高等学校教学用书
流体力学与流体机械
.
习题参考答案
主讲:陈庆光
]
中国矿业大学出版社
张景松编.流体力学与流体机械, 徐州:中国矿业大学出版社,(重印)
删掉的题目:1-14、2-6、2-9、2-11、2-17、3-10、3-19、4-5、4-13
《流体力学与流体机械之流体力学》
第一章 流体及其物理性质
1-8 3m 的容器中装满了油。已知油的重量为12591N 。求油的重度γ和密度ρ。
*
解:312591856.5kg/m 9.8 1.5
m V ρ=
==?;38394N/m g γρ== 1-11 面积20.5m A =的平板水平放在厚度10mm h =的油膜上。用 4.8N F =的水平力拉它以0.8m/s U =速度移动(图1-6)。若油的密度3856kg/m ρ=。求油的动力粘度和运动粘度。
解:29.6N/m F A τ=
=,U
h τμ=, 所以,0.12Pa s h
U τμ==,42/0.12/856 1.410m /s νμρ-===?
1-12 重量20N G =、面积20.12m A =的平板置于斜面上。其间充满粘度0.65Pa s μ=的油液(图1-7)。当油液厚度8mm h =时。问匀速下滑时平板的速度是多少。
解:sin 20 6.84F G N ==,57Pa s F
A
τ==, 因为U
h
τμ
=,所以570.0080.7m/s 0.65h U τμ?=== 1-13 直径50mm d =的轴颈同心地在50.1mm D =的轴承中转动(图1-8)。间隙中润滑油的粘度0.45Pa s μ=。当转速950r/min n =时,求因油膜摩擦而附加的阻力矩M 。
]
解:将接触面沿圆柱展开,可得接触面的面积为:
20.050.10.016m A dL ππ==??=
接触面上的相对速度为:2 2.49m/s 2260d d n
u πω=== 接触面间的距离为:0.05mm 2D d
δ-==
接触面之间的作用力:358.44N du F A
A dy u
δ
μμ=== 则油膜的附加阻力矩为:8.9N m 2
d
M F
== 1-14 直径为D 的圆盘水平地放在厚度为h 的油膜上。当驱动圆盘以转速n 旋转时,试证明油的动力粘度μ与驱动力矩M 的关系为:
24
960hM
nD μπ=
证明:26030n n ππω=
=,30
nr
v r πω== )
2dA rdr π=,2215v nr dr dF dA h h μπμ==
,2315nr dr
dM dFr h μπ== /2
2324
15960D nr dr
nD h
M h
μπμπ=
=?
所以:24
960hM
nD μπ=
第二章 流体静力学
2-5 试求潜水员在海面以下50m 处受到的压力。海面上为标准大气压,海水重度39990N/m γ=。
解:55110999050610Pa a P P h γ=+=?+?=?
2-6 开敞容器,盛装21γγ>两种液体,如图2-27所示,求:①在下层液体中任一点的压力;②1和2两测压管中的液面哪个高些哪个和容器内的液面同高为什么
解:①1122a P P h h γλ=++ 其中,1h 为上层液体的深度,2h 为下层液体中任一点距离分界面的距离。
②测压管1的液面高些,与容器的液面同高。 .
管1中的流体与容器中上层流体为同一种流体,并相互连通,根据等压面的性质,对于同一种流体并连通时,任一水平面为等压面,即管1中的液面与容器内的液面等高。
划交界面的延长线,并与管2相交,根据等压面的定义可知,这是一个等压面:'112p h h γγ==
21γγ>
'1h h ∴>
2-7 如图2-28所示的双U 形管,用来测定重度比水小的液体的密度。试用液柱高度差来确定位置液体的密度ρ。(管中的水是在标准大气压下,4C 的纯水)
解:43()a P h h h γγ+-=水 1)
1232()()a P h h h h h γγ+-=+-水 2)
将1)式代入2)式得:
12341234
32
32
)
h h h h h h h h h h h h γγγ-+--+-=
=
--水水(
—
1234
32
h h h g
h h h γ
ρρ-+--∴=
=
水
2-9 某地大气压为2101325N/m 。求:①绝对压力为2026502N/m 时的相对压力及水柱高度;②相对压力为8m 水柱时的绝对压力;③绝对压力为780662N/m 时的真空度。
解:①2202625101325101325N/m P =-=相,h P γ=水相,所以,10.34m h =
②42810N/m P h γ==?相水,所以,2181325N/m P = ③21013257806623259N/m =-=真空度
2-10 用两个U 行管串联在一起去测量一个贮气罐中的气体的压力,见图2-30所示。已知180cm h =,270cm h =,380cm h =,大气压为1013252N/m ,
53==1.333210N/m γ?汞,气柱重力可略去,求罐内气体的压力等于多少。
解:1P h h γγ=+气汞水,32)a P h h h γγ+=+汞水
( 所以:312a P h P h h γγγ+=-+汞气汞水
所以: 2132()307637N/m a P P h h h γγ=++-=气汞水
(
2-11 两根水银测压管与盛有水的封闭容器连接,如图2-31所示。已知160cm h =,
225cm h =,330cm h =,试求下面测压管水银面距自由液面的深度4h 。
解:012a P h P h γγ+=+水汞
043a P h P h γγ+=+水汞
所以:02143a P h h h P h γγγγ+-+=+汞水水汞
所以:321
4()128cm h h h h γγγ-+==汞水水
2-12 封闭容器内盛有油和水,如图2-32所示。油层厚130cm h =,油的重度
3=8370N/m γ油,另已知250cm h =,40cm h =,试求油面上的表压力。
解:01212)P h h h h h γγγ++=+-油水汞
(,2045709N/m P ∴= 2-14 如图2-34所示,欲使活塞产生7848N F =的推力,活塞左侧需引入多高压力1p 的油已知活塞直径110cm d =,活塞杆直径23cm d =,活塞和活塞杆的总摩擦力等于活塞总推力的10%,活塞右侧的表压力4229.8110N/m p =?.
】
解:222
11212[()](110%)7848N 44
P d P d d π
π
?
-?
-?+=,解得:5219.9810N/m P =?
2-16 如图2-36所示,无盖水箱盛水深度1m h =,水箱宽度 1.5m b =,高 1.2m H =,若3m l =,试求:①水箱的水保持不致溢出时的加速度a ;②以此加速度运动时,水箱后板壁所受的总压力。
解:①'()/2
blh h H bl
=+,'0.8m
h
∴=,
'
0.13
a H h
g l
-
==,2
1.31m/s
a
∴=
②由压力分布公式可得:
()
p p ay gz
ρ
=-+
在水箱后壁板,
2
l
y=-;将其带入上式并对水箱后壁板进行积分:
22
2
()
2
(2)
2
{()[()]}
2
(2)
22
2()
(2)
22
[()]
2
[]
2
A A A
H h
h
l
P pdA p dA a gz dA
p A al gz bdz
b
p A al H h h g H h h
b
p A bHal H Hh
H h
p A A gl A H h
l
H
A p H h h
H
A p
ρ
ρ
ρ
ργ
ργ
γ
γ
-
-
==--+
=+-
=+-----
=+--
-
=+--
=+--+
=+
???
?
两边的大气压正好相抵,即:10584N
2
c
H
P p A A
γ
===
2-17 贮水小车沿倾角为α的轨道向下做等加速运动,设加速度为a,如图2-37所示。求水车内水面的倾角θ。
;
解:在自由液面上建立直角坐标系,以水平方向为x轴,向右为正向,竖直方向为y轴,向上为正向。
作用在液体上的单位质量力为:
cos
X aα
=
sin
Y g aα
=-+
Z=
根据压强差平均微分方程式:d(d d d)
p X x Y y Z z
ρ
=++
在液面上为大气压强,d0
p=,代入压强差平均微分方程式,可得:
cos d d sin d 0a x g y a y αα-+=,
d cos tan d sin y a x a g
αθα∴
=-=- —
cos arctan
sin a g a α
θα
∴=-
2-18 尺寸为b c l ??的飞机汽油箱如图2-38所示,其中所装的汽油为邮箱油量的三分之一。试确定下面两种情况下飞机作水平等加速飞行时的加速度a 各是多少
解:①'
/3/2blc h cl =,所以,'
2/3h b =,'23a h b g c c
∴==,得:
221
3.27m/s 33
b a g g
c ∴=
== ②'/3(/2)/2blc c c lb =+,所以,'/6c c =,'3 1.5/2a b b
g c c c
∴
===-,21.514.7m/s a g ∴==
2-19 在一直径300mm d =,高度500mm H =的圆柱形容器中,注水至高度
1300mm h =,使容器绕垂直轴作等角速度旋转,如图2-39所示。
①试确定使水之自由液面正好达到容器边缘时的转速1n 。
②求抛物面顶端碰到容器底时的转速2n ,若此时容器停止旋转,水面高度2h 将为若干
~
解:①2211
()2r h r H h ππ=-,所以,12()400mm h H h =-=
22
2r z h g
ω=
=,所以,1218.66rad/s gh r ω=
=,得30178.3r/min n ωπ
== ②22
2r z H g
ω=
=,所以,1220.87rad/s gH r ω=
=,得30199.3r/min n ω
π
== 容器中剩余水的体积为:
222212r H r H r h πππ-=,所以,21
2
h H =,所以,2250mm h =
第三章 流体运动学
3-9 直径 1.2m D =的水箱通过30mm d =的小孔泄流。今测得水箱的液面在1s 内下降了0.8mm 。求泄流量Q 和小孔处的平均速度v 。
解:22311
1.20.8100.9L/s 44Q D h ππ-==???=,
因为:21
4
Q d v π=,所以, 1.27m/s v =
3-10 密度3840kg/m ρ=的重油沿150mm d =的输油管流动。当质量流量
50kg/h m Q =时,求体积流量Q 和平均速度v 。
…
解:235.9510m /h m
Q Q ρ-=
=?,因为:21
4
Q d v π=,所以, 3.367m/h v = 3-11 大管1150mm d =和小管2100mm d =之间用一变径接头连接。若小管中的速度23m/s v =,求流量Q 和大管中的平均速度1v 。
解:232210.024m /s 4Q d v π==,2111
4
Q d v π=,所以,1 1.33m/s v =。
3-12 已知某不可压缩平面流动中,34x u x y =+。y u 应满足什么条件才能使流动连续
解:要使流动连续,应当满足0y x u u x y ??+=??,3y x u u
x y
??=-=??, 所以,3()y u y f x =-+
3-14 二元流动的速度分布为x u tx =;y u ty =-。则 (1)求势函数和流函数;
(2)当1t =时,作出通过点(1,1)的流线。
解:(1)由连续性方程可知0y
x u u t t x y
??+=-=??,满足连续条件,流函数存在。 $
由流函数的定义可知:
x u tx y ψ?==?,y u ty x
ψ?=-=?
0y x d dx dy u dx u dy tydx txdy x y
ψψ
ψ??=
+=-+=+=?? 所以,2txy c ψ==
由无旋条件知:1()02y
x z u u y x
ω??=-
=??,满足无旋条件,势函数存在。 由势函数的定义可知:
x u tx x
?
?==?,y u ty y ??==-? x y d dx dy u dx u dy txdx tydy x y
??
ψ??=
+=+=-?? 所以,22
22
t t x y c ?=
-+ (2)流函数0x y u dy u dx -=,积分得:2txy c =
因为,1t =时,通过(1,1)点,所以,2c =,此时的流线方程为1xy = 3-15 判断下列流动是否满足不可压缩流动的连续性条件。若满足,求出流函数。
、
(1)x u ax b =+;y u ay c =-+(a ,b ,c 均为常数); (2)x u xy =;y u xy =-;
(3)22x u y x =+;22y u x y =-; (4)22x ay u x y =-
+;22
x
ax
u x y =+。 解:(1)x
u a x
?=?,y u a y ?=-?,0y x u u x y ??+=??,满足连续条件。 y u ay c x
ψ
?=-=-?,x u ax b y ψ?==+?,所以,2axy by cx A ψ=+-=,A 为常数。
(2)x
u y x
?=?,y u x y ?=-?,0y x u u x y ??+≠??,不满足连续条件。 (3)
2x
u x
?=?,2y u y ?=-?,0y x u u x y ??+=??,满足连续条件。 22x u y x y ψ?==+?,22y u x y x ψ?=-=-+?,所以,3311
233
y xy x c ψ=+-=,c 为常数。
(4)
222
2()
x u axy
x x y ?=?+,2222()y u axy y x y ?=-?+,0y x u u x y ??+=??,满足连续条件。 \
22x ay u y x y ψ?==-?+,22
y ax u x x y
ψ?=-=-?+,所以,22
ln()a x y c ψ=-+=,c 为常数。
3-16 在3-15题中,哪些流动是无旋的,求其势函数。
解:(1)0x
u y ?=?,0y u x
?=?,y x u u y x ??∴=??,所以,无旋。
x u ax b x ??==+?,y u ay c y ??==-+?,2211
22
ax bx ay cy A ?∴=+-++,A 为常数。
(2)x
u x y ?=?,y u x x
?=-?,y x u u y x ??∴≠??,所以,有旋。 (3)
2x
u y y ?=?,2y u x x
?=?,y x u u y x ??∴≠??,所以,有旋。
(4)22222()()x u a x y y x y ?-=-?+,22222()
()y u a x y x x y ?-=-?+,y x u u y x
??∴=??,所以,无旋。
22x ay u x x y ??==-?+,22y ax u y x y ??==?+,arctan arctan y x a a c x y
?∴=-+,c 为常数。
3-19 不可压缩流动的流函数35xy x y ψ=+-,求其势函数。 解:
5x u x y ψ?==-?,3y u y x
ψ?=-=+?, /
所以,
5x u x x ??==-?,3y u y y ??==--?2211
5322
x x y y c ?∴=---+,c 为常数。 第四章 流体动力学基础
4-3 用图4-32所示的测压管测定水管中的点速,测压计中工作液的密度
3800kg/m g ρ=。当读数0.5m h ?=,10.4m h =,20.2m h =时,求A 、B 两点的流
速A u 、B u 。
解:计算A 点流速:
A 点的全压对应的高度为1x h h +,静压对应的高度为2x h h +,
则A 点的动压为2122A
u h h g
=-,122() 1.98m/s A u g h h =-= 计算B 点流速:
因A 、B 在同一过流断面上,测压管水头相同,A
B
A B p p z z γ
γ
+
=+
,但流速
不同,由速度形成的压差是
()
g h γγγ
??-
22
()0.122g A B
h u u g g γγγ
??-∴-==, 1.4m/s B u = ]
4-4 如图4-33利用一变截面管中水流产生的压力差,通过活塞操纵气体控制器。已知115mm d =,210mm d =,1 4.5m/s v =,管段水平放置,活塞直径20mm D =。忽略损失及活塞杆直径,求活塞受到之压力。
解:22
11221144
d v d v ππ=,210.125m/s v ∴=
根据伯努利方程:22
1
122
22P v P v g g
γγ+=+,1241132.8Pa P P ∴-=
所以:212()
12.92N 4
F P P D π
=-=
4-5 如图4-34一垂直向上流动的水流,设流束截面保持圆形。已知喷嘴直径
125mm d =,喷嘴出口流速112m/s v =。问在高于喷嘴4m 处,水流的直径为多少
忽略损失。
解:对截面1-1和2-2列伯努利方程:22
12
22v v h g g
=+,28.1m/s v ∴= 22
11224
4
d v d v π
π
=
,230.43mm d ∴=
4-6 如图4-35水沿渐缩管道垂直向上流动。已知130cm d =,220cm d =,表压力
2119.6N/cm p =,229.81N/cm p =,2m h =。若不计摩擦损失,试计算其流量。
》
解:2
211
22
44
d v d v π
π
=,22
1
122
22P v P v h g g γγ+
=++,1 6.2m/s v ∴=, 23110.4386m /s 4
Q d v π
=
=
4-8 离心式风机借集流器从大气中吸取空气(如图4-37所示)。其测压装置为一从直径20cm d =圆柱形管道上接出的、下端插入水槽中的玻璃管。若水在玻璃管中上升高度25cm H =,求风机的吸风量Q 。空气的密度31.29kg/m ρ=。
解:a P H P γ+=水,2
222a A P v v P g g g g
ρρ+=+,0A v = 62.3m/s v ∴=,231.96m /s 4
Q d v π
=
=
4-11 密度31000kg/m ρ=的水由直径15cm 、高于基准面6m 的A 点,流至直径为75mm 、高于基准面3m 的B 点。已知A 点压力为103kPa ,流速为3.6m/s 。忽略损失,求B 点压力。
解:对A 、B 两截面列伯努利方程:2222A
A B B
A B
P v P v h h g g γγ+
+=++ 22
4
4
A A
B B d v d v π
π
=
,14.4m/s B v ∴=,35200Pa B P =
—
4-13 水箱底部有一截面积为0A 小孔(图4-40),射流的截面积为A (x )。在小孔处x =0。通过不断注水使水箱中水深h 保持常数。设水箱的横截面远比小孔大,
求射流截面积随x 的变化规律A (x )。
解:22022x V V x g g
=-,02V gh =2()x V g h x ∴=+00x x A V A V =,
()h
A x A h x ∴=+4-14 一虹吸管直径100mm ,各管段垂直距离如图4-41所示。不计水头损失,求
流量和A 、B 点压力。
解:对水平面和C 截面列伯努利方程:22a a
C
P P v H g
γγ+=+
29.39m/s C v gH ∴==,230.0737m /s 4
C Q d v π
=
=
对水平面和A 截面列伯努利方程:2
2a
A
A P P v h g
γγ=
++,A C v v =, 768600Pa A P γ∴=-=-
对水平面和B 截面列伯努利方程:2
2a B
B P P v h g
γγ+=+,B C v v =,
)
3.534300Pa B P γ∴=-=-
4-20 如图4-46离心式水泵借一内径150mm d =的吸水管以360m /h Q =的流量从一敞口水槽中吸水,并将水送入压力水箱。设装在水泵与吸水管接头上的真空计
指出负压值为40kPa ,水头损失不计,试求水泵的吸水高度H 。
解:根据伯努利方程:22a S P V P H g g g ρρ++=,24
Q d v π
=, 3.96m S H ∴= 4-21 如图4-47所示,密度为8303kg/m 的油水平射向直立的平板。已知
020m/s v =,求支撑平板所需的力F 。
解:根据动量定理:2020()651.55N 4
F Q v v d v π
ρρ
=-=-=-
根据牛顿第三定律,651.55N F =,方向水平向左。
4-24 水流经一弯管流入大气,如图4-49所示。已知1100mm d =,275mm d =,
223m/s v =,水的重度为4310N/m ,求弯管上受到的力(不计损失,不计重力)。
\
解:建立坐标系,取水平向右方向为x 轴正向,取竖直向上方向为y 轴正向。
由连续性方程得:22112
244d v d v ππ=112.94m/s v ∴=,2
3220.1012m /s 4
Q d v π
== 对截面1和截面2列伯努利方程:22
01
1222p p v v g g
γγ+=+,1449555.8Pa p ∴=
根据动量定理:
在水平方向:22
1
10
221cos30(cos30)4
4
x F P d P d Q V V π
π
ρ+-=-
2377x F N ∴=-
在竖直方向:2
22sin 30sin 304
y F P d QV π
ρ-=
1387.6y F N ∴=
根据牛顿第三定律:弯管受的力'2377x x F F N ==,'1387.6y y F F N ==-,负号表示方向沿y 轴负方向。
2752.4N F ∴==,tan 1.7x
y
F F α=
=- $
第五章 粘性流体流动及阻力
5-15 粘度421.510m /s ν-=?的油在直径0.3m d =的管中被输送。求层流状态下的最大输油量Q 。
解:Re 2000vd ν==,max 1m/s v ∴=,23max max 0.071m /s 4
Q d v π
∴==
5-16 重度38370N/m γ=、粘度0.15Pa s μ=的油在直径0.25m d =的直管中流过3000m 时的沿程损失为26.1m (油柱),求流量Q 。
解: 假设流动是层流:64
Re
λ=,22f l v h d g λ=,0.95m/s v ∴=,
230.046m /s 4
Q d v π
=
=
此时,0.950.25
Re 1.5830.15
ud
ν
?=
=
=,流动属于层流,假设成立。
5-19 温度15C t =的水在宽度0.4m b =的矩形水槽中流动。当水深h =0.3m ,速度v =10cm/s 时,求此时的雷诺数。若水深不变,速度为多少时变为层流。 解:查表得,15C 水的运动粘度为:621.13910m /s ν-=? 矩形水槽的水利直径为:440.48m 2A bh
d h b
χ
=
=
=+ }
Re 421422000vd
ν
=
=>
要改变水的流态,必须使雷诺数Re 1200vd
ν
=
≤ 2.8mm/s v ∴≤
5-20 某输油管路长4000m ,管径d =0.3m ,输送422.510m /s ν-=?、3840kg/m ρ=的原油。当流量3240m /h Q =时,求油泵为克服沿程阻力所需增加的功率。 解:0.94m/s Q v A =
=,Re 1131.772000vd ν==<,为层流,640.0565Re
λ== 2
35.344m 2f l v h d g
λ∴==,19.4kW f N gQh ρ==
5-23 重度为γ、粘度为μ的液体在倾角为α的无限平板上靠重力向下流动,如图5-39所示。假设流动为层流,液流厚度为h 。试证明速度分布为:
sin (2)2y h y γα
μμ
=
-
证明:在层流中取一微元,高为dh ,长为l ,宽取单位宽度,则有微元体的重量为:1G V l dh ldh γγγ==???=
重力在运动方向的分力为:sin sin G ldh αγα=
`
切应力为:sin sin G d dA
α
τγα=-
=-
du
dy
τμ=22sin d u d dy τμγα∴==-,即:22sin d u dy γαμ-=
积分得:
1sin du y C dy γαμ
=-+ 带入边界条件:y =h ,0τ=,得:1sin h C γαμ=
,sin sin du y h
dy γαγαμμ
=-+
再积分得:2
2sin ()2
y u hy C γαμ∴=-+