【2019年整理】注册电气公共基础第9讲高等数学(九)(新版)

（五）例题

【解】 属00

型， 运用罗必塔法则，得

【 解 】 属

∞

∞

型，运用罗必塔法则，得

【 解 】 属0·∞型，通过变形化为

∞

∞

，然后运用罗必塔法则，得

。

【 解 】 属00型，先取对数，求0

lim sin ln x x x →+：

于是

【 例 1 - 2 -37 】 已知函数 y = f （ x ）对一切 x 满足xf ’’ （ x ） + 3x [ f ' （ x ） ]2 = 1 -x

-l ，若

f ' （ x 0） = 0 （x 0≠0 ） ，则

（ A ） f （ x o ）是 f （ x ）的极大值 （ B ）f （ x o ）是 f （x ）的极小值

（ C ） （ x o , f （x 0））是曲线y= f （ x ）的拐点

（ D ） f （x 0）不是 f （ x ）的极值，（x 0 , f （ x o ） ）也不是曲线 y ＝f （ x ）的拐点 【 解 】 x ＝ x 0是 f （ x ）的驻点，又 f ' ' （ x 0） =00

1

(1)x x --l > 0, 故 f （x 0）是f （ x ）的极小值，应选（ B ）。

【 例 l-2-38 】 求函数 y = 2 x 3 + 3 x 2 - 12x + 14 在[ -3 , 4 ] 上的最大值与最小值。

【解】 f （ x ）=2x 3 + 3x 2 – 12x +14 , f ’ （x ） = 6x 2+6x – 12 = 6 （x + 2）（ x -1）。令f ’ （x ） = 0, 得x 1= -2, x 2= 1.

算出f （ -3 ） = 23, f （ - 2 ） = 34 , f （ 1 ） = 7 , f （4） = 142, 故最大值为 f （4 ） = 142 ,最小值为 f （1） = 7 。

【例 l -2- 39 】 函数 f （x ） = asin x + 13 sin3 x 在x = 3

π

处取得极值, a 的值应为 （ A ）-2 （ B ） 2

（ C ）

2

33 （ D ） - 2

33

. 【解】 按可导函数取得极值的必要条件： f ’（ x 0）= acosx o + cos3x 0 = 0 ,代人 x 0 =3

π

，便得a = 2 ，故选（ B ）。

【例 1 -2 - 40】 若 f （x ）在（ a , b ）内满足 f '（ x ） < 0 , f " （ x ） > 0 ，则曲线 y = f （x ）在（ a , b ）内是

（ A ）单调上升且是凹的 （ B ）单调下降且是凹的 （ C ）单调上升且是凹的 （ D ）单调下降且是凸的

【 解 】 由 f ' （x ）＜0及函数单调性的判定法， 知曲线是单调下降的。 又由 f " （x ） > 0 及曲线凹凸性的判定法，知曲线是凹的，故选（ B ）。

六、偏导数全微分 （一）偏导数与全微分 1 ．偏导数概念

函数z = f （ x,y ）对 x 、y ,的偏导数依次记作z x ??（或 f x （ x ,y ）） ， z y

?? （或 f y , （ x, y ） ） ，它们的定义如下：

类似地，可以定义三元函数 f （ x , y , z ）的偏导数f x （x ， y , z ）、f y （ x , y ，z ）、f z （ x , y ，z ）等.

按定义，偏导数的求法仍属一元函数微分法的问题。

2 ．多元复合函数的求导法则

设u = ?（ x ，y ）、 v ＝ψ（ x ，y ）均具有偏导数，而z ＝f （u ， v ）具有连续偏导数，则复合函数 z ＝f [ ?（ x ，y ），ψ（ x ，y ）］的偏导数存在，且

上面这一求导法则，简称为 2 ×2 法则或标准法则。从这标准法则的公式结构，可得它的特征如下： ①

由于函数 z = f [ ?（ x ，y ），ψ（ x ，y ）］有两个自变量，所以法则中包含z x ??及z

y

??的两个偏导数公式。

② 由于函数的复合结构中有两个中间变量，所以每一偏导数公式都是两项之和，这两项分别含有

z u

??

及

z

v

?

?

。

③每一项的构成与一元复合函数的求导法则相类似，即“因变量对

间变量的导数再乘以中间变量对自变量的导数”。

由此可见，掌握多元复合函数的求导法则的关键是弄清函数的复合结构，哪些是中间变量，哪些是自

变量。为直观地显示变量之间的复合结构，可用结构图（或称树形图）1-2 -1 来表示出因变量z 经过中间变量u 、v 再通向自变量x 、y 的各条途径。

按照上述标准法则的三个特征，我们可以将多元复合函数的求导法则推广。

如，特别当有一个自变量，u ＝?（x ）, v ＝ψ（x ）, z = f （u , v ）时，由于函数z = f ［?（x ），），ψ（x ）］只有一个自变量，偏导数变成导数（这时称为全导数）；函数复合结构中有两个中间变量，所以全导数公式中是两项之和；每项构成与一元复合函数求导法则类似。于是，有全导数公式

又如，u ＝?（x ，y），v ＝ψ（y），z = f （u , v ），复合函数z =f ［?（x ，y）, ψ（y）］的结构图如图1-2 - 2 所示。类似地依以上分析，则有

3 ．隐函数求导法则

设方程F （x , y , z ）= 0 确定一个隐函数z = f （x ，y），函数 F （x , y , z ）具有连续偏导数且F z≠0 ，则有