二次根式化简练习题含答案
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二次根式化简练习题含答案（培优）
（一）判断题：（每小题1分，共5分）
1．ab 2
)2(-＝－2ab ．…………………（ ）
2．3－2的倒数是3＋2．（ ）
3．2
)1(-x ＝2)1(-x ．…（ ）
4．ab 、3
1b a 3、b
a
x 2-
是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，
3
1
，29x +都不是最简二次根式．（ ） （二）填空题：（每小题2分，共20分）
6．当x __________时，式子3
1
-x 有意义． 7．化简－
8
15
27102
÷3
1225a ＝ ． 8．a －12-a 的有理化因式是____________． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋
122+-x x ＝________________．
10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2
2
22d
c ab
d c ab +-＝______．
12．比较大小：－
7
21_________－
3
41．
13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若1+x ＋
3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．
15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．
（三）选择题：（每小题3分，共15分）
16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）
（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0
17．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋2
22y xy x ++＝………………………（ ）
（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 18．若0＜x ＜1，则4)1(2
+-x
x －4)1(2
-+
x
x 等于………………………（ ） （A ）
x 2 （B ）－x
2
（C ）－2x （D ）2x 19．化简a
a 3
-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a
20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ） （A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---
（四）计算题：（每小题6分，共24分）
21．（235+-）（235--）；
22．11
45-－
7114-－7
32
+；
23．（a 2
m
n －m ab mn ＋
m n
n m ）÷a 2b 2m
n ；
24．（a ＋
b
a ab
b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．
（五）求值：（每小题7分，共14分）
25．已知x ＝2323-+，y ＝2
32
3+-，求3
2234232y x y x y x xy x ++-的值．
26．当x ＝1－2时，求
2
2
2
2
a
x x a x x
+-+＋
2
2
2
222a
x x x a x x +-+-＋
2
2
1a
x +的值．
六、解答题：（每小题8分，共16分）
27．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100
991
+）．
28．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋
21．求x y y x ++2－x
y
y x +-2的值．
（一）判断题：（每小题1分，共5分）
1、【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×．
2、【提示】
2
31-＝432
3-+＝－（3＋2）．【答案】×．
3、【提示】2
)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1
（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4、【提示】
3
1
b a 3、b
a
x 2-
化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5、29x +是最简二次根式．【答案】×． （二）填空题：（每小题2分，共20分）
6、【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9．
7、【答案】－2a a ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．
8、【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9、【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？
x －4是负数，x －1是正数．【答案】3． 10、【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22． 11、【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．
【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）． 12、【提示】27＝28，43＝48．
【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－28
1
与－
48
1
的大小． 13、【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．]
（7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52．
【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式．
14、【答案】40．
【点评】1+x ≥0，
3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．
15、【提示】∵ 3＜11＜4，∴ _______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．
【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分） 16、【答案】D ．
【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17、【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．
∴
222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．
222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ．
【点评】本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．
18、【提示】(x －
x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1
)2．又∵ 0＜x ＜1， ∴ x ＋x 1＞0，x －x
1
＜0．【答案】D ．
【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －
x
1
＜0． 19、【提示】3a -＝2a a ?-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20、【提示】∵ a ＜0，b ＜0，
∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．
【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2)(a ＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义． （四）计算题：（每小题6分，共24分）
21、【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式． 【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215． 22、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．
【解】原式＝
1116)114(5-+－711)711(4-+－79)
73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．
23、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．
【解】原式＝（a 2
m n －m ab mn ＋m n n m ）·221b a n
m
＝
21b n m m n ?－mab 1n
m
m n ?＋
22b ma n n m n m ? ＝2
1b
－ab 1＋221b a ＝2
221b
a a
b a +-． 24、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．
【解】原式＝
b a ab b ab a +-++÷)
)(()
)(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--
＝b a b a ++÷)
)((2
222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----
＝
b a b a ++·)
()
)((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．
【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐．
（五）求值：（每小题7分，共14分） 25、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．
【解】∵ x ＝
232
3-+＝2)23(+＝5＋26，
y ＝2
323+-＝2)23(-＝5－26．
∴ x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．
3
22342
32y
x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164?＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过
程更简捷．
26、【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，
∴ x 2＋a 2－x 22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x 22a x +＝－x （22a x +－x ）． 【解】原式＝
)
(2
2
2
2
x a x a x x
-++－
)
(22
2
22x a x x a x x -++-＋
2
2
1a
x +
＝
)
()
()2(2
2
2
2
2222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-
＝)
()(222222
22222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)
()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝
)
()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++ ＝
x 1．当x ＝1－2时，原式＝2
11-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝
)(2
2
2
2
x a x a x x -++－
)
(2222
2x a x x a x x -++-＋
2
21a
x +
＝)11(2
222a x x a x +--+－)11(22
x x a x --+＋221a x +＝x 1．
六、解答题：（每小题8分，共16分） 27、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．
【解】原式＝（25＋1）（
1212--＋2323--＋3434--＋…＋99
10099
100--） ＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）] ＝（25＋1）（1100-）
＝9（25＋1）．
【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．
28、【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[???≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？]
.
2141[???
???
?==y x
【解】要使y 有意义，必须???≥-≥-014041[x x ，即???
????≥≤.
414
1x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．
又∵
x y y x ++2－x
y
y x +-2＝2)(x y y x +－2)
(x
y y x - ＝|x
y y x +|－|x y y x -|∵ x ＝41，y ＝21，∴ y x
＜x y ．
∴ 原式＝x y y x +－y x x y +＝2y
x 当x ＝41，y ＝21
时，
原式＝221
41
＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．
《二次根式》典型例题和练习题
《二次根式》分类练习题 二次根式的定义： 【例１】下列各式 其中是二次根式的是＿_＿_＿＿_＿_（填序号). 举一反三: １、下列各式中,一定是二次根式的是( ） A B C D 2__＿＿__个 【例2 有意义,则x 的取值范围是 .［来源:学*科＊网Z*X*X*K ］ 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ) A 、x ＞3 ??B 、ｘ≥３ C 、 x>4 ??Ｄ 、x ≥３且x ≠４ 有意义的ｘ的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P(m,n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 Ｃ、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y ＝5-x +x -5+2009，则x+y ＝ 举一反三： 2 ()x y =+,则x -ｙ的值为( )
A ．-1 B ．1 Ｃ.2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且ｙ＝4x 233x 2+-+-,求x ｙ的值 3、当a 1取值最小,并求出这个最小值。 已知a 1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是ａ,小数部分是b,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y,求y x 1 2+ 的值． 知识点二：二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=，则= +-c b a ． 举一反三: 1、若0)1(32 =++-n m ,则m n +的值为 。 ２、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ,则y x -的值为( ) A ．３ ? B ．– ３? C.1? Ｄ．– 1 ３、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜ｘ2－4｜+652+-y y =０，则第三边长为＿__＿＿＿. ４、若 1 a b -+互为相反数,则() 2005 _____________ a b -=。 （公式)0((2 ≥=a a a 的运用) 【例5】 化简: 21a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、０ Ｃ、2a —4 D 、4
二次根式提高练习题(含答案)
一.计算题： 1． (235+-）（235--）； 2. 1145 -－ 7 114-－7 32+ ； 3.（a 2m n －m ab mn ＋m n n m ） ÷a 2b 2m n ； 4.（a ＋b a ab b +-）÷（b ab a +＋ a a b b -－ab b a +） （a ≠b ）． 二.求值： 1.已知x ＝ 2 323-+，y ＝ 2 32 3+-，求 322342 3 2y x y x y x xy x ++-的
值． 2.当x ＝1－ 2 时，求 2 2 2 2 a x x a x x +-+＋ 2 2 2 22 2a x x x a x x +-+-＋221 a x +的值． 三.解答题： 1．计算（2 5＋1）（211 +＋ 3 21+＋431 +＋… ＋100 991 +）． 2.若x ，y 为实数，且y ＝ x 41-＋14-x ＋21 ．求
x y y x ++2－ x y y x +-2的值． 计算题： 1、【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式． 【解】原式＝(35-)2 －2)2(＝5－215＋3－2＝6－215． 2、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式． 【解】原式＝1116)114(5-+－7 11) 711(4-+－ 79) 73(2--＝4＋ 11－11－ 7－3＋ 7＝1． 3、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（a 2 m n －m ab mn ＋
m n n m ）·2 21b a n m ＝2 1b n m m n ?－mab 1n m m n ? ＋ 2 2b ma n n m n m ? ＝21b －ab 1＋221b a ＝2221 b a ab a +-． 4、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝b a a b b ab a +-++÷) )(() )(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+-- ＝ b a b a ++÷) )((2 222b a b a ab b a b ab b ab a a -++---- ＝
初三数学二次根式经典习题
二次根式分类经典 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）121+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1 213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若 1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10< （一）判断题：（每小题1分，共5分） 1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ） 3．2)1(-x ＝2 )1(-x ．…（ ） 4．ab 、3 1b a 3、b a x 2- 是同类二次根式．…（ ） 5．x 8， 3 1 ，29x +都不是最简二次根式．（ ） （二）填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x __________时，式子3 1 -x 有意义． 7．化简－ 8 15 27102 ÷3 1225a ＝ ． 8．a －12-a 的有理化因式是____________． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2 2 22d c ab d c ab +-＝______． 12．比较大小：－ 7 21_________－ 3 41． 13．化简：(7－52)2000 ·(－7－52) 2001 ＝______________． 14．若1+x ＋ 3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________． 15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2 ＝____________． （三）选择题：（每小题3分，共15分） 16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ） （A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0 17．若x ＜y ＜0，则2 2 2y xy x +-＋2 2 2y xy x ++＝………………………（ ） （A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+x x 等于………………………（ ） （A ） x 2 （B ）－x 2 （C ）－2x （D ）2x 19．化简a a 3 -(a ＜0)得………………………………………………………………（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a 20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ） 二次根式经典难题 1. 当__________ 2. 1 1 m +有意义，则m 的取值范围是 。 3. 当__________x 是二次根式。 4. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。 5. 2x =，则x 的取值范围是 。 6. 2x =-，则x 的取值范围是 。 7. )1x 的结果是 。 8. 当15x ≤5_____________x -=。 9. 把的根号外的因式移到根号内等于 。 10. 1x = +成立的条件是 。 11. 若1a b -+互为相反数，则()2005 _____________a b -=。 12. )()()230,2,12,20,3,1,x y y x x x x y +=--++中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） 15. 若2 3a ，则 - ） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 16. 若A = =（ ） A. 2 4a + B. 2 2a + C. ()2 2 2a + D. ()2 2 4a + 18. =x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥ 19. ） A. 0 B. 42a - C. 24a - D. 24a -或42a - 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（） ( ) ( ) () () 231 2 3 224 == -== ∴= - ∴=- A. ()1 B. ()2 C. ()3 D. ()4 21. 2440 y y -+=，求xy的值。 23. 去掉下列各根式内的分母： ()) 10 x() ) 21 x 24. 已知23 10 x x -+= 25. 已知,a b( 1 b-=，求20052006 a b -的值。 21.2 二次根式的乘除 1. 当0 a≤，0 b__________ =。 2. _____,______ m n ==。 3. __________ ==。 4. 计算：_____________ =。 5. ，面积为 ，则长方形的长约为（精确到0.01）。 7. 已知0 xy ，化简二次根式 ） 8. 对于所有实数,a b，下列等式总能成立的是（） 二次根式测试题(1) 时间：45分钟 分数：100分 一、选择题（每小题2分，共20分） 1． 下列式子一定是二次根式的是（ ） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22-x 2．若b b -=-3)3(2，则（ ） A ．b>3 B ．b<3 C ．b ≥3 D ．b ≤3 3．若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ） A ．m=0 B ．m=1 C ．m=2 D ．m=3 4．若x<0，则x x x 2 -的结果是（ ） A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．2 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．14 B ．48 C ．b a D ．44+a 6．如果)6(6-= -?x x x x ，那么（ ） A ．x ≥0 B ．x ≥6 C ．0≤x ≤6 D ．x 为一切实数 7．小明的作业本上有以下四题： ① 24416a a =；②a a a 25105=?；③a a a a a =?=1 12；④a a a =-23.做错的题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 8．化简 6 1 51+的结果为（ ） A ． 3011 B ．33030 C ．30 330 D ．1130 9．若最简二次根式a a 241-+与的被开方数相同，则a 的值为（ ） A ．43- =a B ．3 4 =a C ．a=1 D ．a= —1 10．化简)22(28+- 得（ ） A ．—2 B ．22- C ．2 D ． 224- 二、填空题（每小题2分，共20分） 11．①=-2)3.0( ；②=-2 )52( . 12．二次根式 3 1-x 有意义的条件是 . 13．若m<0，则332||m m m ++= . 14．1112-= -?+x x x 成立的条件是 . 15．比较大小： . 16．=?y xy 82 ，=?2712 . 17．计算3 393a a a a - += . 18． 232 31+-与的关系是 . 19．若35-=x ，则562++x x 的值为 . 20．化简? ?? ? ??--+ 1083114515的结果是 . 三、解答题（第21~22小题各12分，第23小题24分，共48分） 21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）43-x （2）a 831- （3）42+m （4）x 1- 22．化简： （1）)169()144(-?- （2）2253 1 - 二次根式的计算与化简练习题（提高篇） 1、已知m 2、化简（1（2）x x x x x 50 2232212 3-+ （30)a > 3、当2x =2(7(2x ++ 4、先化简，再求值：221,39 a b ==。 6、已知1a =222214164821442 a a a a a a a a a --+++÷-+-+-,再求值。 7、已知：3 21 +=a ，321 -=b ，求b a b a 222 2+-的值。 9、已知30≤≤x ，化简9622+-+x x x 10、已知2a =-a a a a a a a a 11212122 2- -+---+- 11、①已知2222x y x xy y ==++求：的值。 ②已知12+=x ，求1 12 --+x x x 的值． ③)57(9 64222x x y x y +-+ ④3)2733(3 a a a ÷ - 12、计算及化简： ⑴. 22 - ⑵ ⑷ 13、已知：11a a +=221 a a +的值。 14、已知()1 1039 32 2++=+-+-y x x x y x ，求 的值。 二次根式提高测试 一、判断题：（每小题1分，共5分） 1． ab 2 )2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ） 3．2)1(-x ＝2 )1(-x ．…（ ） 4．ab 、3 1b a 3、b a x 2- 是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，31 ，2 9x +都不是最简二次根式．（ ） 二、填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x__________时，式子31 -x 有意义． 7．化简－8 15 27102 ÷31225 a ＝_． 8．a － 12-a 的有理化因式是____________． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122 +-x x ＝________________． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简 222 2d c ab d c ab +-＝______． 12．比较大小：－721_________－341 ． 13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若1+x ＋ 3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________． 15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y2＝____________． 三、选择题：（每小题3分，共15分） 16．已知2 33x x +＝－x 3+x ，则………………（ ） （A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0 17．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋2 22y xy x ++＝………………………（ ） 二次根式技巧及练习题附答案 一、选择题 1．50·a的值是一个整数，则正整数a的最小值是() A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的乘法法则计算得到52a，再根据条件确定正整数a的最小值即可．【详解】 ∵50·a=50a=52a是一个整数， ∴正整数a是最小值是2． 故选B. 【点睛】 本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用二次根式的乘法法则化简． 2．下列式子为最简二次根式的是（） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解：选项A，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式， A符合题意；选项B，被开方数含能开得尽方的因数或因式，B不符合题意； 选项C，被开方数含能开得尽方的因数或因式， C不符合题意； 选项D，被开方数含分母， D不符合题意， 故选A． 3．1 x x的取值范围是（） A．x＜1 B．x≥1C．x≤﹣1 D．x＜﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式有意义的条件判断即可． 【详解】 解：由题意得，x﹣1≥0， 解得，x≥1， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查二次根式有意义的条件，熟悉掌握是关键. 4．12a =-，则a的取值范围是（） A． 1 2 a≥B． 1 2 a>C． 1 2 a≤D．无解 【答案】C 【解析】 【分析】 =|2a-1|，则|2a-1|=1-2a，根据绝对值的意义得到2a-1≤0，然后解不等式即可． 【详解】 =|2a-1|， ∴|2a-1|=1-2a， ∴2a-1≤0， ∴ 1 2 a≤． 故选：C． 【点睛】 此题考查二次根式的性质，绝对值的意义，解题关键在于掌握其性质. 5．把-( ) A B．C．D 【答案】A 【解析】 【分析】 由二次根式-a是负数，根据平方根的定义将a移到根号内是2a，再化简根号内 的因式即可. 【详解】 ∵ 1 a -≥，且0 a≠， ∴a<0， ∴-， 人教版初中数学二次根式经典测试题及答案 一、选择题 1．下列各式中，不能化简的二次根式是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 【分析】 A 、 B 选项的被开方数中含有分母或小数；D 选项的被开方数中含有能开得尽方的因数9；因此这三个选项都不是最简二次根式．所以只有 C 选项符合最简二次根式的要求． 【详解】 解：A =，被开方数含有分母，不是最简二次根式； B = ，被开方数含有小数，不是最简二次根式； D =，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 所以，这三个选项都不是最简二次根式． 故选：C ． 【点睛】 在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； （2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 2．下列各式计算正确的是（ ） A 1082 ==-= B ． ()() 236= =-?-= C 115236==+= D ．54 ==- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断． 【详解】 解：A 、原式，所以A 选项错误； B 、原式=49?=49?=2×3=6，所以B 选项错误； C 、原式=1336=136 ，所以C 选项错误； D 、原式255164=- =-，所以D 选项正确． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |＋2(a b )-的结果是（ ） A ．2a+b B ．-2a+b C ．b D ．2a-b 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数轴得出0a <，0a b -<，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简． 【详解】 解：由数轴可知：0a <，0b >， ∴0a b -<， ∴()()22a a b a b a a b -=-+-=-+， 故选：B ． 【点睛】 本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出0a <，0a b -<是解题的关键． 4．已知实数a 满足20062007a a a --=，那么22006a -的值是（ ） A ．2005 B ．2006 C ．2007 D ．2008 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围，然后去绝对值符号化简，再两边平方求出22006a -的值． 【详解】 ∵a-2007≥0， 二次根式化简练习 一、 化简下列二次根式 =12 =8 =18 20= 60= =72 =80 =90 =108 125= =128 =135 二、 比较下列二次根式的大小 182_____123 242 1 ____2731 12554 ___16932 403_____602 三、 化简 =38x 212x = x 232532??= 292 ab = a c b 1633 2 = 2 312a c b = =-22513 =+22158 2 11-= 二选择题 1.若-1 二次根式练习题附答案 一、选择题 1．计算 ÷=（ ） A ． B ．5 C ． D ． 2．下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．计算： ﹣的结果是（ ） A ． B ．2 C ．2 D ．2.8 4．下列运算正确的是（ ） A ．2+=2 B ．5 ﹣=5 C ．5+=6 D ． +2=3 5．计算|2﹣|+|4﹣ |的值是（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．2﹣6 D ．6﹣2 6．小明的作业本上有以下四题：① =4a 2；② ?=5a ；③a ==； ④÷=4．做错的题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 7．下列四个命题，正确的有（ ）个． ①有理数与无理数之和是有理数 ②有理数与无理数之和是无理数 ③无理数与无理数之和是无理数 ④无理数与无理数之积是无理数． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．若最简二次根式和 能合并，则x 的值可能为（ ） A ． B ． C ．2 D ．5 9．已知等腰三角形的两边长为2 和5，则此等腰三角形的周长为（ ） A ．4 +5 B ．2+10 C ．4 +10 D ．4+5或2+10 二、填空题 10．×= ； = ． 11．计算：（ +1）（﹣1）= ． 12．（+2）2= ． 13．若一个长方体的长为，宽为 ，高为，则它的体积为 cm 3． 14．化简： = ． 15．计算（+1）2015（ ﹣1）2014= ． 16．已知x 1= +，x 2=﹣，则x 12+x 22= ． 三、解答题 17．计算： （1）（ ﹣）2； （2）（ +）（﹣）． （3）（+3）2． 18．化简：（1） ；（2） 19．计算： （1） ×+3； （2）（ ﹣）×； （3）． 20．（6分）计算：（3+ ）（3﹣）﹣（﹣1）2． 21．计算： （1） （﹣）+； （2） ．（用两种方法解） 22．计算： （1）9 ﹣7+5； （2）÷﹣× +． 23．已知：x=1﹣，y=1+，求x 2+y 2﹣xy ﹣2x+2y 的值． 人教版初中数学二次根式经典测试题附答案 一、选择题 1．下列各式成立的是（） A．2332 -=B．63 -＝3 C． 2 22 33 ?? -=- ? ? ?? D．2 (3) -＝3 【答案】D 【解析】 分析：各项分别计算得到结果，即可做出判断．详解：A．原式=3，不符合题意； B．原式不能合并，不符合题意； C．原式=2 3 ，不符合题意； D．原式=|﹣3|=3，符合题意． 故选D． 点睛：本题考查了二次根式的加减法，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2．二次根式2 a+在实数范围内有意义，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 分析已知和所求，要使二次根式2 a＋在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0；易得a＋2≥0，解不等式a＋2≥0，即得答案. 【详解】 解：∵二次根式2 a＋在实数范围内有意义， ∴a＋2≥0，解得a≥－2． 故选B. 【点睛】 本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件； 3．下列计算正确的是（） A．+=B．﹣=﹣1 C．×=6 D．÷=3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减法对A 、B 进行判断；根据二次根式的乘法法则对C 进行判断；根据二次根式的除法法则对D 进行判断． 【详解】 解：A 、B 与不能合并，所以A 、B 选项错误； C 、原式= ×=，所以C 选项错误； D 、原式= =3，所以D 选项正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4．下列各式中计算正确的是（） A 268+= B ．233+= C 3515= D 42= 【答案】C 【解析】 【分析】 结合选项，分别进行二次根式的乘法运算、加法运算、二次根式的化简、二次根式的除法运算，选出正确答案． 【详解】 解：26不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； B.23 3515= 4，原式计算错误，故本选项错误． 故选： C. 【点睛】 本题考查二次根式的加减法和乘除法，在进行此类运算时，掌握运算法则是解题的关键． 5．已知352x x -+-=()()2215x x --的结果是（ ） A ．4 B ．62x - C ．4- D ．26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ，∴3≤x ≤5()()2215x x --=x-1+5-x=4，故选 A. 二次根式化简练习 一、化简下列二次根式 =12 =8 =18 20= =24 =28 =32 =40 =45 =48 =50 =54 60= =72 =80 =90 =84 =88 =96 =98 =108 125= =128 =135 =82 =4532 =483 =325 2 =43 =3 2 =8 7 =6 12 =125 1 =2 5 =74 =5 13 =3232 =5421 =3443 =2 1 465 二、比较下列二次根式的大小 182_____123 242 1 ____2731 12554 ___16932 403_____602 三、化简 =38x 212x = x 232532??= 292ab = a c b 16332 = 2312a c b = =-22513 =+22158 2 11-= 二选择题 1.若-1 A.x ≤0 B.x ≤-3 C.x ≥-3 D.-3≤x ≤0 7当a>0时，化简3ax -的结果是 A.x ax B.-x ax - C.x ax - D.-x ax 8.实数a,b 在数轴上对应点的位置如图所示，则化简2 222a b ab a -+-的结果为 A.-b B.2a-b C.b-2a D.b 9.计算 2 2)53()52(-+-等于 A.5-25 B.1 C.25-5 D.25-1 10.下列二次根式中,是同类二次根式的是 A.b c a bc a 3与 B.23b a 与ab C.a 2与34a D.b a 与23b a 三.填空题 1.代数式x x x -+++213有意义的条件是 ; x x 263-+-有意义的条件是 2.函数x x x y -++ -=21 32的自变量x 的取值范围是 3化简12=____. .2)23(-= . 二次根式练习题附答案 一、选择题 1．计算÷=（） A．B．5 C．D． 2．下列二次根式中，不能与合并的是（） A．B．C． D． 3．计算：﹣的结果是（） A． B．2 C．2 D．2.8 4．下列运算正确的是（） A．2+=2B．5﹣=5 C．5+=6 D． +2=3 5．计算|2﹣|+|4﹣|的值是（） A．﹣2 B．2 C．2﹣6 D．6﹣2 6．小明的作业本上有以下四题：① =4a2；②?=5a；③a==； ④÷=4．做错的题是（） A．①B．②C．③D．④ 7．下列四个命题，正确的有（）个． ①有理数与无理数之和是有理数 ②有理数与无理数之和是无理数 ③无理数与无理数之和是无理数 ④无理数与无理数之积是无理数． A．1 B．2 C．3 D．4 8．若最简二次根式和能合并，则x的值可能为（） A．B．C．2 D．5 9．已知等腰三角形的两边长为2和5，则此等腰三角形的周长为（） A．4+5B．2+10 C．4+10D．4+5或2+10 二、填空题 10．×= ； = ． 11．计算：（ +1）（﹣1）= ． 12．（+2）2= ． 13．若一个长方体的长为，宽为 ，高为，则它的体积为 cm 3． 14．化简： = ． 15．计算（+1）2015（﹣1）2014= ． 16．已知x 1= +，x 2=﹣，则x 12+x 22= ． 三、解答题 17．计算： （1）（ ﹣）2； （2）（ +）（﹣）． （3）（+3）2． 18．化简：（1） ；（2） 19．计算： （1） ×+3； （2）（ ﹣）×； （3）． 20．（6分）计算：（3+ ）（3﹣）﹣（﹣1）2． 21．计算： （1） （﹣）+； （2） ．（用两种方法解） 22．计算： （1）9 ﹣7+5； （2）÷﹣× +． 23．已知：x=1﹣ ，y=1+，求x 2+y 2﹣xy ﹣2x+2y 的值． 《2.7 二次根式（一）》 参考答案与试题解析 二次根式与一元二次方程经典练习题aa??aa??A、、 B 、D、 ??2 C一、选择题ba,对于所有实数），下列等式总能成立的是（8. ）1．下列式子一定是二次根式的是（ 22b?b??aaba?ba??22x2x??2?x2?x B. A. ．AD． B ． C ． ??22??2222b?aa?b?1?m3b?aa??b D. C. ）m有意义，则2能取的最小整数值是（．若 m=3 ．m=0 A．Bm=1 ．DC．m=2 29x?），以下说法中不正确的是（ 9. 对于二次根式2xx? A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数的结果是（）3．若x<0，则x3 它的最小值为 D. C. 它是最简二次根式 2 2 ．—C．0D．2 或—B 0 A．227?5?2b?aa??b10. 下列式子中正确的是（）A. ?? B. ( 4．下列说法错误的是）28?649a?6a?是二次根式B.A．是最简二次根式 2?3?4?3?x??bxba?ax D. C. 222216?xb?a4 D.的最小值是．C 是一个非负数二、填空题22nn24?5)?(2?)(?0.3D.2 C.6 B.5 A.4 5．是整数，则正整数的最小值是（）；②11.①。 yx?a3311??aa?9?计算。12．化简：计算= ________13．的结果为（）．化简6ay?x365 ??21xx??2x133011。14．化简：的结果是113033030．B ．A ．C ．D3030 2?? _____________??1x?5x?时，。5x1 15．当≤＜1?????20012000．把．7a 根号外的因式移入根号内的结果是（）______________33???22a．16。 一、选择题 1．下列二次根式中是最简二次根式的为（ ） A ．12 B ．30 C ．8 D ． 12 2．下列计算正确的是（ ） A ．93=± B ．8220-= C ．532-= D ．2(5)5-=- 3．在函数y= 2 3 x x +-中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥－2且x≠3 B ．x≤2且x≠3 C ．x≠3 D ．x≤－2 4．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5 个数是（ ） 1232567 22 310 A ．210 B ．41 C ．52 D ．51 5．实数a ，b ，c ，满足|a |+a =0，|ab |=ab ，|c |-c =0，那么化简代数式2b -|a +b |+|a -c |-222c bc b -+的结果为（ ） A ．2c -b B ．2c -2a C ．-b D ．b 6．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．18 B ． 13 C 24 D 0.3 7．设0a >，0b >( 35a a b b a b =23ab a b ab ++的值是 （ ） A ．2 B ． 14 C ． 12 D ． 3158 8．下列计算正确的是（ ） A 1233= B 235= C ．43331= D ．32252+= 9．给出下列化简①（2-）2=222-=（）2221214+=3 1 2 =，其中正确的是（ ） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①② D ．③④ 10．下列运算一定正确的是( ) A a = B = C ．222()a b a b ?=? D ()0n a m = ≥ 二、填空题 11．已知x =( )21142221x x x x -??+?= ?-+-??_________ 12．若0a >化成最简二次根式为________． 13．若m m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____． 14．定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()f x z ， 即：当n 为非负整数时，如果11 22 n x n -<+≤，则()f x n =z ． 如：(0)(0.48)0f f ==z z ，(0.64)(1.49)1f f ==z z ，(4)(3.68)4f f ==z z ， 试解决下列问题： ①f =z __________；②f =z __________； + =__________． 15．3 =，且01x <<=______． 16．甲容器中装有浓度为a ，乙容器中装有浓度为b ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________． 17．把 18．=== 据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________． 19．a ，小数部分是b b -=______. 20．1 =-= 二次根式的复习代数式知识结构图： 二次根式典型习题 一、二次根式的定义 1、下列代数式中，属于二次根式的为（ ） A 、 B 、 C 、 (a ≥1) D 、— 2、下列格式中一定是二次根式的是（ ） A 7- B 32m C 、12+x D 3b a 二、二次根式下有关字母的取值范围 3、 4、下列各组二次根式中，x 的取值范围相同的是（ ） A 、 与 B 、（ ）2与 C 、 与 D 、 与 5、如果 2 1 2 1--= --x x x x ，那么x 的取值范围是（ ） A 、1≤x ≤2 B 、1＜x ≤2 C 、x ≥2 D 、x ＞2 61 1x -是二次根式，则x 的取值范围是 7、式子 3 23+-x x 中x 的取值范围是_______ 三、二次根式的非负性 8、若588+-+-= x x y ，则xy = _______ 9、已知a 为实数，下列四个命题错误的是（ ） A ．若a a 2 =1，则a>0 B.若a<0,则 2a —a= —2a C. 若— 21a = —a 1，则a>0 D.若a ≥—2，则12++a a 有意义 10、化简1 a - ） A a B 、a C 、a - D a - 4-3x - 1-a 2-x 1+x x 2x 12+x 22+x 1-x x 1 四、2 a a =的理解 11、 12、化简2 )21(-的结果是（ ） A 、21- B 、12- C 、)12(-± D 、)21(-± 13、若2)3(-a =3—a ，则a 的取值范围是______________ 14、若2x ＋1＋|y ＋3|＝0，则(x ＋y)2 的值为（ ） A ．52 B ．－52 C ．72 D ．－72 五、实数范围因式分解 15、把下列各式写成平方差的形式，再分解因式： 16、在实数范围分解因式：x 2—23x+3=___________________ 2x 2－4=_______________ 六、最简二次根式 17、 18、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A 、a 16 B 、b 3 C 、 a b D 、45 19、二次根式 2 1，12，2 22,40,2,30y x x x ++中最简二次根式是____________ 20、下列根式中，能合并的是（ ） A ．xy 和 2xy B. 3a a 与 a 1 C.xy 与2x D. a 与3a 七、二次根式的计算 21、若 b a b a =成立，则————————————————（ ） 0. 0. ;0,0.;0,0.≥>>≥≥≥b a D b a C b a B b a A 八年级数学二次根式的化简求值练习题及答案 修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】 二次根式的化简求值 练习题 m n，m n，则 B. 2 )n)n()n “黑白双雄,纵横江湖；双剑合璧 3 33= 3 3 23 = 2 (23) (23)(23) =43, 一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化 1276 3 2 3 . 2332 3 (23)(2 3) ，33，23.答案：解：原式=2-3+33-23=2.(201221 3 2 4 3 2012 2011 111 (1)(1 ) n n n n n n n n n n ，将各个分式分别分母有理 化后再进行计算. 324320122011）（20121）=（2012）2-12=2012-1=2011. 3232,b=32 32 ,23ab b 的值. 2 2(32)52632 (32)(32) ，同理22632 ；26+ 526=10，a b=（526）（26），然后将所要求值的式子和a b 表示，再整体代入求值即可. 答案：解：因为a= 3252632 ，b= 3252632 ， 所以a + b= 526+ 526=10，a b=（526）（526）=1. 所以223a ab b =2()5a b ab =21051=95. 小结：分母有理化是我们处理二次根式问题时常用的一种方法，在有关二次根式化简求值的题目中我们经常会用到. 利用平方差公式进行分母有理化是常用方法.如:（a +b ）(a -b )=a -b ,(a+b )(a -b )=a 2-b, (a +b )(a - b )=a -b 2. 举一反三： 2. 如图,数轴上与1,2对应的点分别为A ,B ，点B 关于点A 的对称点为C ,设点C 表示的数为x ,则|x -2|+ 2 x =（ ） A. 2 B. 22 C. 32 D. 2 解析：因为点B 和点C 关于点A 对称，点A 和点B 所表示的数分别为1，2，所以点C 表示的数为2-2，即x=2-2，故|x -2|+ 2 x =|2-2-2|+ 222 =22-2+2 2=32. 例3 比较大小:(1)11-3与10-2；(2)22-5与10-7. 解析：（1）用平方法比较大小；（2）用倒数法比较大小. 二次根式练习题 一．选择题（共4小题） 1．要使式子 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞1 B ．x ＞﹣1 C ．x ≥1 D ．x ≥﹣1 2．式子 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＜1 B ．x ≤1 C ．x ＞1 D ．x ≥1 3．下列结论正确的是（ ） A ．3a 2 b ﹣a 2 b=2 B ．单项式﹣x 2 的系数是﹣1 C ．使式子有意义的x 的取值范围是x ＞﹣2 D ．若分式 的值等于0，则a=±1 4．要使式子有意义，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B ．a ＞﹣2且 a ≠0 C ．a ＞﹣2或 a ≠0 D ．a ≥﹣2且 a ≠0 二．选择题（共5小题） 5．使 有意义，则x 的取值范围是 ． 6．若代数式有意义，则x 的取值范围为 ． 7．已知是正整数，则实数n 的最大值为 ． 8．若代数式 +（x ﹣1）0 在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 ． 9．若实数a 满足|a ﹣8|+=a ，则a= ． 四．解答题（共8小题） 10．若 a ，b 为实数，a=+3，求． 11．已知221616 34 n n m n --= -+，求2016()m n +的值？ 12．已知x ，y 为等腰三角形的两条边长，且x ，y 满足3264y x x =--，求此 三角形的周长 13．已知a、b、c满足+|a﹣c+1|=+，求a+b+c的平方根．14．若a、b为实数，且，求． 15．已知y＜++3，化简|y﹣3|﹣． 16．已知a、b满足等式． （1）求出a、b的值分别是多少？ （2）试求的值． 17．已知实数a满足+=a，求a﹣20082的值是多少？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共4小题）二次根式化简练习题含答案
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