二次函数周长最小问题

周长最小问题

基本解题方法：

1.如图，已知抛物线y＝ax2－4x＋c经过点A（0，－6）和B（3，－9）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；

（3）点P（m，m）与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；

（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小．

解：（1）依题意有???a ×0 2

－4×0＋c ＝－6

a ×3

2

－4×3＋c ＝－9

即?????c ＝－69a －12＋c ＝－9 ······················································································· 2分 ∴?

????a ＝1c ＝－6 ······································································································ 4分 ∴抛物线的解析式为：y ＝x

2

－4x －6 ··························································· 5分

（2）把y ＝x

2－4x －6配方，得y ＝(x －2)2

－10

∴对称轴方程为x ＝2 ··················································································· 7分 顶点坐标（2，－10） ·················································································· 10分 （3）由点P （m ，m ）在抛物线上

得m ＝m

2

－4m －6 ······················································································· 12分

即m

2

－5m －6＝0

∴m 1＝6或m 2＝－1（舍去） ······································································ 13分 ∴P （6，6）

∵点P 、Q 均在抛物线上，且关于对称轴x ＝2对称

∴Q （－2，6） ··········································································································· 15分 （4）连接AP 、AQ ，直线AP 与对称轴x ＝2相交于点M

由于P 、Q 两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M 能够使得△QMA 的周长最小 ································································································· 17分 设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋b

则?????b ＝－66k ＋b ＝6 ∴?

????k ＝2b ＝－6 ∴直线AP 的解析式为：y ＝2x －6 18分 设点M （2，n ）

则有n ＝2×2－6＝－2 19分

此时点M （2，－2）能够使得△QMA 的周长最小 20分

2.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－3x －3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝ax 2

－

3

3

2x ＋c （a ≠0）经过点A 、C ，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；

（2）若P 是抛物线上一点，且△ABP 为直角三角形，求点P 的坐标；

（3）在直线AC 上是否存在点Q ，使得△QBD 的周长最小，若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）∵直线y ＝－3x －3与x 轴交于点A ，与y 轴交于C ∴A （－1，0），C （0，－3） ∵点A ，C 都在抛物线上

∴???a ＋332＋c ＝0c ＝－3 解得???a ＝33c ＝－3

∴抛物线的解析式为y ＝33x

2－332x －3＝33( x －1)2

－334∴顶点D 的坐标为（1，－3

34） （2）令

33x

2－3

3

2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3 ∴B （3，0） ∴AB 2

＝( 1＋3)2

＝16，AC 2

＝1

2

＋( 3)2

＝4，BC 2

＝3

2

＋( 3)2

＝12 ∴AC 2

＋BC 2

＝AB 2

，∴△ABC 是直角三角形∴P 1（0，－3）

由抛物线的对称性可知P 2的纵坐标为－3

（3）存在．延长BC 到点B ′，使B ′C ＝BC ，连接B ′D 交直线过点B ′ 作B ′H ⊥x 轴于H

在Rt △BOC 中，∵BC ＝12＝32， ∴BC ＝2OC ∴∠OBC ＝30°

∴B ′H ＝21

BB ′＝BC ＝32，BH ＝3B ′H ＝6，∴OH ＝3

∴B ′（－3，－32）设直线B ′D 的解析式为y ＝kx ＋b ，则：

???

－32＝－3k ＋b

－3

34＝k ＋b 解得?????k ＝63b ＝－2

33联立???y ＝－3x －3y ＝63x －233 解得?????x ＝73y ＝－7310∴Q （73

，－7310）故在直线AC 上存在点Q ，使得△QBD 的周长最小，Q 点的坐标为（7

3

，－7310）

3.在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点．

（Ⅰ）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；

（Ⅱ）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．

解：（Ⅰ）如图1，作点D 关于x 轴的对称点D ′，连接CD ′

与x 轴交于点E ，连接DE

若在边OA 上任取点E ′（与点E 不重合），连接CE ′、DE ′、D ′E ′ 由DE ′＋CE ′＝D ′E ′＋CE ′＞CD ′＝D ′E ＋CE ＝DE ＋CE 可知△CDE 的周长最小

∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点 ∴BC ＝3，D ′O ＝DO ＝2，D ′B ＝6

∵OE ∥BC ，∴Rt △D ′OE ∽Rt △D ′BC ，∴BC OE ＝

B

D O

D '' ∴O

E ＝

B

D O D ''·BC ＝62

×3＝1 ∴点E 的坐标为（1，0） ······································································ 6分

（Ⅱ）如图2，作点D 关于x 轴的对称点D ′，在CB 边上截取CG ＝2，连接D ′G 与x 轴交于点E ，在EA 上截取EF ＝2，则四边形GEFC 为平行四边形，得GE ＝CF 又DC 、EF 的长为定值，∴此时得到的点E 、F 使四边形CDEF 的周长最小 ∵OE ∥BC ，∴Rt △D ′OE ∽Rt △D ′BG ，∴

BG OE ＝

B

D O

D '' ∴O

E ＝

B D O

D ''·BG ＝

B D O

D ''·(BC －CG )＝62×1＝3

1

∴OF ＝OE ＋EF ＝3

1＋2＝37

∴点E 的坐标为（31，0），点F 的坐标为（37

，0） ························ 10分

3.如图，抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；

（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；

（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．

解：（1）由题意，得?

????16a －4b ＋4＝04a ＋2b ＋4＝0 解得a ＝－21，b ＝－1

∴抛物线的函数解析式为y ＝－

21x

2－x ＋4

，顶点D 的坐标为（－1，2

9

） ··································································································· 4分

（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．因为EF 垂直平分BC ，即C 关于直线EG 的对称

点为B ，连结BD 交EF 于一点，则这一点为所求点H ，使DH ＋CH 最小，即最小为：

DH ＋CH ＝DH ＋HB ＝BD ＝22DM BM

＋＝132

3

而CD ＝2242

9

1)(-

＋＝25

∴△CDH 的周长最小值为CD ＋DR ＋CH ＝213

35+ ··

设直线BD 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，则 ?

??

??2k 1＋b 1＝0

－k 1＋b 1＝

2

9

解得k 1＝－

2

3

，b 1＝3 ∴直线BD 的解析式为y ＝－2

3

x ＋3 由于BC ＝52，CE ＝

2

1

BC ＝5，Rt △CEG ∽Rt △COB

得CE :

CO ＝CG :

CB ，∴CG ＝

25，GO ＝23，∴G （0，

3） 同理可求得直EF 的解析式为y ＝21x ＋2

3

联立 ????

?y ＝－23x ＋3y ＝21x ＋23 解得?

???

?x ＝

4

3y ＝

8

15

故使△CDH 的周长最小的点H 坐标为（43，8

15

）

（3）设K （t ，－

2

1t

2

－t ＋4

），x F ＜t ＜x E ．过K 作x 则KN ＝y K

－y N

＝－

21t

2－t ＋4－(21t ＋23)＝－21t

2－23t ＋2

5 ∴S △EFK

＝S △KFN

＋S △KNE

＝

21KN (t ＋3)+2

1

KN (1－t )＝2KN ＝－t

2

－3t ＋5＝－(t ＋

23)

2＋4

29

···················································· 10分 ∴当t ＝－

23时，△EFK 的面积最大，最大面积为429，此时K （－23，835

） ································································································· 14分

4.如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其顶点为A （0，1）、B （－33，1）、C （－33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （－3，1）、F （－334，0）的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的

对应点分别为B ′、C ′．

（1）求折痕所在直线EF 的解析式；

（2）一抛物线经过B 、E 、B ′

三点，求此二次函数解析式；

（3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由．

解：（1）由于折痕所在直线EF 过E （－3，1）、F （－

3

3

4，0） ∴tan ∠EFO ＝3，直线EF 的倾斜角为60° ∴直线EF 的解析式为：y －＝tan60°[x －(－3)]

化简得：y ＝3x ＋4． ································································································· 3分 （2）设矩形沿直线EF 向右下方翻折后，B 、C 的对应点为B ′（x 1，y 1），C ′（x 2，y 2） 过B ′

作B ′A ′

⊥AE 交AE 所在直线于A ′

点

∵B ′E ＝BE ＝32，∠B ′EF ＝∠BEF ＝60° ∴∠B ′EA ′＝60°，∴A ′E ＝3，B ′A ′＝3

∴A 与A ′

重合，B ′

在y 轴上，∴x 1＝0，y 1＝－2，即B ′（0，－2）

【此时需说明B ′（x 1，y 1）在y 轴上】 ······································································· 6分 设二次函数的解析式为：y ＝ax

2

＋bx ＋c

∵抛物线经过B （－33，1）、E （－3，1）、B ′（0，－2） ∴?

??27a －33b ＋c ＝13a －3b ＋c ＝1c ＝－2 解得???

?

?

?

???

2

33431－－－ ＝＝＝c b a

∴该二次函数解析式为：y ＝－31x

2－33

4

x －2 ·

························································· 9分 （3）能，可以在直线EF 上找到P 点，连接B ′C 交EF 于P 点，再连接BP 由于B ′P ＝BP ，此时点P 与C 、B ′

在一条直线上，故BP ＋PC ＝B ′P ＋PC 的和最小

由于为BC 定长所以满足△PBC 周长最小． ······························································ 10分 设直线B ′C 的解析式为：y ＝kx ＋b 则?????b

k b

＋＝＝－－

3302 解得??

???2932－－ ＝＝

b k ∴直线B ′C 的解析式为：y ＝－9

3

2x －2

····················································· 12分

又∵点P 为直线B ′C 与直线EF 的交点

∴?????4

3 29

32

＋＝＝－－x x y y 解得???

????1110 31118

－－＝＝y x ∴点P 的坐标为（－31118，－11

10

） ·

······································································· 14分

二次函数专题训练(三角形周长最值问题)含问题详解

1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式； （2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值； （3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E． （1）求直线AD的解析式； （2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM 重合部分的面积是?APQM面积的时，求?APQM面积．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值； （3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

2019年海南中考数学压轴题预测周长最小问题(含答案)

二次函数中周长最小问题 专题训练 1.如图，已知抛物线y ＝ax 2 －4x ＋c 经过点A （0，－6）和B （3，－9）． （1）求抛物线的解析式； （2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标； （3）点P （m ，m ）与点Q 均在抛物线上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 的坐标； （4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M ，使得△QMA 的周长最小．

解：（1）依题意有???a ×0 2 －4×0＋c ＝－6 a ×3 2 －4×3＋c ＝－9 即?????c ＝－69a －12＋c ＝－9 ····································································· 2分 ∴? ????a ＝1c ＝－6 ················································································· 4分 ∴抛物线的解析式为：y ＝x 2 －4x －6 ··············································· 5分 （2）把y ＝x 2－4x －6配方，得y ＝(x －2)2 －10 ∴对称轴方程为x ＝2 ·································································· 7分 顶点坐标（2，－10）·································································· 10分 （3）由点P （m ，m ）在抛物线上 得m ＝m 2 －4m －6 ······································································ 12分 即m 2 －5m －6＝0 ∴m 1＝6或m 2＝－1（舍去） ························································ 13分 ∴P （6，6） ∵点P 、Q 均在抛物线上，且关于对称轴x ＝2对称 ∴Q （－2，6） ··················································································· 15分 （4）连接AP 、AQ ，直线AP 与对称轴x ＝2相交于点M 由于P 、Q 两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M 能够使得△QMA 的周长最小 17分 设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋b 则?????b ＝－66k ＋b ＝6 ∴?????k ＝2b ＝－6 ∴直线AP 的解析式为：y ＝2x －6 18分 设点M （2，n ） 则有n ＝2×2－6＝－2 19分 此时点M （2，－2）能够使得△QMA 的周长最小 20分

2019数学中考复习——二次函数周长最小问题(含答案)

二次函数中周长最小问题 专题训练 1.如图，已知抛物线y＝ax2－4x＋c经过点A（0，－6）和B（3，－9）． （1）求抛物线的解析式； （2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小． O A B x y -6 -9 3

解：（1）依题意有???a ×0 2－4×0＋c ＝－6 a ×3 2－4×3＋c ＝－9 即?????c ＝－6 9a －12＋c ＝－9 ····································································· 2分 ∴?????a ＝1c ＝－6 ················································································· 4分 ∴抛物线的解析式为：y ＝x 2－4x －6 ··············································· 5分 （2）把y ＝x 2－4x －6配方，得y ＝(x －2)2－10 ∴对称轴方程为x ＝2 ·································································· 7分 顶点坐标（2，－10）·································································· 10分 （3）由点P （m ，m ）在抛物线上 得m ＝m 2－4m －6 ······································································ 12分 即m 2－5m －6＝0 ∴m 1＝6或m 2＝－1（舍去） ························································ 13分 ∴P （6，6） ∵点P 、Q 均在抛物线上，且关于对称轴x ＝2对称 ∴Q （－2，6） ··················································································· 15分 （4）连接AP 、AQ ，直线AP 与对称轴x ＝2相交于点M 由于P 、Q 两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M 能够使得△QMA 的周长最小 17分 设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋b 则?????b ＝－6 6k ＋b ＝6 ∴?????k ＝2b ＝－6 ∴直线AP 的解析式为：y ＝2x －6 18分 设点M （2，n ） 则有n ＝2×2－6＝－2 19分 此时点M （2，－2）能够使得△QMA 的周长最小 20分

二次函数周长最大最小

二次函数专题之------引例：如图，在一条河的一边，有A 、B 要在河边建一水泵站，使它到两村庄的距离之和 最短，你知道水泵站的位置吗？ 1、如图，在直角坐标系中， Rt △ AOB 的顶点坐标分别为 把△AOB 绕 O 点按逆时针方向旋转 90 °得到△ COD ； （ 1 ）求 C 、 D 的坐标； （ 2）求经过 C 、 D 、 B 三点的抛物线的解析式； （3 ）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ PCD 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； 2、 抛物线 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 交 x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点且B （3，0），C （0，－3）； （1）求二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使点P 到 B 、 C 两点距离之差最大？若存在，求出点P 坐标； 若不存在，说明理由； （3）平行于x 轴的一条直线交抛物线于M 、N 两点， 若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径； 3、如图，已知△ABC 是边长为4的等边三角形，BC 在x 限内，AB 与x 轴正半轴相交于点E ，点B 的坐标是（－`1，0），P 点是AC 上的动点（P 不与A 、C 重合） （1）写出点A 、点E 的坐标； （2）若抛物线2 7 y x bx c =-++经过A 、E 两点， 求抛物线的解析式； （3）求点P ，使得△PBD 的周长最小；并验证此时点P 是否在抛物线上； 4、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0），C （5，0） （1）求此抛物线的解析式； （2）若点D 为线段OA 的一个三等分点， 求直线DC 的解析式； （3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点 （设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ）， 最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长； 4、已知平面直角坐标系，A 、B 两点的坐标分别是（2，―3），（4，―1）； 密 封 线 内 不 得 答 题 y

二次函数线段、周长、面积最值问题

二次函数线段、周长、面积最值问题 1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C 点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． （变式）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x 轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值； （3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S． ①求S与m的函数关系式； ②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

2．已知：抛物线l1：y=-x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，- 5/2）． （1）求抛物线l2的函数表达式； （2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标； （3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．

二次函数及三角形周长,面积最值问答

二次函数与三角形周长，面积最值问题 知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例1.(2018·宜宾)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。

练习 1、如图，已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）． y ax x c （1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出y x O A B

2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE长度的最大值；

练习 1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，1、如图，抛物线y= 2 0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论； ⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． （4）过点F作FG垂直X轴，并与直线BC交于点H，求FH的最大值。

二次函数最值问题与解题技巧(个人整理)

一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题 1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于 x轴、y轴 2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长 4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和） 5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长 最值 2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长 3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量 2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值 3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴） 1）首先表示出所需的边长及高 2）利用求面积公式表示出面积 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1）分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2）再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1）利用大减小，不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的 面积来得到

数学二次函数与三角形面积(周长最小与面积最大问题2)

1．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 经过点A （1，0），C （0，3），且对称轴为直线x=﹣1． （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线上是否存在点P ，使△PAB 得面积为10，请写出所有点P 的坐标． 2、（2016秋·新泰市月考）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y= 212 x +bx+c 经过点A （-2,0），C （4,0）两点，和y 轴相交于点B ，连接AB ，BC. （1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC 上方的抛物线上，找一点D ，使S △B CD ：S △ABC =1:4，并求出此时点D 的坐标. 3、（永州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为（-1，0）、（03），点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线x=1，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ． （1）求该二次函数的解析式； （2）若设点P 的横坐标为m ，用含m 的代数式表示线段PF 的长； （3）求△PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标． 4．（2012?）已知抛物线y=ax 2 +2x+c 的图象与x 轴交于点A （3，0）和点C ，与y 轴交于点B （0，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标； （3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2011?）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C （5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． 6．（2013?）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物 线交于点A、C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． 7．（2009?江津区）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由． 8、如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0,4），B（1,0），C（5,0）,对称轴与x轴相交于点M. （1）求抛物线的解析式和对称轴.

二次函数与三角形周长,面积最值问题

知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例1.(2018·宜宾)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。 练习 1、如图，已知二次函数24 y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐

标． 2、如图，抛物线y =ax 2-5ax +4（a ＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使|MA -MB |最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0， 3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE ⊥BC 于E ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE 长度的最大值；

练习 1、如图，抛物线y =2 1x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值． （4）过点F 作FG 垂直X 轴，并与直线BC 交于点H ，求FH 的最大值。 2、 如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x = -与抛物线214 y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ．设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．

二次函数周长最小问题

周长最小问题 基本解题方法： 1.如图，已知抛物线y＝ax2－4x＋c经过点A（0，－6）和B（3，－9）． > （1）求抛物线的解析式； （2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标； （4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小． 、

解：（1）依题意有???a ×02 －4×0＋c ＝－6 a ×32 －4×3＋c ＝－9 即?????c ＝－69a －12＋c ＝－9 ······················ 2分 ∴??? ? ?a ＝1c ＝－6 ·························· 4分 ∴抛物线的解析式为：y ＝x 2 －4x －6 ·············· 5分 （2）把y ＝x 2－4x －6配方，得y ＝(x －2)2 －10 ∴对称轴方程为x ＝2 ····················· 7分 < 顶点坐标（2，－10） ····················· 10分 （3）由点P （m ，m ）在抛物线上 得m ＝m 2 －4m －6 ······················· 12分 即m 2 －5m －6＝0 ∴m 1＝6或m 2＝－1（舍去） ··················· 13分 ∴P （6，6） ∵点P 、Q 均在抛物线上，且关于对称轴x ＝2对称 ∴Q （－2，6） ························· 15分 （4）连接AP 、AQ ，直线AP 与对称轴x ＝2相交于点M 由于P 、Q 两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M 能够使得△QMA 的周长最小 ·························· 17分 设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋b 、

二次函数面积和周长最值问题

二次函数面积和周长最值问题 15、[淮南市洞山中学第四次质量检测，21,12分]（本题12分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、 B（5，0）、C（0，5）三点。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）过点C的直线y=kx+b与这个二次函数的图象相交于点E（4,m），请求出△CBE的面积S的值。 16、（2012 0)三点. (1)求抛物线的解析式；(3分) (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M 求出S的最大值；(4分) (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x 形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.(3分) 25．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线k y= x 2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC与△ABE的面积； （3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？ 若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． y

12．（山东省临沂市）如图，抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 2. 如图，在平面直角坐标系中，两个一次函数y=x ，y=122+-x 的图象相交于点A ，动点E 从O 点出发，沿OA 方 向以每秒1个单位的速度运动，作EF ∥y 轴与直线BC 交于点F ，以EF 为一边向x 轴负方向作正方形EFMN ，设正方形EFMN 与△AOC 的重叠部分的面积为S. （1）求点A 的坐标； （2）求过A 、B 、O 三点的抛物线的顶点P 的坐标； （3）当点E 在线段OA 上运动时，求出S 与运动时间t （秒）的函数表达式； （4）在（3）的条件下，t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？此时（2）中的 抛物线的顶点P 是否在直线EF 上，请说明理由. 11.如图12-2，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B ． （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2） 求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △； （3） 设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ， 使S △P AB =8 9 S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． -2 图12-2 x C O y A B D 1 1

二次函数中线段或多边形周长最值问题

中考数学压轴题突破 二次函数中线段或多边形周长最值问题 一．二次函数与线段最值 例 1:抛物线 y=－x 2 +2x+3与 x 轴交于 A 、B 两点，且点 A 在 x 轴的负半轴上，抛物线与 y 轴交于点 C （1） 求 A 、B 两点的坐标； （2） 在抛物线的对称轴上是否存在点 P 使 PA+PC 的线段和最短，求出点 P 的坐标并求出 此时的最短线段. 练习1：如图，抛物线 y= 2122 x bx +-与 x 轴交于 A ，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A(-1，0)。 （1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论； （3）点 M （m ，0）是 x 轴上的一个动点，当 MC+MD 的值最小时，求 m 的值。

练习 2 :如图所示，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A（-2，0），B（-1，-3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点p 为y 轴上任意一点，当点p 到A，B 两点的距离之和为最小时， 求此时点p的坐标； （3）点m 为y 轴上任意一点，当∣AM-CM∣的值最大时，求此时点M 的坐标，并求∣AM-CM∣的最大值。 例 3 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P 在过A，B，C三点的抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （3）过动点P作PE 垂直于y 轴于点E，交直线AC于点D，过点 D 作x 轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P 的坐标．

练习3 :二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y= 1 -1 2 x 相 交于A、B 两点（如图），A点在y 轴上，过点 B 作BC⊥x 轴，垂足为点C（﹣3，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在AB 上方），过N 作NP⊥x 轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值； 二．二次函数与周长最值 例1.如图，已知抛物线Y=X2+bX+c 经过点A（—1,0）与点B（3,0）， 与y 轴交于点C， （1）求抛物线的解析式。 （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得ΔQAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标，若不存在说明理由。

二次函数与三角形面积(周长最小与面积最大问题2)

1．如图，已知二次函数y=ax 2 +bx+c 经过点A （1，0），C （0，3），且对称轴为直线x=﹣1． （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线上是否存在点P ，使△PAB 得面积为10，请写出所有点P 的坐标． 2、（2016秋·新泰市月考）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=212 x - +bx+c 经过点A （-2,0），C （4,0）两点，和y 轴相交于点B ，连接AB ，BC. （1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC 上方的抛物线上，找一点D ，使S △BCD ：S △ABC =1:4，并求出此时点D 的坐标. 3、（永州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为（-1，0）、（0点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线x=1，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ． （1）求该二次函数的解析式； （2）若设点P 的横坐标为m ，用含m 的代数式表示线段PF 的长； （3）求△PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标．

4．（2012?广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标； （3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2011?茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． 6．（2013?新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l 与抛物线交于点A、C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

二次函数与三角形周长-面积最值问题

二次函数与三角形周长，面积最值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例 1.(2018·宜宾)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。 练习 1、如图，已知二次函数24 y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐

2、如图，抛物线y =ax 2-5ax +4（a ＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使|MA -MB |最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE ⊥BC 于E ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE 长度的最大值； B x A y O C x O A B y

练习 1、如图，抛物线y = 2 1x 2 +bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值． （4）过点F 作FG 垂直X 轴，并与直线BC 交于点H ，求FH 的最大值。 2、 如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x = -与抛物线21 4 y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作

二次函数线段、周长、面积最值问题

1. 如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（-3，0）． （1）求点B 的坐标；（2）若a=1，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且S △POC =4S △BOC ．求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于 点D ，求线段QD 长度的最大值． 2．如图，二次函数y=ax 2-32 x+c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知点A （-1，0），点C （0，-2）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点M 是线段BC 下方的抛 物线上的一个动点，求△MBC 面积的最大值以及此时点M 的坐标． 3．如图，二次函数y=ax 2 +bx 的图象与一次函数y=x+2的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标是-1，点B 的横坐标是2．（1）求二次函数的表达式；（2）设点C 在二次函数图象的OB 段上，求四边形OABC 面积的最大值．

4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． 5.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，求△PBC周长的最小值； （3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．求S与m的函数关系式。S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数面积最大,周长最小

二次函数综合题专题训练 一、面积最大 1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）． （1）求直线BC与抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值； 2、如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）． （1）求点B的坐标； （2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点． ①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标； ②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值． 3、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；

二、周长最小 4、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值； 5如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

二次函数与距离最小值

二次函数与距离最小值 １.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标； （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △P AD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标． 参考答案： ①42 -=x y ②BD ：2-=x y ；M （0，)2- ③2=?ABM S ；)4,0(),4,22(),4,22(321--P P P ２.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB . （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由. （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由. 参考答案： ①B （1，3） ②x x y 3 3 2332+= ③AB ：3 3 233+= x y ；C （3,1-） ④839)21(232++-=x y ；)4 35,2 1(--P

３.（05深圳）已知△ABC 是边长为4的等边三角形，BC 在x 轴上，点D 为BC 的中点，点A 在第一象限内，AB 与y 轴的正半轴相交于点E ，点B （-1，0），P 是AC 上的一个动点（P 与点A 、C 不重合） （1）求点A 、E 的坐标； （2）若y=c bx x 7 362 ++- 过点A 、E ，求抛物线的解析式。 （3）连结PB 、PD ，设L 为△PBD 的周长，当L 取最小值时，求点P 的坐标及L 的最 小值，并判断此时点P 是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。 参考答案： ①A(1,23),E(0，3) ②37 3 137362++-=x x y ③AC ：333+-=x y ；D ′(4，3)； BD ′：5353+= x y ；P （)3 3 2,37；周长为27+2. ４．如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标； （2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式； （3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在， 求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 参考答案： ①．Ｅ(３,１),Ｆ(１,２)； ②．Ｐ(０,３),3 22 +-=x x y ③．55+ x

次函数问题周长最小或最值问题

二次函数问题周长最小或面积倍分专题复习 1如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，0）、B （6，0）、C （0，32 ）， 抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过A 、B 、C 三点。 （1）求直线AC 的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）若抛物线的顶点为D ，在直线AC 上是否存一点P ，使得 △BDP 的周长最小，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。 2、（9分）如图13，抛物线y=ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x 轴于A 、B ，交y 轴于D ，其 中B 点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A 的直线与抛物线交于点E ，交y 轴于点F ，其中E 点的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为PQ 上一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使D 、G 、F 、H 四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G 、H 的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 的垂线，垂足为M ，过点M 作直线MN ∥BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM ∽△BMD ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由. 3． 如图，二次函数y=ax 2 －5ax ＋4a(a ≠0)的图象与x 轴交于Ａ、B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交 于点C ，点C 关于抛物线对称轴的对称点为D ，连结BD ． (1)求A 、Ｂ两点的坐标； (2)若AD ⊥BC ，垂足为P ，求二次函数的表达式； (3)在(2)的条件下，若直线x=m 把△ABD 的面积分为1∶2的两部分，求m 的值．