2020年中考数学专题汇编 二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用 含解析
二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用 一、选择题
1．（2020·衢州）二次函数2y x =的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位 B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位 C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位 D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位 {答案}C
{解析}由于 A 选项平移后的解析式为y=(x+2)2-2，当x=2时，y=14，所以它不经过（2，0）；B 选项平移后的解析式为y=(x+1)2+2，当x=2时，y=7，所以它不经过（2，0）；C 选项平移后的解析式为y=(x-1)2-1，当x=2时，y=0，所以它经过（2，0）；D 选项平移后的解析式为y=(x-2)2+1，当x=2时，y=1，它不经过（2，0），因此本题选C. 2．（2020·宿迁）将二次函数y ＝(x －1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是（ ） A ．y ＝(x ＋2)2＋2 B ．y ＝(x －1)2＋2 C ．y ＝(x －1)2－1 D ．y ＝(x －1)2＋5
{答案}D{解析}将二次函数y ＝(x －1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是y ＝(x －1)2＋2＋3，即y ＝(x －1)2＋5，故选D ．
3.(2020·宁波)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝－1.则下列选项中正确的是 A ．abc <0 B ．4ac －b 2>0 C ．c －a >0 D ．当x ＝－n 2－2(n 为实数)时，y ≥c {答案}D
{解析}本题考查了二次函数的图象和性质.∵抛物线开口向上，所以a ＞0，∵二次函
数图象的对称轴为x ＝－1，所以－2b
a ＝－1，所以
b ＝2a>0，∵抛物线与y 轴正半轴
交于点C ，所以c ＞0，所以abc>0，A 错误；∵抛物线与x 轴有两个不同的交点，∴b2－4ac>0，∴ 4ac －b2<0，B 错误；∵b ＝2a ，∴当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝c －a ＜0，∴C 错误；当x ＝－n2－2(n 为实数)时，y ＝a(－n2－2)2＋b(－n2－2)＋c ＝a(－n2
－2)2＋2a(－n2－2)＋c ＝a(n2＋1)2－a ＋c ，∵n 为实数，∴n2≥0，(n2＋1)2≥1.又∵a ＞0，∴a(n2＋1)2－a≥0.又∵c ＞0，∴y≥c ，∴D 正确，因此本题选D ．
4．（2020·温州）9．已知(﹣3，1y )，(﹣2，2y )，(1，3y )是抛物线2
312y x x m =--+上的点，则
A ．3y ＜2y ＜1y
B ．3y ＜1y ＜2y
C ．2y ＜3y ＜1y
D ．1y ＜3y ＜2y
{答案}
{解析}本题考查了二次函数的增减性，当a ＞0，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，由对称轴x ＝12222(3)b a --
=-=-?-，知（-3，y1）和（-1，y1）对称，因为a ＝-3＜0，所以当x≥-2
时，y 随x 的增大而减小，-2＜-1＜1，所以y2＞y1＞y3，因此本题选B ．
5．（2020·杭州）设函数2()y a x h k =-+（a ，h ，k 是实数，0a ≠），当1x =时，1y =；当8x =时，8y =，（ ）
A ．若4h =，则0a <
B ．若5h =，则0a >
C ．若6h =，则0a <
D ．若7h =，则0a >
{答案}C
{解析}本题考查了二次函数的图象，因为在
2
()y a x h k =-+中，当1x =时，1y =；当8x =时，8y =，
所以抛物线
2
()y a x h k =-+经过点A （1，1），（8，8）．当抛物线开口向上时，如图①，过点A 作AC
6．（2020·杭州）在平面直角坐标系中，已知函数211y x ax =++，222y x bx =++，234y x cx =++，
其中a ，b ，c 是正实数，且满足2b ac =．设函数1y ，2y ，3y 的图象与x 轴的交点个数分别为1M ，
2M ，3M ，（ ）
A ．若12M =，22M =，则30M =
B ．若11M =，20M =，则30M =
C ．若10M =，22M =，则30M =
D ．若10M =，20M =，则30M =
∴tan ∠ABC ≥0，∴n ﹣m ≥0，即n ﹣m 无最大值，有最小值，最小值为0，故选项C ，D 都错误； ②当n ﹣m ＝1时，如图2，过点N 作NH ⊥MQ 于H ，同①的方法得，NH ＝PQ ＝b ﹣a ，HQ ＝PN ＝m ，∵点M ，N 在抛物线y ＝x2上，∴m ≥0，当m ＝0时，n ＝1，∴点N （0，0），M （1，1），
∴NH＝1，此时，∠MNH＝45°，∴45°≤∠MNH＜90°，∴tan∠MNH≥1，
∴
1
b a
-≥1，∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为1，故选项A错误. 因此本题选B．
图1 图2
8．（2020·黔西南州）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D的右边），对称轴为直线x＝
5
2
，连接AC，AD，
BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）
A．点B坐标为（5，4）B．AB＝AD C．a＝
1
6
-D．OC?OD＝16
{答案}D
{解析}本题考查了二次函数的性质，点的坐标意义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质及勾股定理．因为抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，所以A（0，4）．因为对称轴为直线x＝
5
2
，AB∥x轴，所以B（5，4），选项A正确，不符合题意．如答图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝
4，AB＝5．因为AB∥x轴，所以∠BAC＝∠ACO．因为点B关于直线AC的对称点恰
好落在线段OC上，所以∠ACO＝∠ACB，所以∠BAC＝∠ACB，所以BC＝AB＝5．在
Rt△BCE中，由勾股定理得EC＝3，所以C（8，0）.因为对称轴为直线x＝
5
2
，所以D
（－3，0）．在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，所以AD＝5，所以AB＝AD，选项B正
确，不符合题意．设y＝ax2＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将A（0，4）代入得4＝a(0＋3)(0
－8)，解得a＝
1
6
-，选项C正确，不符合题意．因为OC＝8，OD＝3，所以OC?OD＝24，选项D错误，符合题意，因此本题选D．
9．（2020·新疆）二次函数2
y ax bx c
=++的图象如图所示，则一次函数y ax b
=+与反比例函数
c
y
x
=在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ···························································（）
{答案}D
{解析}本题考查了反比例函数、一次函数和二次函数的图象，由抛物线开口向下知a＞0，因为抛物线的对称轴在y轴右侧，所以2
b
a
-
＞0，因为a＞0，所以b＜0．因为抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以c＞0．因为a＞0，b＜0，所以一次函数y ax b
=+经过第一、三、四象限．因为c＞0，所以反比例函数
c
y
x
=
经过第一、三象限，因此本题选D．
10．（2020·遵义）抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2，抛物线与x轴的一个交
点在点(－4，0)和点(－3，0)之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有：
①4a－b＝0;②c≤3a;③关于x的方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等实数根;④b2＋2b> 4ac．
x
y
b
a
（b，m）
(a，n）
C
E
D
O
A
B
x
y
(a，m）
（b，n）
a b
H
P Q
O
M
N
240b ac ->①；0abc <②；40a b +=③；420a b c -+>④．
其中正确结论的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
{答案} B{解析}本题考查了二次函数图像与系数的关系.
∵抛物线与x 轴有两个交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，
240b ac ∴->，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴为直线2x =， 0a ∴<.∵40a b +=，0b ∴>.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，0c ∴>. 0abc ∴<，故②正确，由图象知，当2x =-时，0y <，420a b c ∴-+<，故④错误.
EF)＝－CE ＋2EF ＝4－x ，易知△BFH 是等边三角形，∴y ＝S △BFH ＝
12·(4－x)·()342
x -＝34(4－x)2，该抛物线开口向上，对称轴为y.特殊地，当x ＝2时，y ＝3，此时重叠部分的面积取最大值.综上所述，选项A 符合.
图1图2
13．（2020·哈尔滨）将抛物线2
x y =向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A ．()532++=x y
B ．()532+-=x y
C ．()352++=x y
D ．()352+-=x y
{答案}D{解析}本题考查了二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下
减，将抛物线2
x y =向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为
()3
52+-=x y ，因此本题选D ．
14．(2020·绥化)将抛物线y ＝2(x －3)2
＋2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物
线的解析式是( )
A ．y ＝2(x －6)2
B ．y ＝2(x －6)2＋4
C ．y ＝2x 2
D ．y ＝2x 2
＋4
{答案}C{解析}原抛物线的顶点是(3，2)，平移后的顶点是(0，0)，因此平移后所得抛物线的解析式是y ＝2x2．故选C ． 15．（2020·枣庄）如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1．给出下列结论： ∴ac ＜0；∴b 2－4ac ＞0；∴2a －b ＝0；∴a －b ＋c ＝0． 其中，正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
{答案}C{解析}根据抛物线与系数a ，b ，c 的关系特征判断各结论正确与否．
∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线交于y 轴的正半轴，∴c ＞0，∴ac ＜0，故①正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2－4ac ＞0，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴1
2b a -
=，∴－b ＝2a ，∴2a+b ＝0，故③错误；
抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，则点（3，0）关于直线x ＝1的对称点为（－1，0），即抛物线又经过点（－1，0），即x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝0，故④正确． 综上可知，正确的结论有①②④，共3个． 16．（2020·陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2－(m －1)x ＋m －3沿y 轴向下平移3个单位，则平移后得到的抛物线顶点一定在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
G
A
B
C
D
E F F
E D
C B
A H
O 1 y
x
3
{答案}D{解析}平移后的抛物线的表达式为y ＝x2－(m －1)x ＋m －3，通过配方求出该抛物线的顶点坐标为()2341,24m m ??
-+- ?-
???，由于m ＞1，所以12m -＞0，2312x x x --=-＜0，所以平移后的抛物线的顶点一点
在第四象限．
17．（2020·贵阳）（3分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x 的方
程ax 2+bx +c +m ＝0（m ＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x 的方程ax 2+bx +c +n ＝0 （0＜n ＜m ）有两个整数根，这两个整数根是（ ） A ．﹣2或0 B ．﹣4或2 C ．﹣5或3 D ．﹣6或4
{答案} B ．{解析}解：∴二次函数y ＝ax2+bx+c 的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，
∴当y ＝0时，0＝ax2+bx+c 的两个根为﹣3和1，函数y ＝ax2+bx+c 的对称轴是直线x ＝﹣1， 又∴关于x 的方程ax2+bx+c+m ＝0（m ＞0）有两个根，其中一个根是3．
∴方程ax2+bx+c+m ＝0（m ＞0）的另一个根为﹣5，函数y ＝ax2+bx+c 的图象开口向上， ∴关于x 的方程ax2+bx+c+n ＝0 （0＜n ＜m ）有两个整数根，∴这两个整数根是﹣4或2， 故选：B ．
18．(2020自贡)函数y =k
x 与y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则函数y ＝kx ﹣b 的大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
{答案} D ．
{解析}本题考查了反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质等知识，根据反比例函数的图象位于一、三象限知k ＞0，
根据二次函数的图象确知a ＜0，b ＜0，∴函数y ＝kx ﹣b 的大致图象经过一、二、三象限， 因此本题选D ．
19．（2020·泰安）在同一平面直角坐标系内，二次函数y ﹦ax 2
＋bx ＋b （a ≠0）与一次函数y ﹦ax ＋b 的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． {答案} C
{解析}本题考查了一次函数与二次函数的图像性质，选项A 中y=ax 2+bx+c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y=ax+b 的图像可知a ＞0、b ＞0，则选项A 不正确；选项B 中y=ax 2+bx+c 的图像可知a ＜0、b ＜0，y=ax+b 的图像可知a ＞0、b ＜0，则选项B 不正确；选项C 中y=ax 2+bx+c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y=ax+b 的图像可知a ＞0、b ＜0，则选项C 正确；选项D 中y=ax 2+bx+c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y=ax+b 的图像可知a ＜0、b=0，则选项D 不正确；，因此本题选C ．
20.（2020·四川甘孜州）10．如图，二次函数y ＝a (x ＋1) 2＋k 的图象与x 轴交于A (－3，0)， B 两点，下
列说法错误的是( )
A．a<0 B．图象的对称轴为直线x＝－1
C．点B的坐标为(1，0) D．当x<0时，y随x的增大而增大
{答案}D
{解析}本题考查了二次函数的图象与系数a、b、c的关系．∵抛物线开口向下，∴a<0，故A正确；∵二次函数y＝a(x＋1) 2＋k的顶点坐标为(－1，k) ，∴图象的对称轴为直线x＝－1，故B正确；由抛物线的对称性，得B(2，0) ，故C正确；由图象得，当x<－1时，y随x的增大而增大，当x＞－1时，y随x的增大而减小，故D错；综上此题选D．
21.．（2020·福建）10.已知()
111
,
P x y，()
222
,
P x y是抛物线22
=-
y ax ax上的点，下列命题正确的是（）
A.若
12
|1||1|
->-
x x，则
12
>
y y B.若
12
|1||1|
->-
x x，则
12
<
y y
C.若
12
|1||1|
-=-
x x，则
12
=
y y D.若
12
=
y y，则
12
=
x x
{答案}C
{解析}本题考查了二次函数的图象和性质，∵22
=-
y ax ax=a（x-1）2-a，∴抛物线的对称轴为x=1，根据二次函数的对称性知若12
|1||1|
-=-
x x，则
12
=
y y，因此本题选C．
22．（2020·襄阳）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a＋c＝0；③4ac－b2＜0；④当x＞－1时，y随着x的增大而减小．其中正确的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
{答案}B
{解析}（1）由抛物线开口向上且与y轴的负半轴相交，得a＞0，c＜0，从而ac＜0，于是①正确；（2）由
抛物线的对称轴为x＝1，得－
2
b
a
＝1，于是b＝－2a．由抛物线过点(－1，0)，得a－b＋c＝0，于是a－(－2a)＋c＝0，即3a＋c＝0，从而②正确；（3）由抛物线与x轴有两个不同的交点，得b2－4ac＞0，从而4ac－b2＜0，于是③正确；（4）由图可知，当－1＜x≤1时，y随着x的增大而减小，当x＞1时，y随着x 的增大而增大，于是④错误．综上，结论正确的有3个，故选B．
23.(2020·南充）10.关于二次函数)0
(5
4
2≠
-
-
=a
ax
ax
y的三个结论：①对任意实数m，都有m
x+
=2
1
与m
x-
=2
2
对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则1
3
4
-
≤
<
-a或
3
4
1<
≤a；
第10题图
1
-1
O
y
x
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
{答案}D
2对称，∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等，所以①正确；因为二次函数在3≤x≤4上y随x的增大而增大，或增大而减小，而且x=3时y=-3a-5，x=4时y=-5,所以y要有4个整
以③正确.故选D.
24．（2020·齐齐哈尔）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝l，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
{答案} C
{解析}根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；
抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；
x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；
抛物线与x 轴有两个不同交点，因此关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④， 故选：C ．
25.（2020·德州）11.二次函数2
y ax bx c =++的部分图象如图所示，则下列选项错误的是 A. 若（-2，y 1）,（5，y 2）是图象上两点，则y 1＞y 2 B. 30a c +=
C. 方程22ax bx c ++=-有两个不相等的实数根
D. 当0x ≥时，y 随x 的增大而减小
{答案}D
{解析}∵抛物线2
y ax bx c =++的对称轴是x=1，所以x=-2与x=4时的函数值相等，所以若（-2，y 1）,（5，y 2）是图象上两点，则y 1＞y 2本选项正确； ∵对称轴x ＝﹣
＝1，∴b ＝﹣2a . 由函数的图象知：当x ＝﹣1时，y =0；即a ﹣b +c =0，
∴a +2a +c =0，即3a +c =0，故本选项正确；
∵抛物线2
y ax bx c =++与直线y=-2有两个不同的交点，所以 方程22ax bx c ++=-有两个不相等的实数根，故本选项正确；
∵抛物线在对称轴x ＝1的左侧或左侧，y 随着x 的增大而增大（或减小），故本选项错误.
26． （2020·岳阳）对于一个函数，自变量x 取c 时，函数值y 等于0，则称c 为这个函数的零点. 若关于
x 的二次函数()0102≠+--=m m x x y 有两个不相等的零点()
212,1x x x x <，关于x 的方程
02102
=--+m x x 有两个不相等的非零实数根()
4
34,3x x x x <，则下列关系式一定正确的是（ ）
A ． 131
0< 13 1 >x x C ．14 20< 14 2>x x {答案}A {解析}∵关于x 的方程02102=--+m x x 可变形为02102=++--m x x ，∴关于x 的方程 02102=++--m x x 有两个不相等的非零实数根()4343,x x x x <，∴二次函数 ()02102≠++--=m m x x y 有两个不相等的零点()4343,x x x x <，二次函数()02102≠++--=m m x x y 的图象由()0102≠+--=m m x x y 的图象向上平移两个单位而得．对称轴都为直线52 102-=---=- =a b x ，画出草图，由图可知：013< 1 << x x ，故选A ． 27.（2020·湖北孝感）将抛物线C 1：y=x 2-2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C 2，抛物线C 2与抛物线C 3关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为( ) A.y=-x 2-2 B.y=-x 2+2 C.y=x 2-2 D.y=x 2+2 {答案}A {解析}利用平移得性质“上加下减，左加右减”得抛物线C 2得解析式：y=(x +1)2-2(x+1)+3，整理得y=x 2+2，再利用关于x 轴对称的性质“横坐标不变，纵坐标互为相反数”得：y=-x 2-2.故选A. 28.（2020·达州）如图，直线y 1=kx 与抛物线y 2=ax 2+bx +c 交于A 、B 两点，则y = ax 2+（b -k ）x +c 的图象可能是（ ） {答案}B {解析}由直线y 1=kx 与抛物线y 2=ax 2+bx +c 的图象可知k ＞0，a ＜0，b ＜0，c ＜0，b 2﹣4ac ＞0，所以b ﹣k ＜0，（b -k ）2﹣4ac= b 2﹣2bk ＋k 2－4ac ＞0，即y= ax 2+（b -k ）x+c 的图象开口向下，对称轴在y 轴的左侧且与x 轴有两个交点． 29．（2020·菏泽）一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） {答案}B {解析}根据一次函数与二次函数系数的取值范围与函数图象的位置关系分类讨论求解． A 、∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，∴a ＞0，b ＜0，∴一次函数y ＝ax ＋b 的图象应过第一、三、四象限，故A 错误； B 、∴抛物线开口向上，对称轴在y 轴左侧，∴a ＞0，b ＞0，∴直线应过第一、二、三象限，故B 正确； C 、∴抛物线开口向下，对称轴在y 轴右侧，∴a ＜0，b ＞0，∴直线应过第一、二、四象限，故C 错误； D 、∴抛物线开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a ＜0，b ＜0，∴直线应过第二、三、四象限，故D 错误． 30．(2020·荆门)若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是( ) A ．有两个大于1的不相等实数根 B ．有两个小于1的不相等实数根 C ．有一个大于1另一个小于1的实数根 D ．没有实数根 {答案}C {解析}依题意得a ＋b ＋c ＝－1．∴c ＝－(1＋a ＋b )．∵原方程的判别式△＝b 2－4ac ＝b 2＋4a (1＋a ＋b )＝b 2＋4a ＋4a 2＋4ab ＝(2a ＋b )2＋4a ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－ b a ，x 1x 2＝ c a ，∴(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝c a ＋b a ＋1＝1a (a ＋b ＋c )＝－1 a ＜0．∴x 1－1与x 2－1异号，这说明x 1，x 2中一个大于1，另一个小于1．故选C ． 31．（2020·随州）如图所示，已知二次函数c +bx +ax =y 2 的图象与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，则下列结论：①2a+b=0；②2c<3b ；③当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个；④当△BCD 是直角三角形时，2 2 -=a .其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 {答案}B {解析}本题考查了二次函数图象与系数的关系、等腰三角形的性质、勾股定理，解答过程如下： O x y A O x y B O x y C O x y D ∵二次函数c +bx +ax =y 2 的图象与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点， ∵二次函数c +bx +ax =y 2 的图象经过点A （-1，0），∴a-b+c=0. A ．15 4 B ．4 C ．?15 4 D ．?17 4 直角坐标系中的图象大致是（ ） {答案}B {解析}由二次函数的图象确定a 、b 、c 的符号，再确定一次函数和反比例函数图象的位置．因为抛物线开 34．（2020·深圳）二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为(－1，n )，其部分图象如图所示，以下结论错误．． 的是（ ） A ．abc ＞0 B ．4ac －b 2 ＜0 C ．3a ＋c ＞0 D ．关于x 的方程ax 2 ＋bx ＋c ＝n ＋1无实数根 {答案}C {解析}根据抛物线开口向下，得到a ＜0，对称轴为直线x ＝－b 2a ＝－1，知b ＝2a ＜0，抛物线与y 轴交于 正半轴，c ＞0，∴abc ＞0，故选项A 正确；根据抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2 －4ac ＞0，即4ac －b 2 ＜0，故选项B 正确；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0，又∵b ＝2a ，∴3a ＋c ＜0，∴选项C 错误；∵抛物线开口向 下，顶点为（－1，n ），∴函数有最大值n ，即抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与直线y ＝n ＋1无交点，一元二次方 程ax 2 ＋bx ＋c ＝n ＋1无实数根，选项D 正确；而要选择结论错误．．的，因此本题选C ． 35．（2020·鄂州）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -和B ，与y 轴交于点 C ．下列结论：①0abc <；②20a b +<；③420a b c -+>；④30a c +>，其中正确的结论个数为 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 {答案}B {解析}此题考查二次函数图像位置与系数的关系，数形结合是关键．由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，进而判断①；根据对称轴<1求出2a 与b 的关系，进而判断②；根据x ＝﹣2时，y ＞0可判断③；由x ＝-1和2a 与b 的关系可判断④． ∵抛物线开口向上， ∴a >0， ∴0abc >，故①错误； ∴-b <2a ，即2a ＋b >0，故②错误； 当x ＝-2时，y ＝4a -2b ＋c >0，故③正确； 当x ＝-1时，抛物线过x 轴，即a -b ＋c ＝0， ∴b ＝a ＋c ， 又2a ＋b >0， ∴2a ＋a ＋c >0，即3a ＋c >0，故④正确； 故答案选：B ． 36.（2020?湘西州）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的对称轴为x ＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc ＞0，②b ﹣2a ＜0，③a ﹣b +c ＞0，④a +b ＞n （an +b ），（n ≠1），⑤2c ＜3b ．正确的是 （ ） （第10题图） A ．①③ B ．②⑤ C ．③④ D ．④⑤ {答案}D {解析}本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．①由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故此选项错误；②当x ＝﹣2时，y ＝4a ﹣2b +c ＜0，即b ﹣2a ＞ 2 c >0，故此选项错误；③当x=-1时，y=a-b+c ＜0，故此选项错误；④当x ＝1时，y 的值最大．此时，y ＝a +b +c ，而当x ＝n 时，y ＝an 2+bn +c ，所以a +b +c ＞an 2+bn +c ，故a +b ＞an 2+bn ，即a +b ＞n （an +b ），故此选项正确．⑤当x ＝3时函数值小于0，y ＝9a +3b +c ＜0，且x 2b a =- =1，即a 2b =-，代入得9（2 b -）+3b +c ＜0，得2c ＜3b ，故此选项正确；故④⑤正确．因此本题选 D ． 37.（2020·株洲）二次函数2y ax bx c =++，若0ab <，20a b ->，点()11,A x y ，()22,B x y 在该二次函数的图象上，其中12x x <，120x x +=，则（ ） A. 12y y =- B. 12y y > C. 12y y < D. 1y 、2y 的大小无法确 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 定 {答案}B {解析} 首先分析出a,b,x 1的取值范围，然后用含有代数式表示y 1,y 2，再作差法比较y 1,y 2的大小. ∵20a b ->，b 2≥0, ∴a>0. 又∵0ab <， ∴b<0 ∵12x x <，120x x +=， ∴21x x =-,x 1<0. ∵点()11,A x y ，()22,B x y 在该二次函数2 y ax bx c =++的图象上 ∴2 111y ax bx c =++，22 22211y ax bx c ax bx c =++=-+. ∴y 1-y 2=2bx 1>0. ∴y 1>y 2. 故选：B. 38．（2020·天津）已知抛物线（是常数，）经过点，其对称轴 是直线．有下列结论： ①； ②关于x 的方程有两个不等的实数根； ③． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 {答案}C {解析}本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即 . 2 y ax bx c =++,,a b c 0,1a c ≠>()2,01 2 x = 0abc >2ax bx c a ++=12 a <- ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．根据对称轴和抛物线与x 轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断①根据根的判别式，即可判断②；根据以及c=-2a ，即可判断③．∵抛物线经过点，对称轴是直线， ∴抛物线经过点，b=-a 当x= -1时，0=a-b+c ，∴c=-2a;当x=2时，0=4a+2b+c ， ∴a+b=0，∴ab<0，∵c ＞1， ∴abc ＜0，由此①是错误的， ∵，而 ∴关于x 的方程有两个不等的实数根，②正确； ∵，c=-2a>1， ∴，③正确 故选：C. 39．(2020·成都)关于二次函数y ＝x 2+2x ﹣8，下列说法正确的是（ ） A ．图象的对称轴在y 轴的右侧 B ．图象与y 轴的交点坐标为（0，8） C ．图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0） D ．y 的最小值为﹣9 {答案}D{解析}根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 解：∴二次函数y ＝x2+2x ﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+4）（x ﹣2）， ∴该函数的对称轴是直线x ＝﹣1，在y 轴的左侧，故选项A 错误； 当x ＝0时，y ＝﹣8，即该函数与y 轴交于点（0，﹣8），故选项B 错误； 当y ＝0时，x ＝2或x ＝﹣4，即图象与x 轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C 错误；当x ＝﹣1时，该函数取得最小值y ＝﹣9，故选项D 正确；故选：D ． 40．（2020·河北）如图9，现要在抛物线y =x （4-x ）上找点P （a ,b ）.针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下， 甲:若b =5，则点P 的个数为0； 乙:若b =4，则点P 的个数为1； 丙:若b =3，则点P 的个数为1. 下列判断正确的是 A.乙错，丙对 B.甲和乙都错 C.乙对，丙错 D.甲错，丙对 240b ac ->1c >2 y ax bx c =++()2,01 2 x = (1,0)-2 2 2 2 2 4=4(2)890b ac a a a a a a ---=+=>0a ≠2ax bx c a ++=1c >1 2 a <- {答案}C {解析}∵y=x(4-x)=-x2+4x=-（x-2）2+4,∴抛物线的顶点坐标为（2,4），即点P 的纵坐标的最大值为4.∴当b=5时，点P 的个数为0；当b=4时，点P 的个数为1；当b=3时，点P 的个数为2.故甲和丙判断错误，乙判断正确，答案为C. 41．（2020·广东）把函数2 1 2y x 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为 （ ） A ．2 2y x B ．2 1 1y x C ．2 2 2y x D ．2 1 3y x {答案}C{解析}本题考查了二次函数图象的平移，由条件得原函数的顶点为（1，2），向右平移1个单位后变成（2，2），所以新函数为2 22 y x ，也可用规律“左加右减”得 2 22 y x ，因此本题 选C ． 42．（2020·广东）如题10图，抛物线2 y ax bx c 的对称轴是x ＝1.下列结论：∴0abc ；∴ 2 40b ac ；∴80a c ；∴520a b c ，正确的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 {答案}B{解析}本题考查了二次函数的系数与图象的关系、抛物线与一元二次方程的关系，首先通过图象，可得0a 和0c ，再通过对称轴 1x ，可得 2b a 和 1 2b a ，所以0b 和2b a ，所以： （1）0abc ，故∴错误； （2）由于抛物线与x 轴有两个交点，因此所对应的一元二次方程2 0ax bx c 有两个不相等的实数 根，即2 40b ac ，因此∴正确； （3）将2b a 代入原抛物线解析式，得：2 2y ax ax c ，由图象可知，当4x 时，0y ， 因此1680a a c ，即80a c ，故∴正确； （4）由于当1x 和2x 时，都有0y ，所以有：0a b c 和420a b c ，两式相加 得：520a b c ，故∴正确 综上所述，共有3 个正确结论，因此本题选B ． 题10图 43.（2020·牡丹江）如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x ＝2 1 ，且经过点（2，0). 下列说法：∴abc ＜0；∴ -2b+c ＝0；∴4a+2b+c ＜0； ∴若15()2y -，，25 ()2y ，是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；∴41b ＞m(am+b) (其中m≠2 1). 其中说法正确 的是（ ） A. ∴∴∴∴ B. ∴∴∴ C. ∴∴∴ D. ∴∴∴ {答案}A {解析}根据抛物线开口方向得到a ＜0，根据抛物线的对称轴得b ＝﹣a ＞0，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得到c ＞0，则abc ＜0，于是可对①进行判断；根据对称轴和一个与x 轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出c ＝﹣2a ，则得到﹣2b+c ＝0，于是可对②进行判断；由于经过点（2， 0），则得到4a+2b+c ＝0，则可对③进行判断；通过点（25-，y1）和点（2 5 ，y2）离对称轴的远近对④进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x ＝21，开口向下，得到当x ＝21时，y 有最大值，所以4 1 a+ 21b ＞m （am+b ）（其中m≠2 1 ），由a ＝﹣b 代入则可对⑤进行判断．具体判断过程如下： ∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线对称轴为直线x ＝a b 2-＝2 1 ，∴b ＝﹣a ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①正确； ∵对称轴为x ＝2 1 ，且经过点（2，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴ a c ＝﹣1× 2＝﹣2，∴c ＝﹣2a ，∴﹣2b+c ＝2a ﹣2a ＝0，所以②正确； ∵抛物线经过点（2，0）∴x ＝2时，y ＝0，∴4a+2b+c ＝0，所以③错误； ∵点（25-，y1）离对称轴要比点（2 5 ，y2）离对称轴要远，∴y1＜y2，所以④正确． ∵抛物线的对称轴为直线x ＝21，∴当x ＝2 1 时，y 有最大值， ∴41a+21b+c ＞am2+bm+c （其中m≠21），∴41a+21b ＞m （am+b ）（其中m≠2 1 ）， ∵a ＝﹣b ，∴﹣41b+21b ＞m （am+b ），∴4 1 b ＞m （am+b ），所以⑤正确； 故选A. 44．（2020·咸宁）在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在．．．“好点”的是（ ） A. y x =- B. 2y x =+ C. 2 y x = D. 22y x x =- （第12题图） x= 2 O y x {答案}B{解析}本题考查了函数图像上的点的坐标，根据“好点”的定义，好点即为直线y=x 上的点，令各函数中y=x ，A 、x=-x ，解得：x=0，即“好点”为（0，0），故选项不符合；B 、2x x =+，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合；C 、2 x x = ，解得：2x =±，经检验2x =±是原方程的解，即“好点”为（2，2）和（-2，-2），故选项不符合； D 、22x x x =-，解得：x=0或3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合；，因此本题选B ． 45．（2020·凉山州）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，有如下结论：∴abc ＞0；∴2a ＋b ＝0；∴3b －2c ＜0；∴am 2＋bm ≥a ＋b （m 为实数）．其中正确的结论个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 {答案}D{解析}（1）由图可知抛物线开口向上，与y 轴交于负半轴，对称轴为直线x ＝1，∴a ＞0，b ＜0， c ＜0，∴abc ＞0，从而∴正确；（2）∴1 2b a - =，∴b ＝－2a ．∴2a ＋b ＝0，从而∴正确；（3）∴b ＝－2a ，∴3b －2c ＝－2a ＋2b －2c ＝－2(a －b ＋c)．而由图象可知，当x ＝－1时，y ＞0，从而a －b ＋c ＞0，于是－2(a －b ＋c)＜0，从而3b －2c ＜0．故∴正确；（4）由图可知，当x ＝1，ymin ＝a ＋b ＋c ，∴当x ＝m 时，am2＋bm ＋c≥a ＋b ＋c ，即am2＋bm≥a ＋b （m 为实数），从而∴正确．故选D ． 46．（2020·抚顺本溪辽阳）如图，在Rt∴ABC 中，∴ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22，CD ∴AB 于点D ．点P 从点A 出发，沿A D C →→的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE ∴AC 于点E ，作PF ∴BC 于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. {答案}A{解析}根据三个角是直角，得出四边形CEPF 为矩形，再结合△APE 是等腰直角三角形，用含x 的代数式表示矩形的边PE 与EC 的长，求出矩形CEPF 的面积，再利用二次函数图像性质即可求解． Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22，则AD ＝DC ＝2．∵PE ⊥AC ， PF ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠PEC ＝∠PFC ＝90°，∴四边形CEPF 为矩形．当点P 在AD 上时，即0≤x≤2，∵在等腰直角△APE 中，AE ＝PE ＝22x ，∴EC ＝AC －AE ＝22－22x ，∴矩形CEPF 的面积y ＝PE·EC ＝22x ×(22 A B C E D P F 1 24321x y O O y x 123421 O y x 1 2 3 421 1 24321x y O 第12题图 32 1-1O x =1 y x －2)＝－1 2x2＋2x ；如图，当点P 在CD 上时，即2≤x≤4，由题意可知四边形CEPF 为正方形，此 时CP ＝4－x ，∴四边形形CEPF 的面积y ＝12CP2＝1 2 (4－x)2．结合所求的函数关系式，及二次函数 图像性质，可知选项A 正确．故选择A ． 47.（2020·安顺）已知二次函数2 y ax bx c =++的图象经过(3,0)-与(1,0)两点，关于x 的方程 20ax bx c m +++=(0)m >有两个根，其中一个根是 3.则关于x 的方程20ax bx c n +++=(0)n m <<有两个整数根，这两个整数根是（ ） A.2-或0 B.4-或2 C.5-或3 D.6-或4 {答案}B{解析} ∵二次函数2y ax bx c =++的图象经过(3,0)-与(1,0)两点，∴抛物线的对称轴为直线 1,x =-又∵关于x 的方程20ax bx c m +++=(0)m >有两个根，其中一个根是3，∴另一个根为－ 5.∵0n m <<，且方程20ax bx c n +++=有两个整数根，∴20ax bx c n +++=的根的范围分别是 12533x x <<<<－－，１，∴方程的两个整数根分别为－4或2. 48．（2020·滨州）对称轴为直线x ＝1的抛物线2 y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，(且a≠0)如图所示，小明同学得出了以下结论：∴abc ＜0，∴b 2＞4ac ，∴4a ＋2b ＋c ＞0，∴3a ＋c ＞0，ya ＋b ≤m (am ＋b )（m 为任意 实数），∴当x ＜－1时，y 随x 的增大而增大，其中结论正确的个数为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 {答案}A {解析}本题考查了二次函数图象与系数的关系，：①由图象可知：a ＞0，c ＜0，∵2b a - =1，∴b=-2a ＜ 0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2-4ac ＞0，∴b2＞4ac ，故②正确；③当x=2，y=4a+2b+c ＜0，故③错误；④当x=-1时，y=a-b+c ＞0，∴3a+c ＞0，故④正确；⑤当x=1时，y 的值最小，此时，y=a+b+c ，而当x=m 时，y=am2+bm+c ，所以a+b+c≤am2+bm+c ，故a+b≤am2+bm ，即a+b≤m （am+b ），故⑤正确，⑥当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故⑥错误，因此本题选A ． D A B C E F P