对应，且，不共线，则a，b，c，d，由平面向量的坐标运算，得ac，bd，所以与复数acbdi 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行思考2怎样作出与复数z1z2对应的向量答案z1z2可以看作z1z2因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形

法则作出与z1z2对应的向量如图图中对应复数z1，对应复数 z2，则对应复数z1z 2.梳理1复数加减法的几何意义复数加法的几何意义复数 z1z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数复数减法的几何意义复数z1z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数2设z1abi，z2cdia，b，c，dR，则|z1z2|，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离1原点是实轴和虚轴的交点2在复平面内，对应于实数的点都在实轴上3在复平面内，虚轴上的点构对应的复数都是纯虚数4复数的模一定是正实数类型一复数的几何意义例1实数x分别取什么值时，复数zx2x6x22x15i对应的点Z在1 第三象限；2直线xy30上解因为x是实数，所以x2x6， x22x15也是实数1当实数x满足即当3x2时，点Z在第三象限 2zx2x6x22x15i对应点的坐标为Zx2x6，x22x15，当实数x满足 x2x6x22x1530，即当x2时，点Z在直线xy30上引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在1虚轴上；2 第四象限解1当实数x满足x2x60，即当x3或2时，点Z在虚轴上2当实数x满足即当2x5时，点Z在第四象限反思与感悟按照复数和复平面内所有点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部.虚部的取

(完整word版)复数的概念与几何意义

第三章第一节 数系的扩充与复数的概念 学习目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会数与现实世界的联系。 2.理解复数基本概念以及复数相等的充要条件。 自学探究 问题1. 在实数集中方程x 2-1=0是什么？ 方程x 2 +1=0有实数解吗？联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能 设想一种方法，使这个方程有解吗？ 问题2.复数的概念是什么？ 问题3.若复数a+bi=c+di ，则实数a 、b 、c 、d 满足什么条件？ 问题4.你能对复数集进行恰当地分类吗？并举出相应例子。 练习题： （一）完成课本104页1，2，3 （二）1.实数m 取何值时，复数z=m+1+(m-1)i 是实数？虚数？纯虚数？ 2.已知i 是虚数单位，复数Z=(m 2 -4)+(m+2)i ，当m 取何实数时，Z 是：（1）实数 （2）纯虚数 3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,求实数a 的值。 4.若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，则,x y 的值是？ 5.已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程x 2 -4x+3=0的两根，试求：,,a b k 的值。 [思考]：你能得出判断一个数是实数、虚数，纯虚数的方法吗？ 第三章第二节 复数的几何意义 学习目标 1.通过复数与从原点出发的向量的对应关系了解复数的几何意义，从中体会数形结合的思想； 2.从复数几何意义的引入过程中体会用几何研究代数问题的方法。 自学探究 问题1.在直角坐标系中，有序实数对与点一一对应，类比此种对应，复数能与什么建立一一对应？ 问题2.复数Z= (,)a bi a b R +∈（ 可以与复平面的向量对应吗？复数的几何意义是什么？ 问题3.怎样求一个复数的模？ 练习题： （一）完成课本105页1，2，3；106页A 组全做 （二） 1. 若复数1z =，求z 的模。 2.若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数m 的取值，并求z 的模。 3.在复平面内指出与复数112z i =+ ，2z = ，3z =，42z i =-+对应的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z . 试 判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.

【新教材精品教案】7.1.2 复数的几何意义 教学设计(2)-人教A版高中数学必修第二册

【新教材】7.1.2 复数的几何意义 教学设计（人教A版） 复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用. 课程目标： 1. 理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系； 2. 掌握实轴、虚轴、模等概念； 3. 掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 数学学科素养 1.数学抽象：复平面及复数的几何意义的理解; 2.逻辑推理：根据平面与向量的关系推出复数与向量的一一对应及复数模公式; 3.数学运算：根据复数与复平面的点一一对应求参数和求复数的模; 4.数学建模：根据复数的代数形式，数形结合，多方位了解复数的几何意义，提高学生学习数学的兴趣. 重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量． 难点：根据复数的代数形式描出其对应的点及向量. 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、情景导入 提问：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本70-72页，思考并完成以下问题 1、复平面是如何定义的，复数的模如何求出？ 2、复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1．复平面