MBA数学基础阶段讲义(二)
第一章实数的概念性质和运算
（甲）内容要点
一、充分条件
定义：如果条件A成立，那么就可以推出结论B成立。即A?B，这时我们就说A是B的充分条件。
例如：A为x>0, B为x2 >0.
由x>0?x2>0 A是B的充分条件.
MBA联考数学中有一类题目叫做“充分性判断题”：
本题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论.（而不必考试条件是否必要）在这类题目中有五个选项，规定为
（A）条件（1）充分，但条件（2）不充分；
（B）条件（2）充分，但条件（1）不充分；
（C）条件（1）和（2）单独都不充分，但联合起来充分；
（D）条件（1）充分，条件（2）也充分；
（E）条件（1）和（2）单独都不充分，联合起来也不充分.
二、实数
1、数的概念和性质
（1）自然数N、整数Z、分数m
n
（百分数%）
（2）数的整除：设?a,b∈Z 且b≠0若?P∈Z使得a=pb成立，则称b能整除a，或a能被b整除，记作b︱a,此时我们把b叫做a因数，把a叫做b的倍数。
定理（带余除法），设a,b∈Z,且b>0,则?P，r∈Z使得a=bP+r，0≤r (3)质数与合数 质数：如果一个大于1的整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（或素数）.例如：2、3、5、7、、、. 合数：一个大于1的正整数，除了能被1和本身整除外，还能被其他正整数整除.这样的正整数叫做合数.例如：4、6、9、、、. (4)有理数与无理数 有理数，整数、有限小数和无限循环小数，统称为有理数. 无理数；无限不循环小数叫做无理数. （5）实数；有理数和无理数统称为实数，实数集用R表示. 2、实数的基本性质： （1）实数与数轴上的点一一对应. （2）?a，b∈R，则在a （3）?a∈R,则a2≥0. 3、实数的运算. 实数的加、减、乘除四则运算符合加法和乘法运算的交换律，结合律和分配律。 下面讨论实数的乘方和开方运算 （1）乘方运算 当a∈R，a≠0时，a0=1，a-n=1 n a ,负实数的奇数次幂为负数；负数的偶次数幂为 正数。 （2）开方运算 在实数范围内，负实数无偶次方根；0的偶次方根是0；正实数的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的偶次方根称为算术根。 在运算有意义时， n m a = 三、绝对值 １、定义 实数a 的绝对值，用︱a ︱表示 几何意义：数轴上表示数a 的点Ａ到原点Ｏ的距离。 ２、性质 （１）︱a ︱≥０ （２）︱–a ︱=︱a ︱ （３）–︱a ︱≤a ≤︱a ︱ （４）()x 0a a a x a <>?-<<︱︱ x a x a x a >?<->或 （５）a b a b ?=?︱︱︱︱︱︱ （６） b b a a =（a ≠0） （７）︱a+b ︱≤︱a ︱+︱b ︱,当且仅当a,b 同号时，等式成立． （８）︱a-b ︱≥︱a ︱-︱b ︱,当且仅当a,b 同号时，等式成立. （９）a ∈R 时，︱a ︱2=a 2 四、平均值 １、算术平均值：n 个数12,,...,n x x x 的算术平均值为121 ...1n n i i x x x x x n n =+++= =∑ ２、几何平均值：n 个正数12, ,..n x x x ?,的几何平均值为 G == 五、比和比例 １、比的意义：两个数相除，又叫做这两个数的比记做:a b 、即:a a b b ＝ a 叫做比的前项， b 叫做比的后项，若a b 的商为k 则称k 为a:b 的值。 2、 比的性质 （1） a:b=k ?a=kb （2） a:b=ma:mb(m ≠0) 3、 百分比 把比值表示成分母为100的分数，这个数就称为百分比或百分率，如1:2=50% a:b=r%常表述为a 是b 的r%,即a=b ?r%. 4、 比例的定义 如果两个比a:b 和c:d 的比值相等，就称a 、b 、c 、d 成比例，记作 a:b= c:d 或 a b =c d a 和d 叫做比例的外项， b 和 c 叫做比例的内项。 当a:b= b: d 时，称b 为a 和d 的比例中项即 b 2=ad （乙） 典型例题 一、 充分条件判断，举例 1、 方程x 2-5x+6=0 (1)x=2 (2)x=1 解:将(1)x=2 代入方程,22-5?2+6=0 满足方程. 条件(1)充分. 将(2)x =1代入方程 12-5?1+6=2≠0条件(2)不充分.答案应选A 注 :若比题题干不变 所给出的条件有如下变化时:2 560.x x -+= (一) (1)x =1, (2)x =3 答案应选B (二) (1)x =2 (2)x =3 答案应选D (三) (1)x =0 (2)x =1 答案应选E 2、等式x=y 成立(x,y 实数) (1)x 2= y 2 (2)x 和y 同号 解:由x 2 =y 2?x=y 或x=-y 条件(1)不充分.x 和y 同号时,可能x ≠-y ,条件(2)不充分. 但条件(1)与(2)联合起来, x 2= y 2且x 与y 同号?x=y 故答案选C 3、将一篇文章录入讲算机,录入员甲比录入员乙效率高 (1)录入员甲与录入员丙合作,需3小时完成; (2)录入员乙与录入员丙合作,需4小时完成; 解:设甲单独录入需x 小时录完,乙单独录入y 小时录完. 由条件(1)丙每小时录入量为13-1x ,再由条件(2)得1y +(13-1x )=14?1x =1y +112?1x >1 y 即:甲每小时完成的工作量大于乙每小时完成的工作量. 即:甲的效率比乙高,此题应选C 二、 实数 5、 从1到105的自然数中，能被3整除或被5整除的数的个数是（ ） （A ）58个（B ）57个（C ）56个（D ）49个（E ）47个 解：能被3整除的数可表示为3k ，k=1，2、、、、35是1到105能被整除的数.能被5整除的数可表示为5k, k=1,2、、、、,21是1到105能被整除的数. 3和5的最小公倍数是15既能被3整除,又能被5整除的数一定是15的倍数,可表示为15k ， k=1,2、、、、、7是从1到105中能被15整除的数,从而能被3整除或被5整除的 个数为35+21－7=49个 答案是D 5、（充分性判断）（2009年10月考题） m 是一个整数。 （1） 若m= p q ，其中p 与q 为非零整数，且m 2是一个整数。 （2） 若m= p q ，其中p 与q 为非零整数，且243 m +是一个整数。 解：由条件（1），若m= p q ，知m 是有理数，又m 2是一个整数，即有理数的平方是整数，则该有理数m 必是一个整数，条件（1）充分 由条件（2），若m= p q ，知m 是有理数，又24 3 m + =z 是一个整数,即2m+4=3 z ? m= 34 3 z -故m 不一定是一个整数,条件(2)不充分,故选A. 6、 （2008年10月考试） 一个大于1的自然数的算术平方根为a ，则与这个自然数左右相邻的两个自然数的算术平方根分别为（ ） (A) -1， (B) 1a -，1a + (C) ， （D ， （E ）21a -,21a + 解：设n 是大于1a =则2 n a = 1n -,1n +分别为21a -，21a +，从而1n -， 1n + 故选D 7a ，它的小数部分记作b 则4 a b -等于（ ） （A ）-1 （B ）1 （C ）-2 （D ）2 （E ）-3 解：因为9<13<16 所以3< <4 ,故的整数部分是 3 ,即b=a-3. 所以 24434133 33a a a a b a a ---=-====---,答案选E 三、 绝对值 8、已知︱6x y --︱+(4x y -)2=0,则log y x =_______ 解：由2 60,(4)0x y x y |--|≥-≥ 608 402 x y x x y y --==?????? -==?? log 28=3 答案：3 9、求适合下列条件的所有x 的值 （1） 6x -︱︱=10 （2） 6x -≤︱︱9 （3） 61x -≥︱︱ 解：（1）610164x x x -=±==-得或 （2）969315x x -≤-≤?-≤≤ （3）616157x x x x -≤--≥?≤≥或或 10、已知3113,22 x x x --︱ ︱=求的取值范围. 解:已知等式可能简化表示为 ≤︱a ︱=-a,应有a 0 由 311023 x x -≤?≤ 所以x 取值范围是1 (,]3 x ∈-∞ 11、（2001年考题） 已知 ︱a ︱=5,︱b ︱=7,ab<0则︱a-b ︱=( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）-12 （E ）6 解：由0ab <则可知0,00,0a b a b <>><或 当00a b <>时时由︱a ︱=5 ︱b ︱=7得a=-5 b=7 从而 ︱a-b ︱=︱-5-7︱=12 当a>0,b<0时 得a=5,b=-7 从而 ︱a-b ︱=︱5-(-7)︱=12 所以答案选C 12、（充分性判断） 方程f(x)=2有且只有一个实根 （1）()3f x x =-︱︱+2 (2)()f x =︱x-3︱ 解：由（1）得 +2=23x -得30x -=，x ＝3，条件（1）充分 由（2）32x -=， 此方程有两个实根：11x = 25x =所以条件（2）不充分，此题应选A 13、（充分性判断）（2003年考题） 不等式 2x x -︱︱+︱4-︱ s > 解： 224x x x x -≥-+-︱︱+︱4-︱︱︱=2 即 2x x -︱︱+︱4-︱的最小值为2，显然当2s ≤，不等式无解，即条件（1）充分 当2s >时，不等式有解，即条件（2）不充分，所以选A 三 平均值 14、将一长为a 的线段截成为x 和a-x ，使x 恰是a 与a-x 的几何平均值，我们称对任意一个量a 的这种分割为黄金分割，试求x 解：由已知，得x 两边平方整理得 220x ax a +-= 12 x a -= 舍去负值，即10.6182 x a a -+= ≈ 15、（问题求解） 车间共有40人，某次技术操作考核的平均值成绩为80分，某中男工平均成绩为83分，女工平均成绩为78分，该车间有女工（ ） （A ）16人 （B ）18人 （C ）20人 （D ）22人 （E ）24人 解：设该车间有女工x 人，则有男工（40-x ）人 由已知女工的平均成绩为78分，女工所得总分为 804083(40)83120x x ?--=- 故 83120 78 24 x x x -== 故此题应选E 16、（2006年考题） 如果123,,x x x 三个数的算术平均值为5，则1232,3,6x x x +-+与8的算术平均值为（ ） （A ）13 4 （B ）162 （C ）7 （D ）172 （E ）19 5 解：由已知123 53 x x x ++= 即 12315x x x ++= 因此 1231 23 (2)(3)(6)81328744 4 x x x x x x ++-++ ++++== = 所以选C 17、（充分性判断） a 与 b 的算术平均值为8 （1） a,b 为不等的自然数，且 1a ，1b 的算术平均值为16 （2） a,b 为自然数，且1a ，1b 的算术平均值为1 6 解： 由条件（1）知1111 ()3()26 ab a b a b +=?=+ 又因a,b 是自然数，故a,b 中至少有一个是3的倍数 不妨设a 为3的倍数，即a =3k (k 为自然数) 则31 k b k = - 由于k 与k-1互质，所以k -1必为3的约数. 又因a >3所以k -1>0 因此k -1=1或k-1=3 即k =2或k =4 当k =2时 a =6 , b =6 ,此时a,b 的算术平均值为6不是8 当k =4时a =12 , b =4 此时82 a b a b +≠=故 所以条件（1）充分，条件（2）不充分，故选A 18、试判断x 与x x 的大小关系 0x ≤ x x ︱︱=- 于是算术平均值 3 x m -= == 0m ≥ 0x ≤ 所以m x ≥ ( 当且仅当0x =时等号成立) 四 比和比例 19、设 111 ::3:4:5,x y z =求使141x y z ++=成立的z 值 解：由已知条件，设 111 3,4,5t t t x y z === 所以111 ,,345x y z t t t = ==代入141x y z ++=得 111 141345t t t ++= ?1180 t = 所以1180 3655 z t === 20、一公司向银行借款31万元，欲按111 ::235 的份额分配给下属甲、乙、丙三个车间进行 技术改造，求甲车间应得的款数. 解： 设甲、乙、丙三个车间应得的款数依次为 2t 万元，3t 万元，5t 万元，于是有2t +3t +5 t =31 30t = 故甲车间应得 2 t =15（万元） 21、（问题求解）（2009年考题） 某国参加北京奥运会的男女运动员比例原为19:12，由于先增加若干女运动员，于是男女运动员比例变为20:13，后又增加了若干男运动员，于是男女运动员的比例最终变为30:19,如果后增加的男运动员比先增加的女运动员才多3人，则最后运动员的总人数为（ ） （A ） 686 （B ）637 （C ）700 （D ）661 （E ）600 解：设原男女运动人数分别a 与b ，后增加女运动员x 人，增加男运动员为y 人 则有1912207,10,380,2401330 193 a b a x y a b b x a y b x y x ?=???=? ====+??+=?+??=+?解得 从而最后运动员总人数为380+240+7+10=637（人） 所以选B 22、（问题求解）（2005年考题） 甲，乙两个储煤仓库的库存煤量之比为10:7，要使这两个仓库的库存煤量相等，甲仓库需向仓库搬入的煤矿量占甲仓库库存煤量的（ ） （A ）10% （B ）15% （C ）20% （D ）25% （E ）30% 解：设甲仓库存煤矿量为a 吨，则乙仓库存煤量为 7 10 a 吨，现从甲仓库运走x 吨，依题意 7321010a x a x x a -= +?= 所以 15100x a ==15% 故选B 23、（充分性判断） （2003年考题） 某公司得到一笔贷款共68万元，用于下属三个工厂的设备改造，结果甲、乙、丙三个工厂 按比例分别得到36万元，24万元和8万元 （1）甲、乙、丙三个工厂按 111 ::239 的比例分配贷款. （2）甲、乙、丙三个工厂按9 : 6 : 2的比例分配贷款. 解：设甲、乙、丙三个工厂分别得到贷款为x 、y 、z （万元） 由条件（1）知111,,239x t y t z t = == 111 6872239 t t t t ++=?= 于是1362x t == ，1243y t ==，1 8()9 z t ==万元条件（1）充分 由条件（2）设一份贷款为a （万元）， 则9,6,2x a y a z a === 962684a a a a ++=?= 于是 9436,6424,248(x y z =?==?==?=万元 条件（2）也充分，所以选D 24、（充分性判断） 一轮船沿河航行于相距48公里的两码头间，则往返一共需10小时（不计到达码头后停船的时间） （1） 轮船在静水中的速度是每小时10公里 （2） 水流的速成度是每小时2公里 解： 条件（1）和条件（2）单独都不充分 联合条件（1）和条件（2），则轮船顺水流行驶需 48 4(102 =+小时)，而往返共需4+6=10（小 时） ， 所以选C 25（问题求解） （2007年考题） 完成某项任务，甲单独做需要4天，乙单独做需要6天，丙单独做需要8天，现甲、乙、丙三人依次一日一轮地工作，则完成该项任务共需的天数为（ ） （A ）263 （B ）153 （C ）6 （D ）2 43 （E ）4 解： 甲、乙、丙三人的工作效率分别为111 ,,468 即 643,,242424 故甲做2天，乙做2天，丙做1天，还剩 124，剩下的由丙完成，需要1112483÷=，一共11 221533 +++= 所以选B 练习1 一、问题求解 1、已知 2 22 11 10,x x y -=-︱︱+(y-2)那么的值是 （ ） （A ）4 （B ）3 （C ） 34 （D ）14 （E ）34 - 2、使得 1 3x -︱︱-3 的值不存在的x 是 （ ） （A ）0或1 （B ）6或1 （C ）6或0 （D ）1 （E ）2 3、若 4x x -︱︱+︱3-︱=1，则x 的取值范围是 （ ） （A ）3x < （B ）4x < （C ）34x << D ）34x ≤≤ （E ）4x > 4、已知,,a b c 是三个正数，且a b c >>若,,a b c 的算求平均值为14 3 ，几何平均值4且,b c 之积恰为a 则,,a b c 的值依次为 （ ） （A ）6 ， 5 ，3 （B ）12 ， 6 ，2 （C ） 4 ，2 ，8 （D ）8 ， 2 ，4 （E ）8 ， 4 ，2 5、某商品单价上调15%后，再降为原价，则降价率为 （ ） （A ）15% （B ）14% （C ）13% （D ）12% （E ）11% 6、今年王先生的年龄是他父亲年龄的一半，他父亲的年龄又是王先生儿子的15倍，两年后他们三人的年龄之和恰好是100岁，那么王先生今年的岁数 （ ） （A ）45 （B ）40 （C ）38 （D ）32 （E ）30 7、原价a 元可购5件衬衫，现价a 元可购8件衬衫，则该衬衫降价的百分比是（ ） （A ）25% （B ）30% （C ）37.5% （D ）38.5 % （E ）40% 8、公司有职工50人，法律知识考试平均成绩为81分，按成绩将公职工分为优秀与非优秀 两类，优秀职工的平均成绩为90分，非优秀职工的平均成绩是75分，则优秀职工的人数为 （ ） （A ）30 （B ）25 （C ）22 （D ）20 （E ）18 9、若 5x x -︱︱=5-，则x 的取值范围是 （ ） （A ）0x >（B ）5x =（C ）5x <（D ）5x ≤（E ）0x ≤ 10、不等式 5x -≤︱2︱3的解集是 （ ） （A ）25x ≤≤（B ）34x ≤≤（C ）02x ≤≤（D ）14x ≤≤（E ）12x -≤≤ 11、若1 2︱a ︱= ︱b ︱=1，则︱a+b ︱等于 （ ） （A ）102或（B ）01或（C ）112或（D ）1322或（E ）3 12 或 12、甲与乙的比是3:2，丙与乙的比是2:3,则甲与丙的比是 （ ） （A ）1:1（B ）2:3（C ）3:2（D ）9:4（E ）8:5 13、车间共有60人，某次技术考核的平均成绩为80分，其中男工平均成绩为82分，女工平均成绩为77分，该车间有女工人数为 （ ） （A ）36 （B ）34 （C ）30 （D ）24 （E ）22 14、某校今年的毕业生中，本科生和硕士生人数之比为5:2椐5月份统计，本科生有70%，硕士生有90%已经落实了工作单位，此时，尚未落实工作单位的本科生和硕士生人数比是 （ ） （A ）35:18 （B ）15:2（C ）10:3（D ）8:3 （E ）7:4 15、一个分数的分子减少25%，而分母增加25%，则新分数比原来分数减少的百分率是（ ） （A ）40% （B ）45% （C ）50% （D ）55% （E ）60% 16、已知A 股票上涨的0.16元相当于该股票原价的16%，B 股票上涨的1.68元也相当于其原价的16%，则这两种股原价相差 （ ） （A ）8元（B ）9元（C ）9.5元（D ）10元（E ）10.5元 17、一商店把某商品按标价的9折出售，仍可获利20%，该商品进价为每件21元，则该商品的每件的标价的16%，则这两种股票原价相差 （ ） （A ）24元 （B ）26元 （C ）28元 （D ）30元 （E ）32元 18、某工厂生产某种定型产品，一月份每件产品销售的利润是出厂价的25%（假设利润等于出厂价减去成本），若二月份每件产品的出厂价降低10%，成本不变，销售件数比一月份增加80%，那么，二月份的销售总利润比一月份销售总利润增（ ） （A ）6% （B ）8% （C ）15.5% （D ）21.5 （E ）25.5 19、已知 2,x y x x y y +=-︱︱则等于 （ ） （A ） 12 （B ）2 （C ）133或 （D ）1123或 （E ）132 或 20、某商品在第一次降价10%的基础上，第二次又降价5%，若第二次降价后恢复到原来的价格，则价格上涨的百分率为 （ ） （A ）13% （B ）14% （C ）15% （D ）16% （E ）17% 21、n 为任意正整数，则3 n n -必有约数（因数） （ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （E ）8 22、每一个合数都可以写成k 个质数的乘积，在小于130的合数中，k 的最大值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （E ）8 23、（2008年10月考题） 以下命题中正确的一个是（ ） （A ） 两个数的和为正数，则这两个数都是正数。 （B ） 两个数的差为负数，则这两个数都是负数。 （C ） 两个数中较大的一个其绝对值也较大 （D ） 加上一个负数，等于减去这个数的绝对值。 （E ） 一个数的2倍大于这个数本身 24、已知3个质数的倒数和为 1591 3783 ，则这三个质数的和为（ ） （A ）112 （B ）113 （C ）114 （D ）115 （E ）116 25、有一个正的既约分数，如果其分子加上24，分母加上54后，其分数值不变，那么此既约分数的分子与分母的乘积等于（ ） （A ）24 （B ）30 （C ）32 （D ）36 （E ）38 26、（2005年考题） 一支部队排成长度为800米的队列行军，速度为80米/分钟，在队首的通讯员以3倍于行军的速度跑步到队尾，花1分钟传达首长命令后，立即从同样的速度跑回队首，在这往返过程中通讯员所花费的时间为（ ） （A ）6．5分钟 （B ）7.5分钟 （C ）8分钟 （D ）8.5分钟 （E ）10分钟 27、（2006年考题） 一辆大巴车从甲城以匀速ν行驶，可按预定时间到达乙城，但距乙城还有150公里处，因故停留了半小时，因此需要平均每小时增加10公里才能按预定时间到达乙城，则大巴车原来的速成度为（ ） （A ） 45 （B ）50 （C ）55 （D ）60 （E ）65 28、（2008年考题） 王女士以一笔资金分别投入股市和基金，但因故需抽回一部分资金，若从股市中抽回10%，从股市各基金的投资额中各抽回15%各10%，则其中总投资额减少130万元，其总投资额为（ ） （A ）1000万元 B ）1500万元 （C ）2000万元 （D ）2500万元 （E ）3000万元 29（2008年考题） 将价值200元的甲原料与价值480元的乙原料配成一种新原料，若新原料每千克的售价分别比甲，乙原料每千克的售价少3元和多1元，则新原料的售价是（ ） （A ）15元（B ）16元（C ）17元（D ）18元（E ）19元 30、（2009年考题） 一家商店为回收资金，把甲，乙两件商品均以480元一件卖出，已知甲商品赚了20%，乙商品亏了20%，则商店盈亏结果为（ ） （A ）不亏不赚 （B ）亏了50元 （C ）赚了50元 （D ）赚了40元 （E ）亏了40元 二．条件充分性判断 31、（2007年考题） x y > (1) 若x 和y 都是正整数，且2 x y <; (2) 若x 和y y <； 32、（2007年考题） 11a a <-<<- (1)a 为实数，10a +<； （2）a 为实数， ︱a ︱<1 33、使 2a b -=-︱a ︱︱b ︱ 成立 （1）0a < （2）0b > 34使 1<︱a-b ︱ 成立︱a ︱+︱b ︱ （1）ab>0 （2）ab<0 35、（2008年考题） 22ab cb < （1） 实数a,b,c 满足a+b+c=0 （2） 实数a,b,c 满足a 36、(2008年10月考题) 1 13 x -<< （1）22211211x x x x --++︱︱= （2）212133 x x --︱︱= 37、（2008年10月考题） 14 n 是一个整数 （1） n 是一个整数，且 314n 也是一个整数 （2） n 是一个整数，且7 n 也是一个整数 38计算某商销售额增加的百分比 （1） 某商品销售量增加了500件 （2） 某商品打八折，使销售量增加60% 39、确定x 和y 的值 （12y -︱︱=4； （22y -︱︱=0 40、某班男生人数比女生人数少 （1）男生中共青团员的人数是全班人数的20% （2）女生中共青团员的人数是全班人数的52% 41、商品换季大甩卖，某种上衣价格下降60% （1）原来买2件的钱，现在可以买5件； （2）原来的价格是现在价格的2.5倍； 42、两个正数x 与y 的算术平均值等于几何平均值。 （1）x=5,y=5 （2）x=3,y=3 43、质检员在A ，B 两种相同数量的产品中进行抽样检查后，可以计算出A 产品的合格率比B 产品的合格率高出5%，则抽样的产品数可求出 （1）抽出的样品中，A 产品中合格品有48个； （2）抽出的样品中，B 产品中合格品有45个； 第二章 整式和分式 （甲） 内容要点； 一、代数式有关概念及其分类 1、代数式：由运算符号（加，减，乘除，乘方，开方），把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式，单独的一个数或者一个字母也是代数式。 2、代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值。 3、代数式系统表 ?????? ????????? 单项式 整式有理数多项式代数式分式无理数 一、整式及其运算 1、整式：整式包括单项式和多项式；由数和字母相乘形成的代数式叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式。 2、整式的运算；整式能进行加，减，乘的运算，整式加，减，乘的结果仍是整式，整式可以进行带余除法的运算，整式的运算符合交换律，结合律，分配律。 （1）加减法：就是合并同类项。 （2）乘法：幂的运算性质是乘法，除法的基础， 幂的运算法则 m n m n a a a +?= ； (0)m n m n a a a a -÷=≠； ()m n mn a a = ； ()n n n ab a b =?； 乘法公式 222()2a b a ab b ±=±+ 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ 33223()33a b a a b ab b ±=±+± 22()()a b a b a b +-=- 2233()()a b a ab b a b ±+=± （3） 除法： 多项式F （x ）除以多项式f(x)商式为g(x),余式为r(x) 则有()()()()F x f x g x r x =+, 当()0()()()r x F x f x g x ==时成立 此时则称整式F ()x 能被整式()f x 整除。 整式F(x )除以x-a 的余式为r(x),则()()()()F x x a g x r x =-?+ 故()()r a F a =成立 三、多项式的因式分解 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，常用的方法有 1、 提取公因式法，例如：()ax ay a x y +=+等 2、 公式法，（乘法公式从右到左，即为因式分解公式）。 例如：22961(31)x x x -+=-, 22 425(45)(45)a b a b a b -=+-等 3、 求根法 若方程1 01....0n n n a x a x a -+++=有n 个根12,,....,n x x x 则多项式1 01012...()()...()n n n n a x a x a a x x x x x x -+++=--- 4、 二次三项式的十字相乘法，例如2 32(1)(2)x x x x -+=-- 5、 分组分解法 例如： 33()(33)..........()3()...............()(3).......................ax by ay bx ax bx ay by x a b y a b a b x y --+=+-+=+-+=+-分两组 提公因式 提公因式 6、待定系数法 例如：将2 2 2512103728x xy y x y --++-因式分解 分析：这个多项式的二次2 2 2512x xy y --可分解为 222512(23)(4)x xy y x y x y --=+- 所以可设 原式(23)(4)x y m x y n =++-+其中m,n 为待定常数，然后利用恒等式的性质，解方程 可求出m=-4 , n=7 所以原式(234)(47)x y x y =+--+ 四 分式及其运算 1、分式：形如 A B 的式子叫做分式，其中A 和B 均为整式，B 中含有字母，B 的值不能为零，例如 2 23 x x +-是分式。 2、最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简化分式 3、分式的基本性质： A A M B B M ?= ? ；A A M B B M ÷=÷（M 为不等于零整式） 4、分式的运算 （1）加减法，同分母的几个分式相加减，分母不变，分子相加减，注意最后结果要约分化为最简分式，不同分母的的分式相加减，先通分化为同分母后，再进行加减运算。 （2）乘除法 a c ac b d bd ?= ， a c a d a d b d b c b c ÷=?= 分式的加法与乘法运算满足交换律，结合律和分配律。 （乙）典型例题 一、整式及其运算 1、求3 2 ()235F x x x x =+--，除以2 ()2g x x x =--的商式和余式 解：用竖式做除法 2 3222235 36 21 x x x x x x x x x x -------+ ３ 得商式()3,()21g x x r x x =+=+余式 2、如果x+1 整除3 22 33x m x mx +++，则m= ( ) （A ） -1或-2 （B ）-1或2 （C ） 1或-2 （D ） 1或2 （E ）-2或2 解，由己知 322 33()(1)x m x m x g x x +++=+ 方程两边取x =-1,则2 32012m m m m -+===解得或答案选D 3、若2 23x x a x +++被除，余式为-5，则a = ( ) （A ）-9 （B ）-8 （C ）7 （D ）8 （E ）9 解；由已知2 2()(3)(5)x x a g x x ++=++- 令x=-3, 则得9-6+a =-5得a=-8答案选B 4、多项式4 3 2 3932x x x x +-++， 的因式分解为(31)(),()x g x g x +则等于（ ） （A ）2(2)(1)x x +- （B ）2(2)(1)x x -+（C ）2 (21)(2)x x +- （D ）2 (21)(2)x x +-（E ）2 (21)(2)x x -+ 解： 432()3932f x x x x x =+-++，用竖式除法计算 () 31 f x x + 可得3 ()32g x x x =-+，当2x =时(2)8620g B D x =-+≠即和均不等于g()， 当2x =-时3 (2)(2)3(2)202/()g x g x -=---+=+即 从而可得22 ()(2)(21)(2)(1)g x x x x x x =+-+=+-故答案选A 5、在实数范围内将下列多项式分解因式 （1）223 123627x y xy y ++ （2）2 615x x -- （3）22 161699ax bx a b +-- （4）32 53x x x --- 解（1）原式222 3(4129)3(23)y x xy y y x y =++=+ (2)十字相乘法 332(5)1 ? +?? ?-?? -??+?-=-? ２ ３２３＝６３５ ３（-５）910 所以 2 615(23)(35)x x x x --=+- （3）22 161699ax bx a b +-- =2 16()9()x a b a b +-+ =2 ()(169)()(43)(43)a b x a b x x +-=++- （4）32 53x x x --- =3 2 2 2 (3)(26)3(3)2(3)(3)x x x x x x x x x x -+-+-=-+-+- =2 2 (3)(21)(3)(1)x x x x x -++=-+ 6、无论x,y 取何值，22 4615x y x y +--+的值都是（ ） （A ）正数（B ）负数（C ）零（D ）非负数（E ）非正数 解；原式2 2 2 2 44692(2)(3)2x x y y x y =-++-++=-+-+ 从而无论x,y 取何值，都有2 2 (2)(3)20x y --+>，答案是A 7、（充分性判断） 2225232(2)(2)x xy y x x y m x y n ++--=++++ （1）1,2m n =-= （2）1,2m n ==- 解：由条件（1）1,2m n =-= 代入题干右端 22(21)(22)25232x y x y x xy y x +-++=+++- 条件（1）不充分 由条件（2）1,2m n ==-代入题干右端 22(21)(22)25232x y x y x xy y x +++-=++-- 条件（2）充分 所以答案选B 8、（充分性判断）x -3是多项式 32()f x x x ax b =--+的因式 （1）4,6a b ==- （2）5,3a b ==- 解：若x -3是()f x 的因式，即()(3)()f x x g x =- 因此，3 2 (3)3330f a b =--+=即必有1830a b -+= 验证条件（1）与（2）都充分，答案选D 9（充分性判断）4M N abc += （1）2 2 2 ()()()M a b c a b c a b c a b c =+-++-++- （2）()()()N b c a c a b a b c =+-+-+- 解：条件（1）和（2）单独显然都不充分，下面将（1）和（2）联合起来考虑 因为M 和N 都是关于a,b,c 的三次齐次式，所以M+N 也必为关于a,b,c 的三次齐次式，当0,a =时M+N=0 当0b =时M+N=0；当0c =时 M+N=0故,,a b c 都是 M+N 的因式，所以M N kabc +=成立 将1a b c ===代入M N kabc +=中，得 44k M N abc =+=所以成立 故此题应选C 二、分式及运算 10、已知260,220x y z x y z --=+-=则222 222 3624x y z x y z +-++的值为（ ） （A ）1 （B ） 12 （C ）13 （D ）25 （ E ）47 解：由知260,220x y z x y z --=+-= 解得2,2x z y z ==- 于是22222222 222222 364126102 24816255 x y z z z z z x y z z z z z +-+-===++++答案是D 11、已知 14x x + =则 441 x x +=（ ） （A ）184 （B ）188 （C194 （D ）196 （E ）198 解：由已知 2 21()16x x +=，即44114x x +=，2 22 1()196x x += 所以 4 41 194,x x +=故应选C 12、已知 113234,2x xy y x y x xy y ---==+-则 （ ） （A ） 4 （B ）15 2 （C ）15 3 （D ）1 63 （ E ）7 解： 3311 23()2 3233(4)2711112422()2x xy y x y x y x x xy y y x y x --------====+--++--+ 故应选E 13：（充分性判断）()3f x ≠ （1）22 334()1x x f x x x ++=++ （2）2 ()49f x x x =-+ 解：由条件（1）22334()1x x f x x x ++=++21 31 x x =+ ++ 因为 1 021 x x ≠++从而()3f x ≠成立，条件（1）是充分的 由条件（2）2 ()49f x x x =-+2 2 (44)5(2)55x x x =-++=-+≥ 即()3f x ≠成立，条件（2）也是充分的，答案是D 练习2 一、化简（1~4） 1、2 2 3 (345)(345)(54)(54)3(8)x x x x x x x x +-+++--+ 2、3 2 (21)(81)(421)y y y y +--+ 3、22 442222 x x x x x x --+-+-+ 4、22222256231232 544316 x x x x x x x x x x x -+++--?÷-+-+- 二、做除法运算，()()()()f x g x h x r x =+已知()f x ，()g x 求()h x ，()r x 。(58)→ 5、3 2 ()61342,()2f x x x x g x x =+--=+ 6、3 2 ()423,()2f x x x g x x =+-=- 7、4 3 2 2 ()313102,()43f x x x x g x x x =+--=+- 8、3 2 2 ()4539,()21f x x x x g x x x =+--=++ 三、把下列各式分解因式（9－15） 9、4 244a a a -+- 10、2 2 6114x xy y -+ 11、2 3736x x +- 12、4 2 44424x xy y y x y -++-+ 13、432 2321x x x x -+-+ 14、2 3(1)4(1)4x x +-+- 2019年MBA数学：基础练习题及答案(二) 1、已知f(xy)=f(x) f(y)且f′(1)=a,x≠0，求f′(x)=? (答案为a/x) 【思路1】原方程两边对Y实行求偏导 xf′(xy)=f′(y) 其中f′(xy)与f′(y)都是对y偏导数 xf′(x*1)=f′(1)=a 得f′(x)=a/x 【思路2】当⊿x→0时，令x ⊿x=xz则z=(1 ⊿x/x) 由f′(x)=[f(x ⊿x )-f(x)]/ ⊿x ={f[x(1 ⊿x/x)]-f(x)}/⊿x =[f(x) f(1 ⊿x/x)-f(x)]/⊿x =f(1 ⊿x/x)/⊿x =f′(1)/x=a/x 2、已知函数f(x y,x-y)=x2-y2, 则f对x的偏导数加f对y的偏导数等于? (a)2x-2y (b)x y 【思路1】设U=x y,v=x-y f(u,v)=uv f′x=f′u*u′x f′v*v′x=v*1 u*1=u v f′y=f′u*u′y f′v*v′y=v-u f′x f′y=u v v-u=2v=2(x-y)=2x-2y 选A 【思路2】由已知f(x y,x-y)=(x y)(x-y), 令u=x y, v=x-y, 则f(u,v)=uv,于是f(x,y)=xy,故答案为(b). 结论：b应该是对的，复合函数是相对与自变量来说的，自变量与字母形式无关。 3、已知方程7x2-(k 13)x k2-k-2=0的两个实根分别在区间(0，1)和(1，2)内，则k的取值范围是什么?答案为(-2，-1)U(3，4) 【思路】画图可得f(0)>0,f(1)0代入计算即可。 4、A,B是一次随机实验的两个事件，则___ A. A-(B-A)=A-B B. A-(B-A)=A 【思路】B,利用定义可得。 5、已知随机变量X的密度的函数是：f(x)= 其中m>0，A为常数，则概率P{m0)的值一定是：____ A、与a无关，随着m的增大而增大 B、与m无关，随着a的增大而增大 C、与a无关，随着m的增大而减少 D、与m无关，随着a的增大而减少 【思路】P{m0)= dx=Ae-m=1 A=em ,P{m= =Ae-m [1-e-a]= 1-e-a a>0 答案为B。 版块考点主要方法整数/自然数0？常见整除数的特点质数/合数/互质数1？2？奇数/偶数 分数/小数整除/倍数/约数最小公倍数/最大公约数有理数/无理数无限不循环小数/根数整数的因数分解再穷举三角不等式注意等号成立条件非负性对称性去绝对值分段讨论/平方去绝对值要考虑增根 几何意义分比定理/合比定理/等比定理 分子分母同加减的增减性变化 算术平均值/几何平均值调和平均值线性问题不等式，直接取端点/代入验证图形结合行程问题直线/往返/操场/水路工程/效率问题 复杂应用题可以考虑根据等量关系建立4个方程比例/利润问题 容斥问题 理清集合的交叉数量关系种树问题 最值问题 考虑借用二次函数/均值不等式求最值建筑问题 特殊情况 考虑直接利用题目的等量关系求解，不用列方程因式定理 整除方案余式定理 灵活根据余式建立函数方程系数问题二项式定理 化简/裂项相消整体代入求解分解因式（双）十字相乘，一提二套三分组 待定系数法 一次因式检验法图像/开口方向/对称轴/判别式/韦达定理 直线与抛物线 确定边界条件 分式方程/无理方程注意增根 二次方程根的分布（依据判别式/韦达定理） 绝对值方程 分式不等式:移项通分/分母有意义 绝对值不等式 无理不等式：去根号注意非负性 高次不等式：穿线法，奇穿偶不穿 柯西不等式 递增数列，递减数列，摆动数列，常数列 注意首项的问题特值法 裂项相消 方程实数一般数列指数函数/对数函数 不等式 一元二次函数代数整式 分式函数 绝对值比与比例 方程与不等式运算性质，图形 乘法系列公式 内容实例及注意点管理类联考数学总结（2019年11月） 算术应用题浓度问题 数列的最值问题：等比数列二次函数/均值不等式数列应用题：找出公比/公差是关键，有时可穷举通项公式绪考虑d=1的情况求和公式，一元二次方程（无常数项）特别地，无穷递缩等比数列，通项公式需考虑q=1的情况直线 直线被一组平行线截得的线段成比例面积公式 三边关系特殊三角形：直角/等腰/等边/等腰直角全等/相似四心（内心/外心/重心/垂心），等边三角形四心合一“燕尾模型”“鸟头定理”“射影定理”求距离时考虑建立平面直角坐标线求面积考虑同底高比/同高底比四边形蝶形定理/梯形蝶形定理圆弦长/切线/弧长/周长扇形面积公式/弦长正多边形 求面积 割补法/分解+组合图形，分块编号求解，等量变形法，割补法，整体思维，构造封闭图形最值问题 平移/垂线 - 两点之间线段最短；面积的最值解决均值不等式或二次函数求解两点间的距离公式中点坐标公式 点与点对称 5种直线方程形式：点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式斜率计算（正切值），图形 点到直线的距离公式 两条直线的位置关系：垂直，相交，平行（两条平行线的距离公式）直线的象限判定 直线的对称 直线的平移（上加下减b，左加右减x） 标准方程/一般方程 点与圆的关系 直线与圆的关系：相离/相切/相交 圆与圆的关系：外离/内含，外切/内切，相交；外公切线/内公切线圆的对称关系 公共弦方程 C2-C1 数形结合 数形结合 圆上动点问题，斜率设k求解 线性规划问题找出约束条件和目标函数，分析出可行域 曲线过定点问题考虑零系数项为0 长方体体对角线 体对角线 外接球 内切求 侧面积/全面积 体积 面积/体积 与水的体积问题，找准等量关系 切开后新增加的表面积？ 拼接后减少的面积？ 融合后体积相等 虫虫爬行 点到面/面到面 旋转 基本原理 加/减/乘/除 准确分布/合理分类 特色元素/位置优先处理 正难则反/等价转化 相邻问题捆绑法 排座位问题 数字问题：穷举时注意重复数字 穷举/列举法 可重复元素问题，房的人次幂！（谁是“房”？谁是“人”？）全能元素问题，正难则反 几何圆求面积点直线不相邻问题插空法 最值问题立体几何正方体圆柱体球切开/融合问题距离问题解析几何平面几何三角形 数列特别地：绝对值方程的解析图形 等比数列 等差数列 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A 第一章实数的概念性质和运算 （甲）内容要点 一、充分条件 定义：如果条件A成立，那么就可以推出结论B成立。即A?B，这时我们就说A是B的充分条件。 例如：A为x>0, B为x2 >0. 由x>0?x2>0 A是B的充分条件. MBA联考数学中有一类题目叫做“充分性判断题”： 本题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论.（而不必考试条件是否必要）在这类题目中有五个选项，规定为 （A）条件（1）充分，但条件（2）不充分； （B）条件（2）充分，但条件（1）不充分； （C）条件（1）和（2）单独都不充分，但联合起来充分； （D）条件（1）充分，条件（2）也充分； （E）条件（1）和（2）单独都不充分，联合起来也不充分. 二、实数 1、数的概念和性质 （1）自然数N、整数Z、分数m n （百分数%） （2）数的整除：设?a,b∈Z 且b≠0若?P∈Z使得a=pb成立，则称b能整除a，或a能被b整除，记作b︱a,此时我们把b叫做a因数，把a叫做b的倍数。 定理（带余除法），设a,b∈Z,且b>0,则?P，r∈Z使得a=bP+r，0≤r 2018考研管理类联考数学大纲考试内容全解析管理类联考综合考试中的数学基础部分主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力，分别主要以算术、代数、几何和数据分析四个数学知识范围来对这四种能力进行检验。近几年管理类联考考研大纲数学部分没有任何变化，按照以往的经验，今年的大纲应没有变化。9月15号，考研大纲正式发布，与往年相比，确实没有任何变化。 首先，考研大纲很重要，真题都是以大纲为基准进行出题的。它是全国硕士研究生入学考试命题的唯一依据，那些命题人必须在考研大纲范围内出考题。只要我们把考研大纲上规定的知识内容都复习好了，那必定会取得不错的成绩，所以也是考生复习备考必不可少的工具书。 既然，考研大纲对于考生来说是一个极其重要的学习资源，同学们应以大纲依据按照知识模块进行详尽的复习，然后再做模拟题和历年真题。今天呢，结合历年真题的出题规律分析各个知识模块的主要考点和各个知识模块在考试中的占比。 由于在历年的考试中平均有5至7道题为应用题求解，今天就针对应用题和大纲中的四个知识范围做详尽的解析。 （一）应用题 应用题部分主要包括：增长率问题、价格问题、行程问题、工程问题、浓度问题、集合问题、线性规划问题、不定方程问题、平均值等问题。其中增长率问题是每年必考考点。 这部分内容总体难度不大，找出其中的等量关系式，要么列综合式一步步分析得出其值，要么列方程把已知关系通过等式列出来，解方程解得答案。之所以把应用题进行 分类，是因为特定题型会经常使用特定的关系式：比如在解工程问题的应用题中，我们总会把工程总量看做单位1，工作总量又等于工作时间乘以工作效率。 会做应用题也直观地展现考生们分析和解决实际问题的能力，所以应用题在历年考试中的占比较大，分数较多，所以考生应优先解决应用题模块的疑问和问题。 大家在有时间的情况下，最好分类学习应用题的解题方法，形成解题的思维定式，以便考试时可以较为迅速地得到答案。 （二）算术 这部分主要涉及整数、分数小数与百分数、比与比例、数轴与绝对值四部分内容。 算术是整个数学的基础，从上学以来就开始接触到这部分内容。整数部分主要考点：质因数分解法、20以内的质数与合数、奇数偶数的运算性质、最大公约数与最小公倍数。 分数、小数、百分数、比与比例的主要考点：有理数与无理数的运算性质、比与比例的性质。这部分内容的考查会体现在一些应用题上，比如比例问题、增长率问题，主要问题一是给出个体以及个体所占百分比，去求得总体，主要问题二是已知条件中有甲比乙多（少）a%,或者甲是乙的a%，，或者是连续增长率问题。 这部分内容较简单，除了在应用题中考查百分数、比与比例外，在历年的考研中平均会有2至3道题考察这类知识点。 小学数学基础知识点大全1 自然数：用来表示物体个数的0、l、2、3、4、5、6、7……叫做自然数。 最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。 按是否是2的倍数来分：分为奇数和偶数两类； 0：0也是一个自然数。0是一个偶数。 0不能作除数，不能作分母，也不能作比的后项。 a＋0= a ；a－0= a；a－a = 0；a×0= 0；0÷a（a≠0）= 0 数对：用数对表示位置时，第一个数表示列，第二个数表示行。 数位和计数单位： 十进制计数法：每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 数的读法和写法： 读、写都要从高位到低位，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续有几个0都只读一个0。不管读和写都要进行分级。如534007000602读作：五千三百四十亿零七百万零六百零二 分数：表示把“单位1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做 分数。表示其中一份的数叫做分数单位。例如： 712的分数单位是112 ，它有7个这样的分数单位。 真分数： 分子比分母小的分数叫真分数。真分数小于1。 假分数：分子大于或等于分母的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。 带分数：一个整数(0除外)和一个真分数组合在一起的数，叫做带分数。 分数的基本性质： 一个分数的分子、分母同时乘上或除以几(零除外)，分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。 分数的大小比较： ① 同分母分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小； ② 同分子分数，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大。 ③ 异分母分数，先化成同分母分数（分数单位相同），再进行比较。 常用分数的分数值： 21= 0.5 5.2041= 5.7043= .2051= .4052= .6053= .805 4= 25.1081= 75.3083= 25.6085= 75.8087= 625.0016 1= 4.00251= 2.00501= 2121-1= 6131-21= 12141-31= 20 151-41= 倒数：乘积是1的两个数叫做互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。 分数和小数的联系：小数实际上就是分母是10、100、1000……的分数。 小数：小数是分数的一种特殊形式。但是不能说小数就是分数。 循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ” ，0.5454 ……的循环节是“ 54 ” 。 第一章实数的概念性质和运算 内容要点 一、充分条件 定义：如果条件A成立，那么就可以推出结论B成立。即A?B，这时我们就说A是B 的充分条件。 例如：A为x>0, B为x2 >0. 由x>0?x2>0 A是B的充分条件. MBA联考数学中有一类题目叫做“充分性判断题”： 本题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论.（而不必考试条件是否必要） 在这类题目中有五个选项，规定为 （A）条件（1）充分，但条件（2）不充分； （B）条件（2）充分，但条件（1）不充分； （C）条件（1）和（2）单独都不充分，但联合起来充分； （D）条件（1）充分，条件（2）也充分； （E）条件（1）和（2）单独都不充分，联合起来也不充分. 二、实数 1、数的概念和性质 （1）自然数N、整数Z、分数m n （百分数%） （2）数的整除：设?a,b∈Z 且b≠0若?P∈Z使得a=pb成立，则称b能整除a，或a能被b整除，记作b︱a,此时我们把b叫做a因数，把a叫做b的倍数。 定理（带余除法），设a,b∈Z,且b>0,则?P，r∈Z使得a=bP+r，0≤r 《附件3》----2018届管理类考研数学基础班课程讲义 导论 一、管理类联考数学考试大纲 管理类专业学位联考(MBA,MPA,MPAc等)综合能力考试数学部分要求考生具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力. 综合能力考试中的数学部分(75分)主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力，以及分析问题和解决问题的能力，通过问题求解(15小题，每小题3分，共45分)和条件充分性判断(10小题，每小题3分，共30分)两种形式来测试. 数学部分试题涉及的数学知识范围有： (一)算术 1．整数 (1)整数及其运算(2)整除、公倍数、公约数(3)奇数、偶数(4)质数、 合数 2. 分数、小数、百分数 3．比与比例 4．数轴与绝对值 (二)代数 1．整式 (1)整式及其运算(2)整式的因式与因式分解 2．分式及其运算 3．函数 (1)集合(2)一元二次函数及其图像(3)指数函数、对数函数 4．代数方程 (1)一元一次方程(2)一元二次方程(3)二元一次方程组 5．不等式 (1)不等式的性质(2)均值不等式(3)不等式求解：一元一次不等 式(组)，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式. 6. 数列、等差数列、等比数列 (三)几何 1．平面图形 (1)三角形(2)四边形(矩形、平行四边形、梯形) (3)圆与扇形 2．空间几何体 (1)长方体(2)柱体(3)球体 3．平面解析几何 (1)平面直角坐标系(2)直线方程与圆的方程(3)两点间距离公式与点到直线的 距离公式 (四)数据分析 1. 计数原理 (1)加法原理、乘法原理 (2)排列与排列数 (3)组合与组合数 2．数据描述 (1)平均值 (2)方差与标准差 (3)数据的图表表示：直方图，饼图，数表 3．概率 (1)事件及其简单运算 (2)加法公式 (3)乘法公式 (4)古典概型 (5)伯努利概型 二、数学基础两种考查题型 数学基础共25道题，满分75分,有两种考查题型： 第一种是问题求解，1-15题,每道小题3分,共45分； 第二种是条件充分性判断，16-20题,每道小题3分,共30分. 两种考查形式说明如下： 1. 问题求解题型说明 联考中的问题求解题型是我们大家非常熟悉的一般选择题，即要求考生从5个所列选项(A)、(B)、(C)、(D)、(E)中选择一个符合题干要求的选项，该题型属于单项选择题，有且只有一个正确答案. 该题型有直接解法(根据题干条件推出结论)和间接解法(由结论判断题干是否成立)两种解题方法. 下面举例说明： 【范例1】(200901)方程214x x -+=的根是( ). (A)5x =-或1x = (B)5x =或1x =- (C)3x =或53x =- (D)3x =-或5 3x = (E) 不存在 【答案】C 2. 条件充分性判断题型说明 管理类联考数学部分知识点归纳 （三）几何 两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。 1.平面图形 (1)三角形 三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 同一个三角形中：等角对等边；等边对等角； 大角对大边；大边对大角。 内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论：①直角三角形的两个锐角互余。②三角形 的一个外角等于和它不相邻的来两个内 角的和。③三角形的一个外角大于任何一 个和它不相邻的内角。 面积：11 sin ()22ah ab C p a b c ===++。其中h 是a 边上的高，C 是a 、b 边所夹的角，p 为三角形的半周长。 勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c a b =+。常用勾股数：（3,4,5）； (5,12,13); (7,24,25); (8,15,17)。 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 三角形的重心坐标公式 ：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是 123123(,)33x x x y y y G ++++。 摄影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项： 22290CD AD BD ACB AC AD AB CD AB BC BD AB ?=??∠=??=???⊥??=??o 中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。结论：①三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。②三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。③三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。④三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。⑤三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 内心：内切圆圆心，三条角平分线交点。 外心：外接圆圆心，三条边的垂直平分线交点。 重心：三条中线的交点。 垂心：三条高线的交点。 全等三角形：对应边、对应角相等，对应角平分线、中线、高相等，面积相等。 边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”） 角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。 初中数学知识点总汇 一、数与代数A:数与式: 1:有理数 有理数:①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数 数轴:①画一条水平直线,在直线上取一点表示0(原点,选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴 ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 ③如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。 在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点距离相等。 ④数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。正数大于0,负数小于0,正数大于负数。 绝对值:①在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ②正数的绝对值是他本身/负数的绝对值是他的相反数/0的绝对值是0。两个负数比较大小,绝对值大的反而小。 有理数的运算:加法:①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。②异号相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。 乘法:①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法:①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方:求N个相同因数A的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,A叫底数,N叫次数。 混合顺序:先算乘法,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里的。 2:实数 无理数:无限不循环小数叫无理数 平方根:①如果一个正数X的平方等于A,那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A,那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算,叫做开平方,其中A叫做被开方数。 立方根:①如果一个数X的立方等于A,那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。 ③求一个数A的立方根的运算叫开立方,其中A叫做被开方数。 第一讲 极限与连续 主要内容概括（略） 重点题型讲解 一、极限问题 类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ； （2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π； （3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限： （1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限： （1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ； （2）n n n n !lim ∞ →； （3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。 类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限： （1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限： （1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+； （3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++； （4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →； 类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限： （1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→； （3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ； （4）)tan 1 1(lim 220x x x -→； 初等数学部分 1:21%)(1%) %%%%4:1 a b a b a b b a p a p p p p p a c a mc a c m b d b md b -≤+≤+≤≥≥???→+???→--? =?=?±±===±±原值a 原值a 考点：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。：三角不等式，即 左边等号成立的条件：ab 0且a 右边等号成立的条件：ab 0 3:增长率p%现值（ 下降率p%现值甲乙 注意：甲比乙大，甲是乙的甲乙乙 合分比定理：5: d c e a c e a d f b d f b ++==?= ++a 等比定理：b 116:,,,n X X X n 当当且仅当 78a b b a n n +≥：：个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这个正数相等，且等于算术平均值222122 129,,0,400,100(0),/0(0)/a b c R ac X aX bX c a X X X b a aX bX c a X X c a ∈>?? ?-=?? 2 121222 21221X X X X X X X +-+=21（） 1 （2）X （） 0111111110; 12n n n n n n n n n n k n k k n C a C a b L C ab C b k T C a n a n b n ----+=+++++=+???→n 逐渐减二项式定理：公式（a+b)所表示的 通项公式：第项为项数：展开总共项 指数：的指数：由； 各项a 与b 的指数之和为n 展开式的最大系数：当n ：二项式展开式的特征 1 32 22,n n n -???????????? +? ????n+1和项）2； 即奇数项系数和等????? ?? ????????????????? ??????? 微积分部分 212212)()()(),()X X X f X f X f X f X D ∈<≤≥111：单调性： 设有函数y=f(x)，x D,若对于D 中任意两点X ，（），都有f(X 或则称函数在上单调上升（或单调下降）。 若上述不等号为严格不等号“<”（或“>”）。 则称函数f(X)在D 上严格单调上升（或严格单调下降）。2：奇偶性：（1）定义： 设函数y=f(x)的定义域D 关于原点O 对称，若对于D 中的任一个x ，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),则称函数f(x)为奇函数（或偶函数）。（2）图像特点： 奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y 轴对称，函数y=0既是奇函数，也是偶函数。,∞g(x)3:遇到f(x)只要符合“1” ，按以下方法处理： 2013考研数学高分导学班讲义(汤家凤) 课程配套讲义说明 1、配套课程名称 2013年考研数学高分导学（汤家凤，16课时） 2、课程内容 此课件为汤家凤老师主讲的2013考研数学高分导学班课程。此课程包含线代和高数，请各位学员注意查看。 3、主讲师资 汤家凤——文都独家授课师资，数学博士，教授，全国著名考研数学辅导专家，全国唯一一个能脱稿全程主讲的数学辅导老师，全国大学生数学竞赛优秀指导老师。汤老师对数学有着极其精深的研究，方法独到。汤老师正是凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 严谨的思维、激情的课堂，轻松的学习，这是汤老师课堂的特色！ 主讲：高等数学、线性代数。 4、讲义 20页（电子版） 文都网校 2011年9月15日 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2 2013考研数学高分导学班讲义 线性代数部分—矩阵理论 一、矩阵基本概念 1、矩阵的定义—形如?Skip Record If...?，称为矩阵?Skip Record If...?，记为?Skip Record If...?。 特殊矩阵有 （1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。 （2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。 （3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。（4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。 2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。 3、矩阵运算 （1）矩阵加、减法： ?Skip Record If...?，则 ?Skip Record If...?。 （2）数与矩阵之积： ?Skip Record If...?。 （3）矩阵与矩阵之积： 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3 初等数学部分 1:21%)(1%)%%%% 4:1 a b a b a b b a p a p p p p p a c a m c a c m b d b m d b -≤+≤+≤≥≥???→+???→--? =?=?±±===±±原值a 原值a 考点：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。：三角不等式，即 左边等号成立的条件：ab 0且a 右边等号成立的条件：ab 03:增长率p%现值（ 下降率p%现值甲乙注意：甲比乙大，甲是乙的甲乙乙 合分比定理：5:1(0) 1, (0) d c e a c e a d f b d f b a a m a m b b n b a m b n b ++==?= +++><>+<>>+a 等比定理：b 增减性：，a a+m 0< b 11126:,,,,0,1,...,) ......n n i n X X n X X x i n n X X X ≥ >==== 当为个正数时，他们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即当且仅当时，等号成立。 72(0),8a b ab ab b a n n +≥>：同号：个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这个正数相等，且等于算术平均值 2 22122 129,,0,400,100(0),/0(0)/a b c R ac X aX bX c a X X X b a aX bX c a X X c a ∈>???-=?? 高中数学知识归纳汇总 ————冲刺背诵篇 第一部分 集合 1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是应变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n -2； （2）;B B A A B A B A =?=??Y I 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情 况。 （3）);()()();()()(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I Y I I Y == 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 第二部分 函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 2 2 2b a b a ab +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出； ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数 )(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； m b a 初等数学知识点汇总【m b a 加油站】 一、绝对值 1、非负性：即|a| ≥ 0，任何实数a 的绝对值非负。 归纳：所有非负性的变量 （1） 正的偶数次方（根式） 0,,,,41 214 2≥a a a a （2） 负的偶数次方（根式） 1124 2 4 ,,,,0a a a a - - --> （3） 指数函数 a x (a > 0且a ≠1)>0 考点：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。 2、三角不等式，即|a| - |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| 左边等号成立的条件：ab ≤ 0且|a| ≥ |b| 右边等号成立的条件：ab ≥ 0 3、 要求会画绝对值图像 二、比和比例 1、%(1%)a p a p ??? →+原值增长率现值 %)1(%p a p a -?? →?现值下降率原值 %%%%p p p p ?=?=-? 乙甲，甲是乙的乙 乙 甲注意：甲比乙大 2、 合分比定理：d b c a m md b m c a d c b a ±±=±±==1 等比定理：.a c e a c e a b d f b d f b ++==?=++ 3、增减性 1>b a b a m b m a <++ (m>0) , 01a b << b a m b m a >++ (m>0) 4、 注意本部分的应用题（见专题讲义） 三、平均值 1、当n x x x ，??,,21为n 个正数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即 ),1 0( ·2121n i x x x x n x x x i n n n ，＝＞＋＋＋??≥? 第一讲函数，极限，连续性 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给 定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就 说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B。 ⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中 的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合 B 的真子集，记作A 。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。 ②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。 通常记作U。 一、MBA数学考试趋势 2007年MBA考试改革至今进行了7次入学考试， 2009年、2010年又进行了微调，改革意图和考试趋势已经呈现在我们面前，数学部分考试难度适中，趋于稳定，主要体现以下三个特点： 基础性：任何一种考试，知识点都是基础、是核心、是不可或缺的部分。目前，数学只考实数、整式和分式、方程和不等式、排列组合与概率初步、数据描述、平面几何、解析几何和立体几何初步，考点已经大量压缩，保留的知识点大部分考生都在初中时代学习过，在这种情况下，每年纯粹知识点的考题一般5至8个，并且对这些知识点的考察都有相对的质量和深度，知识点的交叉、联合比较多，甚至会考考生不注意的地方或者特别容易出错的地方，这就要求考生对基本知识点有精深的把握。 灵活性：经历数次改革以后，虽然考察的知识点变少了、简单了，但考题向着灵活和多样化方向发展，考点不固定，形式多样，最不容易把握，复习的难度并不容易。这就要求考生要有一定的数学思维，或者说要培养这样的数学思维，要有很强的学习和做题的灵活性，然而这样灵活性不是靠题海战术，更不是靠死记硬背，而是要通过培养和提高思维方式，以不变应万变。 技巧性：一方面，目前的数学考试，基本要在55分钟之内解决25 道题，这对考生做题速度提出了很高的要求；另一方面，在现在的MBA数学考试中，初等数学奥赛题目等竞赛类考题时有出现。这些都要求在复习中既要注重基本的知识点，又要掌握一些方便、快捷的方式、方法解决问题。但这方面的学习又不能进入误区，每年基本上有6至8个题目有技巧 可循，对于这些题目，技巧来的直接、便捷。但是我建议不管什么样基础的学生，首先还是要先夯实基础。同时也要注意，能用技巧的题目，一般基础方法都会费时、费力，影响考试发挥，适当的学习技巧是必要和必需的。 因此，考生要精深掌握基本知识点，要熟练运用技巧，最重要的是要有灵活的思维方式，三者是数学考高分的关键，也是缺一不可的。 二、考试结构分析 （一）考题分布情况 2011年1月考题分布表 2010年1月考题分布表 高等数学基本知识点 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。 即C U A＝｛x|x∈U，且x?A｝。 集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题： 1、学校里开运动会，设A＝｛x|x是参加一百米跑的同学｝，B＝｛x|x是参加二百米跑的同学｝，C＝｛x|x是参加四百米跑的同学｝。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。⑴、A∪B；⑵、A∩B。2019年MBA数学：基础练习题及答案(二)
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