2020年东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)高考数学三模试卷(理科)
2020年东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)高考数学三模试卷(理科)
2020-12-12
【关键字】方案、情况、思路、方法、条件、空间、计划、矛盾、焦点、合理、执行、建立、了解、标准、满足、鼓励、调整、扩大、中心
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）设复数z满足z?（1+i）=2i（i是虚数单位），则|z|=（）A．B．2C．1D．
2．（5分）A={x|y=lg（x2+3x﹣4）}，，则A∩B=（）A．（0，2]B．（1，2]C．[2，4）D．（﹣4，0）3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）单调递减的函数是（）A．y=﹣x3B．y=ln|x|C．y=cosx D．y=2﹣|x|
4．（5分）等比数列{a n}，若a12=4，a18=8，则a36为（）
A．32B．64C．128D．256
5．（5分）已知，且，则sin2α的值为（）A．B．C．D．
6．（5分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18，27，则输出的a=（）A．0B．9C．18D．54
7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．
8．（5分）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（）
A．B．C．D．
9．（5分）已知AB⊥AC，AB=AC，点M满足，若，则t的值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．（5分）中心在原点的椭圆C 1与双曲线C 2具有相同的焦点，F 1（﹣c ，0），F 2
（c ，0），P 为C 1与C 2在第一象限的交点，|PF 1|=|F 1F 2|且|PF 2|=5，若椭圆C 1的离心率，则双曲线的离心率e 2的范围是（ ） A ．
B ．
C ．（2，3）
D ．
11．（5分）三棱锥P ﹣ABC 中，底面△ABC 满足BA=BC ，，P 在面ABC
的射影为AC 的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P 到面ABC 的距离为（ ） A ．2
B ．3
C ．
D ．
12．（5分）设函数
，若曲线
上存在（x 0，y 0），
使得f （f （y 0））=y 0成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[0，e 2﹣e +1] B ．[0，e 2+e ﹣1]
C ．[0，e 2+e +1]
D ．[0，e 2﹣e ﹣1]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.
13．（5分）某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x= ．
14．（5分）平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有
（其中S △PAB 、S △PCD 分别为△PAB 、△PCD 的面积）；空间
中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有= （其中V P ﹣ABE 、V P ﹣CDF 分别为四面体P
﹣ABE 、P ﹣CDF 的体积）． 15．（5分）已知数列{a n }满足，则{a n }的前50项的和
为 ．
16．（5分）已知圆C ：x 2+y 2=25，过点M （﹣2，3）作直线l 交圆C 于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作圆的切线，当两条切线相交于点N 时，则点N 的轨
迹方程为．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（12分）已知是函数f（x）=msinωx﹣cosωx（m＞0）的一条对称轴，且f（x）的最小正周期为π
（Ⅰ）求m值和f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设角A，B，C为△ABC的三个内角，对应边分别为a，b，c，若f（B）=2，，求的取值范围．
18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．
（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值（精确到0.01），并说明理由．
19．（12分）如图，在棱台ABC﹣FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N为CE中点，．
（Ⅰ）λ为何值时，MN∥平面ABC？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线AN与平面BMN所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，过椭圆C中心的弦
PQ长为2，且∠PFQ=90°，△PQF的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线上一动点，直线
A1S交椭圆C于点M，直线A2S交椭圆于点N，设S1、S2分别为△A1SA2、△MSN的面积，求的最大值．
21．（12分）已知f（x）=e2x+ln（x+a）．
（1）当a=1时，①求f（x）在（0，1）处的切线方程；②当x≥0时，求证：f （x）≥（x+1）2+x．
（2）若存在x0∈[0，+∞），使得成立，求实数a的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C1：ρ=1，（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值；
（Ⅱ）若把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．设P（﹣1，1），曲线C2与交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]
23．已知x，y∈R．
（Ⅰ）若x，y满足，，求证：；
（Ⅱ）求证：x4+16y4≥2x3y+8xy3．
2017年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）设复数z满足z?（1+i）=2i（i是虚数单位），则|z|=（）A．B．2C．1D．
【解答】解：由z?（1+i）=2i，
得，
则|z|=．
故选：A．
2．（5分）A={x|y=lg（x2+3x﹣4）}，，则A∩B=（）A．（0，2]B．（1，2]C．[2，4）D．（﹣4，0）
【解答】解：A={x|y=lg（x2+3x﹣4）}={x|x2+3x﹣4＞0}={x|x＞1或x＜﹣4}，={y|0＜y≤2}，
则A∩B=（1，2]，
故选：B．
3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）单调递减的函数是（）A．y=﹣x3B．y=ln|x|C．y=cosx D．y=2﹣|x|
【解答】解：A．y=﹣x3是奇函数，不是偶函数，∴该选项错误；
B．x∈（0，+∞）时，y=ln|x|=lnx单调递增，∴该选项错误；
C．y=cosx在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误；
D．y=2﹣|x|是偶函数；
x∈（0，+∞）时，单调递减，∴该选项正确．
故选：D．
4．（5分）等比数列{a n}，若a12=4，a18=8，则a36为（）
A．32B．64C．128D．256
【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，
∴a182=a12a24，
∵a12=4，a18=8，a12，a18，a24同号
∴a24=16．
∴由a242=a12a36，得：
a36=64，
故选：B．
5．（5分）已知，且，则sin2α的值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，且，
∴2（cos2α﹣sin2α）=（cosα+sinα），
∴cosα﹣sinα=，或cosα+sinα=0．
当cosα﹣sinα=，则有1﹣sin2α=，sin2α=；
∵α∈（0，），
∴cosα+sinα=0不成立，
故选：C．
6．（5分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18，27，则输出的a=（）A．0B．9C．18D．54
【解答】解：由a=18，b=27，不满足a＞b，
则b变为27﹣18=9，
由b＜a，则a变为18﹣9=9，
由a=b=9，
则输出的a=9．
故选：B．
7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．
【解答】解：由三视图可知，该几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面的四棱锥，
高为2，故其体积V=，
故选：A．
8．（5分）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：从3名男生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名男生记作B，
将A，B插入到3名女生全排列后所成的4个空中的2个空中，故有C32A22A42A33=432种，
3位男生和3位女生共6位同学站成一排，有A66=720种，
∴3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为，
故选：C．
9．（5分）已知AB⊥AC，AB=AC，点M满足，若，则t的值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（0，0）．
不妨设C（3，0），B（0，3），
∵点M满足，∴点M在BC上．
设|AM|=a，则acos+a=3，解得a=3﹣3．
∴M．
∵点M满足，
∴=0+（1﹣t）×3，解得t=．
故选：C．
10．（5分）中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点，F1（﹣c，0），F2（c，0），P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|=|F1F2|且|PF2|=5，若椭圆C1的离心率，则双曲线的离心率e2的范围是（）
A．B．C．（2，3）D．
【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），
其离心率为e1，
双曲线的方程为﹣=1（m＞0，n＞0），其离心率为e2，
|F1F2|=2c，
∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，
△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形，
∴在椭圆中，|PF1|+|PF2|=2a，而|PF1|=|F1F2|=2c，
∴|PF2|=2a﹣2c，①
同理，在该双曲线中，|PF2|=2c﹣2m；②
由①②可得m=2c﹣a．
∵e1=∈（，），
∴＜＜，
又e2====∈（2，3）．
故选：C．
11．（5分）三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC满足BA=BC，，P在面ABC 的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为（）
A．2B．3C．D．
【解答】解：设AC的中点为D，连接BD，PD，则PD⊥平面ABC，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴外接球的球心O在PD上，
设AB=BC=a，PD=h，外接球半径OC=OP=R，
则OD=h﹣R，CD=AC=a，
∵V P
===，∴a2=，
﹣ABC
∵CD2+OD2=OC2，即（h﹣R）2+a2=R2，
∴R===≥3=，
当且仅当即h=3时取等号，
∴当外接球半径取得最小值时，h=3．
故选：B．
12．（5分）设函数，若曲线上存在（x0，y0），使得f（f（y0））=y0成立，则实数m的取值范围为（）
A．[0，e2﹣e+1]B．[0，e2+e﹣1]C．[0，e2+e+1]D．[0，e2﹣e﹣1]【解答】解：∵﹣1≤cosx≤1，∴的最大值为e，最小值为1，∴1≤y0≤e，
显然f（x）=是增函数，
（1）若f（y0）＞y0，则f（f（y0））＞f（y0）＞y0，与f（f（y0））=y0矛盾；（2）若f（y0）＜y0，则f（f（y0））＜f（y0）＜y0，与f（f（y0））=y0矛盾；
∴f（y0）=y0，
∴y0为方程f（x）=x的解，即方程f（x）=x在[1，e]上有解，
由f（x）=x得m=x2﹣x﹣lnx，
令g（x）=x2﹣x﹣lnx，x∈[1，e]，
则g′（x）=2x﹣1﹣==，
∴当x∈[1，e]时，g′（x）≥0，
∴g（x）在[1，e]上单调递增，
∴g min（x）=g（1）=0，g max（x）=g（e）=e2﹣e﹣1，
∴0≤m≤e2﹣e﹣1．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.
13．（5分）某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x= 27．
【解答】解：由题意可得=，
即x=27，
故答案为：27
14．（5分）平面上，点A、C为射线PM上的两点，点B、D为射线PN上的两点，
则有（其中S △PAB 、S △PCD 分别为△PAB 、△PCD 的面积）；空间
中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有
=
（其中V P ﹣ABE 、V P ﹣CDF 分别为四
面体P ﹣ABE 、P ﹣CDF 的体积）．
【解答】解：设PM 与平面PDF 所成的角为α，
则A 到平面PDF 的距离h 1=PAsinα，C 到平面PDF 的距离h 2=PCsinα， ∴V P ﹣ABE =V A ﹣PBE ==
， V P ﹣CDF =V C ﹣PDF ==，
∴
=
． 故答案为：
．
15．（5分）已知数列{a n }满足，则{a n }的前50项的和为
1375 ．
【解答】解：当n 是奇数时，cosnπ=﹣1；当n 是偶数时，cosnπ=1． 则a n =（﹣1）n （n 2+4n ）=（﹣1）n n 2+（﹣1）n ×4n ， {a n }的前50项的和S 50=a 1+a 2+a 3+…+a 50，
=（﹣12+22﹣32+42﹣…+502）+4（﹣1+2﹣3+4﹣…+50）， =（1+2+3+4+…+50）+4×25， =1275+100， =1375， 故答案为：1375
16．（5分）已知圆C ：x 2+y 2=25，过点M （﹣2，3）作直线l 交圆C 于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作圆的切线，当两条切线相交于点N 时，则点N 的轨迹方程为 2x ﹣3y ﹣25=0 ．
【解答】解：设A （m ，n ），N （x ，y ），根据圆的对称性可得 N 点是经过C 点垂直于AB 的直线与A 点切线的交点
∵圆x2+y2=25的圆心为C（0，0）
∴切线AN的斜率为k1=﹣=﹣，得
得AN方程为y﹣n=﹣（x﹣m），化简得y=﹣x+…①
又∵直线MA的斜率k MA=，
∴直线CN的斜率k2=﹣=，
得直线CN方程为y=x…②
①②联解，消去m、n得2x﹣3y+25=0，即为点N轨迹所在直线方程．
故答案为：2x﹣3y+25=0．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（12分）已知是函数f（x）=msinωx﹣cosωx（m＞0）的一条对称轴，且f（x）的最小正周期为π
（Ⅰ）求m值和f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设角A，B，C为△ABC的三个内角，对应边分别为a，b，c，若f（B）=2，，求的取值范围．
【解答】解：函数f（x）=msinωx﹣cosωx（m＞0）
化简可得：f（x）=sin（ωx+θ），其中tanθ=﹣．
∵f（x）的最小正周期为π，即T=π=，
∴ω=2．
又∵是其中一条对称轴，
∴2×+θ=k，k∈Z．
可得：θ=，
则tan（kπ﹣）=﹣．
m＞0，
当k=0时，tan=
∴m=．
可是f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x﹣），
令2x﹣，k∈Z，
得：≤x≤，
所以f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z．
（2）由f（B）=2sin（2B﹣）=2，
可得2B﹣=，k∈Z，
∵0＜B＜π，
∴B=
由正弦定理得：=2sinA﹣sin（A+）=sinA﹣cosA=sin（A﹣）
∵0
∴A﹣∈（，）
∴的取值范围是（，），
18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望．
（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值（精确到0.01），并说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）根据频率和为1，得
（0.06+0.18+2a+0.42+0.52+0.11+0.06+0.03）×0.5=1，
解得a=0.30；
（Ⅱ）月均用水量不低于3吨的频率为
（0.11+0.06+0.03）×0.5=0.1，
则p=0.1，抽取的人数为X，
则X的可能取值为0，1，2，3；
∴P（X=0）=?0.93=0.729，
P（X=1）=?0.1?0.92=0.243，
P（X=2）=?0.12?0.9=0.027，
P（X=3）=?0.13=0.001；
∴X的分布列为
X0123
P0.7290.2430.0270.001
数学期望为EX=0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3；
（Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占的百分比为
0.5×（0.06+0.18+0.3+0.42+0.52）=0.73，
即73%的居民月均用水量小于2.5吨；
同理，88%的居民月均用水量小于3吨；
故2.5＜x＜3，
假设月均用水量平均分布，则
x=2.5+0.5×=2.9（吨），
即85%的居民每月用水量不超过标准为2.9吨．
19．（12分）如图，在棱台ABC﹣FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N为CE中点，．
（Ⅰ）λ为何值时，MN∥平面ABC？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线AN与平面BMN所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）当，即M为AF中点时MN∥平面ABC．
事实上，取CD中点P，连接PM，PN，
∵AM=MF，CP=PD，∴MP∥AC，
∵AC?平面ABC，MP?平面ABC，∴MP∥平面ABC．
由CP∥PD，CN∥NE，得NP∥DE，
又DE∥BC，∴NP∥BC，
∵BC?平面ABC，NP?平面ABC，∴NP∥平面ABC．
∴平面MNP∥平面ABC，则MN∥平面ABC；
（Ⅱ）取BC中点O，连OA，OE，
∵AB=AC，OB=OC，∴AO⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCDE，且AO?平面ABC，∴AO⊥平面BCDE，
∵OC=，BC∥ED，∴OE∥CD，
又CD⊥BC，∴OE⊥BC．
分别以OE，OC，OA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则A（0，0，），C（0，1，0），E（1，0，0），，
∴F（1，，），M（，，），N（）．
设为平面BMN的法向量，则
，取z=1，得．
cos＜＞=．
∴直线AN与平面MNB所成角的正弦值为．
20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，过椭圆C中心的弦
PQ长为2，且∠PFQ=90°，△PQF的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线上一动点，直线
A1S交椭圆C于点M，直线A2S交椭圆于点N，设S1、S2分别为△A1SA2、△MSN的面积，求的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）弦PQ过椭圆中心，且∠PFQ=90°，则c=丨OF丨=丨PQ丨=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
不妨设P（x0，y0）（x0，y0＞0），
∴，△PQF的面积=×丨OF丨×2y0=y0=1，则x0=1，b=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
a2=b2+c2=2，
∴椭圆方程为+y2=1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（Ⅱ）设S（2，t），直线A1S：x=y﹣，则，
整理（+2）y2﹣y=0，解得y1=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
同理，设直线A2S：x=y+，
得（+2）y2+y=0，解得y2=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
则==丨×丨﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
≤×=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
当且仅当t2+9=3t2+3，即t=±时取“=”﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知f（x）=e2x+ln（x+a）．
（1）当a=1时，①求f（x）在（0，1）处的切线方程；②当x≥0时，求证：f （x）≥（x+1）2+x．
（2）若存在x0∈[0，+∞），使得成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）a=1时，f（x）=e2x+ln（x+1），f′（x）=2e2x+，
①可得f（0）=1，f′（0）=2+1=3，
所以f（x）在（0，1）处的切线方程为y=3x+1；
②证明：设F（x）=e2x+ln（x+1）﹣（x+1）2﹣x（x≥0），
F′（x）=2e2x+﹣2（x+1）﹣1
F″（x）=4e2x﹣﹣2=[e2x﹣﹣]+2（e2x﹣1）+e2x＞0，（x≥0），
所以，F′（x）在[0，+∞）上递增，所以F′（x）≥F′（0）=0，
所以，F（x）在[0，+∞）上递增，所以F（x）≥F（0）=0，
即有当x≥0时，f（x）≥（x+1）2+x；
（2）存在x0∈[0，+∞），使得成立
?存在x0∈[0，+∞），使得e﹣ln（x0+a）﹣x02＜0，
设u（x）=e2x﹣ln（x+a）﹣x2，
u′（x）=2e2x﹣﹣2x，u″（x）=4e2x+﹣2＞0，
可得u′（x）在[0，+∞）单调增，即有u′（x）≥u′（0）=2﹣
①当a≥时，u′（0）=2﹣≥0，
可得u（x）在[0，+∞）单调增，
则u（x）min=u（0）=1﹣lna＜0，
解得a＞e；
②当a＜时，ln（x+a）＜ln（x+），
设h（x）=x﹣﹣ln（x+），（x＞0），
h′（x）=1﹣=，
另h′（x）＞0可得x＞，h′（x）＜0可得0＜x＜，
则h（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．
则h（x）≥h（）=0．
设g（x）=e2x﹣x2﹣（x﹣），（x＞0），
g′（x）=2e2x﹣2x﹣1，
g″（x）=4e2x﹣2＞4﹣2＞0，
可得g′（x）在（0，+∞）单调递增，
即有g′（x）＞g′（0）=1＞0，
则g（x）在（0，+∞）单调递增，
则g（x）＞g（0）＞0，
则e2x﹣x2＞x﹣＞ln（x+）＞ln（x+a），
则当a＜时，f（x）＞2ln（x+a）+x2恒成立，不合题意．
综上可得，a的取值范围为（e，+∞）．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C1：ρ=1，（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值；
（Ⅱ）若把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线．设P（﹣1，1），曲线C2与交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：ρ=1，∴曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2=1，
∴圆心为（0，0），半径为r=1，
（t为参数）消去参数t的C2：y=x+2，（2分）
∴圆心到直线距离d=，（3分）
∴曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值为．（5分）
（Ⅱ）∵把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，
得到曲线．
∴伸缩变换为，∴曲线：=1，（7分）
（t为参数）代入曲线，整理得．
∵t1t2＜0，（8分）
∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=．（10分）
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知x，y∈R．
（Ⅰ）若x，y满足，，求证：；
（Ⅱ）求证：x4+16y4≥2x3y+8xy3．
【解答】证明：（Ⅰ）利用绝对值不等式的性质得：
|x|=[|2（x﹣3y）+3（x+2y）|]≤[|2（x﹣3y）|+|3（x+2y）|]＜（2×+3×）=；
（Ⅱ）因为x4+16y4﹣（2x3y+8xy3）=x4﹣2x3y+16y4﹣8xy3=x3（x﹣2y）+8y3（2y﹣x）
=（x﹣2y）（x3﹣8y3）=（x﹣2y）（x﹣2y）（x2+2xy+4y2）
=（x﹣2y）2[（x+y）2+3y2]≥0，
∴x4+16y4≥2x3y+8xy3