平行线之间的正方形
如图，把边长为d 的正方形放在两条距离也为d 的平行线之间，于是产生了四个交点。求证，把这四个点交叉相连产生的夹角为45°。
只需要注意到，如果两条距离为d 的平行线之间夹着一条线段，那么这条线段的长度唯一地确定了它与两条平行线的夹角。因而，下图中所标注的两个角的度数显然相等（我们也可以严格地证明这一点，只需要过点P 分别作l
1和l3的垂线段，并证明三角形全等即可）。
所以，在下图中，两个标有α 的角是相等的，两个标有β 的角也是相等的。接下来就简单了。由于γ + δ = 90° ，并且2α + 2β + γ + δ = 360° ，因此2α +
2β = 270° ，即α + β = 135° 。那么，我们要求的角度就是180°– 135° = 45°了。
点到直线的距离公式、两条平行线之间的距离
3.3.3 点到直线的距离公式--3.3.4两条平行线之间的距离 三维目标： 知识与技能：1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 能力和方法：会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞 情感和价值：1。认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题王新敞 教学重点：点到直线的距离公式王新敞 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 教学方法：学导式 教具：多媒体、实物投影仪王新敞 教学过程 一、情境设置，导入新课： 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l 的距离。 用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算？能否
用两点间距离公式进行推导？ 两条直线方程如下： ?? ?=++=++0 222111C y B x A C y B x A . 二、讲解新课： 1．点到直线距离公式： 点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2 200B A C By Ax d +++=王新敞 （1）提出问题 在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(00y x ，直线＝0或B ＝0时，以上公式0:=++C By Ax l ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢? 学生可自由讨论。 （2）数行结合，分析问题，提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P 到直线l 的距离d 是点P 到直线l 的垂线段的长. 这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。 画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。 方案一：
点到直线的距离与两条平行线间的距离
3.3.3 --3.3.4点到直线的距离、两条平行直线间的距离（教学设计） 教学目标： 1.知识与技能： 1）理解点到直线距离公式的推导， 2）熟练掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间距离； 2.过程与方法 经历两点间距离公式的推导过程，会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞 3.情感、态度与价值观： 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题王新敞 教学重点、难点 重点：点到直线的距离公式.王新敞 难点：点到直线距离公式的理解与应用. 教学过程 （一）创设情境，导入新课 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线 l 的距离。 用POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一点到直线的距离计算？能否用两点间距离公式进行推导？ （二） 师生互动，探究新知 1．点到直线距离公式及其推导： 点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2 200B A C By Ax d +++=王新敞 （1）提出问题 在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(00y x ，直线方程中A ＝0或B ＝0时，，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢? 学生可自由讨论。 （2）数行结合，分析问题，提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P 到直线l 的距离d 是点P 到直线l 的垂线段的长. 这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为 一个曾经解决过的问题，一个自己熟悉的问题。 画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。 方案一：
八年级数学平行线之间的距离同步练习
1.4 平行线之间的距离 【模拟试题】（答题时间：20分钟） 一. 判断题 1. 水平的地面上有两根电线杆，测量两根电线杆之间的距离，只需测这两根电线杆入地点之间的距离即可。（） 2. 如图AB∥CD，AD∥BC。AD与BC之间的距离是线段DC的长。（） （）3. 如图直线a沿箭头方向平移1.5cm，得直线b。这两条直线之间的距离是1.5cｍ。 4.一条直线经过平移后到原直线的距离为1cm。平移后可以得到两条直线。（） 二. 解答题 1. 在下面的梯形ABCD中，AD∥BC,请说出测量AD、BC之间距离的方法。 2. 如图AB∥CD，AD∥BC。过D作BC的垂线段DE，测量AD与BC之间的距离。 3. 如图长方形ABCD中。AB＝6cm，长方形的面积为24cm2。求AB与CD之间的距离。 4. 作图回答。若直线a∥b∥c，直线a与b的距离为5cm，直线b与c的距离为8cm，那么a与c的距离为多少？
【试题答案】 一. 1. 对。水平的地面与电线杆是垂直的，所以入地点的连线即两电线杆之间的垂线段。 2. 错。线段DC不是平行线之间的垂线段。 3. 错。箭头方向不与直线垂直。 4. 对。直线可以向两个不同方向平移，所以平移结果有两条直线。 二. 1. 在AD上任取一点P，过P作BC的垂线段PM，测量PM的长度即为AD、BC之间的距离。 2. 垂线段DE的长度即为所求的平行线之间的距离。 3. 因为长方形的每个角都是直角，所以长方形的宽AD的长就是AB与CD之间的距离。24÷6＝4（cm）。即AB与CD之间的距离为：4cm。 4. 如图。a与c之间的距离为图中线段AC或线段C'A的长13cm或3cm。因为将直线平移可以向两个不同方向平移，所以离直线a距离8Cｍ的直线c可以画两条（其实离直线a 距离5Cｍ的直线b也可以画两条，与右图情形对称，答案一致，所以没有画出），在直线c 上任取一点A，过A作直线a的垂线，必定也与其他平行线垂直。观察右图可以求出所求的距离。
两条平行线间的距离(说课)
两条平行线间的距离（说课教案） 一．本节内容的具体安排及编写思路： 出于简洁性的考虑，教材编写单刀直入地直接提出核心问题，并给予解决的方法。通过创设问题情境引入课题，降低难度，教给学生从特殊到一般的研究问题的方法和策略，激发学生去解决问题，探究问题，得出结论。在这个过程中，老师作适当的点拨、引导，让学生逐步逼近目标，充分展示数学知识产生的思维过程，让学生均能自觉主动地参与进来。教师的主导作用，学生的主体地位都得以充分体现，然后让学生自己归纳、总结得出结论，享受成功的喜悦和快乐。对教材上的例10、例11，由于是直接应用点到直线的距离公式，较易，故让学生直接去阅读、去理解，熟悉点到直线的距离公式。但对例11的稍许变化，却抓住不放，通过例11的解法的启示，激发学生进一步去应用点到直线的距离公式去探究二平行直线间的距离公式，利用有限的时间和学生刚成功的那一股学习的惯性，对教材进行拓广，让学生对归纳总结出的公式有更加深刻、透彻的理解和掌握，达到灵活应用的目的。 二、教学目标： （1）、使学生掌握点到直线的距离公式及结构特点，并能熟练准确的应用这一公式，达到理解掌握知识的目的。 （2）、学会寻找点到直线距离公式的思维过程及推导方法，培养学生发现问题、探究问题的能力。 （3）、教学中体现数形结合、转化的数学思想，分类讨论的数学思想，培养学生在研究讨论问题时的数学技能和实际动手能力以及思维的严密性。 （4）、教学中鼓励同学相互讨论，取长补短，培养学生的合作意识和团队精神。 三、重点、难点： 理解和掌握点到直线的距离公式，熟练的应用公式求点到直线的距离是本节学习的重点，难点是点到直线距离公式的推导。 四、主要教学构想： 通过创设问题情景自然引入课题，降低教材难度。主要由学生去探究，去发现，去讨论，去归纳总结得到公式，再辅以适当的例题、习题帮助学生熟悉公式，学会运用。特别是引导学生对例11的进一步探究，既拓广了教材，又进一步加深了同学们对从特殊到一般的研究方法的理解。从而达到探究——讨论——归纳总结——完善结论——牢固掌握——灵活运用的目的。 五、教学过程： １、创设问题情境： 实例：某供电局计划年底解决本地区最后一个村庄的用电问题，经过测量，若按部门内部设计的坐标图（即以供电局为直角坐标原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为y轴的正半轴，长度单位为千米），得知这个村庄的坐标是（15，20），离它最近的只有一条直线线路通过，其方程为：3x–4y–10=0,问要完成任务，至少需要多长的电线？（如图4—1所示）
人教版初中七年级数学下册《两平行线之间的距离》教案
两平行线之间的距离 教学目标： 1、理解平行线之间的距离的概念。 2、能够测量两条平行线之间的距离，会画到已知直线已知距离的平行线。 3、通过平行线之间的距离转化为点到直线的距离，使学生初步体验转化的数学思想。 教学重点：理解平行线之间的距离的概念，掌握它与点到直线的距离的关系。 教学难点：画到已知直线已知距离的平行线。 教学过程： 一、准备知识 1、点到直线距离。 2、直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。 3、三条直线的平行关系。 二、探究新知 1、做一做。 测量自己的数学课本的宽度。要注意什么问题？刻度尺要与课本两边互相垂直。 2、公垂线、公垂线段的概念 与两条平行直线都垂直的直线，叫做这两条平行直线 的公垂线。如图形中的直线AB与CD都是公垂线，这时连
结两个垂足的线段，叫做这两条平行直线的公垂线段。图中的线段AB和CD。 两平行线的公垂线段也可以看成是两平行直线中一条上的一点到另一条的垂线段。 3、公垂线段定理：两平行线的所有公垂线段都相等。 4、两平行线上各取一点连结而成的所有线段中，公垂线段最短。 如图m∥n，直线m、n上各取一点A、B，连结AB。 再过A作n线段的垂线段AC，垂足为C，则有AC＜AB。从而得到上述定理。 5、两平行间的距离：两平行线的公垂线段的长度。 6、范例分析 P76例如图设直线a、b、c是三条平行直线。已知 a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，求a与 c的距离。 （引导学生分析，然后按教材写出解题过程： 解：在直线a上任取一点A，过A作A C⊥a，分别交 b、c于B、C两点，则AB、BC、AC分别表示a与b， b与c，a与c的公垂线段。 AC＝AB+BC＝5＋2＝7，因此a与c的距离为7厘米。 三、小结练习 1、练习P76P77的A组2题
2011中考数学真题解析64 两点之间距离,点到直线距离,两平行线的距离(含答案)
(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编两点之间距离，点到直线距离，两平行线的距离 一、选择题 1.（2011湖北荆州，14，3分）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为13cm． 考点：平面展开-最短路径问题． 专题：几何图形问题． 分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 解答：解： ∵PA=2×（4+2）=12，QA=5 ∴PQ=13． 故答案为：13． 点评：本题主要考查两点之间线段最短，以及如何把立体图形转化成平面图形． 2.（2011，台湾省，11,5分）如图为某大楼一、二楼水平地面间的楼梯台阶位置图，共20阶水平台阶，每台阶的高度均为a公尺，宽度均为b公尺（a≠b）．求图中一楼地面与二楼地面的距离为多少公尺？（）
A、20a B、20b C、×20 D、×20 考点：平行线之间的距离。 专题：计算题。 分析：根据两并行线间的距离即为两并行线间的垂直线段长，即全部台阶的高度总和； 解答：解：∵一楼地面与二楼地面的距离=全部台阶的高度总和， ∴一楼地面与二楼地面的距离为：a×20=20a（公尺）； 故选A． 点评：本题考查的是两平行线之间的距离的定义，即两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离，注意防止无用条件的干扰．
4.（2011浙江衢州，6，3分）如图，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM 上的一个动点，若P A=2，则P Q的最小值为（） A、1 B、2 C、3 D、4 考点：角平分线的性质；垂线段最短。 分析：根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求P Q的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作P Q垂直OM，此时的P Q最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得P A=P Q，利用已知的P A的值即可求出P Q的最小值．
平行线之间的距离 教案 2
1．4 平行线之间的距离 一. 教学目标 知识与技能目标：1。理解两条平行线之间的距离的概念 过程与方法目标：1。体会两条平行线之间的距离的意义 情感与态度目标：1。学会度量两条平行线之间的距离及平移已知直线,使所得的像与已 知直线的距离等于已知长. 2．让学生在合作学习，直观探究中探索归纳两条平行线之间的距离二. 教学重点与难点 教学重点：两条平行线之间的距离的概念 教学难点：掌握度量两条平行线之间的距离及平移已知直线,使所得的像与已知直线的距离等于已知长. 三. 教学过程 一) 复习旧知，引入新课 1.复习:两点之间的距离及点到直线的距离的概念; 2.师设疑:直线与直线之间的距离又是如何定义的呢?引出课题. 二）师生互动，讲授新课 1.合作学习 学生动手操作:任意画两条互相平行的直线a和b 1)在直线a上,任意取两点A,B,分别作AC⊥b于点C,BD⊥b于点D.量出线段AC,BD 的长度,你有何发现? 2)如果把一把三角尺的一条直角边沿着直线b移动,观察三角尺的另一条直角边与直线 a交点处的刻度,你又有何发现? 2.经合作学习归纳得到:两条平行线中,一条直线上的点到另一条直线的距离处处相等. 3.师指出:在数学上这个距离就叫做这两平行线之间的距离.比如上述中,线段AC,BD的 长度相等,它就是两平行线a和b之间的距离. 4.类比三概念: 1)点到直线的距离及两平行线之间的距离两者实际上都是两点间的距离.前者其中一点 是已知点,另一点是过已知点作已知直线的垂线时的垂足;而后者其中一点是一直线上的任意一点,另一点是过该点过作另一直线的垂线时的垂足.所以几何中的距离都是转化为两点之间的距离. 2)点到直线的距离及两平行线之间的距离都指的是垂线段的长度而非垂线段这个图形 本身,故他们都是指数量.因此”画两点之间的距离,点到直线的距离及两平行线之间的距离”这类说法都是错误的. 三) 练习反馈，巩固新知 试一试：课本做一做及课本课内练习1(学生动手操作师下去巡视指导) 考一考: 如图a∥b,AB⊥a于A,CD⊥b于C,
两条平行线间的距离教案
4.6两平行线之间的距离 课题：4.6两条平行线间的距离 教学目标： A层、了解公垂线、公垂线段的概念。 B层、掌握公垂线段定理并会利用定理解决简单问题。 C层、理解两平行间的距离的概念。 教学重点：公垂线段定理。 教学难点:掌握公垂线段定理并会利用定理解决简单问题。 教学过程: 一、自主学习 1、阅读教材P96-97的内容 公垂线、公垂线段的概念 1、填空： __________________________叫做两条平行直线的公垂线。 在公垂线上，两垂足间的线段叫做，如图中的线段AB和CD 两平行线中的一条上的任意一点到另一条的垂线段也叫做_________________. 3、量一量线段AB和CD，说一说它们有什么关系？ 二、师生共探 1、两平行线的所有公垂线都 2、两平行线间距离的概念： 3、如上图，直线m∥n，AB、CD分别垂直于m、n， 我们就说，垂线段是平行线m、n间的距离； 同样的，垂线段是平行线m、n间的距离。 4、想一想，表示平行线m、n间距离的垂线段有条。 5、完成第105面的“说一说”。 6、如图。（1）过P点作一条CD直线平行于AB,像CD这样的平等于AB的直线；（2）过P点作线段PQ⊥CD交AB于Q，那么PQ就叫做平行线AB、CD间的； 说一说PQ与AB的关系： （3）过AB上的E点，作EF⊥AB交CD于F，说一说EF与CD的关系：同理，EF也是平行线AB、CD间的；P． （4）在AB、CD间，像PQ这样的垂线段有条。 A ． B E 三、归纳总结 1、两平行线的叫做平行线间的距离。
2、如图m∥n，直线m、n上各取一点A、B，连结AB， 过A点可以向直线n作条线段， 其中垂线段AC的垂足为C，则 AC与AB的关系为， 那么，AC就是平行线m、n间的； 在直线m、n间可以作条公垂线段，这些公垂线段都 3、两平行线上各取一点连结而成的所有线段中，最短，所以我们就把两条平行线的公垂线的长度叫做这两条。 4、两平行线间的公垂线段有无数条，因为这所有的公垂线都相等，所以我们取其中一条的长度作为两平行线间的距离。 四、拓展提高 1、完成第105面例题。 2、（1）直线a、b分别垂直于线段CD，则a b，线段CD是直线a、b间的 （2）线段AB⊥EF，CD⊥EF，则AB CD，EF是AB、CD间的或 3、作图题。过直线AB外的C点，作2厘米的垂线段CD垂直AB于D。 4、完成第10 5、106面练习。 五、课堂检测 A层、设直线a、b、c是三条平行直线。已知a与b的距离为4厘米，b与c的距离为6厘米，求a与c的距离。 B层、直线し上有三点A、B、C，取AB＝5、BC＝3、CD＝2（单位：cm）， 过A点作直线a垂直于し，过B点作直线b垂直于し，过C点作直线c垂直于し， 直线a到b的距离为，b到c的距离为，a到c的距离为 C层1、如上图，AB∥CD，AD∥BC，AD与BC 之间的距离是； 分别作点D到AB、点B到CD的垂线段,所作的这两条垂线段，即AB与CD的 C层2、如图直线a沿箭头方向平移1.5cm得直线b，这两条直线之间的距离是 cｍ。C层3、如右图，已知点P在∠AOC的边OA上 （1）过点P作OA的垂线交OC于点B. （2）画出点P到OB的垂线段PQ. （3）线段_______的长度表示P点到OB的距离，线段______的长度表示B点到OA的距离。（4）比较PQ与PB
湘教版七年级下册数学4.6两条平行线间的距离同步练习
湘教版七年级下册数学4.6平行线间的距离同步练习 一、选择题(本大题共8小题) 1. 如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F，直线MN交AB于M，CD于N，EF于O，则直线AB和CD之间的公垂线段是( ) A．线段MN B．线段EF C．线段OE D．线段OF 2.直线AB∥直线CD,两平行线的公垂线可以画出( ) A.一条 B.两条 C.无数条 D.不确定 3. 如图是一个长方形，则图中表示AD与BC之间的公垂线段的有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4. 把直线l沿某一方向平移3cm,得平移后的像为b,则直线l与b之间的距离为( ) A.等于3 cm B.小于3 cm C.大于3 cm D.等于或小于3 cm 5. 如图，a∥b，下列线段的长度是a，b之间的距离的是( ) A．AB B．AE C．EF D．BC 6. 如图设直线a、b、c是三条平行直线。已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，则a与c的距离是（）。
A. 7厘米 B. 大于7厘米 C.小于7cm D.无法确定 7.如图,已知l 1∥l 2,AB ∥CD,CE ⊥l 2于点E,FG ⊥l 2于点G,下列说法中不正确的是( ) A.∠ABD=∠CDE B.A,B 两点间的距离就是线段AB 的长度 C.CE=FG D.l 1与l 2之间的距离就是线段CD 的长度 8. 如图，MN //AB ，P ，Q 为直线MN 上的任意两点，三角形PAB 和三角形QAB 的面积的关系是（ ） A. PAB QAB S S >V V B. PAB QAB S S 两条直线的位置关系―点到直线的距离公式 三维目标： 知识与技能：1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 能力和方法： 会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞 情感和价值：1。 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题王新敞 教学重点：点到直线的距离公式王新敞 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 教学方法：学导式 教 具：多媒体、实物投影仪王新敞 教学过程 一、情境设置，导入新课： 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离。 用POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算？能否用两点间距离公式进行推导？ 两条直线方程如下： ?? ?=++=++0 222111C y B x A C y B x A . 二、讲解新课： 1．点到直线距离公式： 点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2 200B A C By Ax d +++=王新敞 （1）提出问题 在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(00y x ，直线＝0或B ＝0时，以上公式0:=++C By Ax l ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢? 学生可自由讨论。 （2）数行结合，分析问题，提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P 到直线l 的距离d 是点P 到直线l 的垂线段的长. 这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。 画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。 方案一： 数学公开课：《两条平行线之间的距离公式》 （所用教材是人教版教科书，必修二第二章第二单元第2.2.4节） 【课标要求】能够推导两平行线间的距离公式并会应用。 【课标解读】课标对本节的要求有两个层次：一是“推导”要求学生亲力亲为经历公式的探究过程，发展独立获取知识的能力；二是“会应用”就是要学生能根据具体问题情境准确用公式进行计算。 【教材分析】本节是“点到直线的距离公式”的第二课时，教材对于两条平行线之间的距离公式，没有专门大篇幅进行推导，只是通过例题的形式给出公式，然后应用。其例题的设置是由一般到特殊，由例题以及练习让学生总结公式的运用条件，从教材的安排上可以看出本节的重点是公式的应用。 【学情分析】在此之前，学生已经学习了点到直线的距离公式，具备了一定的探究能力，所以对于本节内容，只要老师稍加引导，学生就很容易将其转化为点到直线的距离去求解，公式的探究也就水到渠成了。 【教学目标】 1.通过对例题的分析反思，探索两条平行线之间的距离公式。 2.通过练习和比较例题，能总结出公式运用的条件。 3.通过学习培养学生数形结合、转化的数学思想。 【教学的重点和难点】 教学的重点：两条平行线之间的距离公式。 教学的难点：两条平行线之间的距离公式的推导。 【易错点】公式应用时的条件 【教学过程】 【复习旧知】 提问点到直线的距离公式，并练习以下三题： （1）求点 （2）求点 （3）求点 【创设情境，引入新课】 1.已知直线和直线:是两条平行线，求这两条平行线之间的距离。 2 .探索实践，让学生合作解决问题 学生讨论，基本方法如下： ①因为和是两条平行线，可以将线与线之间的距离转化为点与线之间的距离问题。 ②在上任取一点，如A点（1,3）； ③利用上一节点到直线的距离公式,从而得到和之间的距离。 3. 小结做题过程，引入新知 https://www.wendangku.net/doc/673534600.html, 【考点训练】平行线之间的距离－1 一、选择题（共5小题） 1．在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是2；直线b∥c，直线b到直线c的距离为5，则直线a 到直线b的距离为（） 2．（2013?赤峰）如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABCD与S四边形ECDF的大小关系是（） (第2题) (第3题) (第4题) 3．（2013?黄冈一模）如图，在一块平地上，雨后中间有一条积水沟，沟的两边是平行的，一只蚂蚁在A点，想过水沟来B点取食，几个学生在沟上沿与沟边垂直的方向放了四根小木棍，这只蚂蚁通过第（）号木棍，才能使从A到B的路径最短． 4．（2011?台湾）如图为某大楼一、二楼水平地面间的楼梯台阶位置图，共20阶水平台阶，每台阶的高度均为a公尺，宽度均为b公尺（a≠b）．求图中一楼地面与二楼地面的距离为多少公尺？（） ×20 ×20 5．已知如图直线m∥n，A 、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，BC与AD交于点O，则图中面积相等的三角形有（） (第5题) (第6题) (第7题) 二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值） 6．（2013?郴州模拟）如图，AB∥CD，AC与BD相交于O点，面积相等的两个三角形是_________（写一组就给满分）． 7．（2009?泉州）如图，方格纸中每个最小正方形的边长为1，则两平行直线AB、CD之间的距离是_________．8．（2003?常州）如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为_________． 三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷） 9．如图，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O． （1）找出图中面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由； （2）如果BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F，=，求的值． 1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。 2、平行线的判定： (1)同位角相等，两直线平行。 (2)内错角相等，两直线平行。 (3)同旁内角互补两直线平行。 3、平行线的性质 (1)两直线平行，同位角相等。 (2)两直线平行，内错角相等。 (3)两直线平行，同旁内角互补。 说明：要证明两条直线平行，用判定公理(或定理)在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。 4、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角_________________. 5、如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角_____________ 1、平行线的定义：在同一平面内,永不相交的两条直线叫做平行线. 如：AB平行于CD,写作AB∥CD 2、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行. ∵a∥c,c∥b ∴a∥b. 平行线的判定 1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等,两直线平行. 2.两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等,两直线平行. 3.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补,两直线平行. 4.在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行. 5、平行线间的距离,处处相等. 6、如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. 平行线的性质 1.两条平行被第三条直线所截,同位角相等. 简单说成：两直线平行,同位角相等. 2.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等. 简单说成：两直线平行,内错角相等. 3.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补. 简单说成：两直线平行,同旁内角互补. 点到直线的距离与平行直线间的距离 一．知识要点 1．已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l 的距离为：0022Ax By C d A B ++=+. 注意：（1）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离； （2）在运用公式时，直线的方程要先化为一般式. 2．已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l 20Ax By C ++=， 则1l 与2l 的距离为1222C C d A B -=+王新敞 注意：应用此公式应注意如下两点： （1）把直线方程化为一般式方程；（2）使,x y 的系数相等. 二．习题精选 1.点(0,5)到直线y ＝2x 的距离是( ) A.52 B. 5 C.32 D.52 2. 已知点(3,)m 到直线340x y +-=的距离等于1，则m =（ ） A ．3 B ．3- C ．33- D ．3或33 - 3．已知点)4,3(A ，),6(m B 到直线0743=-+y x 的距离相等，则实数m 等于( ) A. 47 B ．429- C ．1 D. 47或4 29- 4．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( ) A ．4 B.21313 C.51326 D.71326 5．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0 D ．3x ＋y －5＝0 6．P ，Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95 B.185 C ．3 D ．6 7．点),(y x P 在直线x ＋y －4＝0上，则22y x +的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C. 2 D ．16 8．已知点(5,8),(4,1)A B ，则点A 关于点B 的对称点C 的坐标为 . 9．两条平行线01243=-+y x 和0386=++y x 之间的距离为 . 10．直线0142:1=++y x l 与直线0342:2=++y x l 平行，点P 是平面直角坐标系内任一点，P 到直线1l 和2l 的距离分别为1d ，2d ，则21d d +的最小值是________． 【思考题】两条相互平行的直线分别过点)1,3(),2,6(--B A ，若这两条平行直线间的距离为d ，求 （1）d 的变化范围； （2）当d 取最大值时，求两条直线的方程． 两点、点到直线、平行线间的距离公式练习 1.若x 轴上的点M 到原点及点（5，-3）的距离相等，则M 的坐标是 （ ） A.（-2，0） B.（1，0） C.)0,23( D.)0,517 ( .2若(16)P --，，(30)Q ，，延长QP 到A ，使1 3 AP PQ =，那么A 的坐标为 （ ） Ａ．7(8)3--， Ｂ．9(0)2， Ｃ．2(2)3-， Ｄ．2(2)3-， .3点(0，5)到直线x y 2=的距离是 （ ） Ａ． 5 2 Ｂ．5 Ｃ． 3 2 Ｄ． 54 .4若点(3)P a ，到直线340x y +-=的距离为1，则a 值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．33- Ｃ．33 或－3 Ｄ．3或3 3 - 5．两条平行直线0943=-+y x 与0286=++y x 之间的距离是 （ ） Ａ．58 Ｂ．２ Ｃ．511 Ｄ．57 6．已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（ ） Ａ．4 Ｂ． 213 13 Ｃ．51326 Ｄ．71326 7．两点A(1，2)，B(-1，3)间的距离是_________ 8．已知点(4)M x -，与(23)N ，间的距离为72，则x 的值为 9．过点（1,3）且与原点距离为1的直线方程为 ． .10直线l 经过(25)P -，，且与点(32)A -，和(16)B -，的距离之比为12： ，求直线l 的方程． 11．已知ABC △中，(32)A ，，(15)B -，，C 点在直线330x y -+=上，若ABC △的面积 为10，求出点C 坐标． 12．直线l 在两坐标轴上的截距相等，且()02P ，到直线l 的距离为3，求直线l 的方程． 《18.1.2 两条平行线之间的距离》教学设计 〖教学目标〗 ◆1、知识目标：理解两条平行线间的距离的概念。 ◆2、能力目标：能理解并利用平行线间的距离处处相等这一结论进行解题。 ◆3、情感目标：通过平行线之间的距离转化为点到直线的距离，两点之间的距离，学生初步体验转化的数学思想。 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：两条平行线间的距离的概念 ◆教学难点：两条平行线间的距离的推导过程，数学中距离的本质的探求。〖教学过程〗 1.复习回顾 例题如图，平行四边形ABCD 中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证： AE=CF． 设计意图：让学生回顾上节课所学平行四边形的性质，并在此基础上引出本节课的要学的新知识。 2.探究新知 问题1：就这个平行四边形来说，如果我将CD 边和AB边延长变为两条平行的直线，那么同学们线段AD和线段BC还相等吗？(学生回答相等。) 问题2：在平行线间任意做两条平行线段，他们有什么样的数量关系?你是如何得到的？ 师生活动：以上请学生总结，老师修正得到一个结论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 问题3：当平行线段和这两条平行线处于一个特殊的位置关系——垂直的时候， 这两条垂线段还相等吗？（学生回答相等） 问题4：根据我们上学期学过的知识，这条垂线段我还可以叫做点M到直线b的距离，那么所有直线a上的点到直线b的距离有什么关系呢？ 师生活动：老师引导学生一起得出下一个结论：直线a上所有点到直线b的距离相等。老师指出这个相等的距离叫做两条平行线间的距离，请学生齐声朗读概念。设计意图：通过点到直线的距离引出两条平行线间的距离，符合学生的认知规律，方便学生理解记忆。 3.反思梳理 问题5：我们将这个概念转化成几何语言：a//b,A是a上任意一点，且AB⊥b，B是垂足，线段AB的长就是a,b之间的距离。 通过观察我们可以发现线段AB既可以表示两条平行线ab间的距离，也可以表示点A到直线b的距离，还可以表示点A到点B之间的距离。 那么接下来请大家思考：两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？ 师生活动：老师引导学生归纳出：两条平行线间的距离、点到直线的距离实质都是两点之间的距离，表示的是这一点到垂足的距离。 教师总结：数学中的距离，包括两点间的距离，点到直线的距离，两平行线间的距离，都可转化为两点间的距离。 设计意图：通过总结归纳，加深学生对数学中的距离的理解，为高中阶段距离公式的推导做铺垫。 4.巩固练习 练习：如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，移动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？ 设计意图：让学生分小组，动手操作并讨论答案，培养学生动手探究能力以及小组合作能力，巩固本节课学习的新结论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 4.6 两条平行线间的距离教学设计 教学目标： 1、理解平行线之间的距离的概念。 2、能够测量两条平行线之间的距离，会画到已知直线已知距离的平行线。 3、通过平行线之间的距离转化为点到直线的距离，使学生初步体验转化的数学思想。教学重点：理解平行线之间的距离的概念，掌握它与点到直线的距离的关系。 教学难点：画到已知直线已知距离的平行线。 教学过程： 一、准备知识 1、点到直线距离。 2、直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。 3、三条直线的平行关系。 二、探究新知 1、做一做。 测量自己的数学课本的宽度。要注意什么问题？刻度尺要与课本两边互相垂直。 2、公垂线、公垂线段的概念 与两条平行直线都垂直的直线，叫做这两条平行直线 的公垂线。如图形中的直线AB与CD都是公垂线，这时连 结两个垂足的线段，叫做这两条平行直线的公垂线段。图中 的线段AB和CD。 两平行线的公垂线段也可以看成是两平行直线中一条上 的一点到另一条的垂线段。 3、公垂线段定理：两平行线的所有公垂线段都相等。 4、两平行线上各取一点连结而成的所有线段中，公垂线 段最短。 如图m∥n，直线m、n上各取一点A、B，连结AB。 再过A作n线段的垂线段AC，垂足为C，则有AC＜AB。 从而得到上述定理。 5、两平行间的距离：两平行线的公垂线段的长度。 6、范例分析 例如图设直线a、b、c是三条平行直线。已知 a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，求a与 c的距离。 解：在直线a上任取一点A，过A作AC⊥a，分别交 b、c于B、C两点，则AB、BC、AC分别表示a与b， b与c，a与c的公垂线段。 AC＝AB+BC＝5＋2＝7，因此a与c的距离为7厘米。 三、小结练习 1、练习 2、课堂小结 四、布置作业 后记： 第四章小结与复习 学习目标： 1.系统掌握本章有关概念、定理以及在解题中的应用。 2.掌握利用直尺和圆规或其他作图工具画线段、角、平行线、垂线的方法。 3.学会初步的几何推理的方法。 重点：作图和推理 难点：概念的掌握、作图的方法和推理的基本要求 一、基本概念复习 1、平行线、对顶角、平移、对应点。 2、同位角、内错角、同旁内角、垂线、垂线段、公垂线、公垂线段。 3、平面上两条直线的位置关系： （1）重合 两直线相交――对顶角 （2）相交 两直线被第三条直线所截――同位角、内错角、同旁内角的概念性质与判定 （3）平行 课题平行线的性质及平行线之间的距离 教学目的1.掌握平行线的性质。 2.体会平行线之间的距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。 教学内容 一、课前检测 1、下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形（） A、B、C、D、 2、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是 （） A、第一次右拐50 o，第二次左拐130 o B、第一次左拐50 o，第二次右拐50 o C、第一次左拐50 o，第二次左拐130 o D、第一次右拐50 o，第二次右拐50 o 3、同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（） A、a∥d B、b⊥d C、a⊥d D、b∥c 4、如图，若m∥n，∠1=105 o，则∠2= （） A、55 o B、60 o C、65 o D、75 o 5、下列说法中正确的是（） A、有且只有一条直线垂直于已知直线 B、从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离 C、互相垂直的两条线段一定相交 D、直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3cm，则点A到直线c的 距离是3cm 6、两条直线被第三条直线所截，下列条件中，不能判断这两人条直线平行的的是（） A、同位角相等 B、内错角相等 C、同旁内角互补 D、同旁内角相等 7、下列句子中不是命题的是（） A、两直线平行，同位角相等。 B、直线AB垂直于CD吗？ C、若︱a︱=︱b︱，则a 2 = b 2。 D、同角的补角相等。 8、下列说法正确的是（） A、同位角互补 B、同旁内角互补，两直线平行 C、内错角相等 D、两个锐角的补角相等 9、如图，能判断直线AB∥CD的条件是（） A、∠1=∠2 B、∠3=∠4 C、∠1+∠3=180 o D、∠3+∠4=180 o 10、如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，则点O到PR所在直线的距离 是线段（）的长 A、PO B、RO C、OQ D、PQ 一. 教学内容： 平行线之间的距离 平行线的知识在实际中的应用 二. 重点、难点： 1. 从点到直线的距离类比到平行线之间的距离。 2. 掌握平移直线的方法。 3. 区别各种“距离”。（两点之间的距离、点到直线的距离、平行线间的距离）。 4. 借助平行线的有关知识解决实际问题。 三. 知识要点： 1. 通过画垂线段，测量长度探索“平行线之间的距离处处相等”的性质。 如图直线a∥b，在直线a上任取两点A、B，分别过A、B作直线b的垂线段AC和BD。 线段AC、BD的长是点A、B到直线b的距离。 测量这两条线段的长度会发现这两条线段的长度相等。 从而得出结论：两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线的距离处处相等。 正是由于这个距离处处相等，因此可以把这个距离定义为平行线之间的距离。 因此上述性质的另一种说法是：平行线间的距离处处相等。 2. 利用平行线间的距离处处相等测量平行线间的距离。 因为平行线间距离处处相等，所以在测量平行线间的距离时，可以在平行线中的一条直线上任取一点，作另一条直线的垂线段，测出此垂线段的长度即为两条平行线之间的距离。 3. 平行线间的距离这个概念的意义（平移直线）。 因为平移的要素有两个：一是平移的方向，二是平移的距离。如果要平移一条直线，必须明确这两个要素。其中平移的距离就要用到平行线之间的距离这个概念。 【典型例题】 例1. 如图已知直线AB∥CD，请测量直线AB与CD之间的距离。 分析：平行线之间的距离是一条直线上一点到另一条直线的距离。 解：在直线AB上任取一点E，作EF⊥DC于F，测量线段EF的长度，这个长度即为AB 与CD之间的距离。 注意：很容易犯直接把AC连起来测量长度当成两条平行线之间距离的错误。 例2. 已知直线l。把这条直线平移，使经平移所得的像与直线l的距离为1.5cm，求作直线l平移后所得的像（直线）。 分析：平移一个图形要明确平移的方向和距离，平移后的直线与原直线具有平行的关系，所以直线l平移后的像（即直线l′）与直线l的距离即平行线之间的距离。由于平移的方向未指定，所以可以向两个不同的方向平移，这样就可以得到两条符合条件的直线。 解：如图。 1. 在直线l上任取一点A。 2. 作AP⊥l。 3. 在AP上截取线段AB＝1.5cm。 4. 过点B作直线l’∥l。 则l’与l的距离就是线段AB的长1.5cm， 所以l’就是所求直线l平移后所得的像。 注意：做数学题时如果未指明作几条直线，一般来说应作出所有符合条件的图形。但是在新课程里，一般作出一条符合条件的图形就可以了。 例3. 如图直线a∥b，A、C是直线a上的两点，B、D是直线b上的两点，AB⊥a。试比较 2014年3月WXH的初中数学组卷 2014年3月wxh的初中数学组卷 一．选择题（共2小题） 1．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（） A．变大 B．变小 C．不变 D．变大变小要看点P向左还是向右移动 2．如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为36千米/时；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27千米/时．两船均于7：15出发，两岸平行，水面宽为18.9千米，则两船距离最近时的时刻为（） A．7：35 B．7：34 C．7：33 D．7：32 二．填空题（共6小题） 3．如图，已知点E、F分别在长方形ABCD的边AB、CD上，且AF∥CE，AB=3，AD=5，那么AE与CF的距离是_________ ． 4．已知一点到两条平行线的距离分别是1cm，4cm，则这两条平行线之间距离是_________ cm． 5．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为_________ ． 6．已知：a∥b∥c，a与b之间的距离为3cm，b与c之间的距离为4cm，则a与c之间的距离为_________ ． 7．如图，MN⊥AB，垂足为M点，MN交CD于N，过M点作MG⊥CD，垂足为G，EF过点N点，且EF∥AB，交MG于H 点，其中线段GM的长度是_________ 到_________ 的距离，线段MN的长度是_________ 到_________ 的距离，又是_________ 的距离，点N到直线MG的距离是_________ ． 8．如图，a∥b，点P在直线a上，点A，B，C都在直线b上，PA⊥AC，且PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，则直线a，b 间的距离为_________ cm． 三．解答题（共8小题） 9．如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°． （1）求∠EDC； （2）若BC=10，S△BCD=30，求点E到BC的距离． 10．如图， （1）过点P画直线PM平行于直线BC． （2）量出PM与BC的距离． 11．如图△ABC中，∠C=90°，按下列要求画图并填空： （1）取AB中点D，过点D画DE⊥AC，垂足为E，DF⊥B C，垂足为F； （2）判断：DE与CF，EC与DF，ED与DF的位置关系分别为_________ ； （3）判断：DE与CF，EC与DF的长度大小关系是_________ ．必修教案两条直线的位置关系―点到直线的距离公式
数学公开课：《两条平行线之间的距离公式》
平行线之间的距离考点训练(含答案解析)
初中平行线之间的距离知识点总结
点到直线 平行直线间的距离公式
两点、点到直线、平行线间的距离公式练习
《平行线间的距离》教学设计
两条平行线间的距离 教学设计
平行线的性质及平行线之间的距离
八年级数学上 平行线之间的距离
平行线间的距离专题基础训练(初中)