2019年春八年级数学下册第9章中心对称图形—平行四边形专题训练(三)练习(新版)苏科版

专题训练(三) 中点问题常用思路

在解答几何问题时会遇到不少中点问题，解答这类问题通常考虑运用以下四类方法解答：

(1)根据等腰三角形“三线合一”解答；

(2)根据线段垂直平分线的性质解答；

(3)根据直角三角形斜边上中线的性质解答；

(4)构造三角形中位线解答．

?类型一与等腰三角形有关的中点问题

1．如图3－ZT－1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝12，CD＝AC＝16，M，N分别是对角线BD，AC的中点．

(1)求证：MN⊥AC；

(2)求MN的长．

图3－ZT－1

?类型二与垂直平分线有关的中点问题

2．如图3－ZT－2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB 于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，如果AB＝AC，求证：BM＝MN＝NC.

图3－ZT－2

?类型三与直角三角形斜边上的中线有关的中点问题

3．如图3－ZT－3①，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．

(1)求证：MN⊥DE.

(2)连接DM，ME，求证：∠DME＝180°－2∠A.

(3)若将锐角三角形ABC变为钝角三角形ABC，如图②，上述(1)(2)中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，直接写出正确的结论．

图3－ZT－3

?类型四与三角形中位线有关的中点问题

4．如图3－ZT－4，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，M，N分别是对角线BD，AC 的中点，试探索MN与AD，BC的位置关系与数量关系，并说明理由．

图3－ZT－4

5．2018·白银如图3－ZT－5，已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，F，G，H 分别是BC，BE，CE的中点．

(1)求证：△BGF≌△FHC；

(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．

图3－ZT－5

6．已知M为△ABC的边BC的中点，AB＝12，AC＝18，BD⊥AD于点D，连接DM.

(1)如图3－ZT－6①，若AD为∠BAC的平分线，求MD的长；

(2)如图3－ZT－6②，若AD为∠BAC的外角平分线，求MD的长．

图3－ZT －6

7．如图3－ZT －7①，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F ，G ，连接FG ，延长AF ，AG ，与直线BC 分别相交于点M ，N.

(1)试说明：FG ＝1

2

(AB ＋BC ＋AC)；

(2)如图②，若BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线，则线段FG 与△ABC 的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由；

(3)如图③，若BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线，则线段FG 与△ABC 三边的数量关系是______________．

图3－ZT －7

详解详析

专题训练(三) 中点问题常用思路

1．解：(1)证明：如图，连接AM ，CM ，

∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，M 是BD 的中点， ∴AM ＝CM ＝BM ＝DM ＝1

2

BD.

又∵N 是AC 的中点，∴MN ⊥AC.

(2)∵∠BCD ＝90°，BC ＝12，CD ＝16， ∴BD ＝BC 2

＋CD 2

＝20，

∴AM ＝12BD ＝1

2×20＝10.

∵AC ＝16，N 是AC 的中点，

∴AN ＝12×16＝8，∴MN ＝AM 2－AN 2

＝6.

2．证明：如图，连接AM ，AN.

∵AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，

∴BM ＝AM ，NC ＝AN ，

∴∠MAB ＝∠B ，∠CAN ＝∠C. ∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ＝30°，

∴∠MAB ＋∠CAN ＝60°，∠AMN ＝∠ANM ＝60°， ∴△AMN 是等边三角形， ∴AM ＝AN ＝MN ， ∴BM ＝MN ＝NC.

3．解：(1)证明：如图①，连接DM ，ME.

∵CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，M 是BC 的中点， ∴DM ＝12BC ，ME ＝1

2

BC ，∴DM ＝ME.

又∵N 为DE 的中点，∴MN ⊥DE.

(2)证明：由(1)知DM ＝ME ＝BM ＝MC ， ∴∠BMD ＋∠CME

＝(180°－2∠ABC)＋(180°－2∠ACB) ＝360°－2(∠ABC ＋∠ACB) ＝360°－2(180°－∠A) ＝2∠A ，

∴∠DME ＝180°－2∠A.

(3)(1)中的结论成立；(2)中的结论不成立．

理由如下：如图②，连接DM ，ME.在△ABC 中，∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠BAC. ∵DM ＝ME ＝BM ＝MC ，

∴∠BME ＋∠CMD ＝2∠ACB ＋2∠ABC ＝2(180°－∠BAC) ＝360°－2∠BAC ，

∴∠DME ＝180°－(360°－2∠BAC) ＝2∠BAC －180°.

4．解：MN ∥AD ∥BC ，MN ＝1

2

(BC －AD)．

理由如下：连接AM 并延长交BC 于点H ，如图所示．

∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠HBD. 在△AMD 和△HMB 中， ????

?∠ADM ＝∠HBM ，DM ＝BM ，

∠AMD ＝∠HMB ，

∴△AMD ≌△HMB ，∴AM ＝MH ，AD ＝BH. ∵AM ＝MH ，AN ＝NC ， ∴MN ∥HC ，MN ＝1

2

HC ，

∴MN ∥BC ∥AD ，MN ＝1

2

(BC －AD)．

5．解：(1)证明：∵F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点， ∴FH ∥BE ，FH ＝1

2

BE ＝BG ，

∴∠CFH ＝∠CBG.

又∵BF ＝CF ，∴△BGF ≌△FHC.

(2)连接EF ，GH.当四边形EGFH 是正方形时，可得EF ⊥GH 且EF ＝GH. ∵在△BEC 中，G ，H 分别是BE ，CE 的中点， ∴GH ＝12BC ＝12AD ＝1

2a ，且GH ∥BC ，

∴EF ⊥BC.

∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ， ∴AB ＝EF ＝GH ＝1

2

a ，

∴矩形ABCD 的面积＝AB·AD＝12a ·a ＝12a 2

.

6．解：(1)如图①，延长BD 交AC 于点E ，

∵AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD ， ∴BD ＝DE ，AE ＝AB ＝12， ∴CE ＝AC －AE ＝18－12＝6. 又∵M 为△ABC 的边BC 的中点， ∴MD 是△BCE 的中位线， ∴MD ＝12CE ＝1

2

×6＝3.

(2)如图②，延长BD 交CA 的延长线于点E ， ∵AD 为∠BAE 的平分线，BD ⊥AD ， ∴BD ＝DE ，AE ＝AB ＝12， ∴CE ＝AC ＋AE ＝18＋12＝30. 又∵M 为△ABC 的边BC 的中点， ∴MD 是△BCE 的中位线， ∴MD ＝12CE ＝1

2×30＝15.

7．解：(1)∵BD ⊥AF ， ∴∠AFB ＝∠MFB ＝90°. 在△ABF 和△MBF 中， ????

?∠AFB ＝∠MFB ，BF ＝BF ，

∠ABF ＝∠MBF ， ∴△ABF ≌△MBF ，

∴MB ＝AB ，AF ＝MF.

同理：CN ＝AC ，AG ＝NG ， ∴FG 是△AMN 的中位线， ∴FG ＝12MN

＝1

2(MB ＋BC ＋CN) ＝1

2(AB ＋BC ＋AC)．

(2)FG ＝1

2

(AB ＋AC －BC)．

理由：如图①，延长AF ，AG ，与直线BC 分别相交于点M ，N ， ∵AF ⊥BD ，

∴∠AFB ＝∠MFB ＝90°. 在△ABF 和△MBF 中， ????

?∠AFB ＝∠MFB ，BF ＝BF ，

∠ABF ＝∠MBF ， ∴△ABF ≌△MBF ， ∴MB ＝AB ，AF ＝MF.

同理：CN ＝AC ，AG ＝NG ， ∴FG ＝12MN

＝1

2(MB ＋CN －BC) ＝1

2

(AB ＋AC －BC)．

(3)FG ＝1

2

(AC ＋BC －AB)．

理由：如图②，延长AF ，AG ，与直线BC 分别相交于点M ，N. ∵AF ⊥BD ，

∴∠AFB ＝∠MFB ＝90°. 在△ABF 和△MBF 中， ????

?∠AFB ＝∠MFB ，BF ＝BF ，

∠ABF ＝∠MBF ，

∴△ABF ≌△MBF ， ∴MB ＝AB ，AF ＝MF.

同理：CN ＝AC ，AG ＝NG ， ∴FG ＝12MN

＝1

2(CN ＋BC －MB) ＝1

2(AC ＋BC －AB)．