1994考研数学一真题及答案解析
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 0
11
limcot (
)sin x x x x
→-=_____________. (2) 曲面23z
z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.
(3) 设sin x
x u e y -=,则2u x y ???在点1
(2,)π
处的值为_____________.
(4) 设区域D 为2
2
2
x y R +≤,则22
22()D
x y dxdy a b +=??_____________.
(5) 已知11(1,2,3),(1,,)23
αβ==,设T
A αβ=,其中T α是α的转置,则n
A =_________.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1) 设42
22
sin cos 1x M xdx x π
π-=+?,3422(sin cos )N x x dx ππ-=+?,23422(sin cos )P x x x dx π
π-=-?, 则 ( )
(A) N P M << (B) M P N << (C) N M P << (D) P M N <<
(2) 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数0λ>,且级数
21
n n a ∞=∑收敛,
则级数1
(1)n
n ∞
=-∑ ( )
(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (4) 2
tan (1cos )lim
2ln(12)(1)
x x a x b x c x d e -→+-=-+-,其中220a c +≠,则必有 ( )
(A) 4b d = (B) 4b d =- (C) 4a c = (D) 4a c =-
(5) 已知向量组1234αααα、、、线性无关,则向量组 ( ) (A) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα+线性无关
(B) 12αα-、23αα-、34αα-、41αα-线性无关
(C) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα-线性无关 (D) 12αα+、23αα+、34αα-、41αα-线性无关
三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)
(1)
设222
1
cos(),cos(),t x t y t t udu ?=?
?=-??
? 求dy dx 、2
2d y dx
在t =. (2) 将函数111()ln arctan 412
x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数. (3) 求
sin 22sin dx
x x +?.
四、(本题满分6分)
计算曲面积分2222
S
xdydz z dxdy x y z +++??,其中S 是由曲面222
x y R +=及两平面,z R = (0)z R R =->所围成立体表面的外侧.
五、(本题满分9分)
设()f x 具有二阶连续导数,(0)0,(0)1f f '==,且
2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的
通解.
六、(本题满分8分)
设()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数,且0
()
lim
0x f x x
→=,证明级数 1
1
()n f n
∞
=∑
绝对收敛.
七、(本题满分6分)
已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕z 轴旋转一周所围成的旋转曲面为S .求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.
八、(本题满分8分)
设四元线性齐次方程组()I 为12240,
0,
x x x x +=??
-=? 又已知某线性齐次方程组()II 的通解为
12(0,1,10)(1,2,2,1)k k +-.
(1) 求线性方程组()I 的基础解系；
(2) 问线性方程组()I 和()II 是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.
九、(本题满分6分)
设A 为n 阶非零方阵,*A 是A 的伴随矩阵,T A 是A 的转置矩阵,当*T A A =时,证明
||0A ≠.
十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)
(1) 已知A 、B 两个事件满足条件()()P AB P AB =,且()P A p =,则()P B =__________. (2) 设相互独立的两个随机变量X 、Y 具有同一分布律,且X 的分布律为
则随机变量{}max ,Z X Y =的分布律为_______.
十一、(本题满分6分)
已知随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 和Y 分别服从正态分布2
(1,3)N 和
2(0,4)N ,X 与Y 的相关系数12XY ρ=-,设32
X Y
Z =+,
(1) 求Z 的数学期望()E Z 和方差()D Z ； (2) 求X 与Z 的相关系数XZ ρ； (3) 问X 与Z 是否相互独立？为什么？
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】
16
【解析】原式变形后为“0
”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有
原式20cos (sin )lim
sin x x x x x x →-=300sin limcos lim x x x x
x x
→→-=? 2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→-===. (由重要极限0sin lim 1x x
x
→=) (2)【答案】240x y +-=
【解析】所求平面的法向量n 为平行于所给曲面在点(1,2,0)处法线方向的方向向量l ,取n l =,又平面过已知点(1,2,0)M .
已知平面的法向量(,,)A B C 和过已知点000(,,)x y z 可唯一确定这个平面：
000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=.
因点(1,2,0)在曲面(,,)0F x y z =上.曲面方程(,,)23z
F x y z z e xy =-+-. 曲面在该点的法向量
{}{}{}(1,2,0)
(1,2,0)
,,2,2,14,2,022,1,0z F F F n y x e x y z ??
??? ==-==???????, 故切平面方程为 2(1)(2)0x y -+-=, 即 240x y +-=.
(3)【答案】
2
2
e
π
【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求
u y ??,再求u x y ???? ?????
. 2cos x u x x
e y y y
-?=-?,
()2221
112(2,)(2,)2cos x y x x u u u
xe x x y y x x y x
π
ππ
ππ-=
==???????
===- ? ??????????
2
22
2
((1)cos )
0x
x e x x e πππ-==--+=
.
(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)
【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ?ψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数
((,),(,))z f x y x y ?ψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有
12z z u z v u v f f x u x v x x x
???????''=+=+???????； 12z z u z v u v f f y u y v y y y
???????''=+=+???????. (4)【答案】
42
211(
)4
R a b
π
+ 【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算： 原式222
2222
3222200
00cos sin cos sin R
R d r rdr d r dr a b a b π
πθθθθθθ????
=
+=+? ? ??????
?
??.
注意：
222
20
cos sin d d π
π
θθθθπ==?
?,
则 原式4422221111144R R a b a b ππ????
=+?=+
? ??
???. (5)【答案】1
111232321
33312n -??
?????????
???????
【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 1111,,23233T
βα??
????== ???
??????
是一个数,
而 11123111221,,21
23333312T
A αβ?
?
?????
???????
=== ?????????????
??????
,(是一个三阶矩阵)
于是,
()()()()()()()n T T T T T T T T A αβαβαβαβαβαβαβαβ==L L 111112323321
33312n T n αβ--?????
???==???
??????
?
.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(D)
【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.
由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故0M =,且
由定积分的性质,如果在区间[],a b 上,被积函数()0f x ≥,则
()0 ()b
a
f x dx a b ≥
.
所以 4
2
2
cos 0N xdx π
=>?
, 420
2cos 0P xdx N π
=-=-
因而 P M N <<,应选(D). (2)【答案】(D)
【解析】(,)f x y 在点00(,)x y 连续不能保证(,)f x y 在点00(,)x y 存在偏导数00(,),x f x y '
00(,)y f x y '.反之,(,)f x y 在点00(,)x y 存在这两个偏导数00(,),x f x y '00(,)y f x y '也不能保
证(,)f x y 在点00(,)x y 连续,因此应选(D).
二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数存在和在点00(,)x y 处连续并没有相关性. (3)【答案】(C)
【解析】考查取绝对值后的级数.因
2222111112222n n a a n n λ≤+<++, (第一个不等式是由22
10,0,()2
a b ab a b ≥≥≤
+得到的.) 又21n
n a ∞
=∑收敛,2112n n ∞
= ∑收敛,(此为p 级数：11
p n n
∞
=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散.)
所以22111
22n n a n ∞
=+∑收敛,由比较判别法,
得1n ∞
=收敛.
故原级数绝对收敛,因此选(C). (4)【答案】(D)
【解析】因为 22
211cos (),1()2
x x x o x e x o x --=-=:
:, 故 tan (1cos ) (0)a x b x ax a +-≠:,
2
ln(12)(1)2 (0)x c x d e cx c --+--≠:,
因此,原式左边0lim
222x ax a
cx c
→====--原式右边,4a c ?=-.
当0,0a c =≠时,极限为0；
当0,0a c ≠=时,极限为∞,均与题设矛盾,应选(D). 【相关知识点】1.无穷小的比较：
设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()
lim
.()
x l x αβ= （1） 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小；
（2） 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ:； （3） 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为
()()()x o x αβ=.
若()
lim
()
x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. 2. 无穷小量的性质：当0x x →时,(),()x x αβ为无穷小,则
()()()()(())x x x x o x αβαββ?=+:.
(5)【答案】(C)
【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式. (A)：由于()()()()122334410αααααααα+-+++-+=,所以(A)线性相关. (B)：由于()()()()122334410αααααααα-+-+-+-=,所以(B)线性相关.
对于(C),实验几组数据不能得到0时,应立即计算由α的系数构成的行列式,即