求二、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀
1、问题的提出
在各类理工科的课程中,往往有求解矩阵逆矩阵的问题,题目本身虽然简单,但是如果按照教材给出的方法计算的话,要费一些时间,更可怕的是计算过程难免有误,容易造成结果出错。经过一些研究,我们发现,大部分求解逆矩阵的题目,都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。针对此问题,给出学生相应的记忆口诀,帮助学生快速求解。
2、知识储备
1.1 对于n 阶方阵,如果同时存在一个n 阶方阵,使得 AB=BA=E
则称A 阵可逆,并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵,记作A -1
1.2 n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵,叫做A 的伴随矩阵,如下:
1121112
22212......*.......n n n n nn A A A A A A A A A A ??????=??????
1.3 方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠,当A 可逆时,*
1
A A A -= 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀
记忆口诀:主对调,次换号,除以行列式
推导: 假设a b A c d ??=????,,,,a b c d R ∈,且A 可逆,那么根据知识储备1.2 *d b A c a -??=??-??
所以呢,*1d b c a A A A A
--????-??== 4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀
记忆口诀:除以行列式,别忘记。 去一行,得一列,二变号,
余不变,231 312
1) 整体要除以行列式,不能忘记
2) 去掉第一行,得到矩阵剩余两行,求得逆矩阵第一列
3) 所求得的逆矩阵的第二列是按照231 312 规律得到数字
加了一个负号,其余的第一列,第三列不加负号
对于三阶矩阵33,a
b c A d
e f A R g h i ?????=∈??????
,且A 可逆
1()1()()ei hf bi hc bf ce A fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----????=----????----??
(1) 先分析公式(1)的第一列,研究如下表格
公式(1)矩阵的第一列是表1所有元素的组合,组合规律称为(231312规律)
Step1: 表格1 第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei , fg , dh
Step2: 表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf , id , ge
Step3: 由step1得到的数据减去step2得到的数据,得到公式(1)的第一列。
同样的道理,公式(1)的第二列,第三列求出
实例1 求
373
252
4103
A
-
??
??
=--
??
??
-??
得逆矩阵
1591 230 021
A-
-
??
??
=--
??
??
-
??
答案