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大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅

导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分）

1．计算=--++??y x y

x x y

y x D

d d 1)

1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =???

??-=，

-=1

d 1u u

u （*）令u t -=1，则21t u -=

dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，

2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2

22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.

解: 令?=2

d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，

A A x A x A 24)2(28d )23(20

2-=+-=--=

解得34=

A 。因此3

103)(2-=x x f 。 3．曲面22

-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.

解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面22

-+=y x z 在

),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)

1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与

)

1,2,2(-平行，因此，由

z x =，

z y 2=知

0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，

即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在

)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面

22-+=y x z 平行平面

022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，

则=22d d x

________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得因)(29ln y f y xe e =，故y y y f x '=''+)(1，即))

(1(1

y f x y '-=

'，因此

二、（5分）求极限x

nx x x x n

e e e )(

lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 解 :因故因此

三、（15分）设函数)(x f 连续，?=1

0d )()(t xt f x g ，且A x

x f x =→)

(lim

，A 为常数，

求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.

解 : 由A x x f x =→)(lim

和函数)(x f 连续知，0)

(lim lim )(lim )0(000===→→→x

x f x x f f x x x

因?=10d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(10

===?f t f g ，因此，当0≠x 时，?=x

u u f x x g 0d )(1)(，故当0≠x 时，

x f u u f x x g x )(d )(1

)(0

='?

，这表明)(x g '在0=x 处连续.

四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：

（1）??-=---L

x y L

x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；

（2）2sin sin 2

d d π?≥--L

y y x ye y xe .

证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知（1）y x ye y xe x x ye y xe D

x y L

x y d d )()(d d sin sin sin sin ?????

??-??

-??=---

而D 关于x 和y 是对称的，即知因此（2）因故

由知

即 2sin sin 2

5d d π?≥--L

y y x ye y xe

五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

解设x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程

的三个解，则x x e e y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是

因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111

x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 21

2++='，x x x e xe e y 2142++='' 知，111

2)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为

六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3

.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.

解因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点，故1=c ，于是即

而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积即令

0)1(27

)21(3152)(=---+=

'a a a a V πππ，得即因此

-=a ,23=b ,1=c .

七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u x n n n

, 且n

u n =)1(, 求函数

项级数∑∞

)(n n x u 之和.

解

x n n n

e x x u x u 1)()(-+='，即

由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此

由)1()1(n

C e u n e n +==知，0=C ，于是

下面求级数的和：

令则即

由一阶线性非齐次微分方程公式知

令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数∑∞

=1)(n n x u 的和

八、（10分）求-

→1x 时, 与∑∞

n n x 等价的无穷大量.

解令2)(t x t f =，则因当10<

()2ln 0t f t tx x '=<，故

t t e

x t f 1

)(-==在(0,)+∞上严格单调减。因此

即

()d ()1()d n f t t f n f t t ∞

+∞+∞=≤≤+∑?

，

又

()n n n f n x ∞

∞

===∑

∑，

21ln

1d 1ln

1d d d )(0

1ln

t e x

t e

t x t t f t x

t t =

==???

∞+-∞

+-∞+∞+，

所以，当-

→1x 时, 与∑∞

n n x 等价的无穷大量是

-121π

。

2010-2012年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看

一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）一、（25分，每小题5分）

（1）设22(1)(1)(1),n

n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞

（2）求2

1lim 1x x x e x -→∞

+ ???

。

（3）设0s >，求0

(1,2,)sx n I e x dx n ∞

-==?L 。

（4）设函数()f t

有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ??

== ???

，求2222g g x y ??+??。

（5）求直线10:0

x y l z -=??

=?与直线2213

:421x y z l ---==

--的距离。解：（1）22(1)(1)(1)n

n x a a a =+++L =22(1)(1)(1)(1)/(1)n

n x a a a a a =-+++-L =222(1)(1)(1)/(1)n a a a a -++-L =L =1

2(1)/(1)n a a +--

(2) 2

211

ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x x

x x

x x x e e e x -++--→∞→∞→∞

??+== ???

令x=1/t,则

原式=2

1(ln(1))

1/(1)1

12(1)

lim lim lim t t t t t

t t t e

e +-+--

+→→→===

（3）0000112021

011()()[|](1)!!

sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s

n n n n n n e x dx I I I s s s s s

∞∞∞---∞

-∞----+==-=--=

-=====????L

二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且

()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞

→-∞

''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <。

证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根。

解：二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。将f(x)二阶泰勒展开：因为二阶倒数大于0，所以

lim ()x f x →+∞

=+∞，lim ()x f x →-∞

=-∞

证明完成。

三、（15分）设函数()y f x =由参数方程2

2(1)()

x t t t y t ψ?=+>-?

=?所确定，其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与2

2t u y e du e

-=+

?在1t =出相切，求函数()t ψ。解：（这儿少了一个条件22d y

）由()y t ψ=与2

2t u y e du e

-=+

?在1t =出相切得 3(1)2e ψ=

，'2(1)e

ψ= 22d y dx ='3''()(2(/)(/)//(22)

2)2()d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t ψψ==++-=。。。上式可以得到一个微分方程，求解即可。四、（15分）设10,,n

n n k k a S a =>=∑证明：

（1）当1α>时，级数1n

n n

a S α

+∞

=∑

收敛；（2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1n

n n

a S α

+∞

=∑发散。解：

（1）n a >0, n s 单调递增当1n n a ∞

=∑收敛时，1n n n a a s s αα

，而1n a s α收敛，所以n

n a s α

收敛；

当1

n n a ∞

=∑发散时，lim n n s →∞

=∞

所以，1111

1211n n n s s n s s n n n

a a a dx dx s s x s x ααααα-∞

∞==<+=+∑∑??

而1

11111

1111lim 11

s n s n s s a a s dx k x s s αααααααα---→∞-=+=+=--?

，收敛于k 。所以，1n

n n

a s α

∞

=∑

收敛。（2）lim n n s →∞

=∞Q

所以1n n a ∞

=∑发散，所以存在1k ，使得1

k n n a a =≥∑

于是，1

12221

2k k k n n n n n

k a a a s s s α≥≥≥∑∑∑

依此类推，可得存在121...k k <<<

使得1

12i i k n k n a s α+≥∑成立，所以11

k n n

a N s α

≥?∑ 当n →∞时，N →∞，所以1n

n n

a s α

∞

=∑

发散五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中2221)αβγ++=的直线，均匀椭球

222

1x y z a b c ++≤，其中（0,c b a <<<密度为1）绕l 旋转。（1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值。解：

（1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离

由轮换对称性，（2）a b c >>Q

∴当1γ=时，22max 4

()15

I abc a b π=

+ 当1α=时，22min 4

()15

I abc b c π=

+ 六、(15分)设函数()x ?具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分42

2()c

xydx x dy

x y

?++?

?的值为常数。（1）设L 为正向闭曲线22(2)1,x y -+=证明42

2()0;c

xydx x dy

x y ?+=+?

（2）求函数()x ?；

（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求42

2()c

xydx x dy

x y ?++?

?。

解：

（1） L 不绕原点，在L 上取两点A ，B ，将L 分为两段1L ，2L ，再从A ，B 作一

曲线3L ，使之包围原点。则有（2）令4242

2()

,xy x P Q x y x y

=++ 由（1）知

0Q P x y

??-=??，代入可得上式将两边看做y 的多项式，整理得由此可得解得：2()x x ?=-

（3）取'L 为424x y ξ+=，方向为顺时针

2011-2012年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看

一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）

（1）.求1

1cos 0sin lim x

x x x -→?? ???

；

解：（用两个重要极限）：

（2）.求111lim ...12n n n n n →∞??+++ ?+++?

?；解：(用欧拉公式）令111

...12n x n n n n

=+++

+++ 其中，()1o 表示n →∞时的无穷小量，

（3）已知()2ln 1arctan t

t x e y t e

?=+?

?=-??，求22d y dx 。解：222222221211,121121t

t t t t t t t t t

e dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++==-∴==+++ 二．（本题10分）求方程

()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。

解：设24,1P x y Q x y =+-=+-，则0Pdx Qdy +=

1,P Q y x ??==∴??Q 0Pdx Qdy +=是一个全微分方程，设dz Pdx Qdy =+ ,P Q y x

??=∴??Q 该曲线积分与路径无关三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且

()()()'"0,0,0f f f 均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得

()()()()

1232

230lim

0h k f h k f h k f h f h

→++-=。

证明：由极限的存在性：()()()()1230

lim 2300h k f

h k f h k f h f →++-=????

即

[]()123100k k k f ++-=，又()00f ≠，1231k k k ∴++=①

由洛比达法则得

由极限的存在性得()()()'

''1230

lim 22330h k f

h k f h k f h →??++=??

即()()'1232300k k k f ++=，又()'00f ≠，123230k k k ∴++=②

再次使用洛比达法则得

123490k k k ∴++=③

由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231231

230490

k k k k k k k k k ++=??

++=??++=?的解

设1231111123,,01490k A x k b k ??????

? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????，则Ax b =，增广矩阵*

111110031230010314900011A ??

? ?=- ?

? ???

:，则()(),3R A b R A ==

所以，方程Ax b =有唯一解，即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意，且1

233,3,1k k k ==-=。

四．（本题17分）设222

1222:1x y z a b c

∑++=，其中0a b c >>>，

2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原

点距离的最大值和最小值。

解：设Γ上任一点(),,M x y z ，令()222

222,,1x y z F x y z a b c

=++-，

则'

''222222,,,x y z x y z F F F a b c ===∴椭球面1∑在Γ上点M 处的法向量为：

222,,,x y z t a b c ??

=∴ ???

r 1∑在点M 处的切平面为∏：

原点到平面∏

的距离为d

，令()222

444,,,x y z G x y z a b c =++

则

1d =

现在求()222444,,,x y z G x y z a b c =++在条件2222221x y z a b c

++=，222

z x y

=+下的条件极值，

令()()222222222

12444222,,1x y z x y z H x y z x y z a b c a b c λλ??=+++++-++- ???

则由拉格朗日乘数法得：

'1242'12

42'1242222

22222222202220

222010

0x y z x

x H x a a y y H y b b z

z H z c c x y z a

b c x y z λλλλλλ?=++=??

?=++=???=+-=??

?++-=???+-=??

，

解得2222

220x b c y z b c =???==?+?

或22

220a c x z a c y ?==?+??

=?，对应此时的()()442222,,b c G x y z b c b c +=+或()()44

2222,,a c G x y z a c a c +=+

此时的1d =

2d =又因为0a

b c >>>，则12d d <

所以，椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为：

2d =

1d =五．（本题16分）已知S 是空间曲线2231

x y z ?+=?=?绕y 轴旋转形成的椭球面的

上半部分（0z

≥）取上侧，∏是S 在(),,P x y z 点处的切平面，(),,x y z ρ是

原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦。计算：（1）

(),,S

dS x y z ρ??；（2）()3S z x y z dS λμν++?? 解：（1）由题意得：椭球面S 的方程为()2

22310x y z z ++=≥

令22231,F

x y z =++-则'''2,6,2x y z F x F y F z ===，切平面∏的法向量为(),3,n x y z =r

，

∏的方程为()()()30x X x y Y y z Z z -+-+-=，

原点到切平面∏的距离(

)222,,x y z ρ=

将一型曲面积分转化为二重积分得：记22:1,0,0xz D x z x z +≤≥≥

(2)方法一：

3x y z λμν=

六．（本题12分）设f(x)是在

(),-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x <、，

其中01m <<，任取实数0a ，定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：

()11

n n a

a ∞

-=-∑绝对收敛。

证明：()()112ln ln n

n n n a a f a f a ----=-

由拉格朗日中值定理得：ξ?介于12,n n a a --之间，使得

()()

()'112n n n n f a a a a f ξξ---∴-=

-，又

()()f mf ξξ<、得

()()

'f m f ξξ<

∴级数1

n n m

a a ∞

-=-∑收敛，∴级数

n n a

a ∞

-=-∑收敛，即()11

n n n a a ∞

-=-∑绝

对收敛。

七．（本题15分）是否存在区间

[]0,2上的连续可微函数

f(x)，满足

()()021f f ==，

()()2

01,1f

x f x dx ≤≤?、

？请说明理由。

解：假设存在，当[]0,1x ∈

时，由拉格朗日中值定理得： 1ξ?介于0，x 之间，使得()()()'10,f x f f x ξ=+，同理，当[]1,2x ∈时，由拉格朗日中值定理得：

2ξ?介于x ，2之间，使得()()()()'222f x f f x ξ=+-

即

()()[]()()()[]''121,0,1;12,1,2f x f x x f x f x x ξξ=+∈=+-∈

()11f x -≤≤Q 、，

显然，

()()2

00,0f x f x dx ≥≥?

()()()()()1

111133

x dx x dx f x dx x dx x dx ≤-+-≤≤++-=?????()2

1f x dx ∴≥?，又由题意得

()()22

1,1f x dx f x dx ≤∴=??

即

()2

1f x dx =?

，()[][]

1,0,11,1,2x x f x x x ?-∈?∴=?-∈?? ()'1f ∴不存在，又因为f(x)是在区间[]0,2上的连续可微函数，即()'1f 存在，

矛盾，故，原假设不成立，所以，不存在满足题意的函数f(x)。

高等数学下试题及参考答案

高等数学下试题及参考答案内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2016~2017学年第2 学期考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足条件时级数条件收敛。二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是（） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =

2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是（） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是（） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

大学高等数学下考试题库(及答案)

一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）

高等数学试题及答案新编

《高等数学》一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）

高等数学下册试题及答案解析word版本

高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

( 大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .

高等数学试题及答案91398

《高等数学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

高等数学(A)下期末试卷及答案

《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为（ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面积为（D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ）

(A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为（ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值为（ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2

(完整)高等数学考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）. （A ）4 24arctan 1x dx x π π-+? （B ）44 arcsin x x dx ππ-? （C ）112x x e e dx --+? （D ）()121sin x x x dx -+? 10．设() f x 为连续函数，则()1 2f x dx '?等于（）. （A ）()()20f f - （B ） ()()11102f f -????（C ）()()1 202 f f -????（D ）()()10f f - 二．填空题（每题4分，共20分） 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3．21 x y x =-的垂直渐近线有条. 4． ()21ln dx x x = +?. 5． ()4 22 sin cos x x x dx π π - += ?.

高等数学上考试试题及答案

四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期）课程名称：高等数学(上)(A 卷) 命题教师：杨勇适用班级：理工科本科考试(考查)：考试 2008年 1 月 10日共 6 页注意事项： 1、满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。 3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。试题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )

(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）

高等数学(下)练习题和答案

高等数学一、填空、选择题（每题3分，共30分） 1．曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,则D yd σ=?? . 3.若曲线L 是2 2 1x y +=在第一象限的部分,则L xds =? . 4.设(,)ln()2y f x y x x =+ ,则(1,0)xx f = . 5.若级数 1 (2)n n u ∞ =+∑收敛,则lim n n u →∞ = . 6.函数3 2 2 (,)42f x y x x xy y =-+-,下列说法正确的是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2 2 (,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2 24x y +=顺时针一周,则 1 2 L xdy ydx -=??( ). (A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9. 累次积分1 (,)y dy f x y dx ? 改变积分次序后等于( ). (A) 2 1 0(,)x x dx f x y dy ? ? ; (B) 21 (,)x x dx f x y dy ? ?; (C) 1 (,)x dx f x y dy ? ; (D) 21 (,)x dx f x y dy ?. 10. 下列各级数中条件收敛的是（） (A) 1 1 (1) n n ∞ +=-∑; (B) 1 2 11 (1)n n n ∞ +=-∑; (C) 1 1 (1) 1 n n n n ∞ +=-+∑; (D) 1 1 1 (1)(1) n n n n ∞ +=-+∑; 二解答题(6*4) 1.设函数22 ln()y x z x y e =++,求(1,0) dz . 2.设sin ,,2u z e v u xy v x y ===-,求 ,z z x y ????.

大连市高等数学竞赛试题B答案完整版

大连市高等数学竞赛试题B答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

大连市第二十三届高等数学竞赛试卷答案（B）

一、填空题（本大题共5小题，每小题2分，计10分） 1. n ? ?∞→= e^2 . 2. 30tan sin lim x x x x →- = 1/2 . 3. 0 lim x x x + →= 1 . 4. 2 cos lim x x t dt x →?= 1 . 5. 若221lim 2,2 x x ax b x x →--=+-则(,)(4,5).a b =- 二、（本题10分）设?????=≠=),0(1),0(1sin )(3 x x x x x f 求)(x f '. 解当0≠x 时，x x x f 1 sin )(3=为一初等函数，这时 ; 1 cos 1sin 311cos 1sin 3)(2232x x x x x x x x x x f -=? ?? ??-??? ?? +='（6分）当0=x 时，由于 ),0(01 sin lim )(lim 300f x x x f x x ≠==→→（8分）所以)(x f 在0=x 处不连续，由此可知)(x f 在0=x 处不可导。（10分）

解：0,1,1x x x ===-为间断点。（3分）当0x =时，由于00lim ()lim 1,1|| x x x f x x x ++→→==+ 而00lim ()lim 1,x x f x --→→==- 所以0x =是跳跃间断点。（5分）当1x =时，由于11lim ()lim 1,1|| x x x f x x x →→==+ 所以1x =是可去间断点。（7分）当1x =-时，而1 lim (),x f x →-=∞ 所以1x =-是无穷间断点。（8分）考生注意：考试时间 150 分钟试卷总分 100 分共四页第 1页

高等数学试卷和答案新编

高等数学（下）模拟试卷一一、填空题（每空3分，共15分）（1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为（2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交（2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值得分阅卷人

(完整版)高等数学试题及答案

《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日星期三考试时间：120 分钟一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

高等数学竞赛试题(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】第二十届高等数学竞赛试卷一、填空题（每小题5分，本题共50分）： 1. 若0→x 时，1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小，则= a . 2. = +→) 1ln(1 2) (cos lim x x x . 3. 设函数2 301sin d ,0,(),0,x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续，则a = . 4. =??+??=y z y x z x x y xy z 则设,sin . 5. 的解为：满足微分方程9 1 )1(ln 2-==+'y x x y y x . _______ )()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面，而其他若设01 006 7.. d tan )cos (222 22005= +? -x x x x π π 8. . sin 2sin sin 1lim = ??? ??+++∞→n n n n n n πππ 9. . ,1222= ≤++Ω???Ω dv e z y x z 计算所界定由设空间区域 10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数 (,)f x y 具有连续偏导数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则 .. ),(),(= -?dy y x f x x d y x f y L 二、计算题（每小题6分，本题共42分）： . ,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换2101010 2=' ==+'-''-<<===x x y y y y x y x t t x π 解题过程是：

高等数学下册试题及参考答案

高等数学下册试题一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α，因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．解由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。

江苏高等数学竞赛历年试题(本一)

2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级）一、填空（每题3分，共15分） 1.设( )f x = ，则()f f x =???? . 2. 1lim ln 1 x x x x x x →-=-+ . 3. () 14 4 5 1x dx x =+? . 4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+???? =+=-????=-=+?? 的平面方程为 . 5.设(),z z x y =由方程,0y z F x x ?? = ??? 确定（F 为任意可微函数），则z z x y x y ??+=?? 二、选择题（每题3分，共15分） 1.对于函数11 2121 x x y -= +，点0x =是( ) A. 连续点； B. 第一类间断点； C. 第二类间断点；D 可去间断点 2.设()f x 可导，()()() 1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（） A. ()00f '=； B. ()00f =；C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-= 3. () 00 sin lim x y x y x y →→+=- （） A. 等于1； B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在 4.若 ()()0000,,, x y x y f f x y ????都存在，则 (),f x y 在()00,x y ( ) A. 极限存在，但不一定连续； B. 极限存在且连续； C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续 5.设α 为常数，则级数 21sin n n n α∞ =? ? ∑ ( ) A. 绝对收敛 B. 条件收敛； C. 发散； D 收敛性与α取值有关

2019高数(下)试题及答案

第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是（）（A ）通过y 轴（B ）通过x 轴（C ）垂直于y 轴（D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的（）（A ）充要条件（B ）充分但非必要条件（C ）必要但非充分条件（D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（）（A ）e （B ）()e dx dy +

（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）（A ）敛散性不确定（B ）发散（C ）条件收敛（D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（）（A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==，求该平面方程．四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ??和2z x y ???．五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???，其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，

高等数学考试题库(含答案解析)

范文范例参考《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 3 分，共 30 分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）f x ln x2和 g x2ln x（ B）（C ）f x x 和g x 2 x（D ） f x| x | 和 g x x2 f x | x | g x1 和 x sin x 4 2 x0 2．函数f x ln 1x在 x 0 处连续，则a（） . a x0 （A ）0（ B）1 （D）2 （C）1 4 3．曲线y x ln x 的平行于直线 x y 1 0 的切线方程为（） . （A ）y x 1（ B）y( x 1)（C ）y ln x 1x 1（D）y x 4．设函数f x| x |，则函数在点x0 处（） . （A ）连续且可导（ B）连续且可微（ C ）连续不可导（ D）不连续不可微 5．点x0 是函数y x4的（）. （A ）驻点但非极值点（B）拐点（C）驻点且是拐点（D）驻点且是极值点 6．曲线y 1 ） . 的渐近线情况是（ | x | （A ）只有水平渐近线（ B）只有垂直渐近线（ C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．f 11 ）. x x2 dx 的结果是（（A ） 1 C 1 C 1 C （D） f 1 f（ B）f（ C ）f C x x x x 8． dx x e e x 的结果是（）. （A ）arctan e x C （） arctan e x C （ C ）x e x C （ D ）x e x )C B e ln( e 9．下列定积分为零的是（） . （A ）4arctanx dx （B）4x arcsin x dx （C） 1 e x e x 1x2x sin x dx 1x212 dx （D） 44 1 10 ．设f x为连续函数，则1 f 2x dx 等于（） . 0 （A ）f 2f0（B）1 f 11 f 0 （C） 1 f 2 f 0 （D） f 1 f 0 22 二．填空题（每题 4 分，共 20 分） f x e 2x1 x0 在 x 0处连续，则 a 1．设函数x.

高等数学下册试卷及答案

高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）

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