2018-2019学年上海中学高一(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海中学高一（上）期末数学试卷
一、填空题
1．函数f（x）＝+ln（x﹣1）的定义域为．
2．设函数为奇函数，则实数a的值为．
3．已知y＝log a x+2（a＞0且a≠1）的图象过定点P，点P在指数函数y＝f（x）的图象上，则f（x）＝．
4．方程的解为．
5．对任意正实数x，y，f（xy）＝f（x）+f（y），f（9）＝4，则＝．
6．已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m是R上的增函数，则m的值为．
7．已知函数f（x）＝的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）＝．8．函数y＝log|x2﹣6x+5|的单调递增区间为．
9．若函数（a＞0且a≠1）满足：对任意x1，x2，当时，f（x1）﹣f（x2）＞0，则a的取值范围为．
10．已知x＞0，定义f（x）表示不小于x的最小整数，若f（3x+f（x））＝f（6.5），则正数x的取值范围为．
11．已知函数f（x）＝log a（mx+2）﹣log a（2m+1+）（a＞0且a≠1）只有一个零点，则实数m的取值范围为．
12．已知函数f（x）＝，（n＜m）的值域是[﹣1，1]，有下列
结论：（1）n＝0时，m∈（0，2]；（2）n＝时，；（3）时，m∈（n，2]，其中正确的结论的序号为．
二、选择题
13．下列函数中，是奇函数且在区间（1，+∞）上是增函数的是（）A．B．
C．f（x）＝﹣x3D．
14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数m满足f（|m﹣1|）＞f（﹣1），则m的取值范围是（）
A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
C．（0，2）D．（2，+∞）
15．如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“可拆分函数”，若为“可拆分函数”，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．（3，+∞] 16．定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足f（x）＝，当x∈（﹣1，0]时，f（x）＝﹣1，若函数g（x）＝|f（x）﹣|﹣mx﹣m在（﹣1，1）内恰有3个零点，则实数m的取值范围是（）
A．（）B．[）C．D．
三、解答题
17．已知函数f（x）＝2x﹣1的反函数是y＝f﹣1（x），g（x）＝log4（3x+1）．（1）画出f（x）＝2x﹣1的图象；
（2）解方程f﹣1（x）＝g（x）．
18．已知定义在R上的奇函数f（x）＝ka x﹣a﹣x（（a＞0且a≠1），k∈R）．（1）求k的值，并用定义证明当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数；
（2）已知，求函数g（x）＝a2x+a﹣2x在区间[0，1]上的取值范围．
19．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．
（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；
（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？
20．对于定义域为D的函数y＝f（x），若存在区间[a，b]?D，使得f（x）同时满足，①f （x）在[a，b]上是单调函数，②当f（x）的定义域为[a，b]时，f（x）的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为该函数的一个“和谐区间”．
（1）求出函数f（x）＝x3的所有“和谐区间”[a，b]；
（2）函数是否存在“和谐区间”[a，b]？若存在，求出实数a，b的值；
若不存在，请说明理由；
（3）已知定义在（2，k）上的函数有“和谐区间”，求正整数k取最小值时实数m的取值范围．
21．定义在R上的函数g（x）和二次函数h（x）满足：g（x）+2g（﹣x）＝e x+﹣9，h （﹣2）＝h（0）＝1，h（﹣3）＝﹣2．
（1）求g（x）和h（x）的解析式；
（2）若对于x1，x2∈[﹣1，1]，均有h（x1）+ax1+5≥g（x2）+3﹣e成立，求a的取值范围；
（3）设f（x）＝，在（2）的条件下，讨论方程f[f（x）]＝a+5的解的个
数．
2018-2019学年上海中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．函数f（x）＝+ln（x﹣1）的定义域为（1，2]．
【解答】解：由题意可得，解得1＜x≤2，
故函数的定义域为：（1，2]，
故答案为：（1，2]
2．设函数为奇函数，则实数a的值为1．
【解答】解：是奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），即，
∴x2+（a﹣1）x﹣a＝x2+（1﹣a）x﹣a，
∴（a﹣1）x＝（1﹣a）x，
∴a＝1．
故答案为：1．
3．已知y＝log a x+2（a＞0且a≠1）的图象过定点P，点P在指数函数y＝f（x）的图象上，则f（x）＝2x．
【解答】解：由a的任意性，x＝1时，y＝2，故y＝log a x+2（a＞0且a≠1）的图象过定点P（1，2），
把P（1，2）代入指数函数f（x）＝a x，a＞0且a≠1，得a＝2，
所以f（x）＝2x，
故答案为：2x．
4．方程的解为﹣．
【解答】解：由题意，92x+1＝，
∴92x+1?3x＝1，
32（2x+1）?3x＝1，
32（2x+1）+x＝1，即35x+2＝1．
∴5x+2＝0，
∴x＝﹣．
故答案为：﹣．
5．对任意正实数x，y，f（xy）＝f（x）+f（y），f（9）＝4，则＝1．【解答】解：令x＝y＝3，则f（9）＝2f（3）＝4，
∴f（3）＝2，
令，则，
∴．
故答案为：1．
6．已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m是R上的增函数，则m的值为3．【解答】解：函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m是幂函数，则m2﹣5m+7＝1，
即m2﹣5m+6＝0，
解得m＝2或m＝3；
当m＝2时，f（x）＝x2不是R上的增函数，不满足题意；
当m＝3时，f（x）＝x3是R上的增函数，满足题意．
则m的值为3．
故答案为：3．
7．已知函数f（x）＝的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）＝﹣1．【解答】解：由题意，x≤0，2x＝，∴x＝﹣1，
∴f﹣1（）＝﹣1．
故答案为﹣1．
8．函数y＝log|x2﹣6x+5|的单调递增区间为（﹣∞，1），[3，5）．【解答】解：函数t＝|x2﹣6x+5|的图象如图，
内层函数大于0的减区间为（﹣∞，1），[3，5）；
而外层函数为定义域内的减函数，
∴函数y＝log|x2﹣6x+5|的单调递增区间为（﹣∞，1），[3，5）．
故答案为：（﹣∞，1），[3，5）．
9．若函数（a＞0且a≠1）满足：对任意x1，x2，当时，f（x1）﹣f（x2）＞0，则a的取值范围为（1，2）．
【解答】解：∵y＝x2﹣ax+2＝（x﹣）2+2﹣在对称轴左边递减，
∴当x1＜x2≤时，y1＞y2
∵对任意的x1、x2，当x1＜x2≤时，f（x1）﹣f（x2）＞0?f（x1）＞f（x2），
故应有a＞1 ①
又因为y＝x2﹣ax+3在真数位置上所以须有2﹣＞0?﹣2＜a＜2②
综上得1＜a＜2
故答案为：（1，2）．
10．已知x＞0，定义f（x）表示不小于x的最小整数，若f（3x+f（x））＝f（6.5），则正
数x的取值范围为．
【解答】解：由题意，f（6.5）＝7，故f（3x+f（x））＝7，
∴6＜3x+f（x）≤7，
当f（x）＝1时，0＜x≤1，
此时6＜3x+1≤7，解得，不符合题意；
当f（x）＝2时，1＜x≤2，
此时6＜3x+2≤7，解得，满足题意；
当f（x）＝3时，2＜x≤3，
此时6＜3x+3≤7，解得，不符合题意；
易知，当时均不符合题意；
综上，实数x的取值范围为．
故答案为：．
11．已知函数f（x）＝log a（mx+2）﹣log a（2m+1+）（a＞0且a≠1）只有一个零点，则实数m的取值范围为m≤﹣1或m＝0或m＝﹣．
【解答】解：函数f（x）＝log a（mx+2）﹣log a（2m+1+）（a＞0且a≠1）只有一个零点，
可得f（x）＝0，即mx+2＝2m+1+＞0，有且只有一个实根，
m＝0，x＝2显然成立；
由mx2+（1﹣2m）x﹣2＝0，△＝（1﹣2m）2+8m＝0，
解得m＝﹣，此时x＝2成立；
由m（x﹣2）＝﹣1＝，
即（x﹣2）＝0，
由x≠2，可得mx+1＝0，
2m+2≤0，即m≤﹣1．
综上可得m的范围是m≤﹣1或m＝0或m＝﹣．
故答案为：m≤﹣1或m＝0或m＝﹣．
12．已知函数f（x）＝，（n＜m）的值域是[﹣1，1]，有下列
结论：（1）n＝0时，m∈（0，2]；（2）n＝时，；（3）时，m∈（n，2]，其中正确的结论的序号为（2）（3）．
【解答】解：当x＞1时，x﹣1＞0，f（x）＝22﹣x+1﹣3＝23﹣x﹣3，单调递减，
当﹣1＜x＜1时，f（x）＝22+x﹣1﹣3＝21+x﹣3，单调递增，
∴f（x）＝22﹣|x﹣1|﹣3在（﹣1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，∴当x＝1时，取最大值为1，
∴绘出22﹣|x﹣1|﹣3的图象，如图下方曲线：
（1）当n＝0时，f（x）＝，
由函数图象可知：
要使f（x）的值域是[﹣1，1]，
则m∈（1，2]；故（1）错误；
（2）当n＝时，f（x）＝，
f（x）在[﹣1，]单调递增，f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，
∴m∈（，2]；故（2）正确；
（3）当n∈[0，）时，m∈[1，2]；故（3）正确；
故答案为：（2）（3）．
二、选择题
13．下列函数中，是奇函数且在区间（1，+∞）上是增函数的是（）A．B．
C．f（x）＝﹣x3D．
【解答】解：在A中，f（x）＝﹣x是奇函数，在区间（1，+∞）上是减函数，故A错误；
在B中，是偶函数，在区间（1，+∞）上是减函数，故B错误；
在C中，f（x）＝﹣x3是奇函数且在区间（1，+∞）上是减函数，故C错误；
在D中，f（x）＝﹣log2是奇函数且在区间（1，+∞）上是增函数，故D正确．故选：D．
14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数m满足f（|m﹣1|）＞f（﹣1），则m的取值范围是（）
A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
C．（0，2）D．（2，+∞）
【解答】解：∵偶函数，在（﹣∞，0）上是增函数，
∴函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，
∵f（|m﹣1|）＞f（﹣1），
∴|m﹣1|＜1，
∴﹣1＜m﹣1＜1，
∴0＜m＜2
故不等式的解集为{m|0＜m＜2}，
故选：C．
15．如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“可拆分函数”，若为“可拆分函数”，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．（3，+∞]
【解答】解：因为函数f（x）＝lg为“可分拆函数”，
所以存在实数x0，使得lg＝lg+lg，
即＝×，且a＞0，
所以a＝，令t＝2x0，则t＞0，
所以，a＝＝+，
由t＞0得＜a＜3，
即a的取值范围是（，3）．
故选：B．
16．定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足f（x）＝，当x∈（﹣1，0]时，f（x）＝﹣1，若函数g（x）＝|f（x）﹣|﹣mx﹣m在（﹣1，1）内恰有3个零点，则实数m的取值范围是（）
A．（）B．[）C．D．
【解答】解：当x∈（﹣1，0]时，f（x）＝﹣1，
当x∈（0，1）时，x﹣1∈（﹣1，0），
f（x）＝＝＝x，
若函数g（x）＝|f（x）﹣|﹣mx﹣m在（﹣1，1]内恰有3个零点，
即方程|f（x）﹣|﹣mx﹣m＝0在（﹣1，1]内恰有3个根，
也就是函数y＝|f（x）﹣|与y＝mx+m的图象有三个不同交点．
作出函数图象如图：
由图可知，直线y＝mx+m恒过点（﹣1，0），
过点（﹣1，0）与点（0，）的直线的斜率为；
过点（﹣1，0）与（1，）的直线斜率为，
可得|f（x）﹣||与y＝mx+m的图象有三个不同交点的m的取值范围为[，）．故选：C．
三、解答题
17．已知函数f（x）＝2x﹣1的反函数是y＝f﹣1（x），g（x）＝log4（3x+1）．（1）画出f（x）＝2x﹣1的图象；
（2）解方程f﹣1（x）＝g（x）．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）由y＝2x﹣1，解得：x＝log2（y+1），
把x与y互换可得：y＝log2（x+1），
∴f（x）的反函数是y＝f﹣1（x）＝log2（x+1）（x＞﹣1）．
方程f﹣1（x）＝g（x）即log2（x+1）＝log4（3x+1）．
∴（x+1）2＝3x+1＞0，
解得：x＝0，1．
18．已知定义在R上的奇函数f（x）＝ka x﹣a﹣x（（a＞0且a≠1），k∈R）．（1）求k的值，并用定义证明当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数；
（2）已知，求函数g（x）＝a2x+a﹣2x在区间[0，1]上的取值范围．
【解答】解：（1）因为定义在R上的奇函数f（x）＝ka x﹣a﹣x（（a＞0且a≠1），k∈R）．所以f（0）＝k﹣1＝0，解得k＝1，
∴f（x）＝a x﹣a﹣x，
当a＞1时，任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝（a﹣a）﹣（a﹣a）＝（a﹣a）+（a﹣a），＝（a﹣a）+（﹣）＝（a﹣a）+
＝（a﹣a）+
＝（a﹣a）（1+），
∵a＞1，x1＜x2，∴a＜a，即a﹣a＜0，
a＞0，
∴f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在R上是增函数．
（2）由（1）知，k＝1，又因为f（1）＝，
a﹣a﹣1＝，解得a＝2或﹣（舍），
所以g（x）＝22x+2﹣2x＝4x+4﹣x＝4x+，
令t＝4x，（1≤t≤4）
则y＝t+，
所以t∈[2，]，
函数g（x）＝a2x+a﹣2x在区间[0，1]上的取值范围[2，]．
19．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．
（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；
（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？
【解答】解：（1）由题意知，p（t）＝（k为常数），∵p（2）＝400﹣k（10﹣2）2＝272，∴k＝2．
∴p（t）＝．
∴p（6）＝400﹣2（10﹣6）2＝368；
（2）由，可得
Q＝，
当2≤t＜10时，Q＝180﹣（12t+），
当且仅当t＝5时等号成立；
当10≤t≤20时，Q＝﹣60+≤﹣60+90＝30，当t＝10时等号成立．
∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．
20．对于定义域为D的函数y＝f（x），若存在区间[a，b]?D，使得f（x）同时满足，①f （x）在[a，b]上是单调函数，②当f（x）的定义域为[a，b]时，f（x）的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为该函数的一个“和谐区间”．
（1）求出函数f（x）＝x3的所有“和谐区间”[a，b]；
（2）函数是否存在“和谐区间”[a，b]？若存在，求出实数a，b的值；
若不存在，请说明理由；
（3）已知定义在（2，k）上的函数有“和谐区间”，求正整数k取最小值时实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x3；
∴f（x）在R内单调递增；
再令f（x）＝x3＝x，
∴x＝﹣1，0，1；
∴f（x）＝x3的“和谐区间”为：[﹣1，0]、[0，1]、[﹣1，1]；
（2）假设函数存在和谐区间，
∴；
∴x2+3x﹣4＝0或x2﹣3x+4＝0
①当x2+3x﹣4＝0，即x＝﹣4或1；在[﹣4，1]内f（x）不单调，故不成立；
②当x2﹣3x+4＝0时，x无解，故不成立；
∴综上所述：函数不存在和谐区间；
（3）∵函数有“和谐区间”；
∴f（x）在（2，k）内单调递增，且f（x）＝x在定义内有两个不等的实数根；
∴在定义内有两个不等的实数根；
即：2m＝x+＝；
∵x∈（2，k），
∴，即m；
∵在（2，3）内单调递减，在（3，+∞）内单调递增，
∴k＞3；
∵函数与直线y＝2m在（2，k）有两个交点，g（2）＝6
∴，
∴正整数k最小值为5，此时g（5）＝6；
∴2m＝6；即m＝3；
此时m的取值范围为（，3）．
21．定义在R上的函数g（x）和二次函数h（x）满足：g（x）+2g（﹣x）＝e x+﹣9，h （﹣2）＝h（0）＝1，h（﹣3）＝﹣2．
（1）求g（x）和h（x）的解析式；
（2）若对于x1，x2∈[﹣1，1]，均有h（x1）+ax1+5≥g（x2）+3﹣e成立，求a的取值范围；
（3）设f（x）＝，在（2）的条件下，讨论方程f[f（x）]＝a+5的解的个
数．
【解答】解：（1）∵g（x）+2g（﹣x）＝e x+﹣9，
∴g（﹣x）+2g（x）＝e﹣x+2e x﹣9，
由以上两式联立可解得，g（x）＝e x﹣3；
∵h（﹣2）＝h（0）＝1，
∴二次函数的对称轴为x＝﹣1，故设二次函数h（x）＝a（x+1）2+k，
则，解得，
∴h（x）＝﹣（x+1）2+2＝﹣x2﹣2x+1；
（2）由（1）知，g（x）＝e x﹣3，其在[﹣1，1]上为增函数，故g（x）max＝g（1）＝e ﹣3，
∴h（x1）+ax1+5≥e﹣3+3﹣e＝0对任意x∈[﹣1，1]都成立，即对任意x∈[﹣1，1]都成立，
∴，解得﹣3≤a≤7，
故实数的a的取值范围为[﹣3，7]；
（3），作函数f（x）的图象如下，
令t＝f（x），a∈[﹣3，7]，则f（t）＝a+5∈[2，12]，
①当a＝﹣3时，f（t）＝2，由图象可知，此时方程f（t）＝2有两个解，设为t1＝﹣1，t2＝ln5∈（1，2），
则f（x）＝﹣1有2个解，f（x）＝ln5有3个解，故共5个解；
②当﹣3＜a＜e2﹣8时，f（t）＝a+5∈（2，e2﹣3），由图象可知，此时方程f（t）＝a+5
有一个解，设为t3＝ln（a+8）∈（ln5，2），
则f（x）＝t3＝ln（a+8）有3个解，故共3个解；
③当a＝e2﹣8时，f（t）＝a+5＝e2﹣3，由图象可知，此时方程f（t）＝a+5有一个解t4＝2，
则f（x）＝t4＝2有2个解，故共2个解；
④当e2﹣8＜a≤7时，f（t）＝a+5∈（e2﹣3，12]，由图象可知，此时方程f（t）＝a+5有一个解t5＝ln（a+8）∈（2，ln15]，
则f（x）＝t5有1个解，故共1个解．