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实变函数第一章答案

习题1.1

1．证明下列集合等式．

(1) ()()()C A B A C B A I I I \\=； (2) ()()()C B C A C B A \\\Y Y =； (3) ()()()C A B A C B A I Y \\\=．证明 (1) )()C \B (c

C B A A I I I =

)()( c c C B A A B A I I Y I I = c C A B A )()( I I I =

)(\)(C A B A I I = .

(2) c

C B A A I Y Y )(C \B)(=

)()(c c C B C A I Y I =

=)\()\(C A C A Y .

(3) )(\C)\(B \c

C B A A I = c c C B A )(I I =

)(C B A c Y I = )()(C A B A c I Y I =

)()\(C A B A I Y =.

2．证明下列命题．

(1) ()A B B A =Y \的充分必要条件是：A B ?； (2) ()A B B A =\Y 的充分必要条件是：=B A I ?； (3) ()()B B A B B A \\Y Y =的充分必要条件是：=B ?．

证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c

====Y Y I Y Y I Y )()()()\(的充要条是：.A B ?

(2) c

B A B B B A B B A B B A I I Y I I Y Y ===)()()(\)(

必要性. 设A B B A =\)(Y 成立，则A B A c

=I , 于是有c

B A ?, 可得.?=B A I 反之若,?≠B A I 取B A x I ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与c

B A ?矛

盾.

充分性. 假设?=B A I 成立, 则c B A ?, 于是有A B A c

=I , 即

.\)(A B B A =Y

(3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\(Y Y =, 即.\c

C A B A B A I Y == 若

,?≠B 取,B x ∈ 则,c B x ? 于是,c B A x I ? 但,B A x Y ∈ 与c C A B A I Y =矛

盾.

充分性. 假设?=B 成立, 显然B A B A \=Y 成立, 即B B A B B A \)()\(Y Y =. 3．证明定理1.1.6．

定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且

Y ∞

=∞

→=1

;lim n n n n A A

(2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且I

∞

=∞

→=

lim n n n n A A

证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意Y ∞

=∈

,n n A x 存在N 使得,N

x ∈ 从而

),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞

→∈ 则.lim 1

n n n n A A ∞

→∞

=?Y 又因为Y ∞

=∞

→∞

→??1

,lim lim n n n n n n A A A

由此可见{}n A 收敛且Y ∞

=∞

→=

;lim n n n n A A

(2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于,

lim n n A x ∞

→∈存在)1(1≥?<+k n n k k 使得

),1(≥?∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0

n n A A x k ?∈ 可见

.lim 1

I ∞=∞

→?n n n n A A 又因为,lim lim 1

n n n n n n A A A ∞

→∞

→∞=??I 所以可知{}n A 收敛且I ∞

=∞

→=1

.lim n n n n A A

4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明：

(1) ??????

≥=>∞

=n c f E c f E n 1][1Y ；

(2) ??

????

+<=≤∞=n c f E c f E n 1][1I ；

(3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞

→，则对任意实数c 有

??????

->=?????

?->=≥∞→∞=∞

=∞

=k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111I I Y I ．

证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+

∈Z n 使得n

c x f 1

)(+

≥成立. 即,1??????+≥∈n c f E x 那么.11Y ∞=??????+≥∈n n c f E x 故[];11Y ∞

=?????

+≥?>n n c f E c f E

另一方面, 若,11Y ∞

=??????+≥∈n n c f E x 则存在+

∈Z n 0使得,110Y ∞

=?????

?+≥∈n n c f E x 于是

c n c x f >+≥01)(, 故[]c f E x >∈. 则有[].11Y ∞

=?????

+≥?>n n c f E c f E

(2) 设[]c f E x ≤∈, 则c x f ≤)(, 从而对任意的+

∈Z n , 都有n

c x f 1

)(+

<, 于是I ∞

=??????+<∈11n n c f E x , 故有[];11I ∞

=?????

另一方面, 设I ∞

=?????

?+<∈

11n n c f E x , 则对于任意的+

∈Z n , 有n c x f 1)(+<, 由n 的任意性, 可知c x f ≤)(, 即[]c f E x ≤∈, 故[]I

∞

=?????

≤11n n c f E c f E .

(3) 设[]c f E x ≥∈, 则c x f ≥)(. 由),)(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞

→ 可得对于任意的

+∈Z k , 存在N 使得)(1|)()(|N n k x f x f n ≥?<

-, 即)1(1

1)()(≥-≥->k k

c k x f x f n , 即k c x f n 1)(->, 故)1(1lim ≥???????->∈∞→k k c f E x n n , 所以I ∞

=∞→?????

->∈11lim k n n k c f E x ,

故[]I ∞

=∞→??????

->?

≥1

1lim k n n k c f E c f E ；另一方面, 设I

∞

=∞

→??????->∈

101lim k n n k c f E x , 则对任意+∈Z k 有??????

->∈∞→k c f E x n n 1lim 0.

由下极限的定义知：存在1N 使得当1N n ≥时, 有)(10+

∈???

???

->∈Z k k c f E x n , 即对任意+

∈Z k 有k

c x f n 1

)(0->; 又由),)(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞→ 知),()(lim 00x f x f n n =∞→ 即

对任意的+

∈Z

k , 存在2N 使得当2N n ≥时, 有k

x f x f n 1

|)()(|00<-. 取

},m ax {21N N N =, 则有k c x f n 1)(0-

>与k

x f x f n 1

|)()(|00<-同时成立, 于是有k

c x f k x f n 1

)(1)(00->>+, 从而k c x f 2)(0->, 由k 的任意性知：c x f ≥)(0, 即

[]c f E x ≥∈0, 故有

[]I ∞

=∞

→??????

->?≥11lim k n n k c f E c f E ;

综上所述：[].11lim 111I YI I ∞=∞=∞=∞

=∞

→??????->=??????

->=≥k N N n n n n n k c f E k c f E c f E

5．证明集列极限的下列性质．

(1) c

n n c

n n A A ∞

→∞→=??? ??lim lim _____；

(2) c n n

n n A A _____

lim lim ∞→∞→=??

? ??； (3) ()n n n n A E A E ∞

→∞→=lim \\lim ；

(4) ()n n n n A E A E ∞

→∞

→=lim \\lim ．

证明 (1) c

n n n n

m c m n c n m m c n n m m c

n n A A A A A ∞→∞=∞

=∞=∞=∞=∞=∞→====??? ??lim )()(lim 111_____YI Y Y I Y .

(2) c n n n n n

m c m c n m m c n n m m c

n n A A A A A _____

111lim )()(lim ∞→∞

=∞

=∞→====??? ??I I Y I YI . (3) ()YI Y I YI

I I ∞=∞=∞=∞

=∞=∞

=∞

→===

1))(()()\(\lim n n

m n n m c

m c

m n n

m m n n A E A E A E A E

c n n

m m

n c n

m m n n m c

m A

E A E A E )())(()(111I

Y Y Y YI I I I ∞=∞

=∞=∞

=∞

====

I Y ∞=∞

=∞

→==1lim \\n n m n n m

A E A

E .

(4) ()I Y I Y I Y I I

∞=∞

=∞=∞

=∞

→===

11))(()()\(\lim n n m c

m n n

m c

m m n n A E A E A

E A E

c n n

m m n c n

m m n n m c

A E A E A

E )())(()(111YI I I I Y I I I ∞=∞

=∞

====

∞=∞

=∞

→==1lim \\

n n

m n n m A E A E .

6．如果}{},{n n B A 都收敛，则}\{},{},{n n n n n n B A B A B A I Y 都收敛且 (1) ()n n n n n n n B A B A ∞

→∞

→=lim lim lim Y Y ； (2) ()n n n n n n n B A B A ∞

→∞

→=lim lim lim I I ； (3) ()n n n n n n n B A B A ∞

→∞

→=lim \lim \lim ．

习题1.2

1．建立区间)1,0(与]1,0[之间的一一对应．解令

1111{,,,,}2345E =L , 111

{0,1,,,}234

F =L ,(0,1)\D E =,

则(0,1)E D =U ,[0,1]F D =U . 定义:(0,1)[0,1]φ→为: ;1

();

(1,2,)210;2x x D

x x n n n x φ??∈??==

=?+??=

L 则φ为(0,1)[0,1]→之间的一个一一对应.

2．建立区间],[b a 与],[d c 之间的一一对应，其中d c b a <<,．解定义: :[,][,]a b c d φ→为:

()().([,])d c d c bc ad

x x a c x x a b b a b a b a

φ---=

-+=+?∈--- 可以验证: :[,][,]a b c d φ→为一个一一对应.

3．建立区间),(b a 与],[d c 之间的一一对应，其中d c b a <<,．解令{,,,}234b a b a b a E a a a ---=+

++L ，{,,,,}23

d c d c F c d c c --=++L (,)\D a b E =. 定义:(,)[,]a b c d φ→为:

;();

(1,2.)2;.

d c

bc ad x x D b a b a d c b a

x c x a n n n b a c x a φ--?+∈?--?

--?=+=+

=?+?-?=+??

L 可以验证: :(,)[,]a b c d φ→为一个一一对应.

4．试问：是否存在连续函数，把区间]1,0[一一映射为区间)1,0(?是否存在连续函数，把区间]1,0[一一映射为]4,3[]2,1[Y ?

答不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为(0,1); 因为连续函数在闭区间[0,1]存在最大、最小值.

也不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为[1,2][3,4]U ; 因为连续函数在闭区间[1,2]上存在介值性定理, 而区间[1,2][3,4]U 不能保证介值性定理永远成立.

5．证明：区间2

~)1,0()1,0(~)1,0(R ?且?=2R ．证明记(0,1)A =,则(0,1)(0,1)A A ?=?.

任取(,)x y A A ∈?, 设1231230.,0.,x a a a y b b b ==L L 为实数,x y 正规无穷十进小

数表示, 并令1122(,)0.f x y a b a b =L , 则得到单射:f A A A ?→. 因此由定理1.2.2知

A A A ?≤.

若令10.5A A =?, 则1~A A A A ??. 从而由定理1.2.2知: A A A ≤?. 最后, 根据Bernstein 定理知: (0,1)~(0,1)(0,1)?.

对于(,)(0,1)(0,1)x y ?∈?,定义2

:(0,1)(0,1)R φ?→为:

(,)((),())2

x y tg x tg y ππ

φππ=--,

则φ为2

(0,1)(0,1)R ?→的一个一一对应,即2

(0,1)(0,1)~R ?. 又因为: (0,1)~R , 则由对等的传递性知: 2

(0,1)~(0,1)(0,1)~~R R ?且2R R ==?.

6．证明：{

}

1:),(2

2≤+=y x y x A 与{

}

1:),(2

2<+=y x y x B 对等并求它们的基数．证明令2

{(,):(1,2,3,)}E x y x y n n =+=

=L , \D A E =, 221

{(,):(1,2,3,)}1

F x y x y n n =+==+L .

则,A E D B F D ==U U . 定义: :A B φ→为:

2222

(,);

(,),(,)11;(1,2,3,),(,).1x y x y D x y x y x y n x y E n n φ∈??

=?+=+==∈?+?

L 可以验证: :A B φ→为一一对应, 即~A B . 又因为2

~(0,1)(0,1)~~B R R ?, 所以

A B ==?.

7．证明：直线上任意两个区间都是对等且具有基数?．

证明对任意的,I J R ?，取有限区间(,)a b I ?，则(,)a b I R ?=≤≤=?, 则由

Bernstern 定理知I =?, 同理J =?. 故I J ==?.

习题1.3

1．证明：平面上顶点坐标为有理点的一切三角形之集M 是可数集．

证明因为有理数集Q 是可数集，平面上的三角形由三个顶点所确定，而每个顶点由两个数决定，故六个数可确定一个三角形，所以M 中的每个元素由Q 中的六个相互独立的数所确定，即Q},,,,:{621621∈=x x x a M x x x ΛΛ 所以M 为可数集.

2．证明：由平面上某些两两不交的闭圆盘之集M 最多是可数集．

证明对于任意的M O ∈, 使得Q ∈)(O f . 因此可得：Q →M f :. 因为1O 与2

O 不相交，所以)()(21O f O f ≠. 故f 为单射，从而a M =≤Q .

3．证明：（1）任何可数集都可表示成两个不交的可数集之并；（2）任何无限集都可表

成可数个两两不交的无限集之并．

证明 (2) 当E 可数时，存在双射Q I )1,0(:→E f . 因为

Y I I ∞

=????

???????

?+=11,11)1,0(n n n Q Q

所以

Y Y I I ∞

=∞

=--=???? ????????+==11

1,11))1,0((n n n A n n f f E Q Q .

其中：)(),3,2,1(1,111j i A A n n n f A j i n ≠Φ==???

????????+=-I ΛI 且Q . 又因为

Q Q I I ?????

?+???? ????????+-n n n n f 1,11~1,111且Q I ???

???+n n 1,11 可数，所以E 可表示成可数个两两不交的无限集之并．

当E 不可数时，由于E 无限，所以存在可数集E E ?1, 且1\E E 不可数且无限，从而存在可数集12\E E E ?，且)(\\)\(2121E E E E E E Y =无限不可数. 如此下去，可得

),3,2,1(Λ=n E n 都可数且不相交，从而

ΛY Y Y Y Y 101

)()\(E E E E E E i i n i ==∞

=∞=.

其中)0(≥i E i 无限且不交.

4．证明：可数个不交的非空有限集之并是可数集．

5．证明：有限或可数个互不相交的有限集之并最多是可数集．

证明有限个互不相交的有限集之并是有限集；而可数个互不相交的有限集之并最多是可数集.

6．证明：单调函数的不连续点之集至多是可数集．

证明不妨设函数f 在),(b a 单调递增，则f 在0x 间断当且仅当

0)(lim )(lim )0()0(_0

00>==--+→→+x f x f x f x f x x x x .

于是，每个间断点0x 对应一个开区间))0(),0((00+-x f x f .

下面证明：若x x '''<为()f x 的两个不连续点，则有(0)(0)f x f x '''+≤-. 事实上，任取一点1x ，使1x x x '''<<，于是

11(0)lim ()inf{()}()sup {()}lim ()x x x x x x x x x f x f x f x f x f x f x +-'

→→'''

<<'+==≤≤=，

从而x '对应的开区间((0),(0))f x f x ''-+与x ''对应的开区间((0),(0))f x f x ''''-+不相交，即不同的不连续点对应的开区间互不相交，又因为直线上互不相交的开区间所构成的集

合至多是可数集，所以可知单调函数的不连续点之集至多是可数集.

7．证明：若存在某正数d 使得平面点集E 中任意两点之间的距离都大于d ，则E 至多是可数集．

证明定义映射}:)3,{(:E x d

x E f ∈→，即))(3,()(E x d x D x f ∈=，其中)3

,(d x D 表示以E x ∈为中心，以

d 为半径的圆盘. 显然当y x ≠时，有?=)3,()3,(d

y D d x D I ，即

)()(y f x f ≠，于是f 为双射，由第2题知：a E x d

x ≤∈}:)3

,{(，故a E ≤.

习题1.4

1．直线上一切闭区之集具有什么基数？区间],[b a 中的全体有理数之集的基数是什么? 答直线上一切闭区间之集的基数是c . 这是因为：

2),(],[:R ∈→b a b a f 为

单射，而R ∈→a b a f ],[:为满射，所以c M c =≤≤=2R R .

区间],[b a 中的全体有理数之集的基数是c ，这是因为：a b a a =≤≤Q Q I ],[. 2．用],[b a C 表示],[b a 上的一切连续实值函数之集，证明： (1) 设},,,,{],[21ΛΛI n r r r b a =Q ，],[,b a C g f ∈，则

?=g f ),2,1)(()(Λ==k r g r f k k ；

(2) 公式

)),(,),(),(()(21ΛΛn r f r f r f f =π

定义了单射)(],[:R S b a C →π；

(3) c b a C =],[．

证明 (1) 必要性. 显然.

充分性. 假设),2,1)(()(Λ==k r g r f k k 成立. 因为},,,{\],[321Λr r r b a x ∈?，存在有理数列∞

=1}{n n x ，使得x x n n =∞

→lim ，由],[,b a c g f ∈，可得

)()lim ()(lim x f x f x f n n n ==∞

→∞

→及)()lim ()(lim x g x g x g n n n ==∞

→∞

→.

又因为∞=1}{n n x 为有理点列，所以有)()(n n x g x f =，故],[b a x ∈?，都有)()(x g x f =.

(2) ],[,b a c g f ∈?，设)()(g f ππ=，即

)),(,),(),(()),(,),(),((2121ΛΛΛΛn n r g r g r g r f r f r f =.

由(1)知：g f =. 故π为单射.

(3) 由(2)知：c R S b a c =≤)(],[；又由],[b a c ?R ，可得],[b a c c ≤=R . 故

c b a C =],[.

3．设],[b a F 为闭区间]1,0[上的一切实值函数之集，证明： (1) ]},[:))(,{()(b a x x f x f ∈=π定义了一个单射

)(],[:2R P b a F →π；

(2) ]1,0[??E ，E E χα=)(定义了单射],[])1,0([:b a F P →α；

(3) ],[b a F 的基数是c

2．

证明 (1) ],[,b a F g f ∈?，设)()(g f ππ=，即

]},[:))(,{(]},[:))(,{(b a x x g x b a x x f x ∈=∈.

从而]),[)(()(b a x x g x f ∈?=，故π为单射.

(2) ]1,0[,??F E ，设)()(F E αα=，则F E F E χααχ===)()(，故α为单射.

(3) 由(1)知：c P b a F 2)(],[2=≤R ；又由(2)知：],[2])1,0([b a F P c ≤=，故

c b a F 2],[=.

4．证明：c n =C ．

证明因为R R C ?~，而c =?R R ，故c =C ；又由定理1..4.5知：c n =C . 5．证明：若E 为任一平面点集且至少有一内点，则c E =．

证明显然c E =?≤R R . 设0

0E x ∈，则0>?δ使得E x B ?),(0δ，可知

E x B c ≤=),(0δ，故c E =.

第一章总练习题

.1 证明下列集合等式．

(1) ()()F F E F E E F E \\\Y I ==； (2) ()()()G F G E G F E \\\I I =．

证明 (1) 因为

\()()()()()\c c c c c E E F E E F E E F E E E F E F ====I I I I U I U I ,

()\()()()\c c c E F F E F F E F F F E F ===U U I I U I .

所以

\\()()\E F E E F E F F ==I U .

(2) 因为

()\()()()(\)(\),

c c c c E F G E F G E F G E G F G E G F G ====I I I I I I I I I

所以()()()G F G E G F E \\\I I =.

.2 证明下列集合等式．

(1) ()B A B A n n n n \\1

∞

=∞

==Y Y ；(2) ()B A B A n n n n \\1

1∞

=∞

==I I ．

证明 (1)

1111\()()(\)c

n n n n n n n A B A B A B A B ∞

∞∞

∞

=======I I U U U U .

(2)

\()()(\)c c n n n n n n n n A B A B A B A B ∞∞∞∞=======I I I

I I I .

3．证明：2

2[][][]c c E f g c E f E g +≥?≥≥U ，其中g f ,为定义在E 的两个实值函数，c 为任一常数．

证明若()()2

2c c x E f E g ?≥≥U , 则有()2c f x <

且()2c

g x <, 于是

()()()()f x g x f g x c +=+<,

故()x E f g c ?+≥. 所以()()()22

c c

E f g c E f E g +≥?≥≥U .

4．证明：n

R 中的一切有理点之集n Q 与全体自然数之集对等．

证明因为0Q =?,所以0Q Q Q Q n

=???=?L (推论1.3.1). 又因为0N =?, 所

以0Q n

N ==?, 故Q ~n

N .

5．有理数的一切可能的序列所成之集)(Q S 具有什么基数？

6．证明：一切有理系数的多项式之集][x Q 是可数集．证明设

},Q ,,,,,0,][:][{][Q 1100111∈≠++++==---n n n n n n n n n n a a a a a a x a x a x a x P x P x ΛΛ

于是

.][Q ][Q 0

Y ∞

==n n x x

显然,Q ~][Q 1

n +x n 所以,Q ][Q 1n a x n ==+ 因此由定理1.3.5知：.][Q a x =

7．证明：一切实系数的多项式之集][x R 的基数为c ．

证明记

},R ,,,,,0,][:][{][R 1100111∈≠++++==---n n n n n n n n n n a a a a a a x a x a x a x P x P x ΛΛ

于是

.][R ][R 0

Y ∞

==n n x x

显然,R ~][R 1n +x n 所以,R ][R 1

n c x n ==+ 因此由定理1.4.3知：.][R c x =

8．证明：全体代数数(即可作为有理系数多项式之根的数)之集是可数集，并由此说明超越数(即不是代数数的实数)存在，而且全体超越数之集的基数是c ．

证明由于有理系数多项式的全体是可数集，设其元素为,,,,,,210ΛΛn P P P P 记多项式)(x P n 的全体实根之集为,n A 由于n 次多项式根的个数为有限个，故n A 为有限集，从而代数数全体Y ∞

n n

A 为可数个有限集的并，故A 为可数集，即.a A =

设超越数全体所成之集为,B 即,\R A B = 则R,=B A Y 从而B 必为无限集，由于

A 为可数集，而任一无限集添加一个可数集其基数不变，故.R c

B A B ===Y

9．证明：A B B A \~\，则B A ~．证明因为

),()\(),()\(B A A B B B A B A A I Y I Y ==

又因为

,)(\)(\,~,\~\?==B A A B B A B A B A B A A B B A I I I I I I

所以由保并性知

),()\(~)()\(B A A B B A B A I Y I Y

即.~B A

10．证明：若,,D B B A <≤则D A <．

证明 (反证法) 假设,D A = 则由已知可得,B D ≤ 这与D B <矛盾. 故有D A <. 11．证明：若c B A =Y ，则c A =或c B =．

证明假设,a B A == 则有,a B A =Y 这与c B A =Y 矛盾，故有c A =或c B =. 12．证明：若c A k k =+

∈Z Y ，则存在+

∈Z k 使得c A k =．

证明同上.

实变函数习题解答(1)

第一章习题解答 1、证明 A (B C)＝(A B) (A C) 证明：设x∈A (B C)，则x∈A或x∈(B C)，若x∈A，则x∈A B，且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C，则x∈B且x∈C，于是x∈A B且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)，因此 A (B C) ? (A B) (A C) (1) 设x∈(A B) (A C)，若x∈A，则x∈A (B C)，若x∈A，由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C，所以x∈B C，所以x∈A (B C)，因此 (A B) (A C) ? A (B C) (2) 由(1)、(2)得，A (B C)＝(A B) (A C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A B)＝(A B)－B ②A (B－C)＝(A B)－(A C) ③(A－B)－C＝A－(B C) ④A－(B－C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A C)－(B D) (A－B)＝A B A－(A B)＝A C(A B)＝A (CA CB) ＝(A CA) (A CB)＝φ (A CB)＝A－B (A B)－B＝(A B) CB＝(A CB) (B CB) ＝(A CB) φ＝A－B ②(A B)－(A C)＝(A B) C(A C) ＝(A B) (CA CC)＝(A B CA) (A B CC)＝φ [A (B CC)]＝ A (B－C) ③(A－B)－C＝(A CB) CC＝A C(B C) ＝A－(B C) ④A－(B－C)＝A C(B CC)＝A (CB C) ＝(A CB) (A C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A CB) (C CD) ＝(A C) (CB CD)＝(A C) C(B D) ＝(A C)－(B D)

实变函数试题库(5)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（5）本科一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立）二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（）（A ）()x ?是E 上的连续函数（B ）()x ?是E 上的单调函数（C ）()x ?在E 上一定不L 可积（D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（）（A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则（）（A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点，则（）（A ）E 是可数集（B ）E 是闭集（C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点

实变函数论试题及答案

实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<，证明E 是可测集。证明：对任何正整数n ，由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ，对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时，一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。

实变函数论课后答案第二章2

实变函数论课后答案第二章2 第二章第二节习题 1.证明点集F 为闭集的充要条件是F F =. 证明：因为' F F F = ，若F 为闭集，则'F F ? 所以' F F F F F F F =?=? 故F F = 反过来，若' F F F F =? ，则必有'F F ? 从而F 为闭集. 2.设()f x 是(),-∞∞上的实值连续函数，证明对于任意常数a ，(){};x f x a >都是开集， (){};x f x a ≥都是闭集. 证明：任取常数a ，若 (){}0;x x f x a ∈>，则()0f x a >，由于()f x 连续，0 ,0a x δ?>，使()(){}0 0,,;a x x N x x f x a δ∈?≥. 这表明(){};x f x a >是开集. 任取常数a ，若{}(){};n x x f x a ∈≥，且0n x x →，则从()n f x a ≥和()f x 连续知 ()()0lim n n f x f x a →∞ =≥ 故(){}0;x x f x a ∈≥ 这表明(){}(){}' ;;x f x a x f x a ≥?≥. 故(){};x f x a ≥是闭集. 3.证明任何邻域(),N p δ都是开集，而且()(){} ' ' ,;,N p p p p δρδ=<（N 通常称为一闭邻域）证明：()0,p N p δ?∈，则()00,p p ηρδ≤< ()0,Q N p δη?∈-，()()()00,,,Q p Q p p p ρρρηδηδ≤+<+-= 故()()0,,N p N p δηδ-?. 故(),N p δ是开集得证.

实变函数第一章答案

习题1.1 1．证明下列集合等式． (1) ()()()C A B A C B A \\=； (2) ()()()C B C A C B A \\\ =； (3) ()()()C A B A C B A \\\=．证明 (1) )()C \B (c C B A A = )()( c c C B A A B A = c C A B A )()( = )(\)(C A B A = . (2) c C B A A )(C \B)(= )()(c c C B C A = =)\()\(C A C A . (3) )(\C)\(B \c C B A A = c c C B A )( = )(C B A c = )()(C A B A c = )()\(C A B A =. 2．证明下列命题． (1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ?； (2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A ?； (3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B ?．证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要条是：.A B ? (2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)( 必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有c B A ?, 可得.?=B A 反之若,?≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与c B A ?矛盾.

充分性. 假设?=B A 成立, 则c B A ?, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A = (3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,?≠B 取,B x ∈ 则,c B x ? 于是,c B A x ? 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾. 充分性. 假设?=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =. 3．证明定理1.1.6．定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 ;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 . lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意 ∞ =∈ 1 ,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而 ),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞ →∈ 则.lim 1 n n n n A A ∞→∞ =? 又因为 ∞ =∞ →∞ →??1 ,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 ;lim n n n n A A (2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于, lim n n A x ∞ →∈存 )1(1≥?<+k n n k k 使得 ),1(≥?∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0 n n A A x k ?∈ 可见.lim 1 ∞ =∞ →?n n n n A A 又因为,lim lim 1 n n n n n n A A A ∞ →∞ →∞ =?? 所以可知{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 .lim n n n n A A 4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ??? ???+≥=>∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (2) ?? ? ???+<=≤∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞ →，则对任意实数c 有 ?????? ->=????? ?->=≥∞→∞=∞ =∞ =∞ =k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ．证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+ ∈Z n 使得n c x f 1)(+ ≥成

(完整版)《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案

试卷一：一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（）（A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集（D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有

卢同善实变函数青岛海洋大学出版社第二章习题答案

第二章习题答案 1.若 x m x且 y m y ，则( x m , y m )( x , y ) . 特别的 , 若x m x ，则 ( x m , y )( x , y ) . 证明：这实际上是表明( x, y)是 R n R n上的连续函数 . 利用三角不等式 ,得到 ( x m , y m )( x, y)( x m , y m )( x, y m )( x, y m )( x, y) . ( x , x m )( y, y m )0,( m) 2.证明：若 x1 O x 0 ,，则1，使得 O x1 ,1O x 0 ,. 证明：实际上取01( x 0 , x1 ) 即可，因为此时对任意的x O x1 , 1 ，有 ( x , x 0 )( x, x1 )( x1 , x 0 )1( x 1 , x 0 )，即 x O x0 , . 3.证明以下三条等价： (1). x E;(2).x 0的任意邻域中都有 E 中的点；(3).存在E中的点列 x n收敛到 x 0. 进而，若 x0 E ，则存在0，使得 O ( x 0 ,)E. 证明：注意到 E E E ' .（ i） .若（ 1）成立，则x0 E 或 x 0 E ' .若前者成立，显然（ 2）成立；若后者x0 E ' 成立，由极限点的定义也有（2）成立.总之，由（1）推出（2）. (ii).若（2）成立，则对任意的n ，有O ( x0,1n)E，在其中任选一点记为x n.这样就得到点列x n E ，使得( x n , x0 )1n，即（3）成立. (iii).设（3）成立.若存在某个n 使得x n x0，当然有x0x n E E ；若对任意的n ，都有 x0x n，则根据极限点的性质知x0 E ' E . 总之，（ 1）成立 . 5.证明：A B A B. 证明：因为 A B ' A' B'，所以有 A B A B A B ' A B A' B'A A'B B'A B. 6. 在 R1中，设E Q[0,1] ，求 E ', E . 解： E ' E[0,1]

实变函数测试题1-参考答案

本试题参考答案由08统计班15号李维提供有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集，则一定存在可测集 δ G 型集 G ，使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?，A B ?可测，且()m A B ?<+∞，若()**m A B m A m B ?=+，则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？ 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n （1,2,3,=L n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数，+∞?ε，存在E 上. 有界的可测函数)(x g ，使得 ε<>-]0|[|g f mE 。 10、求证 1 2 01 11 ln 1()∞ ==-+∑?p n x dx x x p n , (1)p >-。解答： 1. 解：()∞=∞ →,0lim n n A ；设()∞∈,0x ，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即n A x 2∈，所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集，从而x 属于无限多n A ，得n n A x ∞ →∈lim 又显然()∞?∞ →,0lim n n A ，所以()∞=∞ →,0lim n n A 。

实变函数积分理论部分复习试题[附的答案解析版]

2011级实变函数积分理论复习题一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。（×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在

卢同善实变函数青岛海洋大学出版社第二章习题答案

第二章习题答案 1. 若y y x x m m →→且，则(,)(,)m m x y x y ρρ→. 特别的, 若x x m →，则(,)(,).m x y x y ρρ→ 证明：这实际上是表明(,)x y ρ是n n R R ?上的连续函数. 利用三角不等式, 得到 (,)(,)(,)(,)(,)(,) (,)(,)0,) m m m m m m m m x y x y x y x y x y x y x x y y m ρρρρρρρρ-≤-+-≤+→→∞(. 2. 证明：若()δ,01x O x ∈，则δδ，使得0(,)O x E δ=?I . 证明：注意到'E E E =U . （i ）.若（1）成立，则0x E ∈或0'x E ∈. 若前者成立，显然（2）成立；若后者0'x E ∈成立，由极限点的定义也有（2）成立. 总之，由（1）推出（2）. (ii). 若（2）成立，则对任意的n ，有10(,)n O x E ≠?I ，在其中任选一点记为n x . 这样就得到点列{}n x E ?，使得10(,)n n x x ρ<，即（3）成立. (iii). 设（3）成立. 若存在某个n 使得0n x x =，当然有0n x x E E =∈?；若对任意的n ，都有0n x x ≠，则根据极限点的性质知0'x E E ∈?. 总之，（1）成立. 5. 证明：A B A B ?=?. 证明：因为()'''A B A B =U U ，所以有 ()()()()()()'''''A B A B A B A B A B A A B B A B ?=??=??=??=?U U U . 6. 在1 R 中，设[0,1]E Q =?，求',E E . 解： '[0,1]E E ==

实变函数试题库(4)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（4）本科一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则（） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =

实变函数试题库及参考答案

实变函数试题库及参考答案（1）本科一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ??是可数集，则*m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ?∈?，()E x f x a ??≥??是，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上二、选择题 1．下列集合关系成立的是（） 2．若n R E ?是开集，则（） 3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（）三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ??是无限集，则（） A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（） A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限

4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（） A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. （） 2. 可数个可测集的并是可测集. （） 3. 相等的集合是对等的. （） 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （）五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ，求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞ =，则实变函数试题库及参考答案（1）本科一、填空题

实变函数题目整合集答案解析

实变函数试题库及参考答案本科一、题 1．设,A B 为集合，则() \A B B =A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A ≤B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是闭集 4．有限个开集的交是开集 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E ≤12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ? 是可数集，则* m E =0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1 a ?∈，()E x f x a ??≥??是可测集，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是可测函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +?()()f x g x + 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上可积 11．设,A B 为集合，则()\B A A ?A （用描述集合间关系的符号填写） 12．设{}211,2,A k k =-=，则A =a （其中a 表示自然数集N 的基数） 13．设n E ? ，如果E 中没有不属于E ，则称E 是闭集 14．任意个开集的并是开集 15．设1E 、2E 是可测集，且12E E ?，则1mE ≤2mE 16．设E 中只有孤立点，则* m E =0 17．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1 a ?∈，()E x f x a ??

实变函数第二章习题解答.docx

第二章习题参考解答 1：证明:有理数全体是尺中可测集,且测度为0. 证：（1）先证单点集的测度为O.V XG /?\令￡ = {X }.V^>0,V HG /V p p 8 00 —尹“莎）,因如Sf 专初屮严'人为开区砖 00 工I I =工= ￡ . 故加*E = 0.m 以E 可测且mE = 0. M = 1 〃 = 1 '" （2）再证：/?'中全体有理数全体Q 测度为0. 设匕}羸是只中全体有理数,VneTV,令E n ={r n }.则{乞}是两两不相交的可测集 00 8 8 列，由可测的可加性冇：加* 0 =加（u &）=工mE n =工0 = 0. n=1 n=l n=\ 法二：设e = {rJL ，Vne/v,令/；=（乙—缶心+希），其中￡是预先给定的任意性，加*2 = 0. 2. 证明：若E 是/?"有界集，则m*E<+oo. 证明：若E 是/?"有界.则日常数M >0,使Vx = （x p x 2,???%…）€￡,有间= m*[]^[（x. + —）] = s n > 0 ；=i 2 2 f=i 2 2 所以加* E H O. 00 co r ~ q 与斤无关的正常数，贝ij ： m^Q =诚{工I I n \ | U A o Q} <^l I 1=工乔之?由￡得 n=\ J 】 >=1 i=\ 2 〃二 1 /=!

实变函数复习资料,带答案

《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（）（A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集（D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若 ()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则 ' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都 _________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”） 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例

第2章实变函数答案

第2章习题参考答案 A 类 1、（1）()C ；（2）()A ；（ 3）()C ；（4）()B ；（5）()D 。 2、（1）[0,1]，空集，[0,1]；（2）3 {(0,):1}E y y ≤；（3）(1,6)；（4）公共；（5）c E 。 3、证明：（1）必要性设' 0P E ∈，则0δ?>，邻域0(,)N P E δ中有无穷多个点。现设0(,)P N P δ∈，则00(,)d P P η δ ≤=<。故 0(,)y N P δη∈-，有 00(,)(,)(,)d y P d y P d P P δηηδ≤+<-+=。所以 0(,)(,)N P N P δηδ-?，而0(,) N P E δη-有无穷多个E 中的点，自然有异于 0P 的点 10(,)(,)P N P E N P δηδ∈-?。而00(,)({})N P E P δη--是无穷点集，故(,)N P δ中有无穷多个异于0P 的E 中的点。充分性若任意含0P 的邻域(,)N P δ中恒有异于0P 的点1P E ∈，则0δ?>，0(,)N P δ中有异于0 P 的点1P E ∈，记101(,)d P P δ=，显然1δδ<，于是邻域01(,)N P δ中又有异于0P 和1P 的点2P E ∈，而202 1(,)d P P δδδ=<<，这样下去，可得无穷点集 0{(,),1 ,2,}n n P P E N P n δ∈= 这表明0(,)N P δ中有无穷多个E 中的点，由δ的任意性知，' 0P E ∈。（2）必要性显然。充分性若存在包含0P 的邻域(,)N P E δ?，则00(,(,))(,)N P d P P N P E δδ-??，故0P 为E 的内点。 4、仿第3题。 5、证明：记B 为E 的孤立点全体，则'E B E -=，所以' ()E E B B E B =-=，而B 至多可数，则当'E 有限时' E B 是至多可数的，从而E 至多可数，矛盾。 6、证明：因为E 为闭集，则E E '?，而E E E '=?，所以E E =。反之，因为E E E E '==?，所以，E E '? ，即E 为闭集。 7、证明：对任意{()}x E x f x a ∈=>，有()f x a >，由连续函数的局部保号性，存在(,)B x δ，使对任意(,)y B x δ∈，有()f y a >，即y E ∈，所以，(,)B x E δ? ，即x 为E 的内点。所以

完整word版,实变函数练习及答案

实变函数练习及答案一、选择题 1、以下集合，（）是不可数集合。 .A 所有系数为有理数的多项式集合； .B [0,1]中的无理数集合； .C 单调函数的不连续点所成集合； .D 以直线上互不相交的开区间为元素的集。 2、设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E A U 是（） .A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。 3、下列说法正确的是（） .A ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b L —可积； .B ()f x 在[,]a b R —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .C ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .D ()f x 在(],a +∞R —广义可积?()f x 在[,]a b L —可积 4、设{}n E 是一列可测集，12......,n E E E ???则有（） .A 1( )lim n n n n m E mE ∞→∞ =>U ； .B 1()lim n n n n m E mE ∞→∞==U ； .C 1 ()lim n n n n m E mE ∞→∞==I ； .D 以上都不对。 5、()()\\\A B C A B C =U 成立的充分必要条件是（） .A A B ?； .B B A ?； .C A C ?； .D C A ?。 6、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集，则（） .A 1mE =； .B 0mE =； .C E 是不可测集； .D E 是闭集。 7、设mE <+∞， (){}n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数，则(){}n f x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的（）

实变函数试题库参考答案

《实变函数》试题库及参考答案（完整版）选择题 1,下列对象不能构成集合的是:（） A 、全体自然数 B 、0,1 之间的实数全体 C 、[0, 1]上的实函数全体 D 、全体大个子 2、下列对象不能构成集合的是:（） A 、{全体实数} B 、{全体整数} C 、{全体小个子} D 、{x ： x>1} 3、下列对象不能构成集合的是:（） A 、{全体实数} B 、{全体整数} C 、{x ：x>1} D 、{全体胖子} 4、下列对象不能构成集合的是:（） A 、{全体实数} B 、{全体整数} C 、{x ：x>1} D 、{全体瘦子} 5、下列对象不能构成集合的是:（） A 、{全体小孩子} B 、{全体整数} C 、{x ：x>1} D 、{全体实数} 6、下列对象不能构成集合的是:（） A 、{全体实数} B 、{全体大人} C 、{x ：x>1} D 、{全体整数} 7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I ∈?= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1, +∞)

8、设}1111:{i x i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1] D 、[-1, 1] 9、设}110:{i x x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、 (0, +∞) 10、设}1211:{i x i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、 (1, 2) 11、设}2 3:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、 {0} 12、设}11:{i x i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0} 13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2n A n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2] B 、[0, 2] C 、[0, 1] D 、[0, 1] 14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2n A n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2] B 、[0, 2] C 、[0, 1] D 、[0, 1]

实变函数第二章复习题及解答

第二章复习题一、判断题 1、对任意n E R ?，*m E 都存在。（√ ） 2、对任意n E R ?，mE 都存在。（× ） 3、设n E R ?，则* m E 可能小于零。（× ） 4、设A B ?，则**m A m B ≤。（√ ） 5、设A B ?，则**m A m B <。（× ） 6、**1 1()n n n n m S m S ∞∞===∑ 。（× ） 7、**1 1()n n n n m S m S ∞∞==≤∑ 。（√ ） 8、设E 为n R 中的可数集，则*0m E =。（√ ） 9、设Q 为有理数集，则*0m Q =。（√ ） 10、设I 为n R 中的区间，则*m I mI I ==。（√ ） 11、设I 为n R 中的无穷区间，则*m I =+∞。（√ ） 12、设E 为n R 中的有界集，则*m E <+∞。（√ ） 13、设E 为n R 中的无界集，则*m E =+∞。（× ） 14、E 是可测集?c E 是可测集。（√ ） 15、设{n S }是可测集列，则1n n S ∞= ，1n n S ∞= 都是可测集。（√ ） 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。（√ ） 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。（√ ） 18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。（√ ） 19、若E =?，则*0m E >。（× ） 20、若E 是无限集，且* 0m E =，则E 是可数集。（× ） 21、若mE =+∞，则E 必为无界集。（√ ）

22、在n R 中必存在测度为零的无界集。（√ ） 23、若A ，B 都是可测集，A B ?且mA mB =，则()0m B A -=。（× ） 24、?和n R 都是可测集，且0m ?=，n mR =+∞。（√ ） 25、设12,E E 为可测集，则12()m E E -≥12mE mE -。（× ） 26、设12,E E 为可测集，且12E E ?，则12()m E E -=12mE mE -。（× ）二、填空题 1、若E 是可数集，则*m E = 0 ；E 为可测集；mE = 0 。 2、若12,,,n S S S 为可测集，则1 n i i m S = 小于或等于 1 n i i mS =∑；若12,,,n S S S 为两两不相交的可测集，则1n i i m S = 等于 1n i i mS =∑。 3、设12,E E 为可测集，则122()m E E mE -+ 大于或等于 1mE ；若还有2mE <+∞，则 12()m E E - 大于或等于 12mE mE -。 4、设12,E E 为可测集，且12E E ?，2mE <+∞，则12()m E E - 等于 12mE mE -。 5、设0x 为E 的内点，则*m E 大于 0。 6、设P 为康托三分集，则P 为可测集，且mP = 0 。 7、m ?= 0 ，n mR = +∞ 。 8、叙述可测集与G δ型集的关系可测集必可表示成一个G δ型集与零测集的差集。 9、叙述可测集与F σ型集的关系可测集必可表示成一个F σ型集与零测集的并集。三、证明题 1、证明：若E 有界，则* m E <+∞。证明：因为E 有界，所以，存在一个有限区间I ，使得E I ?，从而m E m I I **≤=<+∞。 2、证明：若* 0m E =，则E 为可测集。

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