第11篇 复数与多项式
第11篇复数与多项式
第一章复数基础
在科学研究和生产实践中，有些数学问题在实数范围内不能解决，如方程2
10x
+=在
实数范围内无解，因此，人们引入了复数的概念。复数已经在数学、力学、电学以及其他学科里获得广泛应用，成为现代科学技术中普遍使用的一种数学工具。从今天起，我们关于复数的概念、表示方法、运算、应用等。
第一节复数的概念
知识梳理
1.1虚数单位
在实数范围内，方程2
10x +=无解。为了使这个方程有解，人们引入了一个新数i ，
并规定：（1）2
1;
i
=-（2）它和实数进行四则运算，原有的运算法则仍然成立。例如：3
2422(1),(1)(1) 1 (i)
i i i i i i i =?=-=-=?=-?-=有周期性？
我们把这个新数i 叫做虚数单位。
1.2复数的定义
形如a bi +的数叫做复数。其中a b 、都是实数，分别叫做复数的实部和虚部。复数常用z 表示，即z
a bi =+（a
b 、为实数）
。（1）当0b =时，复数a bi +就是实数a 。
（2）当0b ≠时，复数a bi +叫做虚数。
（3）当0a =且0b ≠时，复数bi 叫做纯虚数。请同学们举例。
复数包含了所有的实数和虚数，实数和虚数是复数的特殊情形。全体复数组成的集合称为复数集，用字母C 表示。显然，实数集R 是复数集C 的真子集。
关于复数的比较大小，我们规定：（1）如果两个复数1
z a bi =+与2z c di =+的实部和虚部分别相等，则称这两个复数
相等。即：a
c =且b
d =12
z z ?=（2）如果两个复数1
z a bi =+与2z c di =+不全是实数，就不能比较大小。即实数可
以比较大小，虚数不能比较大小。
解题示范
1.设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b
a i
+为纯虚数”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
第二节
复数的几何表示
2.1用复平面内的点表示复数
知识梳理
任何一个复数z
a bi =+都对应着唯一的有序实数对(,)a
b ,因此，我们可以借助平面直
角坐标系来表示复数z
a bi =+。如图，在平面直角坐标系中，复数z a bi =+可以用点
(,)P a b 来表示。这种建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。对于每一个复数，
都能在复平面内找到唯一确定的点与之对应，反过来，复平面内每一个点对应着唯一的一个复数。即点(,,)
()
P a b z a bi a b R ?=+∈、
由此可知，复数集C 和复平面内所有点的集合是一一对应的，这是复数的一种几何意义。在复平面内，x 轴叫做实轴，
y 轴（除去原点）叫做虚轴。
解题示范
例
在复平面内分别描出表示下列复数的点：
12341
23,,3,1 3.2
z i z i z z i
=-==-=-+
2.2用向量表示复数
知识梳理
如图，如果复数z
a bi =+对应复平面内一个点P ，则有向线段OP 所表示的向量OP
与复
数z a bi =+有以下关系：复数z a bi =+?向量OP
也就是说，任何一个复数z a bi =+对应着以坐标原点O 为起点、(,)P a b 为终点的唯一向
量OP
，所以复数z a bi =+可以用复数z a bi =+来表示，这是复数的另一种几何表示。因此，常把复数z a bi =+说成点(,)P a b 或向量OP
。
向量OP
的长称为复数z a bi =+的模，用r 表示，也可记作||z 或||a bi +。其关系为：22||r z a b ==+解题示范
例
用向量表示复数1232,2,34z i z z i ==-=+，并求它们的模。
2.3共轭复数
知识梳理
观察下列两对复数在复平面内所对应的点的位置关系：
1212(1)33(2)1212z i z i z i z i
=+=-=-+=--与与不难看出，以上两对复数在复平面内对应的点都关于实轴对称，即实部相等，虚部互为相反数。
我们把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做共轭复数。复数z a bi =+的共轭复数记
为z a bi =-。共轭复数的性质：(1)两个共轭复数的模相等；(2)在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；(3)()2z z a bi a bi a +=++-=；
(4)
实数a 的共轭复数是它本身。
解题示范
例已知复数1cos z i θ=+，2sin z i θ=+，求12||||z z 的最大值和最小值。
2.4复数的辐角
知识梳理
设非零复数z a bi =+对应于向量OP ，则以x 轴的正半轴为始边、向量OP
为终边的角
称为复数z a bi =+的辐角。一个非零复数z a bi =+有无穷多个辐角，这些辐角相差2π
的整数倍。
辐角在[0,2)π内的值θ叫做辐角的主值，记作arg z 。每一个非零复数有唯一的模和辐角的主值。由任意角三角函数的定义可知：
tan (0)b
a a
θ=
≠，从而可以确定复数(0)z a bi a =+≠的辐角的主值，而θ所在象限由点(,)a b 所在象限确定。
解题示范
例已知123,1z z ==-+（1）在复平面内画出复数12z z 、对应的向量；（2）求复数12z z 、的辐角的主值；（3）求两向量夹角的大小。
第三节复数的三角形式和指数形式
知识梳理
3.1
复数的三角形式
如图，设非零复数z a bi =+的模为r ，辐角主值为θ，则
cos ,sin .
a r
b r θθ=??
=?于是(cos sin )
a bi r i θθ+=+
其中r =
θ由tan (0)b
a a
θ=
≠及点(,)a b 所在象限来确定。我们把(cos sin )z r i θθ=+叫做复数z 的三角形式，其中，r 为复数的模，θ为复数的辐角主值。为了区别起见，把z a bi =+叫做复数z 的代数形式。复数的代数形式和三角形式之间可以相互转化。
例
求下列复数的辐角主值，并将其表示成三角形式：
(1)1(2)tan ,(0,)(,)
22
(3)1cos sin ,[0,2)
i i ππ
θθπαααπ-+∈++∈ 3.2复数的指数形式
(cos sin )i r i re θ
θθ+=解题示范
例
把复数1-表示成指数形式。
第四节
复数的运算及几何意义
4.1复数的运算
知识梳理
一、复数的四种表示形式：代数形式、几何形式、三角形式、指数形式：θi re z =.二、复数的运算法则
加、减法：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±乘法：()()()()a bi c di ac bd bc ad i
++=-++111222121212(cos sin )(cos sin )[cos()sin()]
r i r i r r i θθθθθθθθ+?+=+++除法：
2222
(0).a bi ac bd bc ad
i c di c bi c d c d
++-=++≠+++)].
sin()[cos()sin (cos )sin (cos 21212
1
222111θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r 乘方：∈+=+n n i n r i r n
n
)(sin (cos )]sin (cos [θθθθN ）；
开方：复数(cos sin )r i θθ+的n
22sin )(0,1,,1).
k k i k n n n
θπθπ+++=- 解题示范
例
已知复数12z z 、满足121213||||1,22
z z z z ==+=
+，求12z z 、的值.
4.2复数的几何意义
知识梳理
(1)复数模的几何意义：||||z OZ =
，即Z 点到原点O 的距离，
一
般地12||z z -即1Z 点到2Z 点的距离．(2)复数加法、减法的几何意义
图中给出1221z z z Z Z ==-
的平方四边形，可以直观地
反映出复数加、减法的几何意义．(3)复数乘、除法的几何意义：
设1111=(cos sin ),z r i θθ+则1zz 的几何意义是把z
的对应向量OZ 按逆时针方向旋转一个角1θ(如果10θ<，就要把OZ
按顺时针方向旋转一个角1||θ，再把它的模变为原来的r 1倍，所得向量OP 即表示积1zz ，如图，10z ≠,1
z z 的几
何意义是把Z 的对应向量
按顺时针方向旋转一个角1θ(如果10θ<，就要把OZ
按逆时针
方向旋转一个角1||θ，再把它的模变为原来的
11r
倍，所得的向量即表示商1
z
z .解题示范
例已知复数12z z 、满足12121||||1,2
2
z z z z ==+=
+，求12z z 、的值。
第五节复数的应用
知识梳理
一．重要性质或结论1.共轭复数的运算性质
1112121212
22
(
)()().n n z z
z z z z z z z z z z n z z ±=±?=?==∈Z z z z =?∈R ，若z 为纯虚数.
z z -=?2.复数模的运算性质
22111212222||
||||,||||,
||||||,
(0),||
z z z z z z z z z z z z z z z =?==?=?=≠n n z z ||||=（当0≠z 时，Z ∈n ）
，.||||||||||212121z z z z z z +≤±≤-此不等式通常叫做三角形不等式，其几何意义为三角形中两边之和大于第三边，两边之
差小于第三边.
).
|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++此恒等式的几何意义为平行四边形两对角线平方和等于四条边的平方和.二．复数与点的轨迹
两点间的距离公式：||21z z d -=；线段的中垂线：||||21z z z z -=-；
圆的方程：r p z =-||（以点p 为圆心，r 为半径）；
椭圆：a z z z z 2||||21=-+-（a 2为正常数，||221z z a ->）；双曲线：a z z z z 2||||||21=---（a 2为正常数，||221z z a -<）；圆的内部：r p z <-||（以点p 为圆心，r 为半径）；闭圆环：21||r p z r ≤-≤（以点p 为圆心，21,r r 为半径）.三．复系数一元二次方程及性质
1．实系数一元二次方程)0,,(02
≠∈=++a c b a c bx ax 且R .判别式.42
ac b -=?（1）当0≥?时，方程有实数根a
ac
b b x 2422
.1-±-=
；当0
ac b b 2i
)4(2--±-；
（2）根与系数的关系：无论0≥?，还是0
,21x x +，且.||||222121a
c x x x x =
==2．虚系数一元二次方程02
=++c bx ax （c b a a ,,,0≠至少有一个为虚数）（1）求根公式仍适用；
（2）根与系数的关系仍适用；（3）判别式判断实根情况失效；（4）虚根成对出现的性质失效。
解题示范
例1、在复数范围内解关于x 的方程：
32(1)1(2)2100
x x x =-+=例2、设复数z 满足||2,z =求||z i -的最大值及此时的复数z .例3、（1）已知2
10ωω++=，求2
2021
122021ωωω
+++???+的值.
（2））判断复数2021
3322z ??
?=??
是否是纯虚数？证明之。
例4、若i 21+
是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复根，求b c 、.
第二章多项式基础知识梳理
多项式理论是代数学的重要组成部分，它在理论上和方法上对现代数学都有深刻的影响，与多项式有关的问题除了出现在函数、方程、不等式等代数领域中，还涉及到几何、数论等知识，是一个综合性的工具，也是数学竞赛中的热点问题．多项式的基本理论主要包括：余数定理与因式定理；多项式恒等条件；韦达定理；插值公式等．具体如下：1．多项式恒等：
(1)多项式恒等条件：两个多项式相等当且仅当它们同次幂的系数相等．
(2)带余除恒等式：多项式f (x )除以多项式g (x )，商式为q (x )，余式为r (x )，(则r (x )的次数小于g (x )的次数），则()()()()f x q x g x r x =+．特别是多项式f (x )除以x -a ，商式为g (x )，余数为r ，则f (x )=(x -a )g (x )+r ．
(3)多项式恒等定理：若有n +1个不同的x 值使n 次多项式f (x )与g (x )的值相同，则
()()f x g x ≡．
在数学竞赛中，经常用到先猜想后证明的思想：比如先找出一个n 次多项式f (x )符合题意，再验证f (x )与g (x )在n +1个不同的x 值处，均有f (x )=g (x )，则()()f x g x ≡．
2．余数定理与因式定理：
(1)余数定理：多项式f (x )除以x -a 所得的余数等于f (a )．
(2)因式定理：多项式f (x )有一个因式x -a 的充要条件是f (a )=0．(3)几个推论：
①若f (x )为整系数多项式，则f (x )除以(x -a )所得的商也为整系数多项式，余数为整数．②若f (x )为整系数多项式，a 、b 为不同整数，则|()().a b f a f b --③f (x )除以(0)px q p -≠所的的余数为()q f p
．
3．代数基本定理
(1)代数基本定理：一个n 次多项式在复数范围内至少有一个根．(2)根的个数定理：一个n 次多项式在复数范围内有且仅有n 个根．4．韦达定理与虚根成对定理
(1)韦达定理：如果一元n 次多项式1
10()n
n n n f x a x a x a --=+++ 的根是12,,,n x x x ，那
么有1
12,n n n
a x x x a --+++=
212131, n n n n a x x x x x x a --+++=
131231242,n n n x n n
a x x x x x x x x a ----+++= ……
012(1).n
n n a x x x a =- 简写成
12121(1)r r r n r j j j j j j n
n a x x x a -≤≤≤≤=-∑ ．(2)复根成对定理：若实系数多项式f (x )有一个虚根(,,0),a bi a b R b α=+∈≠那么它的共轭复数a bi α=-也是f (x )的根，并且a 和α有相同重数．运用时要注意必须是实系数方程．
5．拉格朗日（L agrange ）插值公式
设f (x )是一个次数不超过n 的多项式，数a 1，a 2，…，a n +1两两不等，则
2311121311()()()()()()()() n n x a x a x a f x f a a a a a a a ++---=
+---1312212321()()()
()
()()()
n n x a x a x a f a a a a a a a ++------12111121()()()
()()()()
n n n n n n x a x a x a f a a a a a a a ++++---+
---．
简写成f (x )=111111
1111()()()()()
()()()()
n i i i n i i i i i i i n f a x a x a x a x a a a a a a a a a +-++=-++--------∑
．
解题示范
一、多项式恒等定理
多项式恒等定理在多项式代数中占有非常重要的地位.对于形式表达式,多项式)(x f 与)(x g 恒等即:除去系数为零的项外,同次项系数全相等.从函数的观点考察,数域P 上一个次数不超过n 的非零多项式)(x f 在P 中至多有n 个根,因此,当x 取1+n 个不同的值时,
0)(=x f ,那么一定有0)(≡x f .由此推出,两个次数均不超过n 的多项式)(x f 和)(x g ,
如果对于x 的1+n 个不同的值,都有)()(x g x f =,那么)()(x g x f ≡.关于多项式恒等定理.，它不仅是待定系数法的理论依据,同时在初等数学中还有更广泛的应用.在本专题中,我们给出了多项式恒等定理相关的理论及证明,并探讨它在初等数学中的应用.1多项式恒等定理的有关理论
定义1设n 是一非负整数.形式表达式,
01
1a x
a x a n n n
n +++-- （1）
其中n a a a ,,10全属于数域P ,称为系数在数域P 中的一元多项式,或者简称为数域P 上的一元多项式.
定义2如果在多项式)(x f 与)(x g 中,除去系数为零的项外,同次项的系数全相等,那么)(x f 与)(x g 就称为相等,记为)()(x g x f =.
系数全为零的多项式称为零多项式,记为0.
定义3两个代数式恒等是指其中的文字用任何值代入时（当然要有意义）总是相等.常用记号""≡表示恒等.
定理1若数域P 上的多项式)(x f 恒等于零,即0)(≡x f ,则0)(=x f .定理2数域P 上非零多项式
)0()(0111≠++++=--n n n n n a a x a x a x a x f )
0()(0
111≠++++=--m m m m m b b x b x b x b x g 恒等的充要条件是)()(x g x f =.
定理3多项式恒等定理：数域P 上两个多项式)()(x g x f ≡（或)()(x g x f =）的充要条件是n i b a i i ,,1,0, ==.
定理4][x P 中n 次多项式)0(≥n 在数域P 中的根不可能多于n 个,重根按重数计算.定理5如果多项式)(),(x g x f 的次数都不超过n ,而它们对1+n 个不同的数
121,,,+n ααα 有相同的值,即)()(i i g f αα=,1,,2,1+=n i ,那么)()(x g x f =.
2多项式恒等定理初等数学中的应用2.1待定系数法
定理2与定理3是多项式代数中一个重要方法——待定系数法的理论依据.所谓待定系数法,是假定一个多项式的等式成立,某些未知的系数先形式的写出来,再根据变量的某些特定数值或系数之间的关系,列出以待定系数为未知量的方程组,解这些方程组就可以得到所求的系数.
例1、已知)(x f 为一次函数且34)]([-=x x f f ,求)(x f .
2.2在三角中恒等式中的应用
在三角恒等问题中,某些时候利用多项式恒等定理可以化繁为简.例2、求证)6
(sin )3cos(cos sin 22
απ
απαα--++的值与α无关.2.3证明恒等式
恒等式的证明是中学数学常见的问题之一.“两个多项式)(x f 与)(x g 相等,对于任意的
x ,都有)()(x g x f =.”根据这条结论,在证明某些恒等问题时,我们可以构造两个相等的
多项式函数,然后将特定的数赋值给自变量,即可得欲证之式.当等式两边的次数n 较低时,我们还可以根据定理4,将1+n 个特殊的函数值进行比较,即可得欲证之式.例3、证明：)1/()12(1
131211210
+-=+++++
+n C n C C C n n
n n n n .例4、试证恒等式2222)
)(()
)(())(())(())(())((x b c a c b x a x c a b c b a x c x b c a b a c x b x a =----+----+----.
例5、试证恒等式
1
)
)()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()((=------+------+------+------c d b d a d c x b x a x b c a c d c b x a x d x a b d b c b a x d x c x d a c a b a d x c x b x 2.4因式分解
“若两个多项式相等,则它们同次的对应项系数一定相等.”用这条结论可以处理因式分解问题.
例6、分解22
3
4
+++x x x .
2.5多项式恒等定理解决二项式问题的应用
二项式定理：n
n n n n n n n n
n
b ab C b a C b a
C a b a +++++=+----11
2221
1
)( 例7、已知7
72
2107
)21(x a x a x a a x ++++=- ,求7210a a a a ++++ 的值.2.6多项式恒等定理在其它方面的应用
例8、若4
2
2
()f x x px qx a =+++可被2
1x -整除，求()f a ．二、多项式基本训练
例1、设M 是整系数多项式()P x 的集合，并满足系数的绝对值都小于2020，且所有的根均是两两不同的整数。则M 中多项式次数的最大值是________。
例2、若α=
是整系数多项式()p x 的一个根，则()______p x =.(写出一个即可)
例3、证明：多项式2212223221()n
n n x
x x nx n n N --*-+-???-++∈没有实根。
例4、设1
11()1n
n n f x x a x a x --=++???++有n 个根，且系数11,,n a a -???都是非负的。证明：
(2)3n f ≥。
例5、已知1)(20012002
+-=x x
x f ，证明：对于任意的正整数m ，都有
)),((),(,m f f m f m ))),(((m f f f 两两互素。
（2002年克罗地亚竞赛试题）例6、四次多项式432
182001984x x kx x -++-的四个根中有两个根的积为-32，求实数k ．例7、写出一个正系数多项式()f x ，使得(sin10)0f ?=.
例8、设a ，b ，c ，d 是4个不同实数，p (x )是实系数多项式，已知
①p (x )除以(x -a )的余数为a ；②p (x )除以(x -b )的余数为b ；③p (x )除以(x -c )的余数为c ；④p (x )除以(x -d )的余数为d ．
求多项式p (x )除以(x -a )(x -b )(x -c )(x -d )的余数．（1990年意大利数学奥赛题)
例9、设1210012100,,,;,,,a a a b b b 为互不相同的两组实数，将它们按如下法则填入100×100的方格表内，即在位于第i 行第j 列处的方格处填入.i j a b +现知任何一列数的乘积为1，求证：任一行数的积为1-．
例10、已知数列)0(,,,0210≠a a a a 满足),,3,2,1(211 ==++-i a a a i i i 求证：对于任何自然
数n ，01
101()(1)(1)n n n n p x a C x a C x x -=-+-+222
2(1)
n n a C x x --+
111(1)n n n n n n n a C x x a C x ---+-+是x 的一次多项式或零次多项式．
例11、设(),(),()()p x q x r x s x 及都是多项式，且5525
()()()
p x xq x x r x ++432(1)()x x x x s x =++++，求证：1x -是(),(),(),()p x q x r x s x 的公因式．
例12、设n 是不小于2的正整数，证明
∑
≤<≤=-n
j i n n i j 12
2
.4))((sin π例13、设a 、b 、c 、d 、e 、f 都是正整数，已知S 是数abc def +和fd ef de ca bc ab ---++的公约数，这里.f e d c b a S +++++=证明：S 是一个合数。
例14、设121,,,n x x x +???是任意1n +个互不相同的整数。则任意n 次多项式
11n n n x a x a -++???+在点121,,,n x x x +???处所取得的1n +个值中，至少有一个的绝对值!
2n
n ≥
例15、设()3,a f x >是n 次多项式，则2n +个非负数
()()()()
01210,1,2,1n a f a f a f a f n +----+ 中至少有一个大于1。
例16、设()f x 是二次多项式,且()()()11,01,11f f f -≤≤≤。则对任意的[]1,1x ∈-,有()5
4
f x ≤
(第27届伊朗数学奥林匹克)。例17、设2
31231n
n n n n n x a x
a x a x a x ----+++++= 有n 个非负实数根.则
2
3
23202221n
n
n n a a a n -??
≤++???+≤+ ?
??
例18、给定整数1n >,设()f x 是:n 次整系数多项式,{()|}F f x x Z =∈.
第三章复数与多项式综合选讲第一节复数提高篇与复数方法知识梳理
复数方法，是指通过构造复数，利用复数的相关知识来解答一些非复数问题的方法，从数学问题的结构上去观察、去发现、去挖掘，寻找问题与复数知识的联系，构建复数知识解答问题的思维程序，诸如：由距离联想到复数的模，由角度想到复数的三角形式，由图形的旋转想到复数乘法的几何意义，如此等等.应用复数方法可以解答某些数学竞赛题目，诸如：证明不等式，解答三角函数题，解决解析几何问题.特别是平面几何问题，它是数学竞赛当中常考常新的话题之一，对其中的一些题目，考虑用复数方法处理就显得比较简明.
一．复数的几种形式二．复数的几何意义
三．复数与方程、三角、几何
（1）代数基本定理：一元n 次复系数方程恰有n 个复根（重根按重数记）。
（2）实系数方程虚根成对定理：如果一个一元n 次方程+
+++-- 2211n n n x a x a x 001=+-a x a n 有一个虚根z ，则z 也是这个方程的根，且z 的重数与z 的重数相同。
（3）设复平面上两点1Z 、2Z 对应的复数分别是1z 、2z ，则这两点间的距离满足
))((||||2121221221z z z z z z Z Z --=-=22121212||||().
z z z z z z =+-+（4）设复平面上两点1Z 、2Z 对应的复数分别是1z 、2z ，则线段21z z 的定比分点Z 对应的复数z 可以表示为).1,(12
1-≠∈++=
λλλ
λR z z z 解题示范
例1、设C z z ∈21,，且2||1=z ，9||2=z ，7|5|21=-z z ，试求|5|21z z +的值。例2、设A B C 、、分别是复数i 0a Z =，i 1,i 2
1
21c Z b Z +=+=
（其中c b a ,,都是实数）对应的不共线的三点.证明：曲线4
2
2
4
012cos 2cos sin sin ()Z Z t Z t t Z t t R =++∈与ABC ?中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点。
例3、设ABC ?是锐角三角形，在ABC ?外分别作等腰直角BCD ?、ABE ?、CAF ?.在这三个三角形中，BDC ∠、BAE ∠、CFA ∠是直角。又在四边形BCFE 外作等腰EFG EFG Rt ∠?,是直角，求证：
（1）AD GA 2=；（2）.
135 =∠GAD
例4、如图，给定凸四边形?<∠+∠180,D B ABCD ，P 是平面上的
动点，令.
)(AB PC CA PD BC PA P f ?+?+?=（1）求证：当)(P f 达到最小值时，P A B C 、、、四点共圆；（2）设E 是ABC ?外接圆O 的AB 上一点，满足：
13,23-==EC BC AB AE ，ECA ECB ∠=∠21
，又DC DA ,是⊙O 的切线，2=AC ，求)(P f 的最小值.
例5、平面上给定123A A A ?及点0p ，定义3,4s s A A s -=≥，构造点列012,,,,p p p 使得1k p +为绕中心1k A +顺时针旋转0
120时k p 所到达的位置，0,1,2,,k = 若20190p p =.证明：
123A A A ?为等边三角形。
例6、已知关于x 的方程0i 342
=+++zx x 有实数根，求复数z 的模的最小值.
例7、设实系数方程3
2
0x x ax b ---=有3个正实根，证明：方程3
2
0x x bx a -++=必有一个正实数根和两个轭的虚根。
例8、设,,a b c 是实数，方程2()0x a b c x ab bc ca -+++++=有一个形如
(0,0)i αβαβ+>≠R β∈的虚根，证明：
（1）
,,a b c R *
∈（2）（2）存在一个以,,a b c 为边长的?。例9、已知||1z =，5
10z z +-=，求z 。
例10、已知复数cos sin ,cos sin i u i ααββZ =+=+，且43
,
55
z u i +=+（1）求tan()
αβ+（2）求证2
2
z u zu ++=例11、已知复数12,z z 满足条件：12z =212123,322,z z z i z z =-=-?求的值。例12、已知
a z y x z
y x z y x z y x =++++=++++)
sin(sin sin sin )cos(cos cos cos ，求下列三角式值.
（1）)cos()cos()cos(x z z y y x +++++；（2）).
sin()sin()sin(x z z y y x +++++
例13、已知0sin sin sin cos cos cos =++=++γβαγβα，求证：
02cos 2cos 2cos =++γβα。
例14、求和：0
20240181820S cos cos cos =+++? .例15、设12,,n z z z 为n 个复数，满足
1
1n
k
k z
==∑求证：这n 个复数中，必存在若干个复数，
它们的和的模不小于
14
。例16、设21
,,1,2,,n
k k k k k k k z
z x y i x y R n p =Z =
=+∈=∑ 这里是z 的平方根的实部，证明
1
n
k
k p x =≤∑例17、试问：当且仅当实数012n x x x n ?≥，，，（）满足什么条件时，存在实数01n y y y ?，，，使得2
2
2
2
012n z z z z =+++ 成立，其中k k k z x iy =+，i 为虚数单位，01k n = ，，，。证明你的结论。
例18、已知复数z 满足：10
9
111010110z iz iz ++-=证明1
z =例19、已知1||,1||),5,,2,1(21≤≤=∈z z i C z i 且|||)(2|21213z z z z z -≤+-，
.|||)(2||,||)(2|4343521214z z z z z z z z z z -≤+--≤+-试求||5z 的最大值。
例20、设n 是正整数，1z 、2z 、…、n z ，1ω、2ω、…，n ω为复数，对任意的1ε、2ε、…、
}1,1{-∈n ε，不等式||||22112211n n n n z z z ωεωεωεεεε+++≤+++ 成立。证明：
.
||||||||||||2222122221n n z z z ωωω+++≤+++ 例21、若a b 、为复数，0a ≠，0b ≠，证明：
1||(||||)2||||
a b
a b a b a b -≥+-
，当且仅当||||a b =时。上式等号成立。例22、设a b c 、、为给定的复数，记||a b m +=，||a b n -=，已知0.mn ≠
证明：
max{||,||}ac b a bc ++≥
例23、已知P 为ABC ?所在平面上任一点，,..BC a CA b AB c ===证明：
222.
aPA bPB cPC abc ++≥例24、设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2
221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.
（1）求)Re(21z z 的最小值；
（2）求212122z z z z --+++的最小值。例25、设,m n 为整数31
32()1m n f x x
x ++=++求证：21()
x x f x ++证明：2
2
1()()x x x w x w ++=-- 又31
322()110
m m f w w w w w ++=++=++=2231232()()()110m n n f w w w w w +-=++=++=∴命题成立.
例26、求1001
()1f x x
=-除以432()21p x x x x x =++++的余数
例27、求正整数1a 、2a 、3a 、4a 使得1234(1)(1)(1)(1)a a a a ωωωω++++是一个整数，其中.3
2sin 32cos
ππωi +=例28、设()
2019
22403801240381.x x
a a x a x a x ++=++++ 则034038a a a +++ 的值为___.
例29、方程10
10
(131)0x x +-=的10个复根分别为1122334455
,,,,,,,,,r r r r r r r r r r 求代数式
5
11225111
r r r r r r +++
的值例30、设12,,n A A A 是单位圆内接正n 边形的n 个顶点，P 是单位圆周上一定点，求证
2
1
n
k k PA =∑
是一定值。
第二节复数真题一、填空题
1、2018A 6、设复数z 满足1=z ，使得关于x 的方程0222
=++x z zx 有实根，则这样的
复数z 的和为
2、2018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则
1
3
3221z z z z z z ++的实部是（用含有r 的式子表示）
3、2017B 2、设复数z 满足i z z 22109+=+，则z 的值为
4、2016A 2、设复数z ，w 满足3=z ，i w z w z 47)(+=-+，其中i 是虚数单位，z ，
w 分别表示复数z ，w 的共轭复数，则)2)(2(w z w z -+的模为
5、2016B 3、已知复数z 满足z z z z ≠=+22
（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为
6、2015A 3、已知复数数列{}n z 满足11=z ，ni z z n n ++=+11),2,1( =n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为
7、27、2013B 2、设i =
为虚数单位，则232013232013i i i i ++++=
．
8、1999*8、已知125arctan =θ，那么，复数i
i z ++=2392sin 2cos θ
θ的辐角主值是______9、1998*8、设复数θθsin cos i z +=(πθ≤≤0)，复数z ,z i )1(+,z 2在复平面上对应的三个点分别是R Q P ,,，当R Q P ,,不共线时，以线段PQ ，PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S ，则点S 到原点距离的最大值是_______.
10、1997*9、已知复数z 满足11
2=+
z
z ，则z 的幅角主值范围是．
复数讲义绝对经典
复数 一、复数的概念 1． 虚数单位 i: （1）它的平方等于1-，即21i =-； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个 根是-i ． （4）i 的周期性： 41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =． 2． 数系的扩充：复数(0)i i(0) i(0)i(0) a b a b b a a b b a b a =?? +=??+≠??+≠?? 实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义： 形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数与0的关系： 对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当 0a b ==时，z 就是实数0
6． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 7． 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，， c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+?a c =，b d = 二、复数的几何意义 1． 复平面、实轴、虚轴： 复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ， 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00， ，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数． 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3． 复数z a bi =+←???→一一对应 复平面内的点()Z a b ， 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法． 三、复数的四则运算 1． 复数1z 与2z 的和的定义：
复数法讲义
高中平面几何 (叶中豪) 知识要点 几何变换及相似理论 位似及其应用 复数与几何 （1） 复数的意义及运算 （2） 复数与复平面上的点一一对应 （3） 复数与向量 （4） 定比分点 （5） 重心和加权重心，三角形的特殊点 （6） 面积 （7） 90°旋转与正方形 （8） 相似与复数乘法的几何解释 （9） 三次单位根与正三角形 例题和习题 1．（Sylvester ）已知P 是△ABC 所在平面上任一点。求证：3PA PB PC PG ++=，其中G 是△ABC 的重心。 2．（Lami 定理）已知P 是△ABC 所在平面上任一点，P 点对于△ABC 的重心坐标为 123::μμμ。求证：12 3 0PA PB PC 。 3．（Gergonne ）(1)四边形的两组对边中点连线及两条对角的中点连线共点；（2）六边形相间 的两组中点所构成的三角形的重心重合。 4．（von Aubel ）以任意四边形的各边向形外作正方形，则相对两正方形的中心连线互相垂 直。 5．以△ABC 的AB 、AC 两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形ABD 和ACE ，使∠ABD
＝∠ACE ＝90°。求证线段DE 的中点的位置与顶点A 的位置无关。 6．已知△ABC ，在给定线段MN 的同侧作三个彼此相似的三角形，使得 △A ′MN ∽△NB ′M ∽△MN C ′∽△ABC 。求证：△A ′B ′C ′∽△ABC 。 7．（1）如图，在已知△ABC 的周围作三个相似三角形：△DBC ∽△ECA ∽△FAB 。求证： AFDE 是平行四边形。 E B （2）如图，在四边形ABCD 周围作四个相似三角形：△EAB ∽△FCB ∽△GCD ∽△HAD 。求证：EFGH 是平行四边形。 G 8．在△ABC 的外围作三个相似三角形：△DCB ∽△EAC ∽△FBA 。求证：△DEF 的重心是 定点。 9．若在四边形ABCD 内存在一点P ，使得△PAB 、△PBC 都是以P 为直角顶点的等腰直角 三角形。求证：必存在另一点Q ，使得△QBC 、△QDA 也都是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形。 10．（上海市高中竞赛）设△ABC 是锐角三角形。在△ABC 外分别作等腰直角三角形： △BCD 、△ABE 、△CAF ，这三个三角形中，∠BDC 、∠BAE 、∠CFA 是直角。又在 四边形BCFE 形外作等腰直角三角形△EFG ，∠EFG 是直角。求证：（1）GA AD ；（2）∠GAD ＝135°。 11．（第17届IMO ）已知任意△ABC ，在其外部作△ABR 、△BCP 、△CAQ ，使得 ∠PBC ＝∠CAQ ＝45°， ∠BCP ＝∠QCA ＝30°， ∠RBA ＝∠RAB ＝15°。 求证：（1）∠QRP ＝90°；（2）QR ＝RP 。 12．在复平面上，△ABC 是正三角形的充要条件： （1）2 0A B C 或2 0A B C ； （2）2 2 2 A B C BC CA AB ；
第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数 第一节 复数 1．复数域 每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。 复数111iy x z +=和2 22iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。 如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。 复数的四则运算定义为： )2 1()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1 221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222 a i b a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。 2．复平面 C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。 作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。 横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一 般称为z -平面，w -平面等。 3．复数的模与辐角 复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。向量的长度称为复数的模，定 (,) x y
义为：||z 向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为： Arg arctan 2y z i x π=+（k Z ∈）。 复数的共轭定义为：z x iy =-； 复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+； 复数加法的几何表示： 设1 z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图： 关于两个复数的和与差的模，有以下不等式： （1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212 z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212 z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =； 例1．1试用复数表示圆的方程： 22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠） 其中a,b,c,d 是实常数。 解：方程为 0azz z z d ββ+++=，其中1()2 b i c β=+。 2z
复数讲义(绝对经典)
复数 一、复数的概念 1． 虚数单位i: （1）它的平方等于1-，即21i =-； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性： 41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =． 2． 数系的扩充：复数(0)i i(0) i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =?? +=??+≠?? +≠?? 实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义： 形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数0 6． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘 7． 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，， c ， d ∈R ，那么i i a b c d +=+?a c =，b d =
高中数学复数
第1章：复数与复变函数 §1 复数 1．复数域 形如iy x z +=的数，称为复数，其中y x ,为实数。实数x 和实数y 分别称为复数iy x z +=的实部与虚部。记为 z x Re =， z y Im = 虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数，实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。复数iy x z -= 和iy x z +=称为互为共轭复数，z 的共轭复数记为z 。 设 ，复数的四则运算定义为 加（减）法： 乘法： 除法： 相等： 当且仅当 复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+ ②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ?=? ④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ??=?? ⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ?+?=+? 全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域. 在复数域中，复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示。
例 设i 3,i 5221+=-=z z ，求 2 1 z z ． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。 解 为求 2 1 z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=??=z z z z z z z 2．复平面 一个复数iy x z +=本质上由一对有序实数唯一确定。于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。如果把x 和y 当作平面上的点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z 平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴. 在复平面上，从原点到点 所引的矢量 与复数z 也构成一一对应 关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如： 这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系. 3． 复数的模与辐角 向量 的长度称为复数 的模或绝对值，即：
复数讲义(绝对经典)
复数讲义(绝对经典) 复数 一、复数的概念 1．虚数单位i: （1）它的平方等于，即；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i与－1的关系: i就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i ． （4）i的周期性： ，， ， ． 2．数系的扩充：复数 3．复数的定义： 形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示 4．复数的代数形式: 通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式． 5．复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数6．复数集与其它数集之间的关系： 7．两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，，，，那么，
二、复数的几何意义 1．复平面、实轴、虚轴： 复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3． 复数复平面内的点 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法． 三、复数的四则运算 1．复数与的和的定义： 2．复数与的差的定义： 3．复数的加法运算满足交换律: 4．复数的加法运算满足结合律: 5．乘法运算规则： 设， ( 、、、 )是任意两个复数，那么它们的积 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6．乘法运算律： （1） （2）
复数讲义 教师版
一、知识要点 【复数基本概念及运算性质】 1.虚数单位i : 它的平方等于-1，即 2 1i =- 2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i 3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1 ()44142 43 0n n n n i i i i n Z +++ +++=∈ 4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合 叫做复数集，用字母C 表示* 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，叫做复数的代数形式 4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0 时，z 就是实数0. 5. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ?a =c ，b =d 注意两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 6. 复平面、实轴、虚轴： 点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 虚轴上的点除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 7．复数z 1与z 2的和与差的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 8. 复数的加法运算满足交换律与结合律 9．乘法运算规则：设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数. 10.乘法运算律： (1)z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3 ; (2)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3; (3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3. 11.除法运算规则： (a +bi )÷(c +di )= 2 222d c ad bc d c bd ac +-+++ i .（分母实数化） 12. 复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量1OP 、2OP ，那么，以OP 1、OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量OS 就是z 1+z 2的和所对应的向量 13．复数减法的几何意义：两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 14*.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数 (),,z a bi z a bi a b R =+=-∈，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。22||z z a b ==+ 教学内容
复数的方根、乘幂与复变函数
2复数的幂与方根、区域、复变函数 1、求下列各式的值: （1）5)31(i + 【解】 因为 )3 sin 3(cos 231π π i i +=+, 所以 )3 5sin 35(cos 2)31(55π πi i +=+ i 31616-=. ……………………………………………………………………………………………………… （2）i +1 【解】因为 )4 sin 4 (cos 21π π i i +=+, 所以 i +1???? ? ? ? ? +++=242sin 242cos 24ππππk i k )1,0(=k . 当0=k 时, i +1??? ? ? +=8sin 8cos 24ππi ; 当1=k 时, i +1??? ? ? +=89sin 89cos 24ππi . ………………………………………………………………………………………………………2、在复数范围内求解下列方程: （1）0643 =+z （2）14 =z 【解】 （1）原方程可化为 643-=z )sin (cos 64ππi +=. 故 ?? ? ?? +++=32sin 32cos 4ππππk i k z )2,1,0(=k . 当0=k 时, 0z i 322+=; 当1=k 时, 1z 4-=; 当2=k 时, 1z i 322-=. （2）由于 14=z 0sin 0cos i +=, 故 2 sin 2cos ππk i k z +=)3,2,1,0(=k . 当0=k 时, 0z 1=; 当1=k 时, 1z i =; 当2=k 时, 1z 1-=; 当3=k 时, 1z i -=. ……………………………………………………………………………………………………… 3、描出下列不等式所确定的区域或闭区域, 并指明它是有界的还 是无界的, 单连通的还是多连通的: （1）1Im 0< 高中数学竞赛讲义（十五） ──复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcos θ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模， 也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用e iθ表示cosθ+isinθ，则z=re iθ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|； （8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)， 则z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1- θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2e i(θ1+θ2), 5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=r n(cosnθ+isinnθ). 6.开方：若r(cosθ+isinθ)，则，k=0,1,2,…,n-1。 考点一复数的运算 (2) 考点二复数的模 (5) 课后综合巩固练习 (7) 考点一 复数的运算 1．复数的加法与减法 ⑴加法：设1i z a b =+，2i z c d =+，,,,a b c d ∈R ，定义12()()i z z a c b d +=+++． 复数的加法运算满足交换律、结合律． ⑵相反数：已知复数i a b +，存在惟一的复数i a b --，使(i)(i)0a b a b ++--=，i a b --叫做i a b +的相反数．i (i)a b a b --=-+．在复平面内，互为相反数的两个复数关于原点对称． ⑶复数的减法法则：(i)(i)(i)(i)a b c d a b c d +-+=++--()()i a c b d =-+-， ⑷复数加法的几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则． 2．复数的乘法 设1i z a b =+，2i z c d =+，a 、b 、c 、d ∈R ，定义12()()i z z ac bd ad bc =-++． 复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律， 一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方． 复数的乘方也就是相同复数的乘积．实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对复数z 、1z 、2z 和自然数m 、，有m n m n z z z +?=，()m n mn z z =， 1212()n n n z z z z ?=?． 在复数的乘方运算中，要记住以下结果： 1i i =，2i 1=-，3i i =-，4i 1=；41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =． <教师备案> 记12ω=-， 则12ω=-，331ωω==，210ωω++=，1ωω?=，1ωω+=-，2ωω= 3．复数的除法 已知i z a b =+，如果存在一个复数z '，使1z z '?=，则z '叫做z 的倒数，记作1 z ． 22222 1i || a b z z a b a b z =-=++． 两个复数除法的运算法则如下： i (i)(i)i a b a b c d c d ++÷+=+22i (i)c d a b c d -=+?+22()()i ac bd bc ad c d ++-=+2222i ac bd bc ad c d c d +-=+++． 1．（2019春?遂宁期末）设m R ∈，复数(1)()z i m i =+-在复平面内对应的点位于实轴上，又函数()f x mlnx x =+，若曲线()y f x =与直线:21l y kx =-有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围为( ) A ．{}1 (,] 12 -∞ B ．(-∞，0]{1} C ．(-∞，0]{2} D ．(-∞，0)(2?，)+∞ 【分析】由已知求得m ，得到()f x ，利用导数研究单调性及过(0,1)-的切线的斜率，再画出图形，数形结合可得实数k 的取值范围． 【解答】解： (1)()(1)(1)z i m i m m i =+-=++-在复平面内对应的点位于实轴上， n 1.3复数的乘幂与方根 一、乘积与商 定理一. 两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它 们的辐角相加：1212z z z z ?=；1212rg()rg()rg()A z z A z A z =+或者12() 1212i z z rr e θθ+=。 注：定理中1212rg()rg()rg()A z z A z A z =+两边是角的集合相等。 证明：令1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+ 12121122(cos sin )(cos sin )z z r r i i θθθθ?=?++ 1212121212[(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )]r r i θθθθθθθθ=?-++ 121212[cos()sin()]r r i θθθθ=?+++ 几何意义：将复数1z 按逆时针方向旋转一个 角度2()Arg z 再将其伸缩到2z 倍。 令1z i =+由复数乘法的几何意义说明下列 复数如何生产： 1.(1z + ；2.(1z -；3.(1)z i - 如何得到下列复数： 1. 将z 逆时针旋转120度，模扩大三倍 2. 将z 顺时针旋转120 定理二. 两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被 除数与除数的辐角之差。即： 2211z z z z =；2211 rg()rg()rg()z A A z A z z =- 注：定理中2 211 rg( )rg()rg()z A A z A z z =-两边是角的集合相等。 证明：由除法定义2 1 z z z = ，即：21z zz =。由定理一得：11z z z z ?=；11rg()rg()rg()A zz A z A z =+2211z z z z ∴ =；2211 rg()rg()rg()z A A z A z z =- 定理一和定理二如果用复数的指数形式证明则更简单。 补充知识：设121122,i i z re z r e θθ==，则12() 1212i z z rr e θθ+=；21() 2211 i z r e z r θθ-= 令1z i =+，则z 除以哪个复数可满足下列要求。 1. 将z 逆时针旋转120度，模扩大三倍 2. 将z 顺时针旋转120度，模缩小至原来的三分之一 例1.已知正方形1234z z z z 的相对定点13(0,1),(2,5)z z -，求顶点1z 和4z 的坐标。 解：31212()()()42 2z z z z z i --=-?=+。 同理：41314()()sin )2344z z z z i z i ππ -=-+?=-+ 二、幂与根 n 个相同的复数z 的乘积，称为z 的n 次幂，记作n z ，即 n n z z z z =? 共个 设i z re θ=由复数的乘法定理和数学归纳法可证明，(cos sin )n n n in z r n i r e θθθ=+=，特别地当1z =时，即cos sin i z e i θθθ==+，有： (cos sin )cos sin n i n i n θθθθ+=+——棣模佛(De Moivre)公式 定义 1n n z z -= ，由定义得n n in z r e θ ---= 问题：给定复数z ，求所有的满足n z ω=的复数ω。当0z ≠时，都有n 个ω满足要求。每一个满足要求的ω都称为z 的n 次根。ω， 注：开方——乘方的逆运算。 4i =+ 一、知识点梳理: 1、i 的周期性： i4=1，所以，i41, i421, i43, i41 “z i 4n i 4n1 严2 i 4n3 =0 n Z 2、复数的代数形式：a bi a, b R , a 叫实部，b 叫虚部，实部和 虚部都是实数。C = bi|a, 叫做复数集。二二二二. 3、 复数相等： a bi = c di ：= a = c 且b=d ； a ? bi =0：= a =0且b=0 「实数(b=0) 4、 复数的分类： 复数Z 二a bi 士疥 一般虚数(b=0,a = 0) 虚数(b H0)g i 纯虚数(b 式0,a=0) 虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3 i,6 2i 也没有大 小。 5、 复数的模：若向量oz 表示复数 乙则称oz 的模r 为复数z 的 模， z =|a bi |二■. a 2 b 2 ； 积或商的模可利用模的性质( Z 1 Z 2 6、 复数的几何意义： 复数|z=a+bi(a,b€R )?-一对复平面内的点 一一对应 复数Z =a +bi(a,b 乏R)㈠ 平面向量O#， 7、 复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做 复平面，其中x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴?，实轴上 的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯 虚数 &复数代数形式的加减运算 复数 1 )乙川厶,=|乙| ：Z 2 HI ：Z n ， ( 2) 复数z1 与z2 的和：z12=()+()=()+()i. a,b,c,d R 复数z1 与z2 的差：z12=()-()=()+()i. a,b,c,d R 复数的加法运算满足交换律和结合律 数加法的几何意义：复数z1，z2 a,b,c,d?R ；OZ= OZ, ON (a , b)+(c , d)=( , ) = ()+()i 复数减法的几何意义：复数z12的差(a - c)+(b - d)i对应.由于 Z2Z^OZ^-OZ2,两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 9、特别地，令二一.,|胡=|AB =Z B-Z A为两点间的距离。|z-Z i|=|z-Z2|Z 对应的点的轨迹是线段乙Z2的垂直平分线；|z-Z o|=r , z 对应的点的轨迹是一个圆；|z-z,| |z-z2p2a Z1Z2 : 2a , z 对应的点的轨迹是一个椭圆； |z-Z i I-|z-z2| =2a( Z1Z2 >2a ), z 对应的点的轨迹是双曲线。 乙一乙，兰乙±z2乞乙+z2 10、显然有公式： 2 2 2 2 Zi+Z2 +乙—Z2 =2(|乙+ Z2 ) 11、复数的乘除法运算： 复数的乘法：z1z2= ()()=( - )+()i. a,b,c,d R 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。 实数集R中正整数指数的运算律，在复数集C中仍然成立.即对z123 € C及€ N*有:,(),(z1z2)12n. 复数的除法：ZL=() -■()旦埋普里巴驾i a,b,c,d?R，分母实 Z2 c+dic+d c+d 复数 一、知识点梳理： 1、i 的周期性： i 4 =1，所以，i 4n+1 =i, i 4n+2 =-1, i 4n+3 =-i, i 4n =1()n Z ∈ ()44142430n n n n i i i i n Z ++++++=∈ 2、复数的代数形式：(),a bi a b R +∈，a 叫实部，b 叫虚部，实部和虚部都是实数。 {}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。N Z Q R C. 3、复数相等：a bi c di a c +=+?=且b=d ；00a bi a +=?=且b=0 4、复数的分类：0,0)0)0,0)Z a bi a a ?? =+≠≠??≠?? ≠=?? 实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3,62i i ++也没有大小。 5、复数的模：若向量u u r OZ 表示复数z ，则称u u r OZ 的模r 为复数z 的模， 22||z a bi a b =+=+ 积或商的模可利用模的性质（1）112n n z z z z z ?=???L L ，（2）()11 2 22 0z z z z z =≠ 6、复数的几何意义： 复数(),z a bi a b R =+∈←??? →一一对应 复平面内的点(,)Z a b () ,Z a bi a b R =+∈? u u r 一一对应 复数平面向量OZ ， 7其中x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 8、复数代数形式的加减运算 复数z 1与z 2的和：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数z 1与z 2的差：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数的加法运算满足交换律和结合律 数加法的几何意义：复数z 1=a +bi ，z 2=c +di (),,,a b c d R ∈；OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ， d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i 复数减法的几何意义：复数z 1-z 2的差(a －c )+(b －d )i 对应由于1212Z Z OZ OZ =-u u r u r u u u u r u u u u r ，两个 复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 9. 特别地，AB z =u u u r z B －z A .，B A AB z AB z z ==-u u u r 为两点间的距离。 12||||z z z z -=-z 对应的点的轨迹是线段12Z Z 的垂直平分线；0||z z r -=， z 对应的点的 第2讲 复 数 知识梳理 一．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫复数，其中实部是 ，虚部是 ，表示方式 ，当b =0时，则a ＋b i 为 ，若b ≠0，则a ＋b i 为 ，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为 ． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?则 ． (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：Z=a ＋b i 则它的共轭复数是 ． (4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|， 即|z |＝ ． (5)复数的周期性：i = , i 2= , i 3= , i 4= i 4n+1= , i 4n+2= , i 4n+3= , i 4n = 二、复数的几何意义 1． 复数z a bi =+←??? →一一对应 复平面内的点()Z a b ， 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法． 点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立 了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 x 轴叫做 实轴 ，y 轴叫做 虚轴 实轴上的点都表示 实数 三、复数的四则运算 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝ ． (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝ ． (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝ ． (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ ．(c ＋d i ≠0)．（基本必考） 3、常用结论： (1±i)2＝±2i ， 1＋i 1－i ＝i ， 1－i 1＋i ＝－i. 四、知识应用： 考点一 虚数单位i 的性质 【例1】(2017·新课标全国)已知i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i +++ += ．（用 i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 练习1(2018·辽宁)1i ＋1i 3＋1i 5＋1 i 7＝…………………………………………( )． A 、0 B ．2i C ．－2i D ．4i 考点二 复数的有关概念： 【例2】（2016全国模拟）复数 1＋a i 2－i 为纯虚数，则实数a 为( )． A ．2 B ．－2 C ．－12 D.1 2 练习1复数 i 2(1＋i)的实部是________． 练习2（2016，聊城质检）复数－i 1＋2i (i 是虚数单位)的共轭复数是________． 练习3 已知复数1＋i i ，它的模是 _______ 复数 、复数的概念 1. 虚数单位i: (1)它的平方等于1，即i2 1 ； (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. (3)i与一1的关系： i就是1的一个平方根，即方程 2 x 2 1的一个根，方程x 1的另一个根是-i (4) i的周期性： 4n 1 i i 4n 2 4n 3 ,i 1 , i i , 4n i 1 . 实数a(b 0) 2.数系的扩充:复数a bi虚数a bi(b 纯虚数bi(a 0) 0) 非纯虚数a bi(a 0) 3.复数的定义: 形如a bi(a , b R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部?全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示 4. 复数的代数形式： 通常用字母z表示，即z a bi(a ,b R)，把复数表示成a bi的形式，叫做复数的代数形式. 5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数a bi(a ,b R)，当且仅当b 0时，复数a bi(a ,b R)是实数a ;当b 0时，复数 z a bi叫做虚数；当a 0且b 0时，z bi叫做纯虚数；当且仅当 一送是实数迪3旦￡实数Q 负宴数 二一纯虚数枕 空驚是虚孙 6. 复数集与其它数集之间的关系：N荷Z Q荷R C 7. 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等. 这就是说，如果a , a ,b, d , c, d R，那么a bi c di a c , b d a b 0时，z就是实数0 、复数的几何意义 1. 复平面、实轴、虚轴： 复数z a bi(a ,b R)与有序实数对 a ,b是一一对应关系.建立一一对应的关系. 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z a bi(a ,b R)可用点Z a ,b表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实 数. 2..对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0,0，它所确定的复数是 z 0 0i 0表示是实数. 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 3. 复数z a bi 一一对应复平面内的点Z(a ,b) 这就是复数的一种几何意义?也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. 三、复数的四则运算 1.复数Z1与Z2的和的定义： Z Z2 a bi c di a c b d i 2.复数Z1与Z2的差的定义： Z z2 a bi c di a c b d i 3.复数的加法运算满足交换律:乙Z2 Z2 乙 4.复数的加法运算满足结合律:(Z1 Z2) Z3 Z (Z2 Z3) 5. 乘法运算规则： 设乙a bi , Z2 c di (a、b、c、d R )是任意两个复数， 那么它们的积ziz2 a bi c di ac bd bc ad i 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与 虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 6. 乘法运算律： (1 ) zi Z2Z3 Z1Z2 z3 (2) (乙Z2) Z3 乙(Z2 Z3) (3)Z Z2 Z3 ZZ2 ZZ3 7. 复数除法定义： 满足c di x yi a bi的复数x yi (x、y R)叫复数a bi除以复数c di的商，记为： 题型一：复数的概念 【例1】若复数()()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．1- 【例2】若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A ． B ． C ． D ．或 【例3】已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ） A ．()15， B ．()13， C ．() 15， D ．() 13， 【例4】若复数(2)i bi ?+是纯虚数，则实数b = ． 【例5】设1z 是复数，211z z iz =-（其中1z 表示1z 的共轭复数），已知2z 的实部是1-，则2z 的虚部 为 ． 【例6】复数3 2 1i +=（ ） A ．12i + B ．12i - C ．1- D ．3 【例7】计算：0!1!2!100!i +i +i ++i =L （i 表示虚数单位） 2 (1)(1)z x x i =-+-x 1-011-1典例分析 复数 【例8】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（ ） A ．z 的对应点Z 在第一象限 B ．z 的对应点Z 在第四象限 C ．z 不是纯虚数 D ．z 是虚数 【例9】在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小； ①若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±； ①z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ； ①若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ①z ∈R 的一个充要条件是z z =． ①1z =的充要条件是1 z z =． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 题型二：复数的几何意义 【例10】复数i i z -+=1)2(2 （i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例11】复数13i z =+，21i z =-，则复数 1 2 z z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例12】在复平面内，复数2009 2 1i (1i)+-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例13】在复平面内，复数sin2cos2z i =+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限高中数学竞赛讲义(十五)──复数
高中数学全套讲义 选修1-2 复数运算难 教师版
1.3复数的乘幂与方根
上海高中数学-复数讲义
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