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全等三角形培优专题训练

八年级数学培优专题训练（二）

探索三角形全等的条件

1、一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D

在同一条直线上.

⑴求证：AB ⊥ED ；

⑵若PB ＝BC ，请找出图中与此条件有

关的一对全等三角形，并给予证明

2、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ，E 为垂足，则结论：①AD ＝BF ；②CF ＝CD ；③AC ＋CD ＝AB ；④BE ＝CF ；⑤BF ＝2BE.其中正确的是（）

3、如图，点C 在线段AB 上，DA ⊥AB ，EB ⊥AB ，FC ⊥AB ，且DA ＝BC ，EB

＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFC的度数.

4、如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，O 为对角线AC 的中点，过点O

作一条直线分别与AB 、CD 交于点M 、N ，点E 、F 在直线M 、N 上，且OE ＝OF.

⑴图中共有几对全等三角形，请把它们都写下来； ⑵求证：∠MAE ＝∠NCF

5、在△ABC 中，高所在直线AD 和BE 交于H 点，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_____________.

6、下列三个判断：

⑴有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ⑵有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ⑶一边及其它两边上的高对应相等的两个三角形全等.

上述判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例.

八年级数学培优专题训练（三）

全等三角形的应用

全等三角形常用来转移线段和角，用它来证明：

①线段和角的等量关系 ②线段和角的和差倍分关系

③直线与直线的平行或垂直等位置关系

1、如图，已知BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB.试判断AP 与AQ 的关系，并证明.

2、如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD ，

求证：BE ⊥AC

3、（2012·阜新中考）如图,在△ABC 中,AB ＝AC,AD ＝AE,∠BAC ＝∠DAC ＝90°.

⑴当点D 在AC 上时,如图①,线段BD,CE 有怎样的数量和位置关系?证明你猜想的结论.

⑵将图①中的△ADE 绕点A 顺时针旋转α角(0°＜α＜90°) ，如图②，线段BD 、CE 有怎样的数量关系和位置关系？问明理由.

①

4、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线 BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE.

⑴如图①，当点D在线段BC上时，若∠BAC＝90°，则∠BCE＝_______度.

⑵设∠BAC＝α，∠BCE＝β

a、如图②，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由.

b、当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.

①

②

八年级数学培优专题训练（四）

辅助线作法之连接法

在几何证明中，常通过添加辅助线来构造全等三角形.常见的添加辅助线方法有：连接法、截长补短法、倍长中线法、翻折法、旋转法以及利用特殊条件构造全等三角形等等.

1、如图，△ABC的两条高BD，CE相交于点P，且PD＝PE.

证明∶AC＝AB

2、已知AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，AF＝CD 求证：AC∥DF

3、如图，AB交CD于点O，AD、CB的延长线相交于点E，且OA＝OC，EA＝EC.∠A＝∠C吗？点O在∠AEC的平分线上吗？

八年级数学培优专题训练（五）

辅助线作法之倍长中线法

在题目条件中含有中线的问题，我们常用的辅助线就是将中线延长一倍，其目的是为了得一对全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中去.

1、△ABC中，AB＝5，AC＝3，求中线AD的取值范围.

2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，又是BC上的中线

求证：AB＝AC

3、（2014·襄阳初三模拟）在△ABC中，D是边BC上的一点，且CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线.

求证∶AC＝2AE

4、（竞赛014）△ABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥DF 交AB ，AC 于点E ，F.

求证：BE ＋CF ＞EF

6、（竞赛015）例：已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于点E ，交AD 于点F ，且AE ＝EF.

求证:AC ＝BF

八年级数学培优专题训练（六）

辅助线作法之截长补短法

截长法：在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条，再证明剩余部分与另一条相等. 补短法：把两条线段中的一条补到另一条线段上去，证明所得新线段与第三条线段相等. 1、已知AC ∥BD ，EA ，EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，点E 在CD 上.

求证：AB ＝AC ＋BD

2、在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝?（AB ＋AD ）. 求证∶∠B ＋∠D ＝180°

3、如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为AC的中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC 于F.

求证：∠ADB＝∠CDF

4、如图，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的角平分线.

求证∶AC＋CD＝AB

12、如图，已知AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，∠ABC＝∠AED＝90°，求五边形ABCDE的面积.

八年级数学培优专题训练（七）

辅助线作法之利用特殊条件构造全等三角形

2、（2012·“华罗庚杯”）如图，在△ABC中，AC＝?AB，AD

求证：CD⊥AC

八年级数学培优专题训练（八）

全等三角形在动态几何中的运用

1、(竞赛·014·3)如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC.△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP.

⑴在图①中,请你通过观察、测量、猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;

⑵将△EFP沿直线l向左平移到图②的位置时,EP交AC于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜想;

⑶将△EFP沿直线l向左平移到图③的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP,BQ.你认为⑵中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.

八年级数学培优专题训练（九）

探究角平分线

一、知识清单

角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.

三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）. 由定义可知，三角形的角平分线是一条线段.

角平分线性质:

1、角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.

2、角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半.

3、三角形的三条角平分线交于一点，且到各边的距离相等，这个点称为内心. 二、方法点拨

证明角平分线有两种方法:一是运用定义证明两个角相等;二是运用角平分线的判定方法. 三、规律清单

①遇到角平分线,可从角平分线上的某一点向角的两边作垂线段(图1). ②遇到角平分线,常可利用翻折法或截长补短法解题(图2).

③有两条角平分线(内角或外角)交于一点,则连接该点与三角形第三个顶点的线段会平分一个内角或外角(图3).

④有垂直于角平分线的线段,则延长这条线段以利用三线合一解题(图4).

⑤遇到角内的一点到角的两边有垂线段时,就连接这点与角的顶点,看能否平分已知角(图5). ⑥遇到有多条角平分线时,可尝试用整体的思想解题(图6).

⑦有翻折条件时,除注意全等的结论,还应关注折线就是角平分线、是对称轴（如图7）. ⑧角平分线、平行线、等腰三角形三个条件中出现任意两个,常可直接得到另一个(如图8）.

图3

图1

图2

四、真题训练

1、(2011·鄂州·竞赛·018 ·重庆中考）如图，△ABC 的外角∠ACD

的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 相交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝-_____________.

2、(竞赛·019)如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC. 求证:AM 平分∠DAB

3、(竞赛·019)如图,在△ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC,BE 平分∠ABC,CE ⊥BE.

求证:CE ＝1

2 BD

4、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ＝CD 求证：∠B ＝∠C

5、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AB ＝10cm ，则△DBE 的周长是多少？

6、（2011，恩施中考）AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE ＝DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为多少？