福建省宁德市五校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

福建省宁德市五校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）

一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知实数m是1和5的等差中项，则m等于（）

A．B．C．3D．±3

2．（5分）点（1，2）在不等式x+y﹣a＞0表示的平面区域内，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，﹣3）C．（3，+∞）D．（﹣3，+∞）

3．（5分）在△ABC中，若AB=4，AC=3，A=30°，则S△ABC=（）

A．3B．6C．3D．6

4．（5分）已知等差数列{a n}中，a2+a4=6，则前5项和S5为（）

A．5B．6C．15 D．30

5．（5分）已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）

A．B．a2＞b2C．a3＞b3D．ac2＞bc2

6．（5分）已知△ABC的三边a，b，c满足a：b：c=3：5：7，则△ABC中的最大内角为（）A．60°B．90°C．120°D．150°

7．（5分）已知等比数列{a n}中，=2，a4=8，则a6=（）

A．31 B．32 C．63 D．64

8．（5分）已知正实数a，b满足+=1，x=a+b，则实数x的取值范围是（）

A．[6，+∞）B．{2，+∞）C．[4，+∞）D．[3+2，+∞）

9．（5分）若不等式x2+kx+1＜0的解集为空集，则k的取值范围是（）

A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

10．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，则a1+a9等于（）

A．19 B．20 C．21 D．22

11．（5分）在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°则BC边上的高等于（）

A．B．C．D．

12．（5分）对于正项数列{a n}，定义G n=为数列{a n}的“匀称”值．已知数列{a n}的“匀称”值为G n=n+2，则该数列中的a10，等于（）

A．2B．C．1D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．（4分）不等式x（1﹣x）＞0的解集是．

14．（4分）一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为km．

15．（4分）已知数列{a n}中，a1=2，a8=58，a n+1=a n+cn（c为常数），则c的值是．

16．（4分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，有下列结论：

①若A＞B，则sinA＞sinB；

②若c2＜a2+b2，则△ABC为锐角三角形；

③若a，b，c成等差，则sinA+sinC=2sin（A+C）；

④若a，b，c成等比，则cosB的最小值为．

其中结论正确的是．（填上全部正确的结论）

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）公差不为0的等差数列{a n}中，a1=3，a5=7．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；

（Ⅱ）若数列{b n}中，b n=2，求数列{b n}前n项的和S n．

18．（12分）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，2bsinC= c （Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若b=2，△ABC的面积为，求a，c的值．

19．（12分）红旗化肥厂生产A、B两种化肥．某化肥销售店从该厂买进一批化肥，每种化肥至少购买5吨，每吨出厂价分别为2万元、1万元．且销售店老板购买

化肥资金不超过30万元．

（Ⅰ）若化肥销售店购买A、B两种化肥的数量分别是x（吨）、y（吨），写出x、y满足的不等式组；并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影表示）；

（Ⅱ）假设该销售店购买的A、B这两种化肥能全部卖出，且每吨化肥的利润分别为0.3万元、0.2万元，问销售店购买A、B两种化肥各多少吨时，才能获得最大利润，最大利润是多少万元？

20．（12分）如图：在平面四边形ABCD中，AB=3，AC=6，∠ACB=45°．

（Ⅰ）求∠ACB的大小；

（Ⅱ）若∠CAD=∠CBD=60°，求CD的长．

21．（12分）已知数列{a n}中，a1=3，a n+1=4a n+3．

（Ⅰ）试写出数列{a n}的前三项；

（Ⅱ）求证：数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式a n；

（Ⅲ）设b n=log2（a n+1），记数列{}的前n项和为T n，求T n的取值范围．

22．（14分）已知f（x）=x2﹣abx+2a2．

（Ⅰ）当b=3时，

（ⅰ）若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]时，求实数a的值；

（ⅱ）求不等式f（x）＜0的解集；

（Ⅱ）若f（2）＞0在a∈[1，2]上恒成立，求实数b的取值范围．

福建省宁德市五校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知实数m是1和5的等差中项，则m等于（）

A．B．C．3D．±3

考点：等差数列的性质．

专题：等差数列与等比数列．

分析：根据题意和等差中项的性质直接求出m的值．

解答：解：因为实数m是1和5的等差中项，

所以2m=1+5=6．则m=3，

故选：C．

点评：本题考查了等差中项的性质应用，属于基础题．

2．（5分）点（1，2）在不等式x+y﹣a＞0表示的平面区域内，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，﹣3）C．（3，+∞）D．（﹣3，+∞）

考点：二元一次不等式（组）与平面区域．

专题：不等式的解法及应用．

分析：根据二元一次不等式表示平面区域，利用点和区域的关系进行求解即可．

解答：解：∵点（1，2）在不等式x+y﹣a＞0表示的平面区域内，

∴点（1，2）满足不等式成立，

即1+2﹣a＞0，

∴a＜3，

即a的取值范围为（﹣∞，3）．

故选：A．

点评：本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用点和区域的关系直接代入解不等式即可，属于基本知识的考查．

3．（5分）在△ABC中，若AB=4，AC=3，A=30°，则S△ABC=（）

A．3B．6C．3D．6

考点：三角形的面积公式．

专题：解三角形．

分析：利用S△ABC=即可得出．

解答：解：S△ABC===3．

故选：A．

点评：本题考查了三角形的面积计算公式，属于基础题．

4．（5分）已知等差数列{a n}中，a2+a4=6，则前5项和S5为（）

A．5B．6C．15 D．30

考点：等差数列的性质．

专题：等差数列与等比数列．

分析：由已知结合等差数列的性质求得a3，再由等差数列的前n项和公式得答案．

解答：解：在等差数列{a n}中，由a2+a4=6，得2a3=6，a3=3．

∴前5项和S5=5a3=5×3=15．

故选：C．

点评：本题考查了等差数列的性质，关键是对性质的应用，是基础题．

5．（5分）已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）

A．B．a2＞b2C．a3＞b3D．ac2＞bc2

考点：不等关系与不等式．

专题：不等式的解法及应用．

分析：利用特值法，和排除法，即可得到答案

解答：解：对于选项A，当a＞0，b＜0时，不成立，

对于选项B，当a=0，b=﹣2时，不成立，

对于选项D，当c=0时，不成立，

故选：C

点评：本题主要考查了不等式的性质，属于基础题

6．（5分）已知△ABC的三边a，b，c满足a：b：c=3：5：7，则△ABC中的最大内角为（）A．60°B．90°C．120°D．150°

考点：余弦定理．

专题：解三角形．

分析：由已知比例式设出三角形三角形，且得到C为最大角，利用余弦定理表示出cosC，把设出的三边代入求出cosC的值，即可确定出C的度数．

解答：解：根据题意设a=3k，b=5k，c=7k，且C为最大角，

由余弦定理得：cosC===﹣，

则△ABC最大内角C=120°，

故选：C．

点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．7．（5分）已知等比数列{a n}中，=2，a4=8，则a6=（）

A．31 B．32 C．63 D．64

考点：等比数列的性质．

专题：等差数列与等比数列．

分析：设出等比数列的公比q，由已知列式求得首项和公比，再由等比数列的通项公式得答案．

解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，

由=2，a4=8，得

，解得：．

∴．

故选：B．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题．

8．（5分）已知正实数a，b满足+=1，x=a+b，则实数x的取值范围是（）

A．[6，+∞）B．{2，+∞）C．[4，+∞）D．[3+2，+∞）

考点：基本不等式在最值问题中的应用．

专题：计算题；不等式的解法及应用．

分析：由+=1，化简x=a+b=（a+b）（+）=2+1++，从而利用基本不等式，注意等号是否能成立．

解答：解：∵+=1，

∴x=a+b=（a+b）（+）=2+1++≥3，

（当且仅当=即b=，a=2+时，等号成立），

故选D．

点评：本题考查了基本不等式的应用，属于中档题．

9．（5分）若不等式x2+kx+1＜0的解集为空集，则k的取值范围是（）

A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

考点：一元二次不等式的应用．

专题：不等式的解法及应用．

分析：由于不等式x2+kx+1＜0的解集为空集，可得△=k2﹣4≤0，解得即可．

解答：解：∵不等式x2+kx+1＜0的解集为空集，

∴△=k2﹣4≤0，解得﹣2≤k≤2，

∴k的取值范围是[﹣2，2]．

故选：A．

点评： 本题考查了一元二次不等式的解法与判别式的关系，属于基础题．

10．（5分）已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2

+n+1，则a 1+a 9等于（） A ． 19 B ． 20 C ． 21 D ．22

考点： 数列递推式．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： 由已知得a 1+a 9=S 1+S 9﹣S 8，由此能求出结果．

解答： 解：∵数列{a n }的前n 项和S n =n 2

+n+1， ∴a 1+a 9=S 1+S 9﹣S 8

=（1+1+1）+（81+9+1﹣64﹣8﹣1） =21．

故选：C ．

点评： 本题考查数列的两项和的求法，是基础题，解题时要注意数列的性质的合理运用． 11．（5分）在△ABC 中，AC=，BC=2，B=60°则BC 边上的高等于（）

A ．

B ．

C ．

D ．

考点： 解三角形．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 在△ABC 中，由余弦定理可得，AC 2=AB 2+BC 2

﹣2AB ?BCcosB 可求AB=3，作AD ⊥BC ，则在Rt △ABD 中，AD=AB ×sinB

解答： 解：在△ABC 中，由余弦定理可得，AC 2=AB 2+BC 2

﹣2AB ?BCcosB

把已知AC=，BC=2 B=60°代入可得，7=AB 2

+4﹣4AB ×

整理可得，AB 2

﹣2AB ﹣3=0 ∴AB=3

作AD ⊥BC 垂足为D Rt △ABD 中，AD=AB ×sin60°=，

即BC 边上的高为

故选B

点评： 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，解答本题的关键是求出AB ，属于基础试题

12．（5分）对于正项数列{a n}，定义G n=为数列{a n}的“匀称”值．已知数列{a n}的“匀称”值为G n=n+2，则该数列中的a10，等于（）

A．2B．C．1D．

考点：数列的应用．

专题：等差数列与等比数列．

分析：由已知得a1+2a2+3a3+…+na n=n（n+2），由此推导出a n=，从而能求出．解答：解：∵G n=，

数列{a n}的“匀称”值为G n=n+2，

∴a1+2a2+3a3+…+na n=n（n+2），①

∴n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1=（n﹣1）（n+1），②

①﹣②，得na n=2n+1，

∴a n=，n≥2，

当n=1时，a1=G1=3满足上式，

∴a n=，

∴．

故选：D．

点评：本题考查数列的等10项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．（4分）不等式x（1﹣x）＞0的解集是（0，1）．

考点：一元二次不等式的解法．

专题：不等式的解法及应用．

分析：把不等式x（1﹣x）＞0化为x（x﹣1）＜0，求出解集即可．

解答：解：∵不等式x（1﹣x）＞0可化为

x（x﹣1）＜0，

解得0＜x＜1，

∴该不等式的解集是（0，1）．

故答案为：（0，1）．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是容易题．

14．（4分）一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为30km．

考点：余弦定理；正弦定理．

专题：解三角形．

分析：根据题意画出相应的图形，求出∠B与∠BAC的度数，再由AC的长，利用正弦定理即可求出BC的长．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示，可得出∠B=75°﹣30°=45°，

在△ABC中，根据正弦定理得：=，即=，

∴BC=30km，

则这时船与灯塔的距离为30km．

故答案为：30

点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

15．（4分）已知数列{a n}中，a1=2，a8=58，a n+1=a n+cn（c为常数），则c的值是2．

考点：等差数列的性质．

专题：等差数列与等比数列．

分析：在已知递推式中分别取n=1，2，…，7，得到7个等式，然后利用累加法得到a8=a1+28c，再代入已知条件求得c．

解答：解：在数列{a n}中，

∵a n+1=a n+cn，

∴a2=a1+c，

a3=a2+2c，

…

a8=a7+7c，

累加得：a8=a1+（c+2c+…+7c）==a1+28c，

又a1=2，a8=58，

∴58=2+28c，即c=2．

故答案为：2．

点评：本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是基础题．

16．（4分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，有下列结论：

①若A＞B，则sinA＞sinB；

②若c2＜a2+b2，则△ABC为锐角三角形；

③若a，b，c成等差，则sinA+sinC=2sin（A+C）；

④若a，b，c成等比，则cosB的最小值为．

其中结论正确的是①③④．（填上全部正确的结论）

考点：等比数列的性质．

专题：简易逻辑．

分析：由三角形中的大边对大角，结合正弦定理、余弦定理及基本不等式逐一分析四个命题得答案．

解答：解：对于①，若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，命题①正确；

对于②，若c2＜a2+b2，则，说明C为锐角，但A，B不一定为锐角，

△ABC不一定是锐角三角形，命题②错误；

③若a，b，c成等差，则a+c=2b，结合正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，即sinA+sinC=2sin（A+C），命题③正确；

对于④，若a，b，c成等比，则b2=ac，则cosB==，

命题④正确．

故答案为：①③④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了等差数列和等比数列的性质，是中档题．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）公差不为0的等差数列{a n}中，a1=3，a5=7．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；

（Ⅱ）若数列{b n}中，b n=2，求数列{b n}前n项的和S n．

考点：数列的求和．

专题：等差数列与等比数列．

分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差，由已知求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；（Ⅱ）把等差数列的通项公式代入b n=2，由定义得到数列数列{b n}是等比数列，然后

利用等比数列的前n项和得答案．

解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，

（Ⅰ）根据题意得：，

解得，

∴a n=3+（n﹣1）×1=n+2；

（Ⅱ）∵b n=2=2n，

∴b1=2，

则，

∴数列{b n}是公比为2等比数列，

∴．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的前n

项和，是中档题．

18．（12分）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，2bsinC= c （Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若b=2，△ABC的面积为，求a，c的值．

考点：正弦定理．

专题：解三角形．

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0求出sinB的值，即可确定出角B的大小；

（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把b，cosB的值代入；利用三角形面积公式列出关系式，把sinB以及已知面积代入，将得出两式联立求出a与c的值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵2bsinC=c，

∴由正弦定理化简得：2sinBsinC=sinC，

∵sinC≠0，

∴sinB=，

又∵B为三角形内角，

∴B=60°；

（Ⅱ）根据题意得b2=a2+c2﹣2accosB，acsinB=，

把b=2，cosB=，sinB=，以及已知面积为代入得：a2+c2﹣ac=4，ac=4，

解得：a=c=2．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

19．（12分）红旗化肥厂生产A、B两种化肥．某化肥销售店从该厂买进一批化肥，每种化肥至少购买5吨，每吨出厂价分别为2万元、1万元．且销售店老板购买

化肥资金不超过30万元．

（Ⅰ）若化肥销售店购买A、B两种化肥的数量分别是x（吨）、y（吨），写出x、y满足的不等式组；并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影表示）；

（Ⅱ）假设该销售店购买的A、B这两种化肥能全部卖出，且每吨化肥的利润分别为0.3万元、0.2万元，问销售店购买A、B两种化肥各多少吨时，才能获得最大利润，最大利润是多少万元？

考点：简单线性规划的应用．

专题：计算题；应用题；作图题；不等式的解法及应用．

分析：（Ⅰ）由题意可写出不等式组，从而作出平面区域；

（Ⅱ）设销售店出售这两种化肥的总利润为z万元，则目标函数为z=0.3x+0.2y，利用线性规划求最值．

解答：解：（Ⅰ）依题意，x、y满足的不等式组如下：

，

画出的平面区域

（Ⅱ）设销售店出售这两种化肥的总利润为z万元，

则目标函数为z=0.3x+0.2y，

即y=﹣x+5z，5z表示过可行域内的点，斜率为﹣的一组平行线在y轴上的截距．

联立，

解得即M（5，20），

当直线过点M（5，20）时，在y轴上的截距最大，

即Z的最大值为0.3×5+0.2×20=5.5（万元），

故销售店购买A、B两种化肥分别为5吨、20吨时，才能使利润最大，最大利润为5.5万元．

点评：本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及线性规划的应用，属于中档题．

20．（12分）如图：在平面四边形ABCD中，AB=3，AC=6，∠ACB=45°．

（Ⅰ）求∠ACB的大小；

（Ⅱ）若∠CAD=∠CBD=60°，求CD的长．

考点：余弦定理；正弦定理．

专题：解三角形．

分析：（Ⅰ）由正弦定理列出关系式，把AB，AC，以及sin∠ACB代入求出sin∠ABC的值，即可确定出∠ABC的大小；

（Ⅱ）由内角和定理求出∠CAB的度数，再由∠CAD=∠CBD=60°，得到∠ABD度数，进而求出∠ADB度数，利用正弦定理求出AD的长，再利用余弦定理求出CD的长即可．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得：=，

即=，

整理得：sin∠ABC=1，

则∠ABC=90°；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠CAB=180°﹣90°﹣45°=45°，

又∵∠CAD=∠CBD=60°，

∴∠ABD=30°，

在△ABD中，∠ADB=180°﹣105°﹣30°=45°，

由正弦定理=得：AD==3，

在△ABD中，由余弦定理得：CD2=AD2+AC2﹣2AD?AC?cos∠DAC=9+36﹣18=27，

∴CD=3．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．

21．（12分）已知数列{a n}中，a1=3，a n+1=4a n+3．

（Ⅰ）试写出数列{a n}的前三项；

（Ⅱ）求证：数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式a n；

（Ⅲ）设b n=log2（a n+1），记数列{}的前n项和为T n，求T n的取值范围．

考点：数列的求和；等比关系的确定．

专题：等差数列与等比数列．

分析：（Ⅰ）直接由数列递推式结合数列首项求得数列的前3项；

（Ⅱ）直接利用等比数列的定义结合数列递推式证明{a n+1}是等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{a n}的通项公式a n；

（Ⅲ）把数列{a n+1}的通项公式代入b n=log2（a n+1），然后利用裂项相消法求得数列{}

的前n项和为T n，并求得T n的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵a1=3，a n+1=4a n+3，

∴a1=3，a2=15，a3=63；

（Ⅱ）∵，

∴数列{a n+1}是公比为4的等比数列．

∴，

∴；

（Ⅲ）∵b n=log2（a n+1）=，

∴，

∴=，

∵是关于n（n∈N*）的单调递增函数，

∴n=1时，；n→+∞时，T n→．

∴T n的取值范围是．

点评：本题考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．

22．（14分）已知f（x）=x2﹣abx+2a2．

（Ⅰ）当b=3时，

（ⅰ）若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]时，求实数a的值；

（ⅱ）求不等式f（x）＜0的解集；

（Ⅱ）若f（2）＞0在a∈[1，2]上恒成立，求实数b的取值范围．

考点：函数恒成立问题．

专题：不等式的解法及应用．

分析：（Ⅰ）根据一元二次不等式的解法即可得到结论．

（Ⅱ）将不等式恒成立进行转化，利用基本不等式求出最值即可．

解答：解：（Ⅰ）当b=3时，f（x）=x2﹣abx+2a2=x2﹣3ax+2a2，

（ⅰ）∵不等式f（x）≤0的解集为[1，2]时，

∴1，2是方程x2﹣3ax+2a2=0的两根．

∴，解得a=1．

（ⅱ）∵x2﹣3ax+2a2＜0，

∴（x﹣a）（x﹣2a）＜0，

∴若a＞0时，此不等式解集为（a，2a），

若a=0时，此不等式解集为空集，

若a＜0时，此不等式解集为（2a，a）．

（Ⅲ）f（2）=4﹣2ab+2a2＞0在a∈[1，2]上恒成立

即b＜a+在a∈[1，2]上恒成立；

又∵a+，

当且仅当a=，即a=时上式取等号．

∴b，

实数b的取值范围是（﹣∞，）

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法以及不等式恒成立问题，利用基本不等式将参数进行分类，求出函数的最值是解决本题的关键．