第五章 特殊平行四边形难题综合训练(含答案)
第五章 特殊平行四边形难题综合训练
1、正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，且G 为BC 的三等分点，R 为EF 中点，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为（ ） A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
2、如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE =6，EF =8，FC =10，则正方形的边长为 .
?
第1题 第2题 第3题 第4题
3、如图，平面内4条直线l 1、l 2、l 3、l 4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些平行线上，其中点A 、C 分别在直线l 1、l 4上，该正方形的面积是 平方单位．
4、如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A =60°.顺次连结菱形 ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形 A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…….则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是 ；四边形A 2013B 2013C 2013D 2013的周长是 .
5、如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED =2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE =1，AG =4，则AB 的长为 .
6、如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ） A ．2 B ．3 C ．22 D ．32
|
第5题 第6题 第7题 第8题
7、如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B =120°，OA =2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA ′B ′C ′的位置，则点B ′的坐标为（ ）
点G，连接AG，CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③S△FGC=9/10．其中正确的是（）A．①②B．①③ C．②③ D．①②③
9、如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点0作射线OM、ON分别交AB、
BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：（1）图形中全等的三
角形只有两对；
（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；（3）BE+BF=20A；
（4）AE2+CF2=20P?OB．正确的结论有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
10、如图，在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形
ABCD的周长为.
11、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交
AC于点N．
(1)如图11－1，当点M在AB边上时，连接BN．求证：ABN ADN
△≌△；
$
(2)如图11－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．
、
C M B
N
A
D
（图11-2）
C
…
M
A
N
D
（图11-1）
12、如图所示，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接BE DG ，．
(1）求证：BE DG =．
(2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．
~
13、请阅读，完成证明和填空．
数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
(1）如图13-1，正三角形ABC 中，在AB AC 、边上分别取点M N 、，使BM AN =，连接BN CM 、，发现BN CM =，且60NOC ∠=°．请证明：60NOC ∠=°．
>
(2）如图13-2，正方形ABCD 中，在AB BC 、边上分别取点M N 、，使AM BN =，连接AN DM 、，那么AN = ，且DON ∠= 度．
(3）如图13-3，正五边形ABCDE 中，在AB BC 、边上分别取点M N 、，使AM BN =，连接AN EM 、，E
F
G
D
A B
（
A A A B
B
B C
C
"
D
D
O O
O
M M M N
\
N
E
图13-1
图13-2
图13-3
…
请大胆猜测，用一句话概括你的发现： ． 14、ABC △是等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B C 、重合），ADE △是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，分别交射线AB AC 、于点F G 、，连接BE ． (1）如图（a ）所示，当点D 在线段BC 上时．
①求证：AEB ADC △≌△；②探究四边形BCGE 是怎样特殊的四边形并说明理由；
，
(2）如图（b ）所示，当点D 在BC 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立 (3）在（2）的情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形BCGE 是菱形并说明理由．
`
15、如图，ABC △中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN BC ∥，设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F ．
.
(1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；
(2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗若是，请证明，若不是，则说明理由； (3）当点O 运动到何处，且ABC △满足什么条件时，四边形AECF 是正方形
A
G C
D B
F .
图（a ）
A
D
C
B
F
E
G
图（b ）
A
F N D
C
B
M , O
^
16、如图，已知直线128
:33
l y x =
+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．
(1）求ABC △的面积；
(2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；
}
17、在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=，°，
将ABC △绕点B 顺时针旋转角α(0<°α90)<°得A BC A B 111△，交AC 于点E ，11A C 分别交AC BC 、于D F 、两点．
(1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA 与FC 有怎样的数量关系并证明你的结论； (2）如图2，当α30=°时，试判断四边形1BC DA 的形状，并说明理由
、
.
D
E
C
F
1A
1C
A
D
&
E
C
F 1
A 1C
18、在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，．过点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ．
(1）求BDE △的周长；
"
(2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q ．求证：BP DQ =．
》
19、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）． (1）若m = n 时，如图，求证：EF = AE ；
(2）若m ≠n 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E ，使得EF = AE 若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请
说明理由．
(3）若m = tn （t ＞1）时，试探究点E 在边OB 的何处时，使得EF =（t + 1）AE 成立并求出点E 的坐标．
;
A
Q D
E B
P
C
O
A
y
C
F
A
y C
A
y
C
F
，
20、如图，将正方形沿图中虚线（其中x ＜y ）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰．
能拼成一个．．．．．
矩形（非正方形）． (1）画出拼成的矩形的简图； (2）求x
y
的值．
#
21、如图所示，在矩形ABCD 中，1220AB AC ==，，两条对角线相交于点O ．以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形1OBB C ；对角线相交于点1A ；再以11A B 、1A C 为邻边作第2个平行四边形111A B C C ，对角线相交于点1O ；再以11O B 、11O C 为邻边作第3个平行四边形1121O B B C ……依次类推． (1）求矩形ABCD 的面积；
(2）求第1个平行四边形11OBB C 、第2个平行四边形111A B C C 和第6个平行四边形的面积．
;
A 2 O 1
D
A
B
^
O
;
22、如图（22），直线l 的解析式为4y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M N 、两点，设运动时间为t 秒（04t <≤）． (1）求A B 、两点的坐标；
(2）用含t 的代数式表示MON △的面积1S ；
(3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记MPN △和OAB △重合部分的面积为2S ， ①当2t <≤4时，试探究2S 与t 之间的函数关系式；
②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，2S 为OAB △面积的
516
}
"
图22
—
23、如图15，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论．
'
24、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF
交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
(1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
(2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
25、如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE AG ⊥于E ，BF DE ∥，交AG 于F ．求证：AF BF EF =+．
#
；
<
D
C
B
A E
F
G
&
参考答案
1、D
2、104
3、5或9
4、20
1005
2
3
55 5、15 6、C 7、A 8、B 9、C 10、58
]
11、（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形∴AB = AD ，∠1 =∠2又∵AN = AN ∴△ABN ≌ △ADN
(2）解：∵∠ABC =90°，∴菱形ABCD 是正方形此时，∠CAD =45°． 下面分三种情形：
Ⅰ）若ND =NA ，则∠ADN =∠NAD =45°．此时，点M 恰好与点B 重合，得x =6； Ⅱ）若DN =DA ，则∠DNA =∠DAN =45°．此时，点M 恰好与点C 重合，得x =12； Ⅲ）若AN =AD =6，则∠1=∠2，由AD ∥BC ，得∠1=∠4，又∠2=∠3， ∴∠3=∠4，从而CM =CN ，易求AC =62，∴CM =CN =AC －AN =62－6， 故x = 12－CM =12－（62－6）=18－62
综上所述：当x = 6或12 或18－62时，△ADN 是等腰三角形
12、（1）因为ABCD 是正方形，所以BC =CD 。又因为ECGF 是正方形，所以EC =CG 。
—
C
M
B
N |
D 1
2 3 4
13、（1）证明：∵ABC △是正三角形，∴60A ABC AB BC ∠=∠==°，，
在ABN △和BCM △中，AB BC
A ABC AN BM =??
∠=∠??=?
∴ABN BCM △≌△．
∴ABN BCM ∠=∠．又∵60ABN OBC ∠+∠=°，∴60BCM OBC ∠+∠=°，∴60NOC ∠=°． 注：学生可以有其它正确的等价证明．
(2）在正方形中，90AN DM DON =∠=，°． (3）在正五边形中，108AN EM EON =∠=，°． (4）以上所求的角恰好等于正n 边形的内角
(2)180n n
-°
14、（1）①证明：∵ABC △和ADE △都是等边三角形，
(
∴60AE AD AB AC EAD BAC ==∠=∠=，，°．
又∵EAB EAD BAD ∠=∠-∠，DAC BAC BAD ∠=∠-∠，∴EAB DAC ∠=∠， ∴AEB ADC △≌△．
②法一：由①得AEB ADC △≌△，∴60ABE C ∠=∠=°．又∵60BAC C ∠=∠=°， ∴ABE BAC ∠=∠，∴EB GC ∥．又∵EG BC ∥，∴四边形BCGE 是平行四边形． 法二：证出AEG ADB △≌△，得EG AB BC ==．由①得AEB ADC △≌△． 得BE CG =．∴四边形BCGE 是平行四边形． (2）①②都成立．
(3）当CD CB =（2BD CD =或1
2
CD BD =
或30CAD ∠=°或90BAD ∠=°或30ADC ∠=°）时，四边形BCGE 是菱形．
理由：法一：由①得AEB ADC △≌△，∴BE CD =分又∵CD CB =，∴BE CB =．
&
由②得四边形BCGE 是平行四边形，∴四边形BCGE 是菱形．
法二：由①得AEB ADC △≌△，∴BE CD =．又∵四边形BCGE 是菱形， ∴BE CB =∴CD CB =．
法三：∵四边形BCGE 是平行四边形，∴BE CG EG BC ∥，∥，
∴6060FBE BAC F ABC ∠=∠=∠=∠=°，°∴60F FBE ∠=∠=°，∴BEF △是等边三角形．
又∵AB BC =，四边形BCGE 是菱形，∴AB BE BF ==，∴AE FG ⊥∴30EAG ∠=°，∵60EAD ∠=°， ∴30CAD ∠=°．
15、（1）OE OF =．
∴23∠=∠．∴OE OC =．同理可证OC OF =．∴OE OF =．
~
(2）四边形BCFE 不可能是菱形，若BCFE 为菱形，则BF EC ⊥，而由（1）可知FC EC ⊥，在平面内过
同一点F 不可能有两条直线同垂直于一条直线．
(3）当点O 运动到AC 中点时，OE OF =，OA OC =，则四边形AECF
为，要使AECF 为正方形，必须
使EF AC ⊥．
∵EF BC ∥，∴AC BC ⊥，∴ABC △是以ACB ∠为直角的直角三角形，
∴当点O 为AC 中点且ABC △是以ACB ∠为直角的直角三角形时，四边形AECF 是正方形． 16、（1）解：由
28
033
x +=，
得4x A =-∴．点坐标为()40-，． 由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．
∴()8412AB =--=． 由2833216y x y x ?
=+???=-+?
，
．解得56x y =??
=?，．∴C 点的坐标为()56，． ∴11
1263622
ABC C S AB y =
=??=△·．
(2）解：∵点D 在1l 上且28
88833
D B D x x y ==∴=
?+=，．
∴D 点坐标为()88，． 又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，．
？
∴8448OE EF =-==，．
17、（1）1EA FC =．
证明：（证法一）
AB BC A C =∴∠=∠，．
由旋转可知，111AB BC A C ABE C BF =∠=∠∠=∠，，，∴ABE C BF 1△≌△． ∴BE BF =，又1BA BC =，∴1BA BE BC BF -=-．即1EA FC =．
(证法二）
AB BC A C =∴∠=∠，．
由旋转可知，11A C A B CB ∠=∠，=，而1EBC FBA ∠=∠，∴1A BF CBE △≌△． ∴BE BF =，∴1BA BE BC BF -=-，即1EA FC =． (2）四边形1BC DA 是菱形.
证明：
111130A ABA AC AB ∠=∠=∴°，∥，
同理AC BC 1∥．
又
1AB BC =，∴四边形1BC DA 是菱形.
18、（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以BE AD AC DE ∥，∥，故四边形ABCD 为平行四边形， 则有5AB AD BC CE ====，所以10BE BC CE =+=，
6AC DE ==，又6
113522OA AC AB OA ??
==== ???
，，垂直于OB ，
所以在Rt ABC △中有222AB OB OA =+，所以1
482
OB BD BD ===，， 故三角形BDE 的周长为861024BD DE BE ++=++= (2）因为四边形ABCD 为菱形，
所以OB OD BE AD =，∥，则DBC ∠=DOQ ∠又BOP DOQ ∠=∠，所以BOP △全等于DOQ △ 故有BP DQ =
。
19、（1）由题意得m = n 时，AOBC 是正方形．
如图，在OA 上取点C ，使AG = BE ，则OG = OE ． ∴ ∠EGO = 45，从而 ∠AGE = 135．
由BF 是外角平分线，得 ∠EBF = 135，∴ ∠AGE =∠EBF ． ∵ ∠AEF = 90，∴ ∠FEB +∠AEO = 90． 在Rt △AEO 中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90， ∴ ∠EAO =∠FEB ，∴ △AGE ≌△EBF ，EF = AE ．
(2）假设存在点E ，使EF = AE ．设E （a ，0）．作FH ⊥x 轴于H ，如图． 由（1）知∠EAO =∠FEH ，于是Rt △AOE ≌Rt △EHF ． ∴ FH = OE ，EH = OA ．
·
∴ 点F 的纵坐标为a ，即 FH = a ．
由BF 是外角平分线，知∠FBH = 45，∴ BH = FH = a ． 又由C （m ，n ）有OB = m ，∴ BE = OB －OE = m －a ， ∴ EH = m －a + a = m ．
又EH = OA = n ， ∴ m = n ，这与已知m ≠n 相矛盾． 因此在边OB 上不存在点E ，使EF = AE 成立．
(3）如（2）图，设E （a ，0），FH = h ，则EH = OH －OE = h + m －a ． 由 ∠AEF = 90，∠EAO =∠FEH ，得 △AOE ∽△EHF ， x
O
E B
A y
:
F G
且
FH OE EH AO =，即h
a
a m h n =-+，
整理得 nh = ah + am －a 2，∴ a
n a m a a n a am h --=--=)
(2
．
>
把h =（t + 1）a 代入得
a t a
n a m a )1()
(+=--，
…
即 m －a =（t + 1）（n －a ）．
而 m = tn ，因此 tn －a =（t + 1）（n －a ）．
化简得 ta = n ，解得t
n
a =．
∵ t ＞1， ∴ t
n
＜n ＜m ，故E 在OB 边上．
∴当E 在OB 边上且离原点距离为t n 处时满足条件，此时E （t
n
，0）．
20、（1）
(2）解法一：由拼图前后的面积相等得：2)(])[(y x y y y x +=++
因为y ≠0，整理得：01)(2=-+y
x y x 解得：2
1
5-=
y x
（负值不合题意，舍去） 解法二：由拼成的矩形可知：y
x
y y x y x =+++)(
】
以下同解法一．
21、（1）在Rt ABC △中，
2222201216BC AC AB --=，
1216192ABCD S AB BC ==?=矩形·．
(2）
矩形ABCD ，对角线相交于点O ，
4ABCD OBC S S ∴=△，四边形1OBB C 是平行四边形，11OB CB OC BB ∴∥，∥， 11OBC B CB OCB B BC ∴∠=∠∠=∠，，又BC CB =，1OBC B CB ∴△≌△，
H x
O E
B
A
y
C
F
第6个平行四边形的面积为
61
32
ABCD S =． 22、(1）当0x =时，4y =；当0y =时，4x =．(40)04A B ∴，，（，）； (2）
1OM OA MN AB ON OB ∴
==∥，，2111
22
OM ON t S OM ON t ∴==∴==，·； (3）①当24t <≤时，易知点P 在OAB △的外面，则点P 的坐标为()t t ，,
F 点的坐标满足4x t y t =??
=-+?
，
，即(4)F t t -，， 同理(4)E t t -，，则24PF PE t t t ==-=-(4-)， 所以2MPN PEF OMN PEF S S S S S =-=-△△△△
22211113
24248822222
t PE PF t t t t t =-=---=-+-·()()； ②当02t <≤时，22211515
44221622
S t t ==???=，，
解得125052t t =-<=>，，两个都不合题意，舍去；
当24t <≤时，223
5882
2S t t =-+-=，解得347
33
t t ==，， 综上得，当73t =或3t =时，2S 为OAB △的面积的5
16
．
23、如图，连结AC 、BD ．
∵ PQ 为△ABC 的中位线，∴ PQ 2
1
AC ． 同理 MN
2
1
AC ．∴ MN PQ ，
∴ 四边形PQMN 为平行四边形．在△AEC 和△DEB 中，
AE ＝DE ，EC ＝EB ，∠AED ＝60°＝∠CEB ，即 ∠AEC ＝∠DEB ．∴ △AEC ≌△DEB ．∴ AC ＝BD ． ∴ PQ ＝
21AC ＝2
1
BD ＝PN ，∴ □PQMN 为菱形． 24、（1）正确．
证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．
BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．
CF 是外角平分线，
45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°．AME ECF ∴∠=∠．
90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°，∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）． D
F
N A D
F C G
E
B
M
证明：在BA 的延长线上取一点N ． 使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=．
45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正方形，AD BE ∴∥．
DAE BEA ∴∠=∠．NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴
△≌△（ASA ）．AE EF ∴=． 25
、
ABCD 是正方形，
90AD AB BAD ∴=∠=，°． DE AG ⊥，
90DEG AED ∴∠=∠=°． 90ADE DAE ∴∠+∠=°．
又
90BAF DAE BAD ∠+∠=∠=°，
ADE BAF ∴∠=∠． BF DE ∥，
AFB DEG AED ∴∠=∠=∠．
在ABF △与DAE △中，AFB AED
ADE BAF AD AB ∠=∠??
∠=∠??=?
，
(AAS)ABF DAE ∴△≌△．
BF AE ∴=． AF AE EF =+， AF BF EF ∴=+．