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高斯光束通过空间滤波器的传输特性_贾雪梅

文章编号:0258

-7025(2006)09-1220-05高斯光束通过空间滤波器的传输特性

贾雪梅,谢兴龙

(中国科学院上海光学精密机械研究所,上海201800)

摘要采用矩阵分解和用有限个复高斯函数之和逼近硬边光阑窗口函数相结合的方法,从柯林斯衍射积分公式出发,对高斯光束通过空间滤波器的传输特性进行了分析,得到了相应的解析式。通过对解析式的数值模拟,得出了直观的结果,并进行了误差分析。数值计算结果表明,最佳滤波小孔尺寸的选择和计算误差均与光束的截断参数有关。在此基础上,进一步研究了空间滤波器具有像传递功能时,高斯光束和平顶高斯光束(N =12)通过空间滤波器的传输特性,得出了截断参数与滤波后光强分布的关系,并证实了此方法也可用于计算其他类型光束通过空间滤波器的传输。

关键词激光光学;高斯光束;平顶高斯光束;空间滤波器;矩阵分解中图分类号 T N 012 文献标识码 A

Propagation Property of Gaussian Beams Passing

through Spatial Filter

JIA Xue -mei,XIE Xing -long

(Shanghai I nstitute of Op tics and F ine M echanics ,T he Chinese A cademy of S ciences ,S hang hai 201800,China)Abstract Based on the metho d of mat rix decomposition and expanding the r ectang ular functio n into a sum o f

co mplex G aussian functio ns and the Co llins diff ractio n integ ral for mulae,the pr opagation char act eristics o f a Gaussian beams passing through spatial filter are studied.A s a result,co rr espo nding analy tical formulae ar e obtained r espectively.By using the numer ical method,the analy tical fo rmulae ar e numerically simulated and the results can be go t fro m t he simulated fig ur e.N umer ical calculations hav e show n the dependence of the optimum pinhole size o n the tr uncatio n parameter s o f the beams.A s further ex tension ,numer ical calculations ar e perfo rmed for G aussian beams and flattened G aussian beams (N =12)pr opagat ing in spatial filt er o f B =0.T he relat ion o f truncation par ameter and intensity dist ribution of G aussian beams passing thro ug h filter is o btained.

Key words laser optics;G aussian beams;flattened G aussian beams;spatial filter;matrix decompositio n

收稿日期:2005-11-15;收到修改稿日期:2006-04-25

作者简介:贾雪梅(1980)),女,辽宁沈阳人,中国科学院上海光学精密机械研究所硕士研究生,主要从事高功率激光脉冲传输特性研究工作。E -mail:aimeejia@https://www.wendangku.net/doc/677820941.html,

导师简介:谢兴龙(1968)),男,中国科学院上海光学精密机械研究所研究员,博士,主要从事超短脉冲与强激光技术的研究。E -mail:xiexl329@https://www.wendangku.net/doc/677820941.html,

1 引言

在高功率激光装置中,空间滤波器是一个非常重要的器件[1]。它结构简单,由一对共焦的正透镜和焦面上的滤波小孔组成[2]

。它的主要作用是空间滤波,即利用小孔滤除入射光束中的高频分量,使输出光强均匀化,在有效提高系统光学元件能量负载的同时,大大提高了系统的可输出功率和可聚焦功率[3]

。此外,它的滤波小孔还具有一定的光隔离能

力,有利于抑制自激振荡和反向光束。当空间滤波器的入射面和出射面间的变换矩阵

C D

满足B

=0的关系时,系统的菲涅耳数N 趋近于无穷,相当于传输距离为0,物像可以不失真地传输,这时空间滤波器具有像传递功能,利用像传递功能可以最大程度地抑制衍射的影响,改善光束质量[4]。因而,定量地研究高斯光束在空间滤波器中的传输特性对高功率激光系统的总体设计至关重要。本文采用将硬

第33卷第9期2006年9月

中国激光

CH INESE JOURNAL OF LASERS

Vo l.33,N o.9

September,2006

边光阑的光阑窗口函数展开为有限个复高斯函数之和以及

A B

矩阵分解方法得出高斯光束通过空间滤波器的传输解析公式,并进一步对高功率激光系统中常用到的平顶高斯光束进行了研究,然后对计算误差及B =0时高斯光束和12阶的平顶高斯光束通过空间滤波器的传输特性进行了数值计算和分析。

2 理论模型

空间滤波器系统如图1所示。滤波小孔半宽为r,入射参考面RP 1到透镜F 1的距离和透镜F 2到出射参考面RP 2的距离分别为l 1,l 2,F 1,F 2的焦距为

f 1,f 2。

图1空间滤波器系统Fig.1A spatial filter system

只考虑一维时的情况,根据柯林斯衍射积分公式[5],高斯光束通过受半宽为r 的光阑限制的A B

C D 光学系统后的光场分布为

E out (x ,z )=

i k 2P B Q r

-r E in (x 0,0)@exp -i k 2B

(Ax 20-2xx 0+Dx 2

)d x 0,(1)

其中k =2P /K 为波数,K 为波长,E in 为入射光场分布。

通常以柯林斯衍射积分公式为基础计算光束通过系统中内含有光阑限制的传输非常烦杂,所以我们采用矩阵分解和J.J.Wen 等提出的用有限个复高斯函数之和逼近硬边光阑窗函数相结合的方法[6],将

A B

C D 矩阵等效分解为A B C

D =a 2b 2c 2d 2

a 1

b 1

c 1

d 1

(2)

到小孔所在平面RP 0之间和RP 0至出射参考面RP 2之间光学系统的传输矩阵,如图2所示。

图2将复杂的光学系统分解成两个

a b c d

光学系统和一个硬边光阑

F ig.2Complicat ed optical system consist ing of t wo a

c d

optical sy stems and inter nal hard -edg e aper tur e

a 1

b 1

c 1

d 1

1f 1

10-1f 11

1l 10

0f 1

-1

f 11-l 1f 1

,(3)

a 2

b 2

c 2

d 2

1l 2

01 10-

1f 2

11f 2

l 2f 2

f 2

-1f 2

,(4)

这样,高斯光束通过空间滤波器的传输就可以看作是高斯光束依次通过a 1b 1c 1

d 1

光学系统、硬边光阑

和

a 2

b 2

c 2

d 2

光学系统的传输。

设高斯光束在入射参考面RP 1上的光场分布为

E 0(x 0,0)=ex p (-x 20/w 2

0),

(5)

其中w 0为高斯光束的束腰半径。根据柯林斯衍射积分公式

[5]

E 1(x 1,z )=i k 2P b 1Q ]

E 0(x 0,0)@exp -

i k 2b 1

(a 1x 20-2x 1x 0+d 1x 2

1)d x 0,(6)

将(5)式代入(6)式并利用积分公式

1221

9期贾雪梅等:高斯光束通过空间滤波器的传输特性

Q ]

ex p [-

(a 2x 2

+bx )]d x =

ex p -b 2a

,(7)

积分得

E 1(x 1,z )=

i k 2P b 1exp -i kd 12b 1

x 2

P P 1exp -k 2x 2

14b 21P 2

(8)

其中

P 21=

1w 2

+i k a 12b 1,(9)(8)式为高斯光束通过a 1b 1

c 1

d 1

光学系统后到达小

孔所在平面RP 0前场分布的解析表达式。

小孔即半宽为r 的硬边光阑的孔径函数T (x )=

1,x

0,x >r

(10)

T(x )可展开为有限复高斯函数之和

T (x )=210

m=1F m exp -G m x 2

r 2

(11)

其中F m 和G m 分别为展开系数和复高斯函数系数,它们可直接通过数值优化得到[6]。

利用柯林斯衍射积分公式[5]

,高斯光束通过硬

边光阑和a 2b 2

c 2

d 2

光学系统后的场分布为

E 2(x 2,z )=

i k 2P b 2Q ]

E 1(x 1,z )T(x )@ex p -i k 2b 2

(a 2x 21-2x 2x 1+d 2x 2

2)d x 1,

(12)

将(8)式和(11)式代入(12)式积分得

E 2(x 2,z )=

i k 2P b 1i k 2P b 2ex p -i kd 22b 2

x 2

210

m=1F m P P 1P P 2ex p -k 2x 224b 22P 22

,(13)其中P 22=i ka 22b 2+i kd 12b 1+k 2

4b 21P 21+G m r

2,(14)(13)式就是我们得到的高斯光束通过空间滤波器的传输解析式,此种算法也可以用于研究其他类型的光束通过空间滤波器的传输变换问题。

在高功率激光技术中经常用到一种理论模型是光强为平顶分布的高斯光束[7],作为上述计算方法的推广应用,本文计算了平顶高斯光束在空间滤波器中的传输。

设平顶高斯光束在入射参考面RP 1上的光场

分布为[8]

E 0(x 0,0)=exp -(N +1)x 20

w 20

@2N

n=01n!(N +1)x 2

0w 20n

,(15)

式中N 为平顶高斯光束的阶数,w 0为平顶高斯光束

的束腰半径。将(15)式代入(6)式,利用积分公式

Q ]

x 2n

ex p (-A 2

x 2

)co s(i xy )d x =

(-1)n P 1/2(2A )

-(2n +1)

ex p -y

H 2n y 2A ,(16)

积分得到平顶高斯光束通过

a 1

b 1

c 1

d 1

光学系统后

到达小孔所在平面RP 0前场分布的解析表达式

E 1

(x 1

,z )=

i k 2b 1ex p -i kd 12b 1

x 2

12N

n=0

@-14

R P

2n +1

exp -

kx 12b 1P

@H 2n i k

2b 1P x 1,

(17)

其中

P =

N +1w 20+i ka 1

2b 1

1/2

,(18)R =N +1

w 20

1/2

(19)

然后将(17)式代入(12)式,利用积分公式

Q ]

ex p -(x -y )

2u H n (x )d x =2P u(1-2u)n/2H n

(1-2u)1/2

(20)

得到平顶高斯光束通过空间滤波器的传输解析式E 2(x 2,z )=i

b 1b 2exp -i kd 22b 2

x 2

210

m=1F m @2N

n =01n!Q -1/214Q -14n

P 2n

exp -b 2

1P 2

b 22

x 2

2H 2n i

Pb 1Qb 2

x 2

1-1Q

1/2

,(21)

其中

Q =-

i ka 22b 2+i kd 12b 1+k 24b 21P 2+G m r 24P 2b 21

2,(22)

当N =0时,由(21)式得到高斯光束通过空间滤波器的传输方程。

1222中国激光 33卷

3 数值计算结果及分析

为了讨论(13)式的计算误差,比较了(13)式的计算结果即光束通过空间滤波器后的光强I 1和用

柯林斯衍射积分公式[5]

直接进行积分得到的计算

结果光强I 2,如图3所示。设w 0=1mm,f 1=f 2=1m ,l 1=0,l 2=1m,K =1.053L m,截断参数D (D =r /w 0)的取值分别为5,1,0.5,0.1

。

图3高斯光束通过空间滤波器的光强分布

F ig.3Intensity distr ibut ions of a Gaussian beam pro pag ating in spatial filter I (x /w 0,z )

图3(a)中,D =5,此时光阑效应可以忽略[9]

两条曲线在光强最大值附近相对误差D I /I 2=(I 2-I 1)/I 2=2.23%,图3(b),(c),(d)中光强最大值附近相对误差分别为2.22%,1.09%和0.11%。比较图3(b),(c),(d)可知,当光阑效应不能忽略时,相对误差随着截断参数D 的减小而减小。计算误差主要是由孔径函数展开为复高斯函数之和时引起的,当不考虑J.J.W en 等方法[6]

的计算误差时,我们采用的矩阵分解的计算方法是准确的。

图4,图5分别表示的是当B =0即像传递时,高斯光束和平顶高斯光束(N =12)通过空间滤波器的传输特性。其中w 0=1mm,f 1=f 2=1m,l 1=0,l 2=2m,K =1.053L m 。

图4中I 0表示入射高斯光束的光强分布,I 1,I 2,I 3分别表示高斯光束通过空间滤波器后,截断参数D 分别为0.3,0.2,0.1时的光强分布。其对应的滤波小孔的截止频率分别为 1.79mm -1,1.19mm

-1

,0.60mm -1

;小孔能滤去空间波长小于

51mm ,5.27mm,10.53m m 的空间调制。由于

图4B =0时高斯光束通过空间滤波器的光强分布Fig.4I ntensity distr ibutions of a G aussian beam propagat ing in spatial f ilter I (x /w 0,z )o n B =0

输入光束为标准的高斯光束,不存在高频波,因此从图中观察不到光场中的空间高频分量被滤去的现象。但是,从图中可以看到由于滤波小孔的存在而造成出射光强分布的衍射调制,截断参数越小,衍射效应越明显。另一方面,滤波小孔的存在使光能量损失,截断参数越小,光能量损失越大。

1223

9期贾雪梅等:高斯光束通过空间滤波器的传输特性

图5B=0时平顶高斯光束通过空间滤波器的

光强分布

F ig.5Intensity distr ibutions of a flattend

G aussian beam

pro pag ating in spatia l filter I(x/w0,z)on B=0

图5中I0表示入射平顶高斯光束的光强分布, I1,I2,I3,I4分别表示平顶高斯光束(N=12)通过空间滤波器后,截断参数D分别为3,2,0.8,0.2时的光强分布。从图中可以看出当D\3时,光阑的效应可以忽略;当D=2时,出射光束带有高频分量,随着小孔半径的减小,当D=0.8时光场中的高频分量逐渐被滤去,出射光束恢复为平顶高斯光束,但光束的束腰有所减小。随着截断参数D的继续减小,出射光束不再是平顶高斯光束而是出现了带旁瓣的类高斯分布,不但降低了光束质量,而且损失了更多的光能量,增大了衍射调制。

4结论

本文采用矩阵分解和J.J.Wen等提出的用有限个复高斯函数之和逼近硬边光阑窗函数相结合的方法,推导出了高斯光束通过空间滤波器的传输解析式,并进一步推广于平顶高斯光束的计算。数值计算结果表明,虽然截断参数越小,计算误差越小,但光场的衍射调制会随之增大,光能量随之减小。因此在设计空间滤波器时,要根据实际情况适当选择滤波小孔的尺寸,以达到最佳的滤波效果。此研究方法可推广于其他类型的光束通过空间滤波器的传输研究,以及高功率激光装置中多级空间滤波器的滤波研究。

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