大学物理(二)习题参考答案

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14-2、 若理想气体的体积为V ,压强为p ,温度为T ,一个分子的质量为m ,k 为玻耳兹曼常量,R 为普适气体常量,则该理想气体的分子数为多少? 解:由理想气体状态方程 N p nkT kT V

== 得理想气体的分子数 pV N kT

=

14-8、温度为0oC 和100oC 时理想气体分子的平均平动动能各为多少?欲使分子的平均平动动能等于1e V ,气体的温度需是多少?

解:(1)23211133

1.3810273 5.651022w kT J J --=

=???=? (2)2321

2233 1.3810(273100)7.721022

w kT J J --==???+=?

(3)19

3323

322 1.60107.73107.4610233 1.3810

w w kT T K K k --??=?===?≈???℃ 14-9、某些恒星的温度可达到约1.0×108

K ,这是发生聚变反应(也称热核反应)所需的温

度。通常在此温度下恒星可视为由质子组成。求: (1)质子的平均动能是多大? (2)质子的方均根速率是多大? 解:(1)质子的平均动能为 2381533

1.3810 1.010

2.071022

w kT J J --=

=????=? (2) 质子的方均根速率是

2161

12

1.5710rps w mv v s m s --=

=

=?=??

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161

1.5710rps

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v s m s --==?=?? 14-12、解: (1)K

K E E N w w N

=?=

A mol

M

N N M =

? 5321

23

4.141032108.27102.66 6.0210

k mol A E M w J J MN --???∴===???

(2) 21

23

3228.2710400233 1.3810w w kT T K K k --??=?=

=≈?? 14-17、解:(1)

253

122522 6.7510 1.35105 2.010mol mol mol M M PV RT P RT M V M E E P M i iV V E RT M P Pa Pa -?

=

?=??

?==?

?=??

??==???

(2)221

22

3333 6.751027.51055 5.4102w kT E E w J J E i i N N kT N ε-?=

?

????=?===?????

==??

21223

227.510 3.621033 1.3810

w T K K k --??===??? 14-18、解:已知,V ,P ,i

22mol mol M i E RT M i E PV M PV RT M ?

=

??

?=?

?

=??

15-2解:已知Q,E ?

由,5

5

5

2.6610 4.1810 1.5210Q E W W Q E J J J =?+?=-?=?-?=-?

外界对系统做功。

15-5 2mol 单原子分子理想气体,从平衡态1经一等体过程后达到平衡态2,温度从200K 上升到500K 。若该过程为准静态过程,气体吸收的热量为多少?若为非准静态过程,气体吸收的热量又为多少? 解:已知T 1,T 2

(1)21213()38.31(500200)74793()2Q E W E Q R T T J J i

E R T R T T ν=?+=??

?

?=-=??-=??=?=-?

?

(2)213()38.31(500200)7479Q R T T J J =-=??-=

15-11在300K 的温度下,2mol 理想气体的体积从3

3

100.4m -?等温压缩到3

3

100.1m -?,

求在此过程中气体做的功和吸收的热量。 解:气体做的功

J J V V RT W T 3

3

3121091.610

0.4100.1ln 30031.82ln ?-=?????==--ν 等温过程理想气体的内能不变,即0E ?=,由热力学第一定律得气体吸收的热量 J W Q T T 31091.6?-==

15-22 1摩尔理想气体在400K 与300K 之间完成一个卡诺循环,在400K 的等温线上,起始体积为0.0010m 3,最后体积为0.0050m 3

,试计算气体在此循环中所作的功,以及从高温热源吸收的热量和传给低温热源的热量。 解:卡诺循环的效率

%25400

3001112=-=-

=T T η 从高温热源吸收的热量 21110.0050

ln 8.31400ln 5350()0.0010

V Q RT J V ==??= 循环中所作的功

)(1338535025.01J Q W =?==η

传给低温热源的热量

21535013384012()Q Q W J =-=-= 或

21(1)(10.25)53504013()Q Q J η=-=-?=

15-23一定量的某种理想气体进行如图所示的循环过程.已知气体在状态A 的温度为T A

=300 K ,求

(1) 气体在状态B 、C 的温度; (2) 各过程中气体对外所作的功;

(3) 经过整个循环过程,气体从外界吸收的总热量(各过程吸热的代数和). 解:

由图,p A =300 Pa ,p B = p C =100 Pa ;V A =V C =1 m 3,V B =3 m 3. (1) C →A 为等体过程,据方程p A /T A = p C /T

C

T C = T A p C / p A =100 K .

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B →

C 为等压过程,据方程V B /T B =V C /T C 得

T B =T C V B /V C =300 K .

(2) 各过程中气体所作的功分别为

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V (m 3)

100

200

300

A →

B : ))((2

1

1C B B A V V p p W -+=

=400 J . B →C : W 2 = p B (V C -V B ) = -200 J .

C →A : W 3 =0

(3) 整个循环过程中气体所作总功为

W = W 1 +W 2 +W 3 =200 J .

因为循环过程气体内能增量为ΔE =0,因此该循环中气体总吸热

Q =W +ΔE =200 J .

15-34 一可逆卡诺热机,高温热源温度是400K.每一循环从此热源吸进100J 热量并向一低温热源放出80J 热量。求:

(1)低温热源温度; (2)此循环的热机效率。 解:(1)由可逆卡诺热机效率 1

21211T T Q Q c -=-=η 得

K K T Q Q T 320400100

801122=?==

(2) 此循环的热机效率

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%20100

80

1

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112=-=-

=Q Q η 16-8 一水平弹簧振子系统,弹簧的劲度系数为50N/m ,振子的质量为0.5kg ,现将弹簧自平

衡位置拉长0.1m 并给振子一离开平衡位置的速度,其大小为1.0m/s ,求该振子的振动方程。 解: 振动的圆频率

110rad s ω-=

=? 振幅

14A m =

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初相

00000001.0tan ===1100.13731=,(02);=,()

4

4

4

4

v x ?ω?ππ?π?πππ?π-

--?≤<-≤<或或-

而 00sin 0v A ω?=->, 因此 0744

π?π=

-或

所以,振子的振动方程为

07cos()0.14cos(10)

4=0.14cos(10)

4

x A t t x t ω?ππ

=+=+-或

16-9 轻质弹簧竖直悬挂质量为0.2g k 的物体,弹簧的静止形变为00.2l m =.初始时刻

000.1,0.7x m v m s ==-。求:

(1)振动方程;

(2)10t s =时刻物体的速度、加速度。 解:(1)弹簧的劲度系数为

100.29.8

9.8N m 0.2

mg k l -?=

==? 又

7ω=

==

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1100.14A m m

-∴

==== 00000.7tan 1,0.17

4

v x ?ωπ

?-=-=-=?=

∴ 0.14cos(7)m 4

x t π

=+

(2)

22

=102

2=102

2

=0.147sin (7+

)4

=0.147cos (7+

)4

=0.147sin (710+

)4

=0.98sin (70+)4

=0.975=0.147cos (710+

)4

= 6.86cos (70+)4

=0.679t t v t m s

a t m s v m s

m s

m s

a m s

m s

m s

ππππππ-?-?-??---??-

16-10 如图所示为简谐振动的x-t 曲线,测得振子振动频率为50Hz 。求: (1)振动方程;

(2)振子从初始位置到第二次通过平衡位置所用的时间。

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解:(1)设简谐振动的振动方程为: 0cos()x A t ω?=+ 从图可知:

01

120

0.20.10

t t A m

x m x ==

==-=

2250100rad s rad s ωπνππ==?=

于是有 00.2cos(100)x t π?=+

00.10.2cos 1

cos 2

??-==-

0243

3

ππ?=

由于 00sin 0,t v A ω?==-< 所以 023

π?=

简谐振动的振动方程为: 20.2cos(100)3

x t m ππ=+ (2)周期 10.02T s ν==

振子从初始位置到第二次通过平衡位置所用的时间为: 110.02

11

()0.018312021202

600

T t s s s ?=+=+=

= 17-4:

解:(1)由题中波函数可知,波上质元相位为)101.5(103

?-=x

t π?

将s t 1=,m x 10=代入,可得π?98.9≈。

3

10

(10,1)10(1)9.985.110?ππ=-

=?

(2)将0=x 代入相位表达式,可得)101.50

(1098.93

?-=t ππ,解得s t 998.0=。

(3)将3t s =代入相位表达式,可得

3

49.9810(3)5.1101.0210x

x m

ππ=-?=?,

17-5 0t =时刻的绳波波形如图所示,绳中张力为1N,线密度为40g/m 。求: (1)波幅、波长、波速与波的周期; (2)波函数;

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(3)绳上质元的最大速度和加速度。 解:(1)由图可知

振幅 0.5

A m = 波长 (41)

3m m λ=-= 波速

/5/u s m s =

=

= (为与波长相区别,用ρ表示线密度)

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周期 3

0.65

T s s u λ

=

== (2)设波函数为

0cos[2(

)]t x

y A T π?λ=-+ 则有 0050.5cos[2(

)]0.5cos[2()]0.6333

t x t x

y m m π?π?=-+=-+ 由图可知 0,0,0.4t x y m ===,故

00.40.5cos ?= 00.40.5cos ?=

00s i n 0

a r c c o s (0.8)

0.64355

r a d r a d

?>∴

=≈≈

波函数为

50.5cos[2()]335

t x y m ππ=-+ (3)圆频率 1122100.63

rad s rad s T πππω--=

=?=? 质元的最大速度为 11100.5 5.243

m v A m s m s π

ω--==??=? 质元的最大加速度为

2

222

100.554.83m a A m s m s πω--??==??=? ???

17-6:

解:(1)由图可知,对于原点有s t 0=,m x 0=,m y 0=,将其代入波函数

00

c o s 0c o s x y A t u A ω??????=-+ ???

????=

可得2

3,20π

π?=

因s t 0=时,该质元振动方向向下,

00sin 0,sin 0

v A ω??=-<>

取2

?=

由图可知 4.59

4,0.1,//,24

m A m u m s m s λ===

= 11

949416

u

s s νλ

--=

=

= 波函数为

0cos 90.1cos[2()]1694290.1cos[2()]1642

x y A t u x t m x t m

ω?π

ππ

π??

??=-+ ???

????

=?-+=-+

(2)由图可知m 4=λ

225 2.54

x π

π

?πλ

?=

?=

?=

17-12如图所示,介质中A,B 两点相距20m ,有两相干波源发出的平面简谐波列沿A,B 连线相向传播,波长3m 。当向右传播的波到达A 处时为波峰,向左传播的波到达B 处时为波谷。求AB 之间因干涉而静止的各点的位置。 解:

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取点A 为坐标原点,沿AB 方向作X 轴。设P 为A 、B 间的一点,坐标为x,在点P ,两波引起的振动的相位差是:

2010212()

2[(20)]

2(202)

3

37433

r r x x x x π

???λ

π

πλπ

πππ?=--

-=-

--=--=-

+

当(21)k ?π?=+时,点P 的振幅为0,即点P 静止,因此静止各点的坐标可由方程 374

(21)33

x k πππ-+=+ 求得为

X

x

3(10)2

x k m =+

因为020x m <<,故取

0,1,2,

, 6.k =±±±

所以,AB 之间因干涉而静止的各点的位置为

1,2.5

,4,5.5,7,8.5,10,11.5,13,14.5,15,19x m m m m m m m m m m m m m

=。 18-1: 解:因d

D x λ

=?,并由题可知mm d 4.0=,m D 1=,mm x 5.1=? 代入后可得

3

360.410 1.5100.6106001

d x m m nm D λ---?=?=??=?=

18-2:

解:假定12n n >,则t n n n t n t )(1212-=-=?δ

1122121212[(1)][(1)]

()()()S P n t S P n t S P S P n n t n n t

δ=+--+-=-+-=-

18-4:

解:由题可知,nm 680=λ,劈高mm h 048.0=,劈长cm x 12= 则有劈角4104sin -?==

x

h

θ 又因条纹间距为θλ

sin 2n l =

,代入后可得m l 4

105.8-?=

则条纹个数为141≈=l

x

N (小数部分全部舍去)

解:劈尖干涉中条纹两条光线光程差为

2

δ+

=ne

干涉明条纹条件为

λλ

δk e =+

=2

2 ),2,1( =k

若两条相邻明条纹之间的间距为l ,则

1sin 2

k k l e e λ

θ+=-=

当1<<θ时, s i n

h x

θ≈, 2s i n 2

x

l h λλθ==

在12cm 内呈现的明条纹条数为

3

9

220.0481014168010

x h N l λ--??===≈?(条) 18-5 当牛顿环装置中的透镜与平面玻璃间充满某种液体时,某一级干涉条纹的直径由

1.48cm 变为1.27cm ,试求该液体的折射率。 解:设液体的折射率为n

当牛顿环装置中为空气时,cm r 48.11=,此处空气厚度为R r

e 22

11=

当充入未知液体时,cm r 27.12=,此处液体厚度为2

222r e R

=

12e ne =

则将两式相除可解得液体的折射率为22

122

2 1.48 1.361.27

r n r ==≈

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