初1数学竞赛教程含例题练习及答案⑴

初一数学竞赛讲座

第1讲数论的方法技巧（上）

数论是研究整数性质的一个数学分支, 它历史悠久, 而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明, “很多数论问题可以从经验中归纳出来, 并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚, 但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才, 在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生, 如能把当今任何一本数论教材中的习题做出, 就应当受到鼓励, 并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中, 数论问题总是占有相当大的比重。

数学竞赛中的数论问题, 常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有：

1．带余除法：若a, b是两个整数, b＞0, 则存在两个整数q, r, 使得a=bq+r （0≤r＜b）, 且q, r是唯一的。

特别地, 如果r=0, 那么a=bq。这时, a被b整除, 记作b|a, 也称b是a 的约数, a是b的倍数。

2．若a|c, b|c, 且a, b互质, 则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积, 即

其中p1＜p2＜…＜p k为质数, a1, a2, …, a k为自然数, 并且这种表示是唯一的。（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1）, 则它的正约数个数为：

d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。因此, 不等式x＜y与x≤y-1是等价的。

下面, 我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法

对于某些研究整数本身的特性的问题, 若能合理地选择整数的表示形式, 则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有：

1．十进制表示形式：n=a n10n+a n-110n-1+…+a0；

2．带余形式：a=bq+r；

4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t, 其中t为奇数。

例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张, 每张上写有1个数字, 小明将这4张卡片如下图放置, 使它们构成1个四位数, 并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果小明发现, 无论白色卡片上是什么数字, 计算结果都是1998。问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？

解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3, a2, a1, a0, 则这个四位数可以写成：1000a3+100a2+10a1+a0, 它的各位数字之和的10倍是10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0, 这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是：990a3+90a2-9a0=1998, 110a3+10a2-a0=222。

比较上式等号两边个位、十位和百位, 可得a0=8, a2=1, a3=2。

所以红色卡片上是2, 黄色卡片上是1, 蓝色卡片上是8。

例2在一种室内游戏中, 魔术师请一个人随意想一个三位数abc(a,b,c依次是这个数的百位、十位、个位数字), 并请这个人算出5个数cab

,与

bca

,

acb,

bac

cba的和N, 把N告诉魔术师, 于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc。现在设N=3194, 请你当魔术师, 求出数abc来。

解：依题意, 得

a+b+c＞14,

说明：求解本题所用的基本知识是, 正整数的十进制表示法和最简单的不定方程。

例3 从自然数1, 2, 3, …, 1000中, 最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？

解：设a, b, c, d是所取出的数中的任意4个数, 则a+b+c=18m, a+b+d=18n, 其中m, n是自然数。于是c-d=18（m-n）。

上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数, 即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。设这个余数为r, 则a=18a1+r, b=18b1+r, c=18c1+r, 其中a1, b1, c1是整数。于是a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r。

因为18|（a+b+c）, 所以18|3r, 即6|r, 推知r=0, 6, 12。因为1000=55×18+10, 所以, 从1, 2, …, 1000中可取6, 24, 42, …, 996共56个数, 它们中的任意3个数之和能被18整除。

例4 求自然数N, 使得它能被5和49整除, 并且包括1和N 在内, 它共有10个约数。

解：把数N 写成质因数乘积的形式：N=n a

n a a a a P ?????Λ43217532

由于N 能被5和72=49整除, 故a 3≥1, a 4≥2, 其余的指数a k 为自然数或零。依题意, 有（a 1+1）（a 2+1）…（a n +1）=10。

由于a 3+1≥2, a 4+1≥3, 且10=2×5, 故a 1+1=a 2+1=a 5+1=…=a n +1=1, 即a 1=a 2=a 5=…a n =0, N 只能有2个不同的质因数5和7, 因为a 4+1≥3＞2, 故由（a 3+1）（a 4+1）=10知, a 3+1=5, a 4+1=2是不可能的。因而a 3+1=2, a 4+1=5, 即N=52-1×75-1=5×74=12005。

例5 如果N 是1, 2, 3, …, 1998, 1999, 2000的最小公倍数, 那么N 等于多少个2与1个奇数的积？

解：因为210=1024, 211=2048＞2000, 每一个不大于2000的自然数表示为质因数相乘, 其中2的个数不多于10个, 而1024=210, 所以, N 等于10个2与某个奇数的积。

说明：上述5例都是根据题目的自身特点, 从选择恰当的整数表示形式入手, 使问题迎刃而解。

二、枚举法

枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类）, 然后对各种情况逐一讨论, 最终解决整个问题。

运用枚举法有时要进行恰当的分类, 分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质, 降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类, 按奇偶性分类及按数值的大小分类等。

例6 求这样的三位数, 它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。 分析与解：三位数只有900个, 可用枚举法解决, 枚举时可先估计有关量的范围, 以缩小讨论范围, 减少计算量。

设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x, y, z 。由于任何数除以11所得余数都不大于10, 所以x 2+y 2+z 2≤10,

从而1≤x ≤3, 0≤y ≤3, 0≤z ≤3。所求三位数必在以下数中：

100, 101, 102, 103, 110, 111, 112, 120, 121, 122, 130, 200, 201, 202, 211, 212, 220, 221, 300, 301, 310。

不难验证只有100, 101两个数符合要求。

例7 将自然数N 接写在任意一个自然数的右面（例如, 将2接写在35的右面得352）, 如果得到的新数都能被N 整除, 那么N 称为魔术数。问：小于2000的自然数中有多少个魔术数？ 解：设P 为任意一个自然数, 将魔术数N （N ＜2000＝接后得PN , 下面对N 为一位数、两位数、三位数、四位数分别讨论。

⑴当N 为一位数时, PN =10P+N, 依题意N ︱PN , 则N ︱10P, 由于需对任意数P 成立, 故N ︱10, 所以N=1, 2, 5；

⑵当N 为两位数时, PN =100P+N, 依题意N ︱PN , 则N ︱100P, 故N|100, 所以N=10, 20, 25, 50；

⑶当N为三位数时, PN=1000P+N, 依题意N︱PN, 则N︱1000P, 故

N|1000, 所以N=100, 125, 200, 250, 500；

⑷当N为四位数时, 同理可得N=1000, 1250, 2000, 2500, 5000。符合条件的有1000, 1250。

综上所述, 魔术数的个数为14个。

说明：（1）我们可以证明：k位魔术数一定是10k的约数, 反之亦然。

（2）这里将问题分成几种情况去讨论, 对每一种情况都增加了一个前提条件, 从而降低了问题的难度, 使问题容易解决。

例8 有3张扑克牌, 牌面数字都在10以内。把这3张牌洗好后, 分别发给小明、小亮、小光3人。每个人把自己牌的数字记下后, 再重新洗牌、发牌、记数, 这样反复几次后, 3人各自记录的数字的和顺次为13, 15, 23。问：这3张牌的数字分别是多少？

解：13+15+23=51, 51=3×17。

因为17＞13, 摸17次是不可能的, 所以摸了 3次, 3张扑克牌数字之和是17, 可能的情况有下面15种：

①1, 6, 10 ②1, 7, 9 ③1, 8, 8 ④2, 5, 10 ⑤2, 6, 9

⑥2, 7, 8 ⑦3, 4, 10 ⑧3, 5, 9 ⑨3, 6, 8 ⑩3, 7, 7

(11)4, 4, 9 (12)4, 5, 8 (13)4, 6, 7 (14)5, 5, 7 (15)5, 6, 6

只有第⑧种情况可以满足题目要求, 即3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。

这3张牌的数字分别是3, 5和9。

例9 写出12个都是合数的连续自然数。

分析一：在寻找质数的过程中, 我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90, 91, 92, 93, 94, 95, 96。我们把筛选法继续运用下去, 把考查的范围扩大一些就行了。

解法1：用筛选法可以求得在113与127之间共有12个都是合数的连续自然数：

114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126。

分析二：如果12个连续自然数中, 第1个是2的倍数, 第2个是3的倍数, 第3个是4的倍数……第12个是13的倍数, 那么这12个数就都是合数。

又m+2, m+3, …, m+13是12个连续整数, 故只要m是2, 3, …, 13的公倍数, 这12个连续整数就一定都是合数。

解法2：设m为2, 3, 4, …, 13这12个数的最小公倍数。m+2, m+3, m+4, …, m+13分别是2的倍数, 3的倍数, 4的倍数……13的倍数, 因此12个数都是合数。

说明：我们还可以写出13！+2, 13！+3, …, 13！+13（其中n！=1×2×3×…×n）这12个连续合数来。

同样, （m+1）！+2, （m+1）！+3, …, （m+1）！+m+1是m个连续的合数。

三、归纳法

当我们要解决一个问题的时候, 可以先分析这个问题的几种简单的、特殊的情况, 从中发现并归纳出一般规律或作出某种猜想, 从而找到解决问题的途径。这种从特殊到一般的思维方法称为归纳法。

例10 将100以内的质数从小到大排成一个数字串, 依次完成以下5项工作叫做一次操作：

（1）将左边第一个数码移到数字串的最右边；

（2）从左到右两位一节组成若干个两位数；

（3）划去这些两位数中的合数；

（4）所剩的两位质数中有相同者, 保留左边的一个, 其余划去；

（5）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。

问：经过1999次操作, 所得的数字串是什么？

解：第1次操作得数字串711131131737；第2次操作得数字串11133173；第3次操作得数字串111731；第4次操作得数字串1173；第5次操作得数字串1731；第6次操作得数字串7311；第7次操作得数字串3117；第8次操作得数字串1173。

不难看出, 后面以4次为周期循环, 1999=4×499+3, 所以第1999次操作所得数字串与第7次相同, 是3117。

例11 有100张的一摞卡片, 玲玲拿着它们, 从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去, 把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去, 把下一张卡片放在最下面。反复这样做, 直到手中只剩下一张卡片, 那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？

分析与解：可以从简单的不失题目性质的问题入手, 寻找规律。列表如下：

设这一摞卡片的张数为N, 观察上表可知：

（1）当N=2a（a=0, 1, 2, 3, …）时, 剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的最后一张, 即第2a张；

（2）当N=2a+m（m＜2a）时, 剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第2m张。

取N=100, 因为100=26+36, 2×36=72, 所以剩下这张卡片是原来那一摞卡

片的第72张。

说明：此题实质上是著名的约瑟夫斯问题：传说古代有一批人被蛮族俘虏了, 敌人命令他们排成圆圈, 编上号码1, 2, 3, …然后把1号杀了, 把3号杀了, 总之每隔一个人杀一个人, 最后剩下一个人, 这个人就是约瑟夫斯。如果这批俘虏有111人, 那么约瑟夫斯的号码是多少？

例12要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量, 至少要用多少个砝码？这些砝码的重量分别是多少？

分析与解：一般天平两边都可放砝码, 我们从最简单的情形开始研究。

（1）称重1克, 只能用一个1克的砝码, 故1克的一个砝码是必须的。

（2）称重2克, 有3种方案：

①增加一个1克的砝码；

②用一个2克的砝码；

③用一个3克的砝码, 称重时, 把一个1克的砝码放在称重盘内, 把3克的砝码放在砝码盘内。从数学角度看, 就是利用3-1=2。

（3）称重3克, 用上面的②③两个方案, 不用再增加砝码, 因此方案①淘汰。

（4）称重4克, 用上面的方案③, 不用再增加砝码, 因此方案②也被淘汰。总之, 用1克、3克两个砝码就可以称出（3+1）克以内的任意整数克重。

（5）接着思索可以进行一次飞跃, 称重5克时可以利用：9-（3+1）=5, 即用一个9克重的砝码放在砝码盘内, 1克、3克两个砝码放在称重盘内。这样, 可以依次称到1+3+9=13（克）以内的任意整数克重。而要称14克时, 按上述规律增加一个砝码, 其重为：14+13=27（克）, 可以称到1+3+9+27=40（克）以内的任意整数克重。

总之, 砝码的重量为1, 3, 32, 33克时, 所用砝码最少, 称重最大, 这也

是本题的答案。

3,

这个结论显然可以推广, 当天平两端都可放砝码时, 使用1,

练习1

1．已知某个四位数的十位数字减去1等于其个位数字, 个位数字加2等于百位数字, 这个四位数的数字反着顺序排列成的数与原数之和等于9878。试求这个四位数。

3．设n是满足下列条件的最小自然数：它们是75的倍数且恰有75

个

4．不能写成两个奇合数之和的最大偶数是多少？

5．把1, 2, 3, 4, …, 999这999个数均匀排成一个大圆圈, 从1开始数：隔

过1划掉2, 3, 隔过4, 划掉5, 6……这样每隔一个数划掉两个数, 转圈划下去。问：最后剩下哪个数？为什么？

6．圆周上放有N枚棋子, 如下图所示, B点的一枚棋子紧邻A点的棋子。小洪首先拿走B点处的1枚棋子, 然后顺时针每隔1枚拿走2枚棋子, 连续转了10周,

9次越过A。当将要第10次越过A处棋子取走其它棋子时, 小洪

发现圆周上余下20多枚棋子。若N是14的倍数, 则圆周上还有

多少枚棋子？

7．用0, 1, 2, 3, 4五个数字组成四位数, 每个四位数中均

没有重复数字（如1023, 2341）, 求全体这样的四位数之和。

8．有27个国家参加一次国际会议, 每个国家有2名代表。求证：不可能将54位代表安排在一张圆桌的周围就座, 使得任一国的2位代表之间都夹有9个人。

练习1答案：

1．1987。

（a+d）×1000+（b+c）×110+（a+d）= 9878。

比较等式两边, 并注意到数字和及其进位的特点, 可知：a+d=8, b+c=17。

已知c-1=d, d+2=b, 可求得：a=1, b=9, c=8, d=7。

即所求的四位数为1987。

2．1324, 1423, 2314, 2413, 3412, 共5个。

3．432。

解：为保证n是75的倍数而又尽可能地小, 因为75=3×5×5, 所以可设n 有三个质因数2, 3, 5, 即n=2α×3β×5γ, 其中α≥0, β≥1, γ≥2, 并且

（α+1）（β+1）（γ+1）=75。

易知当α=β=4, γ=2时, 符合题设条件。此时

4．38。

解：小于38的奇合数是9, 15, 21, 25, 27, 33。

38不能表示成它们之中任二者之和, 而大于38的偶数A, 皆可表示为二奇合数之和：A末位是0, 则A=15+5n；A末位是2, 则A=27+5n；A末位是4, 则A=9+5n；A末位是6, 则A=21+5n；A末位是8, 则A=33+5n。

其中n为大于1的奇数。因此, 38即为所求。

5．406。

解：从特殊情况入手, 可归纳出：如果是3n个数（n为自然数）, 那么划1圈剩下3n-1个数, 划2圈剩下3n-2个数……划（n-1）圈就剩3个数, 再划1圈, 最后剩下的还是起始数1。

36＜999＜37, 从999个数中划掉（999-36=）270个数, 剩下的（36=）729个数,

即可运用上述结论。

因为每次划掉的是2个数, 所以划掉270个数必须划135次, 这时划掉的第270个数是（135×3=）405, 则留下的36个数的起始数为406。所以最后剩下的那个数是406。

6．23枚。

解：设圆周上余a枚棋子。因为从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时小洪拿走了2a枚棋子, 所以, 在第9次将要越过A处棋子

时, 圆周上有3a枚棋子。依此类推, 在第8次将要越过A处棋子时, 圆周上有32a枚棋子……在第1次将要越过A处棋子时, 圆周上有39a枚棋子, 在第1次将要越过A处棋子之前, 小洪拿走了[2(39a-1)+1]枚棋子, 所以N=2(39a-1)+1+39a=310a-1。

若N=310a=59049a-1是14的倍数, 则N就是2和7的公倍数, 所以a必须是奇数；

若N=（7×8435+4）a-1=7×8435a+4a-1是7的倍数, 则4a-1必须是7的倍数, 当a=21, 25, 27, 29时, 4a-1不是7的倍数, 当a=23时, 4a-1=91=7×13, 是7的倍数。

当N是14的倍数时, 圆周上有23枚棋子。

7．259980。

解：用十进位制表示的若干个四位数之和的加法原理为：

若干个四位数之和=千位数数字之和×1000+百位数数字之和×100+十位数数字之和×10+个位数数字之和。

以1, 2, 3, 4中之一为千位数, 且满足题设条件的四位数有4×3×2=24（个）。这是因为, 当千位数确定后, 百位数可以在其余4个数字中选择；千、百位数确定后, 十位数可以在其余3个数字中选择；同理, 个位数有2种可能。因此, 满足条件的四位数的千位数数字之和为（1+2+3+4）×4×3×2=240。

以1, 2, 3, 4中之一为百位数时, 因为0不能作为千位, 所以千位数也有3种选择；十位数也有3种选择（加上0）；个位数有2种选择。因此, 百位数数字之和=（1+2+3+4）×18=180。同理, 十位数数字之和、个位数数字之和都是180。

所以满足条件的四位数之和为240×1000+180×（1+10+100）= 259980。

8．将54个座位按逆时针编号：1, 2, …, 54。由于是围圆桌就座, 所以从1号起, 逆时针转到55, 就相当于1号座；转到56, 就相当于2号座；如此下去, 显然转到m, 就相当于m被54所除的余数号座。

设想满足要求的安排是存在的。不妨设1和11是同一国的代表, 由于任一国只有2名代表, 于是11和21不是同一国代表, 下面的排法是：21和31是同一国的代表；31和41不是同一国的代表；41和51是同一国的代表；51和61不是同一国的代表（61即7号座）。

由此, 20k+1和20k+11是同一国的代表, 若20k+1, 20k+11大于54, 则取这个数被54除的余数为号码的座位。

取k=13, 则261和271是同一国的, 而261被54除的余数是45, 271被54除的余数是1, 这就是说, 1号座与45号座是同一国的代表, 而我们已设1号与11号座是同一国的代表。这样, 1号、11号、45号的三位代表是同一国的, 这是不可能的。所以题目要求的安排不可能实现。

小学一年级下学期数学竞赛练习题

小学一年级下学期数学竞赛练习题

竞赛练习题（一） 班级姓 名 1．一个小组的小朋友排成一列做游戏，小明从前往后数，他排第15个，从后往前数，他排第13个，共有（）个小朋友在做游戏。 2．18名女同学站成一排，每隔2名女同学插进3名男同学，共插进（）名男同学。 3．东东从布袋里拿出5个白皮球和5个花皮球后，白皮球剩下10个，花皮球剩下5个。布袋原来有（）个白皮球， （）个花皮球。 4．芳芳有1元4角钱，晶晶有8角钱。芳芳给晶晶（）钱，两人的钱数同样多。 5．用6根短绳连成一根长绳，一共要打（）个结。6．14个小朋友玩捉迷藏，已经捉住了4个小朋友，还藏着（）个小朋友。 7．十位数字和个位数字相加，和是12的两位数有（）个。8．小东数数，从9开始数起，数到99时，小东数了（）个数。 9．把1根绳子对折以后，再对折，这时每折长1米，这根绳子长（）米

10．小强家离学校3千米，小强每天上两次学，来回要走（）千米。 11．森林里的小动物开运动会赛跑。最后小兔用了4分钟，小狗用了5分钟，熊猫用了4分30秒，请问得第一名的是（）。12．班上的同学，年龄都是8岁或9岁，那么任意两个邻座同学年龄之和最大是（）岁，最小又是（）岁。13．1个西瓜的重量=3个菠萝的重量，1个菠萝的重量=3个梨的重量，1个西瓜的重量=（）个梨的重量。 14、六一节到了，三个小朋友互送贺卡，每人都要收到另外两个人的贺卡，一共要送（）张贺卡。 15、一个小朋友吃一个面包需要5分钟，现在有5个小朋友，按同样的速度，同时吃5个同样的面包，需要（）分钟。 16、两捆同样多的练习本，第一捆拿走15本，第二捆拿走9本，（）剩的多，多（）本。 17、两根同样长的绳子，分别剪去一段，第一根剩下17米，第二根剩下12米，( )剪去的长，长（）米。 18、15个小朋友分成两组做游戏，后来有3个小朋友从第一小组调到第二小组，现在共有（）个小朋友在做游戏。 19、小红参加旅游，和旅游团的每一个人合照一次相，她一共照了19次。这个旅游团共有（）个人。 20、公共汽车上原来有一些人，到站后有5人下车，又有8人上车，公共汽车上现在比原来多（）人。

数学竞赛训练题上册

数学竞赛训练题上册 The following text is amended on 12 November 2020.

函数与极限 ._______,)(lim . 1)0(,)1()(.12 02==-='=+'-+''=→a a x x x y y e y x y x y x y y x x 则若且满足设函数 . ________,1,))(()(.2===---=b x e x b x a x b e x f x 则为可去间断点处在处为无穷间断点在已知 3. 求x x x a a x 1111lim ??? ? ??--?+∞→，其中0,1a a >≠. 4、设当0x >时，方程211kx x +=有且仅有一个解，求k 的取值范围. 5．求11 2 1cos2lim 4n n t dt n t →?. 6、设()f x 在上连续[,]a b ，证明：1 2200lim ()d (0)2 h h f x x f h x π + →=+? 。 证明：()f x 在上连续[,]a b ，因而有界，所以0M ?>，当[,]x a b ∈时有 ()f x M ≤。 _________.) (lim ,4]cos 1)(1[ln 121lim 7.30 ==-+-→→x x f x x f x x x 则已知 8、设函数(,)f x y 可微，1)2 ,0(),,(),(,=-='π f y x f y x f x ，且满足 y n n e y f n y f cot ),0()1,0(lim =???? ?????? +∞ →，求(,)f x y 。 9．求曲线1(0)(1)x x x y x x += >+的斜渐近线方程。

六年级数学竞赛试题及答案

六年级数学竞赛试题 学校： 班级： 姓名： ★亲爱的同学，经过这段时间的中学数学学习，你的数学能力一定有了较大的提高，展示你才能的机会来了！祝你在这次数学竞赛中取得好成绩！别忘了要沉着冷静、细心答题哟！ 一、选择题(每小题6分，共36分) 1、如果m 是大于1的偶数，那么m 一定小于它的……………………（ ） A 、相反数 B 、倒数 C 、绝对值 D 、平方 2、当ｘ＝－2时， 37ax bx +-的值为9，则当ｘ＝2时，3 7ax bx +-的值是 （ ） A 、－23 B 、－17 C 、23 D 、17 3、255 ，344 ，533 ，622 这四个数中最小的数是………………………（ ） A. 255 B. 344 C. 533 D. 622 4、把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图1所示的立体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红色部分的面积为 （ ）． A 、21 B 、24 C 、33 D 、37 5、有理数的大小关系如图2所示，则下列式子 中一定成立的是…… （ ） A 、c b a ++＞0 B 、c b a <+ C 、c a c a +=- D 、a c c b ->-

6、某动物园有老虎和狮子，老虎的数量是狮子的2倍。每只老虎每天吃肉4.5千克，每只狮子每天吃肉3.5千克，那么该动物园的虎、狮平均每天吃肉…… …… （ ） A 、 625千克 B 、 725千克 C 、825千克 D 、9 25千克 二、填空题(每小题6分，共36分) 7、定义a*b=ab+a+b,若3*x=27，则x 的值是_____ 8、三个有理数ａ、ｂ、ｃ之积是负数，其和是正数，当x ＝ c c b b a a + + 时，则 ______29219=+-x x 。 9、当整数m ＝_________ 时，代数式 1 36 -m 的值是整数。 10、A 、B 、C 、D 、E 、F 六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A 、B 、C 、D 、E 、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B 队比赛的球队是______ 。 11、甲从A 地到B 地，去时步行，返回时坐车，共用x 小时，若他往返都座车，则全程 只需x 3 小时，，若他往返都步行，则需____________小时。 12、 ._______2007 20061431321211=?+?+?+?K 三、解答题(共28分) 13、现将连续自然数1至2009按图中的方式排列成一个长方形队列，再用正方形任意框出16个数。（14分） （1）设任意一个这样的正方形框中的最小数为n ，请用n 的代数式表示该框中的16个数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数中的最小数和最大数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数的和。（用n 的代数式表示） （2）在图中，要使一个正方形框出的16个数之和和分别等于832、2000、2008是否可能？若不可能，请说明理由；若可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数。 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 · · · · · · · 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 图2

五、六年级奥数竞赛训练100题

五、六年级奥数竞赛训练100题 1.甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地要植900棵，B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树. 两块地同时开始吧吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？ 3.某工程，由甲、乙两队承包，2.4天可以完成，需支付1800元；由乙、丙两队承包，3+3/4天可以完成，需支付1500元；由甲、丙两队承包，2+6/7天可以完成，需支付1600元.在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？ 4.一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块.现打开水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好没过长方体的顶面.再过18分钟水已灌满容器.已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体的底面面积和容器底面面积之比. 5.甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多1/5，然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售.两人都全部售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套，甲原来购进这种时装多少套？ 6.有甲、乙两根水管，分别同时给A，B两个大小相同的水池注水，在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7：5.经过2+1/3小时，A，B两池中注入的水之和恰好是一池.这时，甲管注水速度提高25%，乙管的注水速度不变，那么，当甲管注满A池时，乙管再经过多少小时注满B池？ 7.小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学书丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有3/10的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这样小明比独自步行提早5分钟到校.小明从家到学校全部步行需要多少时间？ 8.甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地，A，B两地的距离等于B，C两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟，但在B地停留了7分钟，甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时，甲车就超过乙车. 9.甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务.甲车单独清扫需要10小时，乙车单独清扫需要15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米，问东、西两城相距多少千米？ 10.今有重量为3吨的集装箱4个，重量为2.5吨的集装箱5个，重量为1.5吨的集装箱14个，重量为1吨的集装箱7个.那么最少需要用多少辆载重量为4.5吨的汽车可以一次全部运走集装箱？ 11.师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的1/3比徒弟加工零件个数的1/4还多10个，那么徒弟一共加工了几个零件？ 12.一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地.大轿车的速度是小轿车速度的80%.已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停了5分钟，才继续驶往乙地；而小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车比大轿车早4分钟到达乙地.又知大轿车是上午10时从甲地出发的.那么小轿车是在上午什么时候追上大轿车的. 13.一部书稿，甲单独打字要14小时完成，，乙单独打字要20小时完成.如果甲先打1小时，然后由乙接替甲打1小时，再由甲接替乙打1小时.......两人如此交替工作.那么打完这部书稿时，甲乙两人共用多少小时？ 14.黄气球2元3个，花气球3元2个，学校共买了32个气球，其中花气球比黄气球少4个，学校买哪种气球用的钱多？ 15.一只帆船的速度是60米/分，船在水流速度为20米/分的河中，从上游的一个港口到下游的某一地，再返回到原地，共用3小时30分，这条船从上游港口到下游某地需要多长时间？ 16.甲粮仓装43吨面粉，乙粮仓装37吨面粉，如果把乙粮仓的面粉装入甲粮仓，那么甲粮仓装满后，乙粮仓里剩下的面粉占乙粮仓容量的1/2；如果把甲粮仓的面粉装入乙粮仓，那么乙粮仓装满后，甲粮仓里剩下的面粉占甲粮仓容量的1/3，每个粮仓各可以装面粉多少吨？ 17.甲数除以乙数，乙数除以丙数，商相等，余数都是2，甲、乙两数之和是478.那么甲、乙、丙三数之和是几？

数学竞赛训练题(1)

数学竞赛训练题（1） 1、A、B、C、D、E五所小学，每所小学派出1支足球队，共5支足球队进行友谊比赛．不同学校间只比赛1场，比赛进行了若干天后，A校的队长发现另外4支球队B、C、D、E赛过的场数依次为4、3、 2、1．问：这时候A校的足球队已经赛了多少场？ 2、编号为1，2，3，4，5，6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1，2，3，4，5的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等．请问：编号为6的同学赛了几盘？ 3、某足球联赛20支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．请问各队总分之和最多是____分,最少是____分. 4、甲、乙、丙、丁四名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场．请问一共有多少场比赛？ 5、6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．如果在比赛中出现了6场平局，那么所有人总分之和是多少分？ 6、红、黄、蓝三支乒乓球队进行比赛，每队派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．团体评比的情况是：团体第一的是黄队，总分16

分．请问：第二名和第三名的团体总分分别是多少？ 7、甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行围棋比赛，每两人都比赛一场，请问一共有多少场比赛？ 8、7支足球队进行单循环赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：得分最高的3支球队的分数之和最多是多少？ 9、甲、乙、丙、丁四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场．已知甲、乙、丙三队的成绩分别是：甲队2胜1负，乙队1胜1平1负，丙队2胜1负．那么丁队的成绩是____胜____平____负．10、某小学三个班级进行乒乓球对抗赛，每班派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．团体评比的情况是：团体第一的是一班，总分16分．请问：第二名和第三名的团体总分分别是多少？ 11、8位同学进行围棋单循环对抗赛，即每两位同学之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．如果在比赛中出现了10场平局，那么各队总分之和是多少分？ 12、6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场．请问：一共有多少场比赛？ 13、6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2

高中数学竞赛试卷A及答案

高中数学竞赛试卷A 及答案 考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分150分。 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。 3、解题书写不要超出装订线。 4、不能使用计算器。 一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．记[x]为不大于x 的最大整数，设有集合}2]x [x |x {A 2=-=，}2|x ||x {B <=，则=B A ( ) A ．(－2，2) B ．[－2，2] C ．}1,3{- D ．}1,3{- 2．若()() 2006 34554 x 57x 53x 2x 2x f +--+=，则??? ? ??-21111f = ( ) A ．－1 B ． 1 C ． 2005 D ．2007 3．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t ，则t 的取值区间是 ( ) A ．[1，2] B ．[2，4] C ．[1，3] D ．[3，6] 4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为棱 AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面 ABCD 和平面ABC 1D 1均成 30角，则这样的直 线条数是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 5．等腰直角三角形?ABC 中，斜边BC=24，一个 椭圆以C 为其焦点，另一个焦点在线段AB 上，且 椭圆经过A ，B 两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x 轴上） ( ) A ．12 4y 246x 22=+ + B ． 12 43y 2 46x 22=++ + C ． 1246y 24x 2 2 =++ D ． 1246y 243x 2 2 =++ + （注：原卷中答案A 、D 是一样的，这里做了改动） 6．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为 ( ) A ．1372 B ． 2024 C ． 3136 D ．4495 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分，请将正确答案填在横线上。） A C D

数学竞赛练习题答案

竞赛练习题（一）参考答案 班级姓名？ 1．一个小组的小朋友排成一列做游戏，小明从前往后数，他排第15个，从后往前数，他排第13个，共有（27）个小朋友在做游戏。 2．18名女同学站成一排，每隔2名女同学插进3名男同学，共插进（24）名男同学。3．东东从布袋里拿出5个白皮球和5个花皮球后，白皮球剩下10个，花皮球剩下5个。布袋原来有（15）个白皮球，（10）个花皮球。 4．芳芳有1元4角钱，晶晶有8角钱。芳芳给晶晶（3角）钱，两人的钱数同样多。5．用6根短绳连成一根长绳，一共要打（5）个结。 6．14个小朋友玩捉迷藏，已经捉住了4个小朋友，还藏着（9）个小朋友。 7．十位数字和个位数字相加，和是12的两位数有（4）个。 8．小东数数，从9开始数起，数到99时，小东数了（91）个数。 9．把1根绳子对折以后，再对折，这时每折长1米，这根绳子长（4）米 10．小强家离学校3千米，小强每天上两次学，来回要走（12）千米。 11．森林里的小动物开运动会赛跑。最后小兔用了4分钟，小狗用了5分钟，熊猫用了4分30秒，请问得第一名的是（小兔）。 12．班上的同学，年龄都是8岁或9岁，那么任意两个邻座同学年龄之和最大是（18）岁，最小又是（16）岁。 13．1个西瓜的重量=3个菠萝的重量，1个菠萝的重量=3个梨的重量，1个西瓜的重量=（9）个梨的重量。 14、六一节到了，三个小朋友互送贺卡，每人都要收到另外两个人的贺卡，一共要送（6）张贺卡。 15、一个小朋友吃一个面包需要5分钟，现在有5个小朋友，按同样的速度，同时吃5个同样的面包，需要（ 5 ）分钟。 16、两捆同样多的练习本，第一捆拿走15本，第二捆拿走9本，（第二捆）剩的多，多（6）本。 17、两根同样长的绳子，分别剪去一段，第一根剩下17米，第二根剩下12米，(第二根)剪去的长，长（ 5 ）米。 18、15个小朋友分成两组做游戏，后来有3个小朋友从第一小组调到第二小组，现在共有（15 ）个小朋友在做游戏。 19、小红参加旅游，和旅游团的每一个人合照一次相，她一共照了19次。这个旅游团共有（20 ）个人。 20、公共汽车上原来有一些人，到站后有5人下车，又有8人上车，公共汽车上现在比原来多（ 3 ）人。 21、老师拿来20本书，发给教室里的小朋友每人一本，还剩4本。教室里共有（16 ）个小朋友。 22、老师拿来20本书，发给教室里的小朋友每人一本，还缺4本。教室里共有（24 ）个小朋友。 23、一根木头锯成5段，要锯（4 ）次。如果每锯一次用2分钟，一共需要锯（8 ）分钟。 24、小白兔有15个萝卜，小黑兔有18个萝卜。兔妈妈又买来7个萝卜，给小白兔（5 ）个、小黑兔（ 2 ）个两只小兔的萝卜就同样多。 25、5、7、8、7、11、7、（16 ）、（7 ） 26、28、24、28、20、28、16、（28 ）、（12 ）

高中数学竞赛训练题—填空题

高中数学竞赛训练题—填空题 1. 若不等式1-log a )10(x a -＜0有解，则实数a 的范围是 . 2．设()f x 是定义在Ｒ上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-；又当01x ≤≤时， 1()2 f x x = ，则方程21 )(-=x f 的解集为 。 3.设200221,,,a a a Λ均为正实数，且 2 1 212121200221=++++++a a a Λ，则200221a a a ???Λ的最小值为____________________. 4. ,x R ∈ 函数()2sin 3cos 23 x x f x =+的最小正周期为 . 5. 设P 是圆2 2 36x y +=上一动点，A 点坐标为()20,0。当P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹方程为 . 6.. 设z 是虚数，1 w z z =+ ，且12w -<<，则z 的实部取值范围为 . 7. 设4 4 2 )1()1()(x x x x k x f --+-=。如果对任何]1,0[∈x ，都有0)(≥x f ，则k 的最小值为 . 8．＝ 。 9．设lg lg lg 111()121418x x x f x = +++++，则 1 ()()_________f x f x +=。 10．设集合{}1215S =L ，，，，{}123A a a a =，，是S 的子集，且()123a a a ，，满足： 123115a a a ≤≤<<，326a a -≤，那么满足条件的集合A 的个数为 ． 11．已知数列}{n a 满足,01=a ),2,1(1211Λ=+++=+n a a a n n n ，则n a =___ . 12．已知坐标平面上三点()()) 0,3,,A B C ，P 是坐标平面上的点，且 PA PB PC =+，则P 点的轨迹方程为 ． 13.已知0 2sin 2sin 5=α，则) 1tan() 1tan(00-+αα的值是______________. 14.乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_____________. 15.不等式 92) 211(42 2 +<+-x x x 的解集为_______________________.

全国大学生数学竞赛试题及答案

河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ， 所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ， 综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。

【解】 作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ， 所以，4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0， 容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。 所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? <

(完整版)小学数学竞赛训练100题答案

小学数学竞赛训练100题答案 1、设原小数为x 10x-0.1x=2.2 x=2/9 这个小数用分数表示为2/9 2、设原价为x 1650×0.8=1.1x 解得x=1200元 1650-1200=450元 3、111...222..22333...33先除以111...111等于1000....002000...003，两个0都是1999个 再用1000....002000...003除以3等于3333....3334000...001，得数前面的3有1999个， 所以答案是3×1999+4+1=6002 4、原式 =(2-1)/1×2+(3-1)/1×2×3...+(10-1)/1×2×3.... ×10 =[2/1×2-1/1×2]+[3/1×2×3-1/1×2×3]+..+10/1×2×3....×10 -1/1×2×3... ×10 =1-1/1×2×3.... ×10 =3628799/3628800 即中间的可前后全部抵销,只胜下第一项和最后一项. 5、30×3/5=18 km/h -------逆流而行的航速 (30+18)/2=24km/h --------静水船速 24-18=6km/h --------水速也就是顺水漂流1小时的航程 6、每天生产100台。先生产了5天，那么先生产了500台。后面效率提高了百分之二十五，也就是每天生产125台。1500-500=1000台就是剩下要生产的，然后除以125,得出结果后在加上5,就=需要的天数。最后用15-天数就行了。算式：15-[(1500-500)÷125%+5]＝2,提前2天 7、共有奇数五个，偶数四个 要得和是偶数，则有：偶数+偶数+偶数或者：偶数+奇数+奇数 从四个偶数中任取三个有：4×3×2÷[3×2×1]=4种 从四个偶数中取一个偶数，从五个奇数中取二个奇数有： 4×5×4÷[2×1]=40种所以共有：4+40=44种 8、注意到1+2+……n=（n+1）n÷2<2001所以n≤62, 而1+2+……+62=1953， 表明2001-1953=48这页的号码加了两次， 48<62满足题意， 所以这本书有62页。

高中数学竞赛集训训练题

高中数学竞赛集训训练题 1．b a ,是两个不相等的正数，且满足2 2 3 3 b a b a -=-，求所有可能的整数 c ,使得ab c 9=. 2．已知不等式 24 131...312111a n n n n > ++++++++对一切正整数a 均成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论。 3．设{}n a 为14a =的单调递增数列，且满足22 111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++，求{n a } 的通项公式。 4．（1）设,0,0>>y x 求证： ;4 32y x y x x -≥+ （2）设,0,0,0>>>z y x 求证： .2 333zx yz xy x z z z y y y x x ++≥+++++ 5. 设数列ΛΛΛ,1 ,,12, 1,,13,22,31,12,21,11k k k -， 问：（1）这个数列第2010项的值是多少； （2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少. 6. 设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每

个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。 7．已知数列{}n a 满足1a a =（0,1a a ≠≠且），前n 项和为n S ，且(1)1n n a S a a = --， 记lg ||n n n b a a =（n *∈N ），当a =时，问是否存在正整数m ，使得对于任意正整数n ，都有m n b b ≥？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由． 8. 在ABC ?中，已9,sin cos sin AB AC B A C ==u u u r u u u r g ，又ABC ?的面积等于6. （Ⅰ）求ABC ?的三边之长； （Ⅱ）设P 是ABC ?（含边界）内一点，P 到三边AB 、BC 、AB 的距离为1d 、2d 和3d ，求 123d d d ++的取值范围. 9．在数列{}n a 中，1a ，2a 是给定的非零整数，21n n n a a a ++=-． （1）若152a =，161a =-，求2008a ； （2）证明：从{}n a 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列． 10. 已知椭圆)1(12 22>=+a y a x ，Rt ABC ?以A （0，1）为直角顶点，边AB 、BC 与椭圆 交于两点B 、C 。若△ABC 面积的最大值为27 8 ，求a 的值。

小学六年级奥数题：竞赛训练100题(一)

六年级奥数题 1.甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地要植900棵，B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地？ 2.有三块草地，面积分别是5，15，24亩.草地上的草一样厚，而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？ 3.某工程，由甲、乙两队承包，2.4天可以完成，需支付1800元；由乙、丙两队承包，3+3/4天可以完成，需支付1500元；由甲、丙两队承包，2+6/7天可以完成，需支付1600元.在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？ 4.一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块.现打开水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好 没过长方体的顶面.再过18分钟水已灌满容器.已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体的底面面积和容器底面面积之比. 5.甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多1/5，然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售.两人都全部售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套，甲原来购进这种时装多少套？ 6.有甲、乙两根水管，分别同时给A，B两个大小相同的水池注水，在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7：5.经过2+1/3小时，A，B两池中注入的水之和恰好是一池.这时，甲管注水速度提高25%，乙管的注水速度不变，那么，当甲管注满A池时，乙管再经过多少小时注满B池？ 7.小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学书丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有3/10的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这样小明比独自步行提早5分钟到校.小明从家到学校全部步行需要多少时间？ 8.甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地，A，B两地的距离等于B，C两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟，但在B地停留了7分钟，甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时，甲车就超过乙车. 9.甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务.甲车单独清扫需要10小时，乙车单独清扫需要15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米，问东、西两城相距多少千米？

高中数学竞赛训练题 (3)

高中数学竞赛训练题 一、选择题（仅有一个选择支正确） 1．已知全集}{}{N n n x x B N n n x x A N U ∈==∈===,4,,2,,则（ ） （A ） B A U = (B) )(B A C U U = (C) B C A U U = (D) B C A C U U U = 2．已知b a ,是正实数,则不等式组???>+>+ab xy b a y x 是不等式组? ??>>b y a x 成立的（ ） （A ）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D)既不充分又不必要条件 3．等差数列{}n a 中,,336),9(30,1849=>==-n n S n a S 则n 的值是（ ） （A ）8 (B) 9 (C) 16 (D) 21 4．已知复数2 121 -+ =z z w 为纯虚数,则z 的值为（ ） （A ） 1 (B) 21 (C) 31 (D) 不能确定 5．边长为5的菱形,若它的一条对角线的长不大于6,则这个菱形对角线长度之和的最大值是（ ） （A ） 16 (B) 210 (C) 14 (D) 65 6．平面上的整点（横、纵坐标都是整数）到直线5 435+=x y 的距离中的最小值是（ ）（A ） 17034 (B) 8534 (C) 170343 (D) 30 1 7．若232,2,2++x y x x 成等比数列,则点),(y x 在平面直角坐标系内的轨迹是（ ） （A ） 一段圆弧 (B) 一段椭圆弧 (C) 双曲线的一部分 (D) 抛物线的一部分 8．若ABC ?的三边c b a ,,满足：,0322,0222 =+-+=---c b a c b a a 则它的最大内角的度数是（ ） （A ） 0150 (B) 0120 (C) 090 (D) 060

2017奥林匹克数学竞赛试题及答案

绝密★启用前 世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题 选手须知： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。 3、比赛时不能使用计算工具。 4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。 三年级试题（Ａ卷） （本试卷满分120分，考试时间90分钟） 一、填空题。（每题5分，共计50分） 1、仔细观察，想一想接着该怎么画。 2、一只猫吃完1条鱼需要6分钟，5只猫同时吃完5条同样大小的鱼需要分钟。 3、国庆阅兵中，15辆坦克排成一队，从前往后数，战士小李驾驶的坦克是第6辆，那么从后往前数这辆坦克是第_______辆。 4、车站里的汽车每隔15分钟一班，小青想搭8:45的一班车去图书馆，但是她到达车站的时间已经是8:47，那么她还要等_______分钟才能搭乘下一班汽车。 5、一只大白兔的重量是2只松鼠的重量，1只松鼠的重量是3只小鸡的重量，1只大白兔的重量等于_______只小鸡的重量。 6、东村到西村有3条路，西村到南庄有4条路。那么从东村经过西村到南庄一共有_______条路可走。 7、学校招收了一批新生。若编成每班55人的班级，还要招收30人。若编成每班50人的班级，还需招收10名新生。这次共招收了名新生。 8、妈妈买来一块豆腐准备做鱼头豆腐汤，让小军动手切8块，小军最少要切刀。 9、王奶奶有两篮桃子，从第一个篮子里拿3个放入第二个篮子里，两个篮子里桃子就一样多，已知第二个篮子里原来有8个桃子，第一个篮子里原来有______个桃子。 10、下图中有个三角形。 二、计算题。（每题6分，共计12分） 11、2015＋201＋20－15＋5 12、1000-9-99-8-98-7-97-6-96-5-95-4-94-3-93-2-92-1-1 三、解答题。（第13题6分，第14题8分，第15题10分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分） 13、一条大鲨鱼，尾长是身长的一半，头长是尾长的一半，已知头长3米，这条大鲨鱼全长有多少米？ 14、超市新进6箱足球，连续4天，每天卖出8个。服务员重新整理一下，剩下的足球正好装满2箱。原来每箱有几个足球？ 15、小丽和小晴两人比赛爬楼梯，小丽跑到3楼时，小晴恰好跑到2楼，照这样计算，小丽跑到9楼，小晴跑到几楼？ 16、三年级（2）班有46人，新学期开学要从A、B、C、D、E五位候选人中选出一位班长，每人只能投一票。投票结束（没人弃权），A得24票，B得选票占第二位，C、D得票同样多，E得票最少只得4票。那B得多少票？ 17、有两层书架，共有书173本，从第一层拿走38本后，第二层的书是第一层的2倍还多6本，第二层原有多少本书？ 18、小张和小赵两人同时从相距1000米的两地相向而行，小张每分钟行120米，小赵每分钟行80米，如果一只狗与小张同时同向而行，每分钟跑460米，遇到小赵后，立即回头向小张跑去，遇到小张再向小赵跑去，这样不断地来回跑，直到小张和小赵相遇为止，狗共跑了多少米？

小学三、四年级数学竞赛训练题

小学三、四年级数学竞赛训练题 一、算式谜 1.在下面的数中间填上“+”、“-”，使计算结果为100。 1 2 3 4 5 6 7 8 9=100 2.ABC D＋AC D＋CD=1989，求A、B、C、D。 3.□4□□－3□89=3839. 4.1ABCDE×3=ABCDE1，求A、B、C、D、E。 5. 二、找规律 6.找找规律填数 （1）75，3，74，3，73，3，（），（）； （2）1，4，5，4，9，4，（），（）； （3）3，2，6，2，12，2，（），（）； （4）76，2，75，3，74，4，（），（）； （5）2，3，4，5，8，7，（），（ 0）； （6）2，1，4，1，8，1，（），（）。 7.在（）内填入适当的数 （1）1，1，2，3，5，8，（），（）； （2）0，2，2，4，6，10，（），（）； （3）1，3，4，7，11，18，（），（）； （4）１，１，１，３，５，９，（），（）； （5）0，1，2，3，6，11，（），（）； 8.找规律在（）内填上合适的数 （1）0，1，3，8，21，55，（）； （2）2，6，12，20，30，42，（）； （3）1，2，4，7，11，16，（）。 9.下面的数列排列有一定规律，找出它的变化规律，在（）内填上合适的数。 （1）1，6，7，12，13，18，19，（）； （2）1，3，6，8，16，18，（），（）； （3）1，4，3，8，5，12，7，（） （4）1000，970，200，180，40，30，（），（）。 10.

三、排列组合 11. 小华、小花、小马三个好朋友要在一起站成一排拍一张照片。三个人争着要站在排头， 无法拍照了。后来照相师傅想了一个办法，说：“我给你们每人站在不同位置都拍一张，好不好？”这下大家同意了。那么，照相师傅一共要给他们拍几张照片呢？ 12. 二（1）班的小平、小宁、小刚、小超4人排了一个小块板，准备“六、一”演出。在 演出过程中，队形不断变化。（都站成一排）算算看，他们在演出小快板过程中，一共有多少种队形变化形式？ 13. “69”顺倒过来看还是“69”，我们把这两个顺倒一样的数，称为一对数。你能在“0， 1，6，9，8”这五个数中任意选出3个，可以组成几对顺倒相同的数？ 14. 有五种颜色的小旗，任意取出三面排成一行表示各种信号。问：共可以表示多少种不同 的信号？ 15. 用数码0、1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 四、简单推理 16. 红、黄、蓝三个盒子，两个盒子是空的，一个盒子放了乒乓球，每个盒子盖上都写入一 句话：红盒上写着“乒乓球不在这里”；黄盒上写着“乒乓球不在这里”；蓝盒上写着“乒乓球在红盒里”；不过，其中只有一句话是真的，想一想：乒乓球究竟在哪个盒子里？ 17. 甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两个人都要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙、

数学竞赛初练习题

最新高中数学奥数竞赛初练习题 第I 卷（选择题） 1．若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值是（ ） A ．122-+．122+ ．1 D ．2 2．已知非零向量,a b r r 满足2a b =r r ，若函数3211().132f x x a x a bx =+++r r r 在R 上存在极值，则a r 和b r 夹角的取值范围为（ ） A. 0,6π?????? B. ,3ππ?? ??? C. 2,33ππ?? ??? D. ,3ππ?????? 3．设抛物线y x 122=的焦点为F ，经过点P （2，1）的直线l 与抛物线相交于,A B 两 点，点P 恰为AB 的中点，则|AF |+|BF |=（ ） A.8 B.10 C.14 D.16 4．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(2,8) C ．(1,0)和(1,4)-- D ．(2,8)和(1,4)-- 5．如图，焦点在x 轴上的椭圆22 213 x y a +=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ?的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4F Q =，则该椭圆的离心率为（ ） A ．14 B ．12 C ．74 D ．134 6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)x f x e x =+，给出下列

①当0x >时，()(1)x f x e x =-； ②函数()f x 有2 个零点； ③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞U ； ④12,x x R ?∈，都有12()()2f x f x -<． 其中正确命题的序号是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④ 7．过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ． 8．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()() 12120f x f x x x -<-，且函数 ()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时， 2t s s t -+的取值范围是（ ） A ．13,2? ?--???? B ．13,2??--???? C ．15,2??--???? D ．15,2??--???? 9．已知12,F F 分别为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于,A B 两点,若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 D 10 ．已知函数0()ln(1),0 x f x x x ≥=?--