定义域及值域题型总结

专题强化训练1-----求函数定义域 一．具体函数

1. 函数()12f x x =-的定义域是（ ）.

A. 1[,)2+∞

B. 1

(,)2

+∞

C. 1(,]2-∞

D. 1

(,)2

-∞

2. 求下列函数的定义域 （用区间表示）.

（1）23

()2

x f x x -=-；

（2）()29f x x =-；

（3）1

()12

f x x x =++-

4. 函数()131f x x x =-++-的定义域是（ ）.

A. [3,1]-

B. (3,1)-

C. R

D. ?

二．抽象函数及复合函数定义域题型与思路

一. 已知f x ()的定义域，求[]f gx ()的定义域

思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以gx D ()∈，解得x E ∈，E 为[]fgx ()的定义域。

例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (l n )的定义域为_____________。

例2. 若函数f x

x ()=+1

1

，则函数[]f f x ()的定义域为______________。

二. 已知[]f gx ()的定义域，求f x ()的定义域

思路：设[]f gx ()的定义域为D ，即x D ∈

，由此得gx E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈

，为f x ()的定义域。

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]

x

∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。

例4. 已知f x x

x ()l g 2

2

248

-=-，则函数f x ()的定义域为______________。

三. 已知[]f gx ()的定义域，求[]f hx ()的定义域

思路：设[]f gx ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得gx E ()∈，f 的作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以hx E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f hx ()的定义域。

例5. 若函数f x

()2的定义域为[]

-11，，则f x

(l o g )2的定义域为______________。

评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是f 的

作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

6. 若函数()y f x =的定义域为[-1，1]，求函数11

()()44

y f x f x =+- 的定义域.

1解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变所以01<

2解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=

+1

1

，知x ≠-1 即f 的作用范围为{}

xR x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以fx R fx ()()∈≠-且1 即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-???11()即x x ≠-+≠-???

??1

11

1

解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}

x

R x x ∈≠-≠-|12且 3解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，由此得[]

3215-∈-x ， 所以f 的作用范围为又f 对x 作用，作用范围不变，所以[]

x ∈-15， 即函数f x ()的定义域为[]

-

15， 4解析：先求f 的作用范围，由f x x x (

)l g 2

2

248-=-，知x x 2

28

0-> 解得x 2

44->f 的作用范围为()4，+∞，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x ∈+∞()4，

即f x ()的定义域为()4，+∞

5解析：f x ()2的定义域为[]-11，，即[]

x ∈-11，，由此得21

22x

∈??

???

?，

f 的作用范围为122，??????又f 对l o

g 2x 作用，所以log 2122x ∈????

?

?，

解得[]x ∈24，即f x (l o g )2的定义域为[]24，

专题强化训练2-----求值域

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研

究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x 1

y =

的值域。

例2. 求函数x 3y -=的值域。

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2

-∈+-=的值域。

3. 判别式法

例4. 求函数

22x 1x x 1y +++=

的值域。

4. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例6. 求函数

1e 1e y x

x +-=的值域。

6. 函数单调性法

例7. 求函数)10x 2(1x log 2

y 35

x ≤≤-+=-的值域。

例8. 求函数1x 1x y --+=的值域。

7. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例9. 求函数1x x y -+=的值域。

例10. 求函数2

)1x (12x y +-++=的值域。

例11. 求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=，

?

?????ππ-∈2,12x 的值域。

8. 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例12. 求函数2

2)8x ()2x (y ++-=的值域。

例13. 求函数5x 4x 13x 6x y 2

2++++-=的值域。

例14. 求函数5x 4x 13x 6x y 2

2++-+-=的值域。

9. 多种方法综合运用

例15. 求函数

3x 2

x y ++=

的值域。

解：令)0t (2x t ≥+=，则1t 3x 2

+=+

（1）当0t >时，

2

1

t 1t 11t t y 2≤

+=+=

，当且仅当t=1，即1x -=时取等号，所以

21y 0≤

< （2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：?

????

?21,0 注：先换元，后用不等式法

高一数学知识点总结之函数定义域 值域

高一数学知识点总结之函数定义域值域【】数学的学习不像文科要死记硬背，学好高中数学最主要的是要掌握好课本上的基本公式，熟练运用，才能解考试过程中的各种题型。 定义域 (高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域。 值域 名称定义 函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合。 常用的求值域的方法 (1)化归法;(2)图象法(数形结合);(3)函数单调性法;(4)配方 法;(5)换元法;(6)反函数法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)基本不等式法等 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习

者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。 关于函数值域误区 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技 巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本元件。平时数学中，实行定义域优先的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手硬一手软，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄

(完整版)一次函数题型总结归纳

a a t 精心整理 一次函数题型总结 函数定义 1、判断下列变化过程存在函数关系的是() A.是变量， B.人的身高与年龄 C.三角形的底边长与面积 y x ,x y 2±=A 、1B 、2C 、3D 、42、若函数y=(3－m)x m-9是正比例函数，则m=。 3、当m 、n 为何值时，函数y=(5m －3)x 2-n +(m+n)（1）是一次函数（2）是正比 例函数 一次函数与坐标系 1.一次函数y=－2x+4的图象经过第象限，y 的值随x 的值增大而（增大或减少）

2.已知y+4与x 成正比例，且当x=2时，y=1，则当x=－3时，y= ． 3.已知k ＞0，b ＞0，则直线y=kx+b 不经过第 象限． 4、若函数y=－x+m 与y=4x －1的图象交于y 轴上一点，则m 的值是( )A. B. C. D. 1-14 1-4 1（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度 是多少？ 4、东从A 地出发以某一速度向B 地走去，同时小明从B 地 出发以 另一速度向A 地而行，如图所示，图中的线段、B 地的 1y 距离（千米）与所用时间（小时）的关系。 2

a t s ⑵试求出A 、B 两地之间的距离。 函数图像的平移 1.把直线向上平移3个单位所得到的直线的函数解析式为 ．13 2+=x y 2、（2007浙江湖州）将直线y ＝2x 向右平移2个单位所得的直线的解析式是（）。 A 、y ＝2x ＋2 B 、y ＝2x －2 C 、y ＝2(x －2) D 、y ＝2(x ＋2) 的增大而，当. 函数图像与坐标轴围成的三角形的面积 1、函数y=-5x+2与x 轴的交点是与y 轴的交点是与两坐标轴围成的三角形面积是。 2.已知直线y =x +6与x 轴、y 轴围成一个三角形，则这个三角形面积为___。3、已知：在直角坐标系中，一次函数y=的图象分别与x 轴、y 轴相交于23

函数的定义域与值域 知识点与题型归纳

了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域. ★备考知考情 定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等. 一、知识梳理《名师一号》P13 知识点一常见基本初等函数的定义域 注意： 1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！ 2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！ (1)分式函数中分母不等于零 (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0 (3)一次函数、二次函数的定义域均为R (4)y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R (5)y＝log a x(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞) (6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0} 部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！

部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意 义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约. （补充） 三角函数中的正切函数y ＝tan x 定义域为 {|,,}2 ∈≠+∈x x R x k k Z π π 如果函数是由几个部分的数学式子构成的， 那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合． 知识点二 基本初等函数的值域 注意： 值域必须写成集合或区间的形式！！！ (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是： 当a ＞0时，值域为{y |y ≥4ac －b 2 4a }； 当a ＜0时，值域为{y |y ≤4ac －b 2 4a } (3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0} (4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0} (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R . （补充）三角函数中 正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x 的值域均为[]1,1- 正切函数y ＝tan x 值域为R

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

函数的基本性质知识点归纳与题型总结

函数的基本性质知识点归纳与题型总结 一、知识归纳 1．函数的奇偶性 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 解题提醒： ①判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． ②判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)

＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)． ③分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性． 题型一 函数奇偶性的判断 典型例题：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1) 1－x 1＋x ； (2)f (x )＝? ???? －x 2＋2x ＋1，x ＞0， x 2＋2x －1，x ＜0； (3)f (x )＝4－x 2 x 2； (4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a ＞0且a ≠1)． 解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x 1＋x ≥0， 所以－1＜x ≤1， 所以f (x )的定义域不关于原点对称， 所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：(定义法) 当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1， －x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )； 当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1， －x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．

函数的值域题型总结

求函数的值域 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定，确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。函数的值域，就是已知函数的定义域，求函数值最值问题，或取值范围的过程。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。对于如何求函数的值域，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，是高考中每年必考知识，而且试题占比很大，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下。 一、观察法求函数的值域 1 1+=x y 23+=x y 3 42-=x y 42sin +=θy 5 32-=x y 6 11+= x y 7 3cos 2+=θy 提示：（1）一次函数R y b kx y ∈+=,。 （2）二次函数0,2≥=y x y 。 （3）幂函数0,≥=y x y 。 （4）指数函数0,>=y a y x 。 （5）反比例函数0,≠=y x k y 。 （6）三角函数]1,1[,cos ,sin -∈==y y y θθ 二、利用函数的单调性求值域 1已知[0,1]x ∈，则函数21y x x = +-的值域是 23?? . 2函数4()([3,6])2 f x x x =∈-的值域为______[]1,4______。 3 已知函数]2,1[,42)(∈-=x x x x f 的值域 ]2,2[- 4 已知函数),1[,22+∞∈-=-x y x x 的值域 ),2 3[+∞ 5求函数]10,2[,1log 225∈-+=-x x y x 的值域。]33,8 1[ 提示：（1）利用函数的单调性，将定义域的取值带入函数求值。 三、分离常数法求函数的值域 1求函数x x y -+= 132的值域2-≠y 2求函数2323--=x x y 的值域 32-≠y 3求函数2 5422----=x x x x y 的值域 R y ∈{2≠y 且1≠y } 提示：（1）函数a c y b ax d cx y ≠++=,。（2）函数e f a b e f c d y a c y f ex b ax f ex d cx y --≠≠++++=且,,))(())(( 四、二次函数的值域问题 1函数22)(2+-=x x x f 在区间]4,0(的值域为（ ]10,1[ ） 2函数2 1,(12)y x x =-+-≤<的值域是（ (]3,1- ） 3函数1422 -+=x x y 的值域 ),3[+∞-

高中函数值域求法小结

函数值域求法小结 一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域。 由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得： )[)[∞+-∈∞+∈-+-=,2,,024)(2y x x g 所以 2、求函数1 11 y x = ++的值域。 分析：首先由1x +≥0，得1x ++1≥1，然后在求其倒数即得答案。 解： 1x +≥0∴1x ++1≥1，∴０＜ 1 11 x ++≤１，∴函数的值域为（０，１]． 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 设：)0)((4)(2 ≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2 ∈+--=x x x f 利用二次函数的 相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：][2,2-∈y 。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f 。 2、求函数3 42-+-=x x e y 的值域。 解答：此题可以看作是u e y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数，对u 配方可得： 1)2(2+--=x u ，得到函数u 的最大值1=u ，再根据u e y =得到y 为增函数且0>y 故 函数3 42-+-=x x e y 的值域为：],0(e y ∈。 3、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。 本题可看成一象限动点),(y x p 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4，0)，(0，2)确定一条直线，作出图象易得： 2 )1(2lg[)]24(lg[lg lg lg ),2,0(),4,0(2+--=-==+∈∈y y y xy y x y x 而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。 三、反函数法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易

高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项

函数的综合知识点及题型归纳总结

函数的综合知识点及题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 函数与数列的综合 思路提示 利用函数与数列知识的相互联系、相似性质： （1）抽象函数的关系与数列递推关系式类似. (2)函数单调性与数列单调性的相似性. （3）数列与不等式的综合可以利用数列的形式构造辅助函数，利用函数的性质证明不等式，因此解决数列问题可转化为函数问题，用函数的知识或方法解决. 例2.79 （2012四川理12）设函数(){}n a x x x f ,cos 2-=是公差为 8 π 的等差数列， ()()(),5521π=+++a f a f a f Λ则()[]=-512 3a a a f f （ ） A 、0 B 、 2161π C 、28 1 π D 、21613π 分析 本题将数列与函数结合，其解题思路是研究函数性质（单调性、奇偶性）与数列的特征. 解析 由()x x x f cos 2-=得ππππ++=??? ? ? +-??? ??+=??? ? ? + x x x x x f sin 22cos 222， 令(),sin 2x x x g +=则()x g 在R 上为单调递增的奇函数，故 ()()(),5521π=+++a f a f a f Λ ?πππππππ5222521=+??? ? ? -+++??? ??-++??? ? ? - a g a g a g Λ? 0222521=??? ? ? -++??? ??-+??? ??-πππa g a g a g Λ 设,2 π - =n n a b 则{}n b 也为等差数列，且()()()0521=+++b g b g b g Λ○ 1，下证03=b .反证法，若,03>b 则,02,02342351>=+>=+b b b b b b 故0,,34251>->->b b b b b ，又()x g 是R 上单调递增的奇函数，所以()()()()()5513,00b g b g b g g b g -=->=>， ()()(),442b g b g b g -=->以上相加得()()()0521>+++b g b g b g Λ与○1矛盾，故假设 “03>b ”不成立，同理“03

函数的概念及定义域、值域基本知识点总结.doc

函数的概念及定义域.值域基本知识点总结 函数概念 1.映射的概念 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/ ,对于集合4小的任意元素,在集合B 中都冇唯一确宦的元索与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f :A^ B , f 表示对应法则 注意：（1）A中元素必须都有彖J1唯一；（2）B中元素不一定都有原彖，但原彖不一定唯一。 2.函数的概念 （1）函数的定义： 设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合4屮的每个数兀, 在集合B中都

冇唯一确怎的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常

⑵函数的定义域、值域 在函数y = f(x\xeA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y = f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做两数值，函数值的集合{/⑴卜e △}称为函数y = /(%)的值域。 (3)函数的三要素：定义域、值域和对丿应法则 3.函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 (1).图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； (2).列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3).解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式來表示。 4.分段函数 在H变量的不同变化范围屮，对应法则用不同式子來表示的函数称为分段函数。 (-)考点分析 考点1：映射的概念 例1. (1) A = R , B = {yly〉O}, f :x —> y =1 xI ； (2) A = {x\ x>2,x e N^}, B = {y\ y>O,y e N], / : x y = x2 - 2x + 2 ； (3) A = {xI x > 0}, = {>' I y e R}, / : x —> y = ±\[x . 上述三个对应是A到B的映射. 例2.若A = {1,2,3,4}, B = {aM，a,b,cwR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个，A到B 的函数有个 例3.设集合M ={-1,0,1}, 7V = {-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条件：对 (4)8 个(3)12 个(C)16 个(0)18 个 M中的每个元素兀与它在N中的象/(兀)的和都为奇数,则映射/的个数是() 考点2：判断两函数是否为同一个函数

高中数学求函数值域的方法十三种审批稿

高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

高中数学：求函数值域的十三种方法 一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性 八、函数单调性法（☆） 九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥， ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是： ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1- =f f，()1 1- f所以： = 2 0= f，()()0 ∈ 3 x，而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x∈，则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题，均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8] 【变式】已知，求函数的最值。 【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。 图2

求函数值域 、 周期的方法总结(适合高一)

求函数值域 、 周期的方法总结（适合高一） 求值域 一、直接法：（从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围）例1．求函数2+=x y 的值域。 二、配方法（是求二次函数值域的基本方法，如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法）例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 三、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）例3．求函数125 x y x -=+的值域。 四、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函 数的值域，如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法 求解。例4．求函数2y x = 五、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数()0>+=k x k x y 的值域（k x <<0时为减函数；k x >时为 增函数））例5．求函数y x = 六、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域)例6求函数2211 x y x -=+的值域。 七、数型结合法（函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法）例7．求函数11-++=x x y 的值域。 除此之外，还有反函数法（即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域）和判别式法（即把函数转化成关于x 的二次方程()0,=y x F ，通过方程有实根，0≥?，从而求得原函数的值域，需熟练掌握一元二次不等式的解法），在今后的学习中，会具体讲述。 周期 一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立 则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。 二．重要结论 1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； 2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数

函数的定义、定义域、值域

函数的概念 教学目的： 1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性 教学重点：理解函数的概念； 教学难点：函数的概念 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 函数是数学的重要的基础概念之一论、微分学、积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，其他学科如物理学等学科也是以丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中 函数是中学数学的主体内容它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容数列可 以看作整标函数，等差数列的通项反映的点对(n ，a n )都分布在直线y ＝kx+b 的图象上，等差数列的前n 项和公式也可以看作关于n(n ∈N)的二次函数关系式，等比数列的内容也都属于指数函数类型的整标函数与函数内容有关 本节的函数是用初中代数中“对应”来描述的函数概念，高一学生的数学知识较少，接受能力有限，用原始概念“对应”一词来描述函数定义是合适的 教学过程： 一、复习引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？

三角函数题型分类总结

专题 三角函数题型分类总结 三角函数公式一览表 ............................................................................................................... 错误！未定义书签。 一 求值问题 ........................................................................................................................................................... - 1 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 1 - 二 最值问题 ........................................................................................................................................................... - 2 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 三 单调性问题 ....................................................................................................................................................... - 3 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 四.周期性问题 ........................................................................................................................................................ - 4 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 4 - 五 对称性问题 ....................................................................................................................................................... - 5 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 5 - 六.图象变换问题 .................................................................................................................................................... - 6 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 7 - 七．识图问题 ......................................................................................................................................................... - 7 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 9 - 一 求值问题 类型1 知一求二 即已知正余弦、正切中的一个，求另外两个 方法：根据三角函数的定义，注意角所在的范围（象限），确定符号； 例 4 s i n 5 θ=，θ是第二象限角，求cos ,tan θθ 类型2 给值求值 例1 已知2tan =θ，求（1） θ θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2 2cos 2cos .sin sin +-的值. 练习 1、sin 330?= tan 690° = o 585sin = 2、（1）α是第四象限角，12 cos 13 α=，则sin α= （2）若4 sin ,tan 05 θθ=- >，则cos θ= . （3）已知△ABC 中，12 cot 5 A =-，则cos A = . (4) α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ += 3、(1) 已知5 sin ,5 α= 则44sin cos αα-= .

求函数定义域和值域方法和典型题归纳

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是： （1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。 （2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。 （2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 （一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见要是满足有意义的情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1. （2 ()log (1)x f x x =-） 注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。 （2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形

求解函数定义域,值域,解析式讲义(精华版)

求解函数定义域、值域、解析式 【课堂笔记】 知识点一 定义域、值域的定义 在函数)(x f y =中，x 叫做自变量，x 的取值范围的集合A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的值y 叫作函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫作函数的值域。 下面我们就以求简单函数的定义域做一讲解。 （1）当函数是以解析式的形式给出的时候，其定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。 （2）当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。 注意：（1）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，要注意逻辑连接词的恰当使用。 （2）定义域是一个集合，其结果可用集合或区间来表示。 （3）若函数)(x f 是整式型函数，则定义域为全体实数。 （4）若函数)(x f 是分式型函数，则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。 （5）若函数)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。 （6）由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定。 （7）如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使其各部分有 意义的公共部分的集合。 （8）复合函数的定义域问题： ①若已知)(x f 的定义域为],[b a ,则复合函数))((x g f 的定义域可由不等式b x g a ≤≤)(解出； ②若已知))((x g f 的定义域为],[b a ，则函数)(x f 的定义域，即为当],[b a x ∈时函数)(x g 的值域。 【例1】求下列函数的定义域 （1）1+= x y （2）x y -= 21 （3）0)1(21-+-= x x y 【例2】 求下列函数的定义域 （1）x y ++ = 11 11； （2）1 42 --= x x y ；

高三总复习-指对数函数题型总结归纳

指对函数 1比较大小，是指对函数这里很爱考的一类题型，主要依靠指对函数本身的图像性质来做题，此外，对于公式的理解也很重要。常用方法有建立中间量；估算；作差法；作商法等。 1、若π2log =a ，6log 7=b ，8.0log 2=c ，则（ ） A.c b a >> B.c a b >> C.b a c >> D.a c b >> 2、三个数6log ,7.0,6 7.067 .0的大小顺序是（ ） A.60.70.70.7log 66<< B.60.70.70.76log 6<< C.0.760.7log 660.7<< D.60.7 0.7log 60.76<< 3、设 1.5 0.90.48 12314,8 ,2y y y -??=== ? ?? ，则（ ） A.312y y y >> B.213y y y >> C.132y y y >> D.123y y y >> 4、当10<> B.a a a a a a >> C.a a a a a a >> D.a a a a a a >> 5、设 1)3 1()31(31<<>x x b a ，则下列不等式成立的是( ) A ．10<<a 且1≠a ），则()f x 一定过点（ ） A.无法确定 B.)3,0( C.)3,1( D.)4,2( 2、当10≠>a a 且时，函数()32-=-x a x f 必过定点（ ） 3、函数0.(12>+=-a a y x 且)1≠a 的图像必经过点（ ） 4、函数1)5.2(log )(-+=x x f a 恒过定点（ ） 5、指数函数()x a x f =的图象经过点?? ? ??161,2，则a =（ ） 6、若函数log ()a y x b =+ (0>a 且1≠a )的图象过)0,1(-和)1,0(两点，则b a ,分别为（ ） A.2,2==b a B.2,2==b a C.1,2==b a D.2,2==b a 3针对指对函数图像性质的题