伽罗瓦对数学的贡献

SHANGHAI UNIVERSITY

上海大学第一学年春季学期

（新生研讨课）

课程名称：数学进展中的几个案例和启示

课程号：0100Y035

授课教师：郭秀云

学号：_____13122070____

姓名：_____曹颖_______

所属：____理工二组____

成绩：_______________

评语：

论伽罗瓦对数学的贡献

曹颖（13122070）

摘要：埃瓦里斯特·伽罗瓦法国数学家，与尼尔斯·阿贝尔并称为现代群论的创始人，被公认为数学界两个最具浪漫主义色彩的人物之一。他在21年的人生中为数学领域做出了杰出的贡献，可惜他的一生只能被称为“天才的悲剧”，令人惋惜悲叹。

关键词：伽罗瓦、群论、贡献、体会

一、引言

在数学中，代数方程的求解有悠久的历史。很早就会解1次和2次方程，16世纪也成功解决了3次和4次方程，它们的根都可以表示为系数的根的四则运算，我们称它们有根式解。而5次和5次以上代数方程求解遇到了严重的障碍，经过300年的努力仍然得不出求解公式。经过多次失败之后，阿贝尔和伽罗华从反方向来看问题。在19世纪20年代，他们证明：一般的5次和5次以上代数方程没有根式解。而伽罗华走得更远，他引进群的概念来判断一个5次或5次以上方程是否有根式解。

二、正文

1.伽罗瓦理论的产生背景

用群论的方法来研究代数方程的解的理论。在19世纪末以前，解方程一直是代数学的中心问题。早在古巴比伦时代，人们就会解二次方程。在许多情况下，求解的方法就相当于给出解的公式。但是自觉地、系统地研究二次方程的一般解法并得到解的公式，是在公元9世纪的事。三次、四次方程的解法直到16世纪上半叶才得到。从此以后、数学家们转向求解五次以上的方程。经过两个多世纪，一些著名的数学家，如欧拉、旺德蒙德、拉格朗日、鲁菲尼等，都做了很多工作，但都未取得重大的进展。

伽罗瓦从1828年开始研究代数方程理论，他试图找出为了使一个方程存在根式解，其系数所应满足的充分和必要条件。到1832年他完全解决了这个问题。在他临死的前夜，他将结果写在一封信中，留给他的一位朋友。1846年他的手稿才公开发表。伽罗瓦完全解决了高次方程的求解问题，他建立于用根式构造代数方程的根的一般原理，这个原理是用方程的根的某种置换群的结构来描述的，后人称之为“伽罗瓦理论”。

2.伽罗瓦群论的实质

我们可以从伽罗瓦的工作过程中，逐步领悟伽罗瓦理论的精髓。首先分析一下他是怎样在不知道方程根的情况下，构造伽罗瓦群的。仍然是对方程（1），设它的根x1,x2,…,xn中无重根，他构造了类似于拉格朗日预解式的关于x1,x2,…,xn的一次对称多项式△1=a1x1+a2x2+…+anxn，其中ai(i=1,2,3,…,n)不必是单位根，但它必是一些整数且使得n!个形如△1的一次式△1,△2,…,△n!各不相同，接着又构造了一个方程=0 (2) 该方程的系数必定为有理数（可由对称多项式定理证明），并且能够分解为有理数域上的不可约多项式之积。设f(x)=是的任意一个给定的m次的不可约因子，则方程(1)的伽罗瓦群是指n!个△i中的这m个排列的全体。同时他又由韦达定理知伽罗瓦群也是一个对称群，它完全体现了此方程的根的对称性。但是计算一个已知方程的伽罗瓦群是有一定困难的，因此伽罗瓦的目的并不在于计算伽罗瓦群，而是证明：恒有这样的n次方程存在，其伽罗瓦群

是方程根的可能的最大置换群s(n)，s(n)是由n!个元素集合构成的，s(n)中的元素乘积实际上是指两个置换之积。现在把s(n)中的元素个数称为阶，s(n)的阶是n!。

伽罗瓦找出方程系数域中的伽罗瓦群g后，开始寻找它的最大子群h1，找到h1后用一套仅含有理运算的手续（即寻找预解式）来找到根的一个函数。的系数属于方程的系数域r，并且在h1的置换下不改变值，但在g的所有别的置换下改变值。再用上述方法，依次寻找h1的最大子群h2，h2的最大子群h3，…于是得到h1,h2,…,hm，直到hm里的元素恰好是恒等变换（即hm为单位群i）。在得到一系列子群与逐次的预解式的同时，系数域r也随之一步步扩大为r1,r2,…,rm，每个ri对应于群hi。当hm=i时，rm就是该方程的根域，其余的r1,r2,…,rm-1是中间域。一个方程可否根式求解与根域的性质密切相关。例如，四次方程x4+px2+q=0 (3) p与q独立，系数域r添加字母或未知数p、q到有理数中而得到的域，先计算出它的伽罗瓦群g，g是s(4)的一个8阶子群，g={e，e1，e2，…e7}，其中

e=，e1=，e2=，e3=，e4=，e5=，e6=，e7=。

要把r扩充到r1，需在r中构造一个预解式，则预解式的根，添加到r中得到一个新域r1，于是可证明原方程（3）关于域r1的群是h1，h1={e，e1，e2，e3}，并发现预解式的次数等于子群h1在母群g中的指数8÷4=2（即指母群的阶除以子群的阶）。第二步，构造第二个预解式，解出根，于是在域r1中添加得到域r2，同样找出方程（3）在r2中的群h2，h2={e，e1}，此时，第二个预解式的次数也等于群h2在h1中的指数4÷2=2。第三步，构造第三个预解式，得它的根，把添加到r2中得扩域r3，此时方程（3）在r3中的群为h3，h3={e}，即h3=i，则r3是方程（3）的根域，且该预解式的次数仍等于群h3在h2中的指数2÷1=2。在这个特殊的四次方程中，系数域到根域的扩域过程中每次添加的都是根式，则方程可用根式解。这种可解理论对于一般的高次方程也同样适用，只要满足系数域到根域的扩域过程中每次都是添加根式，那么一般的高次方程也能用根式求解。现仍以四次方程（3）为例，伽罗瓦从中发现了这些预解式实质上是一个二次的二项方程，既然可解原理对高次方程也适用，那么对于能用根式求解的一般高次方程，它的预解式方程组必定存在，并且所有的预解式都应是一个素数次p的二项方程xp=a。由于高斯早已证明二项方程是可用根式求解的。因此反之，如果任一高次方程所有的逐次预解式都是二项方程，则能用根式求解原方程。于是，伽罗瓦引出了根式求解原理，并且还引入了群论中的一个重要概念“正规子群”。

他是这样给正规子群下定义的：设h是g的一个子群，如果对g中的每个g都有gh=hg，则称h为g的一个正规子群，其中gh表示先实行置换g，然后再应用h的任一元素，即用g 的任意元素g乘h的所有置换而得到的一个新置换集合。定义引入后，伽罗瓦证明了当作为约化方程的群(如由g 约化到h1)的预解式是一个二项方程xp=a (p为素数)时，则h1是g的一个正规子群。反之，若h1是g的正规子群，且指数为素数p，则相应的预解式一定是p 次二项方程。他还定义了极大正规子群：如果一个有限群有正规子群，则必有一个子群，其阶为这有限群中所有正规子群中的最大者，这个子群称为有限群的极大正规子群。一个极大正规子群又有它自己的极大正规子群，这种序列可以逐次继续下去。因而任何一个群都可生成一个极大正规子群序列。他还提出把一个群g生成的一个极大正规子群序列标记为g、h、i、j…, 则可以确定一系列的极大正规子群的合成因子[g/h]，[h/i]，[i/g]…。合成因子[g/h]=g 的阶数/ h的阶数。对上面的四次方程(3)，h1是g的极大正规子群，h2是h1的极大正规子群，h3又是h2的极大正规子群，即对方程(3)的群g 生成了一个极大正规子群的序列g、h1、h2、h3。

随着理论的不断深入，伽罗瓦发现对于一个给定的方程，寻找它在伽罗瓦群及其极大不变子群序列完全是群论的事。因此，他完全用群论的方法去解决方程的可解性问题。最后，伽罗瓦提出了群论的另一个重要概念“可解群”。他称具有下面条件的群为可解群：如果它所生成的全部极大正规合成因子都是质数。

根据伽罗瓦理论，如果伽罗瓦群生成的全部极大正规合成因子都是质数时，方程可用根式求解。若不全为质数，则不可用根式求解。由于引入了可解群，则可说成当且仅当一个方程系数域上的群是可解群时，该方程才可用根式求解。对上面的特殊四次方程(3)，它的[g/h]=8/4=2，[h1/h2]=2/1=2，2为质数，所以方程(3)是可用根式解的。再看一般的n次方程，当n=3时，有两个二次预解式t2=a和t3=b，合成序列指数为2与3，它们是质数，因此一般三次方程可根式解。同理对n=4，有四个二次预解式，合成序列指数为2，3，2，2，于是一般四次方程也可根式求解。一般n次方程的伽罗瓦群是s(n)，s(n)的极大正规子群是a(n) (实际a(n)是由s(n)中的偶置换构成的一个子群。如果一个置换可表为偶数个这类置换之积，则叫偶置换。)，a(n)的元素个数为s(n)中的一半，且a(n)的极大正规子群是单位群i，因此[s(n)/a(n)]=n!/(n!/2)=2，[a(n)/i]=(n!/2)/1=n!/2，2是质数，但当n ≥5时，n！/2不是质数，所以一般的高于四次的方程是不能用根式求解的。至此，伽罗瓦完全解决了方程的可解性问题。

3.伽罗瓦理论做出的贡献

伽罗瓦理论的建立，不仅完成了由拉格朗日、鲁菲尼、阿贝尔等人开始的研究，而且为开辟抽象代数学的道路建立了不朽的业绩。在几乎整整一个世纪中，伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响。

伽罗瓦运用他的理论彻底解决了方程的根式可解问题，它彻底解决了代数方程可解性的群论已经足够强大，可是群论的魅力还不止于此。由于群论的出现，一门新的数学分支产生了——抽象数学。在此指引下，人们在数学上开始更注重于结构性，对称性，整体的把握。群论更重要的意义在于他突破了原先的思维模式，提供了一种全新的理念。

伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，但他并不局限于此，而是把群论进行了推广，作用于其他研究领域。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。

伽罗瓦的理论是抽象的，他的理论是方法论，是思想！同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。

4.从伽罗瓦身上得到的体会

天才总是和孤寂相伴，孤寂的伽罗瓦没有亲人，孤寂的伽罗瓦没有爱人，孤寂的伽罗瓦甚至找不到一个可以在思想上和自己对话的人。如果非说有的话，也只有一个早他3年死去和他同样不得意的阿贝尔，可惜的是，这两个天才从未蒙面。高处不胜寒，站在一个空前的高度俯视着这个世界，他的孤寂可想而知。

伽罗瓦是不幸的，伽罗瓦又是幸运的。伽罗瓦的不幸是因为他同时代的人没有理解他那超前的思想，他没有目睹群论强盛时的景象，一颗明星在本该最绚烂的时刻戛然而止，可怜无知音，弦断有谁听？我们不能不为之扼腕叹息；同时，伽罗瓦又是幸运的，因为他的理论最终得到了承认。

在数学发展的几个世纪里，数学家如漫天的群星一样多，并且每个人都有他的无限光芒，照亮了数学这条路，让人们更加了解数学世界，并且推动了世界的发展。在数学坎坷发展的几个世纪里，在众多杰出的数学家里，伽罗瓦让我感受到了他的特殊，他那的顽强、奋斗、不气馁的一生给了我很多启示，让我感受到数学领域里这个天才少年的无限光芒。

我想，应该很少有人会像伽罗瓦一样为了自己的目标永远永不停息的前行着，为了自己的兴趣爱好执着的追求着。

但是上天并不偏爱于他，或许应该说没有一个善解人意的伯乐发现他这匹千里马，两次遭到综合技术学校的拒绝，换做任何一个年轻气盛的人都会甩甩袖子走人，或者是选择放弃求学这条路，但是伽罗瓦是出众的，他选择另一天道路，继续从事自己喜爱的数学研究。

如果仅是这点打击就算了，在“关于五次方程的代数解法问题”的研究论文审查过程中受到了重重障碍。这是他满怀信心的一次壮举，没想到柯西不解，文稿交于傅里叶审定时，傅里叶离开人世，手稿也随之丢失。但是这位天才并没放弃，仍坚信自己的伟大创作。当泊松绞尽脑汁也无法做出正确判断，以“完全不能理解”将稿子退回时，他还是没有放弃。这个划时代的数学家，不能受到当时的数学大家们的认可，真可谓是生不逢时。但是是金子总要发光的，在他离开人世后，他对数学领域的贡献终于凸现出来，受到世人重视。

在伽罗瓦坎坷的数学一生中，他从未放弃对数学的追求，即使是面对挫折，面对死亡，仍表现出对数学的热爱。他的一生从来没有被他人的否认打败过，永远站立在属于自己的精神世界里，勇敢地扬帆远航，这种不气馁、不放弃，敢于对梦想追求的精神激励着一代又一代人。真是这个血气方刚的年轻人，在激励着我们，面对理想敢于追求，就像是他在追求自己的数学领域一样。为此，敬佩他——数学英才——伽罗瓦。

而崇拜伽罗瓦，不仅仅是他对数学的热爱以及它带给数学界的贡献，更是因为他那敢于奋斗，敢于拼搏，不仅能站在个人角度看问题，还能为国家挺身而出的作风。当然还有他面对困境的态度，那么泰然，那么坚强。

“真正的勇士敢于直面惨淡的人生，敢于正视淋漓的鲜血。”鲁迅先生的这段话一直印在我的脑海里，何为勇士？我一直在思考这个问题。当我看到未满21岁的伽罗瓦以他自己的方式走完了人生的这段路程，我在想或许伽罗瓦就是一个真正的勇士。在死亡即将来临的时候，很多人都会畏惧着选择逃避，毕竟生活在凄惨也比死亡让人难以割舍，没有人敢于拿生命当做赌注，去赌一个根本没有胜算的结局。可伽罗瓦不一样的地方在于，即使是面对死亡也要去一搏。“我请求我的爱国朋友门不要责备我不是为自己的祖国而献出生命。”这句活是他临终前说的，他还是想着他的祖国的，他对祖国的爱无以报答，只能遗憾而去。但是数学，他生命最重要的部分他没有丢掉，他将自己的成果写出来交给好友准备向后人展示，可见，即使是死亡来临前，他仍然坚信他对数学界应该有所贡献。或许是他的自信吧，亦或是其他，但无论是什么都在推动着伽罗瓦前进的生活态度，永远向前看的作风。

直视死亡的不归路上，有了这样一位勇者，但多少让人遗憾这个数学界的天才，这样一颗耀眼的繁星像流星一样瞬间划过天际消失在夜幕中，留下短暂的光芒，但伽罗瓦与流星不同的是他的贡献永远被人们牢记，比恒星还要久远！

三、结论

伽罗瓦的一生虽然短暂，却在数学史上留下了浓墨重彩的一笔。他的理论在生前虽然未被被理解重视，但是金子总会发光，它未被埋没，甚至为数学的推动做出杰出的贡献，一切的一切都告诉我们，坚持方为成功之道！

【参考文献】

1、《论数学真理是发现和发明的统一——以伽罗瓦群论为例》阴山学刊：自然科学版-2010年第2期

2、《从五次方程根式求解到伽罗瓦理论及其数学哲学意蕴》太原师范学院学报：自然科学版2010第3期

3、《伽罗瓦理论（第二版）》-《国外科技新书评介》 2009年第8期作者：S．H．文特劳勃朱尧辰

4、从五次方程根式求解到伽罗瓦理论及其数学哲学意蕴-《太原师范学院学报：自然科学版》 2010年第3期作者：李青燕