四川省成都市树德中学高二数学上学期期末考试试题 文

四川省成都市树德中学2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题 文

一、选择题（每小题5分，共60分）

1、设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

2、已知双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的渐近线方程为y=±2x ，则其离心率为（ ）

A ．5

B ．

C ．

D ．

3、设某高中的学生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为$y =0.85x -85.71，则下列结论中不正确．．．

的是（ ） A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）

C.若该高中某学生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg

D.若该高中某学生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 4、下列说法正确的是 （ ）

A.命题“若21x >,则1x >”的否命题为“若21x >，则1≤x ”

B.命题“若2

00,1x R x ?∈>”的否定是“2

,1x R x

?∈<”

C.命题“若x y =，则y x cos cos =”的逆否命题为假命题

D.命题“若x y =，则y x cos cos =”的逆命题为假命题 5、阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( ) A.

8

5

B.1311

C.138

D.2113

6、已知变量,x y 满足约束条件22

2441x y x y x y +≥??

+≤??-≥-?

，则目标函数3z x y

=-的取值范围是 （ ） A.3[,6]2-

B.3[,1]2

-- C.[1,6]- D.3[6,]2-

7、在长为10 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于AC ，CB 的长，则该矩形面积不．小于．．9 cm 2

的概率为（ ） A ．

910 B ．45 C ．23 D ．1

2

8、直线y=kx+3与圆（x ﹣2）2

+（y ﹣3）2

=4相交于M 、N 两点，若|MN |≥2，则直线倾斜角的取

值范围是（ ）

A ．566ππ??

????

， B ．20,33ππ

π?

???????????U ， C ．50,66ππ

π?

???

????

????U ， D ．233

ππ??????

，

9、已知集合240(,)

00

x y x y x y x y ?

+-≤???

?

?

+≥?????

?-≥??

?表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P （x ，y ）

，则点P 的坐标满足不等式2

2

2x y +≤的概率为（ ） A ．

316π B ．16π C ．32

π D ．

332

π

10、点M 是抛物线y 2

= x 上的点，点N 是圆C ：()2

231x y -+=上的点，则|MN|的最小值是（ ）

A ．

B ．

C ．2

D ．

11、已知椭圆

的左焦点为F ，点P 为椭圆上一

动点，过点P 向以F 为圆心，1为半径的圆作切线PM 、PN ，其中切点为M 、N ，则四边形PMFN 面积的最大值为（ ） A ．2 B ．

C ．

D ．5

12、某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出

的S 等于 （ ） A.24 B.26 C.30 D.32

二、填空题（每小题5分，共20分）

13、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图

表示，从茎叶图的分布情况看，___运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”） 14、已知圆O 1：x 2

＋y 2

＝1与圆O 2： (x ＋4)2

＋(y －a )2

＝25内切，则常数a ＝______ 15、已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且122

F PF π

∠=,椭圆和双曲

线的离心率分别为1e 、2e ，则22

1211

e e +=_____

16、已知y =a x

(a >0且a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数，记a 的所有可能取值构成集合A ；椭圆

22

=163

x y +上存在关于直线y =x +m 对称的不同两点，记m 的所有可能取值构成集合B.若随机地从集合A ，B 中分别抽出一个元素1λ，2λ，则1λ>2λ的概率是_____

三、解答题

17、（10分）设命题p ：点（1，1）在圆2

2

2

22240x y mx my m +-++-=的内部；命题q ：直线

mx －y ＋1＋2m ＝0(k ∈R )不经过第四象限，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．

18、（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分频率分布直方图如图.观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求分数在[70,80)内的频率；

（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）

（3）用分层抽样（按[60,70)、[70,80)分数段人数比例）的方法在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70,80)的概率．

19、（12分）已知抛物线2

:4C y x =的焦点为F ，(1,)P m 是抛物线C 上的一点.

（1）若椭圆22

:14x y C n

'+=与抛物线C 有共同的焦点，求椭圆C '的方程； （2）设抛物线C 与（1）中所求椭圆C '的交点为A B 、，求以OA 和OB 所在的直线为渐近线，且经过点P 的双曲线方程.

20、（12分）已知圆C ：x 2

+y 2

﹣4x+3=0， （1）求过()3,2M 点的圆的切线方程；

（2）直线l 过点3122N ?? ???

，且被圆C 截得的弦长最短时，求直线l 的方程；

（3）过点()10，的直线m 与圆C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的中点P 的轨迹为1C ，直线5()2

y k x =-与曲线1C 只有一个交点，求k 的值.

21、（12分）已知抛物线x 2

＝2py (p ＞0)，其焦点F 到准线的距离为1.过F 作抛物线的两条弦AB 和CD ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．设直线AB 、CD 的斜率分别为1k 、2k . （1）若AB CD ⊥，且11k =，求△FMN 的面积； （2）若12

11

1k k +=，求证：直线MN 过定点，并求此定点.

22、（12分）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，动点(),P x y 与定点F (－1，0)的距离和它到定直线2x =-的距离之比是

.

（1）求动点P 的轨迹C 的方程；

（2）过F 作曲线C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,直线OM 与曲线C 交于,P Q 两点,求四边形APBQ 面积的最小值.

树德中学高2015级第三期期末考试数学试题（文科）

参考答案

一、选择题 ADDDCA BCDAAD

二、填空题

13、乙 14、0 15、2 16、34

三、解答题

17、解：命题p 11m ?-<<，…………3分 命题q 0m ?≥……………6分

① p 真q 假时，10m -<<；②p 假q 真时，1m ≥. 故m 的取值范围为10m -<<或1m ≥………10分

18、解：(1)分数在[70,80)内的频率为：

1－(0.010＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)×10＝1－0.7＝0.3………3分 (2)中位数1

73

73.33

≈…………6分 (3)由题意，[60,70)分数段的人数为：0.15×60＝9(人)；[70,80)分数段的人数为：0.3×60＝18(人)． ∴需在[60,70)分数段内抽取2人，分别记为a ，b ； 在[70,80)分数段内抽取4人，分别记为c ，d ，e ，f.

设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70,80)内”为事件A ，所有基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15个…………8分

其中事件A 包含(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，共8个．……10分

∴P (A )＝8

15………12分

19、解:（1）椭圆22

:14x y C n

'+=, 可知41,3n n -=∴=,故所求椭圆的方程为

22

143

x y +=……....6分 （2）由22

2143

4x y y x

?+

=???=?

,消去y 得到2316120x x +-=,解得122,63x x ==-(舍去). 所以2222

(6),(,6)3333

A B ,则双曲线的渐近线方程为6y x =……………………8分 60x y ±=,可设双曲线方程为22

6(0)x y λλ-=≠.

由点(1,)P m 在抛物线2

:4C y x =上,解得2

4,(1,2)m P =±………………...……10分 因为点P 在双曲线上, 642λ∴-==,

故所求双曲线方程为: 2

2

312

y x -=……………………………………….…………..12分

20、解：（1）3x =或3410x y --=………3分

（2）当直线l CN ⊥时，弦长最短，此时直线的方程为10x y --=………6分

（3）设点P （x ，y ），∵点P 为线段AB 的中点，曲线C 是圆心为C （2，0），半径r=1的圆，∴CP

⊥AP ，CP AP=0?u u u r u u u r ∴化简得223124x y ?

?-+= ??

?………9分

由于点P 在圆内，去除点（1，0），所以1C ：2

23124x y ?

?-+= ???（1x ≠）………10分

3

0k =………12分

21、解：（1）抛物线的方程为x 2

=2y ，设AB 的方程为12

y x =+

联立2122y x x y

?=+???=?

，得x 2

﹣2x ﹣1=0，31,2M ?? ???，同理31,2N ??- ???

∴S △FMN ＝12|FM |·|FN |＝1

222＝1

△FMN 的面积为1. ……....5分

（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），设AB 的方程为11

2

y k x =+

联立1

2122y k x x y

?

=+???=?

，得21210x k x --=，2111,2M k k ??+ ???，同理2221,2N k k ??+ ???……....7分

k MN ＝22121212

1122k k k k k k ????+-+ ? ?

????

=+-

∴MN 的方程为()()2112112y k k k x k ??-+=+- ???，即()12121

2

y k k x k k =+-+，……....10分 又因为

12111k k +=所以1212k k k k +=，∴MN 的方程为121212y k k x k k =-+即()121

12

y k k x =-+ ∴直线MN 恒过定点112??

???

，．……....12分

22、解：（1）由已知，得

()

2

2

122

2

x y x ++=

+． 两边平方，化简得x 2

2

＋y 2

＝1．故轨迹C 的方程是

．…（3分）

（2）因AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由?????x ＝my －1，x 2

2

＋y 2

＝1得(m 2＋2)y 2

－2my －1＝0. y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ? ??

??－2

m 2＋2，m m 2＋2，

故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m

2

x ，即mx ＋2y ＝0，…....5分

2

2212

m y x x y ?

=-????+=??整理得：x 2

=，|PQ |22

2

2

4

=222

m x y m ++=+....7分 方法一：设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|

m 2＋4.

因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝（m 2

＋2）|y 1－y 2|m 2

＋4

.又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2

－4y 1y 2＝

22·1＋m 2m 2

＋2，所以2d ＝22·1＋m

2

m 2＋4.…....10分 故四边形APBQ 的面积S ＝1

2

|PQ |·2d ＝

222222142211

2222224

m m m m m m +++??=+++=2≥2

即0m =时，min 2S =.…....12分 方法二：P （

，

），Q （

，

），

P 到直线AB 的距离d 1=，Q 到直线AB 的距离

d 2=，

∵P ，Q 在直线AB 的两侧，且关于原点对称，

∴S APBQ =丨AB 丨（d 1+d 2）=??（ +

）=，.…....10分

∴S APBQ ==2≥2，

即0m =时，min 2S =.…....12分