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2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及答案

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题：110:小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有

一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）当0x +

→

）

.1-

.1D -

【答案】(B)

【考点】等价无穷小【难易度】★★

【详解】解析：方法1：排斥法：

由几个常见的等价无穷小，当0x +

→

0→，

所以1(1-:

1,2

-:可以排除A 、C 、D ，所以选（B ）.

方法2：

ln 1?+ ? 当0x +

→

时，11→

0→，又因为0x →时，()ln 1x x +:，所以

)

ln 1~~1~x ??= ?B ）.

（2）函数1

1()tan ()()

e e x

f x x e e +=

-在[],ππ-上的第一类间断点是x =（）

.A 0 .B 1 .C 2π-

.D 2

π 【答案】( A)

【考点】第一类间断点【难易度】★★

【详解】解析：首先找出()f x 的所有不连续点，然后考虑()f x 在间断点处的极限.

()f x 的不连续点为0、1、2

，第一类间断点包括可去间断点及跳跃间断点。逐个考虑各个选项即可，对.A

11111

110

111101110000()tan (1)lim ()lim lim lim 1,

()

(1)

lim ()tan lim ()lim lim 1.()lim x

x x x x x x

x x x x x x x x x x x e e x e e e e f x x e e e e

e e

e e e e x e e e

f x e x e e e e e e ++

-----

→→→→-

→→→→→+++====---??+

?++??=====--??--- ???

()f x 在0x =存在左右极限，但()()0

lim lim x x f x f x +-

→→≠，所以0x =是()f x 的第一类间断点，选（A ）；

同样，可以验证其余选项是第二类间断点，()1

lim x f x →=∞，()2

lim x f x π

→

=∞，

()2

lim x f x π

→-

=∞.

（3）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半

圆周,在区间[][]2,0,0,2-上的图形分别是直径为2的上、下半圆周.设

()(),x

F x f t dt =?则下列结论正确的是（）

.A (3)F 3(2)4F =-

- .B (3)F 5

(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5

(2)4

F =--

【答案】( C)

【考点】定积分的概念、定积分的基本性质，积分上限的函数及其导数【难易度】★★★

【详解】解析：由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，则()()f x f x -=-，由

()(),x

F x f t dt =?知

()()()()()()()()x

x x

F x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --= =- -- -=- =?

??，故()F x 为

x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而

(2)()F f t dt =?表示半径1R =的半圆的面积，所以2

(2)()2

R F f t dt ππ

?，

3230

(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+???，其中3

()f t dt ?表示半径1

r =

的半圆的面积的负值，所以

1()2

228

r f t dt πππ

?=- ????

所以3

333

(3)()()()(2)2

8424

F f t dt f t dt f t dt F π

ππ=

=+=

=?=?

?? 所以3

(3)(3)(2)4

F F F -==，选择( C)

（4）设函数()f x 在0x =连续，则下列命题错误的是（）

.A 若0()lim

x f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()

lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f =

.C 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在 .D 若0()()

lim x f x f x x

→--存在，则(0)f '存在

【答案】( D)

【考点】极限的四则运算，函数连续的概念，导数的概念【难易度】★★

【详解】解析：方法1:论证法，证明..A B C 都正确，从而只有.D 不正确。

由0()

lim

x f x x

→存在及()f x 在0x =处连续，所以

0(0)lim ()x f f x →=0000()()()

lim()lim lim 0lim x x x x f x f x f x x x x x x

→→→→==?=?0=，

所以（A ）正确；由选项（A ）知，(0)0f =，所以00()(0)()

lim lim

0x x f x f f x x x

→→-=-存在，根据导数定义，0()(0)

'(0)lim

x f x f f x →-=-存在，所以（C ）也正确；由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而

[]0

lim ()()lim ()lim ()(0)(0)2(0)x x x f x f x f x f x f f f →→→+-=+-=+=

0000()()()()()()2(0)lim lim lim 0lim 0x x x x f x f x f x f x f x f x f x x x x x →→→→+-+-+-??

=?=?=?=????

，即

有(0)0f =.所以（B ）正确，故此题选择（D ）.

方法2：举例法，举例说明（D ）不正确，例如取()f x x =，有

00()()

lim lim 00x x x x f x f x x x

→→----==-存在而()()0

000lim lim 100x x f x f x x x -

-→→---==---，()()0000

lim lim 100

x x f x f x x x +-

→→--==--，左右极限存在但不相等，所以()f x x =在0x =的导数()0f '不存在. （D ）不正确，选（D ）.

（5）曲线1

ln(1)x y e x

++渐近线的条数为（） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3

【答案】( D)

【考点】函数图形的渐近线【难易度】★★★

【详解】解析：0

01lim lim ln(1)x x x y e x →→??

=++

???

=∞，所以0x =是一条铅直渐近线；

1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞??

=++ ???1lim lim ln(1)000x x x e x →-∞→-∞

=++=+=，所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线；

令21

ln(1)1ln(1)lim lim lim x x x x x e y e x a x x x x →+∞→+∞→+∞++??+===+ ???

21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+ln(1)0lim x x e x →+∞+=+1lim 11

x x e e →+∞+ =洛必达法则

令()1lim lim ln(1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞

=-?=++- ???

()()1

lim

lim ln(1)0lim ln(1)x x x x x e x e x x →+∞→+∞→+∞

=++-=++- ()1ln lim ln(1)ln lim ln()x

x x x e x e e e e

→+∞→+∞+ = +-=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+==

所以y ax b x =+=是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择（D ）

（6）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()(1,2,)n u f n n ==L ，

则下列结论正确的是（）

.A 若12u u >，则{}n u 必收敛 .B 若12u u >，则{}n u 必发散

.C 若12u u <，则{}n u 必收敛 .D 若12u u <，则{}n u 必发散

【答案】( D)

【考点】数列极限的定义，函数单调性的判别，拉格朗日中值定理【难易度】★★★

【详解】解析：()n u f n =，由拉格朗日中值定理，有

1n n (1)()'()(1)'(),(1,2,)n n u u f n f n f n n f n ξξ+-=+-=+-==L ，其中n 1n n ξ<<+，

12n .ξξξ<<<

由()0,f x ''>知()f x '严格单调增，故

12n ()()().f f f ξξξ'''<<<

若12u u <，则121'()0,f u u ξ=->所以12n 0'()'()'().f f f ξξξ<<<<

1111k 111

()()().n n

n k k k k u u u u u f u nf ξξ++==''=+-=+>+∑∑

而1()f ξ'是一个确定的正数.于是推知1lim ,n n u +→∞

=+∞故{}n u 发散.选（D ）

（7）二元函数(,)f x y 在点(0,0)处可微的一个充分条件是( )

[](,)(0,0)

lim

(,)(0,0)0x y f x y f →-=

.B []0

(,0)(0,0)lim

0x f x f x

→-=且[]0

(0,)(0,0)lim 0y f y f y

→-=

(,)(,)(0,0)lim

0x y f x y f →-=

.D []0

lim (,0)(0,0)0x x x f x f →''-=且 0lim (0,)(0,0)0y y y f y f →''??-=?? 【答案】( C)

【考点】全微分存在的充分条件【难易度】★★★

【详解】解析：方法一：按可微性定义，f （x ，y ）在（0，0）可微? ))0,0(),(()()0,0(),(2

→++++=y x y x o By Ax f y x f

,0)0,0(),(lim

)

0.0(),(=+---?

→y

x By

Ax f y x f y x 其中A ，B 是与x ，y 无关的常数．

题中的（C ）即A ＝B ＝0的情形．因此由（C ）?f （x ，y ）在（0，0）可微．因此选（C ）．

方法二：由（A ）?f （x ，y ）在（0，0）连续\?f （x ，y ）在（0，0）可微．

由（B ）?（x ，y ）在（0，0）可偏导且0)

0,0(,0)0,0(=??=??y

f x f ，但\?f （x ，y ）在（0，0）可微．

由（D ）?),(y x f x '在（0，0）沿x 轴连续（即)0,(x f x '在x ＝0连续），),(y x f y '在（0，0）沿y 轴连续（即),0(y f y '在y ＝0连续），但\?f （x ，y ）在（0，0）可微．因此选（C ）．

(8) 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1

sin 2

(,)x

dx f x y dy ππ??

等于（）

.A 1

arcsin (,)y

dy f x y dx π

π+?

.B 10arcsin (,)y

dy f x y dx π

π-??

C 1arcsin 0

(,)y

dy f x y dx ππ

+?? .D 1arcsin 0

(,)y

dy f x y dx ππ

-??

【答案】( B)

【考点】交换累次积分的次序与坐标系的转换【难易度】★★

【详解】解析：画出该二次积分所对应的积分区域D ，

:2sin 1

x D x y π

π?≤≤???≤≤?

交换为先x 后y ，则积分区域可化为：

arcsin 01y x y ππ

-≤≤??

≤≤?

所以1

1sin 0

sin 2

(,)(,)x

arc y

dx f x y dy dy f x y dx π

π-=??

，所以选择(B).

(9) 设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 ( )

.A 12αα-2331,,αααα-- .B 21αα+2331,,αααα++ .C 1223312,2,2αααααα--- .D 1223312,2,2αααααα+++

【答案】(A)

【考点】向量组线性相关的判别法

【难易度】★★★

【详解】解析：方法1：根据线性相关的定义，若存在不全为零的数123,,k k k ，使得

1122330k k k ααα++=成立，则称123,,ααα线性相关.

因 1223310αααααα-+-+-=，故122331αααααα---，，线性相关，所以选择（A ）. 方法2：排除法

因 [][][]1223311231232101,,,,110,,,011C αααααααααααα????+++==?????? 其中2101110011C ??

??=??????

， 2101110011C =11

101

1(1)20111111111

011

+-?-+-=-=?-?-行行（）（）20=≠.

故2C 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积, 2C 右乘[]123,,ααα时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有

122331123(,,)(,,)3r r ααααααααα+++==

故122331,,αααααα+++线性无关，排除（B ）.

因 [][][]1223311231233

1022,2,2,,210,,,021C αααααααααααα-??

??---=-=????-??

其中31

02210021C -????=-??

??-??

，

3102

100

C -=--11

102

10141112421

021+--?-=-=?--?---行2+2行（）（）（）

≠=-70.

故3C 是可逆矩阵，故有

122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα---==

故1223312,2,2αααααα---线性无关，排除（C ）.

因[][][]12233112312341022,2,2,,210,,,021C αααααααααααα????+++==?????? 其中4102210021C ??

??=??????

， 4102210021

C =11

10214

1(2)20141112421

+-?-+-=-=?-?-行行（）

（）90.=≠

故4C 是可逆矩阵，故有

122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα+++==

故1223312,2,2αααααα+++线性无关，排除（D ）. 综上知应选（A ）.

(10) 设矩阵211121112A --????=--????--??，100010000B ????=??????

则A 与B （） .A 合同，且相似 .B 合同，但不相似

.C 不合同，但相似 .D 既不合同，也不相似

【答案】（B ）

【考点】相似矩阵的概念，矩阵合同的判定【难易度】★★ 【详解】解析：

121112E A λλλλ--=

--11

2312112

λλλλλ--、列分别加到列 111121

2λλλλ--提出1111103

λλλ?---行（）+2行

1111103

λλλ?---行（）+3行11

λλ

λ+-=--（）

()2

30λλ=-=

则的A 特征值为3，3，0;B 是对角阵，对角元素即是其特征值，则B 的特征值为1，1，0.

,A B 的特征值不相同，由相似矩阵的特征值相同知，A B 与不相似.

由,A B 的特征值可知，,A B 的正惯性指数都是2，又秩都等于2可知负惯性指数也相同，则由实对称矩阵合同的充要条件是有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数，知A 与B

合同，应选（B ）.

二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （11）30arctan sin lim

_________x x x

→-= 【答案】1

【考点】洛必达法则，泰勒公式【难易度】★★

【详解】解析：方法一：由洛必达法则，

()()

2232220001cos 11cos arctan sin 01lim lim lim 0331x x x x x x x x x x x x x →→→--+-+ =+ ()2232

001sin 2cos 002sin (1)cos 2cos 2sin lim lim 06120636x x x x x x x x x x x x x

x x x →→+-++-+ ++ 22222

200004sin (1)cos 2cos 4sin (1)cos 2cos lim lim lim lim 636636636636x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→++-+==+-++++ 1210666

=+-=-

方法二：泰勒公式展开

()()()33333

3333000111+++arctan sin 1636lim lim =lim =6

x x x x x o x x x o x x o x x x x x x →→→????----????-????=-

（12）曲线2cos cos 1sin x t t y t

?=+?=+?上对应于4t π=的点处的法线斜率为_____

【答案】1+

【考点】平面曲线的法线【难易度】★★

【详解】解析：dy dx =()()21sin cos cos t dy dt dx dt

t t '+='+cos sin 2sin cos t t t t

-- 把4

t π=

代入,

4dy dx t π

=cos

4sin 2sin cos 4442222

πππ====--

所以法线斜率为1（13）设函数123

y x =

+，则()

(0)___________n y = 【答案】1

(1)2!

3n n n n +-

【考点】高阶导数【难易度】★★ 【详解】解析：()1

12323

y x x -=

=++，

()

()()11

11'(1)232(1)1!223y x x x ----'=-?+?=-???+，

()()

321

222''(1)(2)223(1)2!223,,y x x ---=-?-??+=-??+L

由数学归纳法可知()

()

(1)2!23,n n n

n x --=-+把0x =代入得：()

(1)2!

(0)3

n n n n n y +-= （14）二阶常系数非齐次线性微分方程2432x

y y y e

'''-+=的通解为_____y =

【答案】32122x x x

C e C e e +-

【考点】自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】★★

【详解】解析：这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数()f x 是()x

m P x e λ型

（其中()2,2m P x λ= =）.

与所给方程对应的齐次方程为430y y y '''-+=，

它的特征方程为2

430,r r -+=则()()310r r --=，得特征根121,3,r r ==对应齐次方程的通解1231212r x

r x

x x

Y C e C e C e C e =+=+

由于这里2λ=不是特征方程的根，所以应设该非齐次方程的一个特解为

*2,x y Ae =()*22x y Ae '=，()*24x y Ae ''=，代入原方程：

222244232x x x x Ae Ae Ae e -?+=，即222x x Ae e -=，则2A =-，所以*22.x y e =-

故得原方程的通解为32122x x x

y C e C e e =+-.

（15）设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y x z f x y =则z z

y x y

??-=??＿＿＿＿＿【答案】''

122()y x f f x y

+ 【考点】多元复合函数一阶偏导数的求法

【难易度】★★

【详解】解析：121221''''x y y z y x f f f f x x x x y ?????? ?

????

????=?+?=?-+? ??????，

12'x y y z x f f y y y ?????? ?

??????'=?+?=???1221''x f f x y ???+?- ???

把

z x ??，z

??代入z z x y x y ??-??，则： 12122211

''''z z y x x y x f f y f f x y x y x y ??????????-=??-+?-?+?-?? ? ????????????

? 1212''''y x y x f f f f x y x y ??

=-?+?-?+? ???

''122()y x f f x y =-+

(16) 设矩阵01000010,00010

000A ??

? ?

= ?

???

则3A 的秩为＿＿＿＿＿.

【答案】1

【考点】矩阵的秩【难易度】★★ 【详解】解析：

201000

1000

010*********

00100010

0010

000000000000000A ??????

??? ? ??? ?

??? ?

??? ???????

3200100

1000

0010

00100100

00000000

0010

000000000000

000A A A ??????

??? ?

=?==

??? ?

??? ???????

由阶梯矩阵的行秩等于列秩，其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数，知()

3 1.r A =

三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）

设()f x 是区间[0,]4

π上的单调、可导函数，且满足()

cos sin ()sin cos f x x

t t

f t dt t

dt t t

--=+?

其中1

-是f 的反函数，求()f x .

【考点】积分上限的函数及其导数，不定积分的换元积分法【难易度】★★

【详解】解析：方程

()

100cos sin ()sin cos f x x

t t

f t dt t

dt t t

--=+??两边对x 求导，得 1cos sin [()]()sin cos x x

f f x f x x

x x

--'=+g 即 cos sin ()sin cos x x

xf x x x x

-'=+

当0x ≠时，对上式两边同时除以x 得，cos sin ()sin cos x x

f x x x

-'=+，所以

cos sin (sin cos )

()sin cos sin cos x x d x x f x dx x x x x

-+==++??

()ln sin cos f x x x C =++

在已知等式中令0x =得(0)

()0,f f t dt -=?

因()f x 是[0,]4

上得单调、可导函数，1

()f t -的

值域为[0,

π，它是单调非负的，故必有(0)0f =，从而两边对上式取0x +→极限

0lim ()(0)0x f x f C +

→===

于是()ln sin cos ,[0,]4

f x x x x π

=+∈因为

故 ()ln(sin cos ),[0,]4

f x x x x π

=+∈.

（18）（本题满分11分）

设D

是位于曲线2(1,0)x a

y a x -

>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.

（Ⅰ）求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ; （Ⅱ）当a 为何值时，()V a 最小？并求出最小值. 【考点】旋转体的体积，函数的最大值与最小值【难易度】★★★ 【详解】解析：

（Ⅰ）()0

V a xa dx π

∞

0ln x

a a

xd a a π-∞??=-

???

? 00

[]ln ln x x a a a a xa a dx a a ππ+∞

--∞=-+?2

ln a a π??= ??? （Ⅱ）()2

[]ln a V a a π??''

= ???

2241

2ln 2ln ln a a a a a a

π-??=?

32ln 2ln a a a a

π-=?

()3

ln 12ln a a a π-??= ???

令()0V a '=，得ln 1a =，从而a e = 当1a e <<时，()0V a '<，()V a 单调减少；当a e >时，()0V a '>，()V a 单调增加，所以a e =时V 最小，最小体积为()2

min V a e π=

（19）（本题满分11分）

求微分方程2

()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.

【考点】y"=f(x,y ′)型的可降阶高阶微分方程

【难易度】★★★

【详解】解析：令y p '=，则y p '''=，原方程化为2

()p x p p '+=，

两边同时除以p p '得，

1x p p p +='将dp p dx

'=带入上式即为

dx x

p dp p

-= 按一阶线性方程求导公式，得 1

ln ()()dp

p C p p p x e

dp C e pe

dp --+???=+=??[]()p dp C p p C =+=+?

带入初始条件得0C =，于是 2

p x =

由(1)1y '=知p =

=解得32123y x C =+，带入初始条件得11

3C =

所以特解为3221

y x =+.

（20）（本题满分10分）

已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程1

1y y xe

--=所确定.

设(ln sin )z f y x =-，求

200

x x dz d z dx

dx ==.

【考点】多元隐函数的求导法【难易度】★★★

【详解】解析：由方程1

1y y xe

--= (0)1y ?=，

求导得1

10(0)1y y y e

xe y y --'''--=?=．

再求导得 .2)0(0)e (e

211

="?=''-'-"--y y x y y y y

现由 (ln sin )z f y x =- ?

.00)0(|d d )cos 1)(sin (ln d d 0=?'=?-'-'==f x

z x y y x y f x z x 又 ),sin 11)(sin (ln )cos 1)(sin (ln d d 222

22x y y

y y x y f x y y x y f x z +"+'--'+-'-"=

? .1)21)(0(0)0(|d d 022=+-'+?"==f f x

（21）（本题满分11分）

设函数()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导且存在相等的最大值，又

()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=

【考点】零点定理、罗尔定理【难易度】★★★★

【详解】解析：命()()()x f x g x ?=-，由题设(),()f x g x 存在相等的最大值，设

1(,)x a b ∈，2(,)x a b ∈使12[.]

[.]

()max ()()max ()a b a b f x f x g x g x ===

于是 111222()()()0,()()()0x f x g x x f x g x ??=-≥=-≤

若1()0x ?=，则取1(,)x a b η=∈有()0?η=. 若2()0x ?=，则取2(,)x a b η=∈有()0?η=.

若12()0,()0x x ??><，则由连续函数介值定理知，存在12(,)x x η∈使()0?η=.

不论以上哪种情况，总存在(,),a b η∈使()0?η=。

再由 ()()()0

,()()()0a f a g a b f b g b ??=-=??=-=?

将()x ?在区间[,],[,]a b ηη分别用罗尔定理知，存在12(,),(,),a b ξηξη∈∈使得

12()()0?ξ?ξ''=＝0,

再由罗尔定理知，存在12(,)ξξξ∈，使()0?ξ''=.即有()()f g ξξ''''=. （22）（本题满分11分）

设二元函数

1(,)12

x x y f x y x y ?+≤?

=<+≤

计算二重积分

(,)D

f x y d σ??，其中{}

(,)

2D x y x y =+≤

【考点】二重积分的性质、利用直角坐标计算二重积分、利用极坐标计算二重积分【难易度】★★★

【详解】解析：D 如图1所示，它关于x ，y 轴均对称，又f （x ，y ）对x ，y 均为偶函数?

,d ),(4d ),(1

????=D D

y x f y x f σσ

其中D 1是D 的第一象限部分．

图1 图2

由于被积函数分块表示，将D 1分成（如图2）：D 1＝D 11∪D 12，且

1112:1,0,0,:12,0,0.D x y x y D x y x y +≤≥≥≤+≤≥≥

于是

????+??=12

.d ),(d ),(d ),(D D D y x f y x f y x f σσσ 而

,12

4131d )1(d d d ),(1021021011

=-=-==?????-x x x y x x y x f x D σ

+=1212

d 1d ),(2

2D D y x y x f σ

σ变换

极坐标r r r

d 1

d sin cos 2sin cos 12π0

++θ

θθ

θθ ??

+-=+=2π

0222π0

cos

2sin 22sin 2cos d d sin cos 1θθθθθ

θθθ

???

--=+-=+-=1021

022π

2)1(2d 221d 22

tan

22tan 1)

(tan d 2u u

u u u θθθ

u =-1令t t

t t t d )21

21(

2d 21

02?

?-++=- ),12ln(2121

2ln 21|22ln 2110+=-+=-+=

t t ? ).12(ln 2

2121d ),([1

++=

??D y x f σ 因此

?++=??

))12ln(212

(

4d ),(D

y x f σ

（23）（本题满分11分）

设线性方程组1231232

123020

(1)

x x x x x ax x x a x ?++=?

++=??++=? 12321

(2)x x x a ++=-与方程

有公共解，求a 得值及所有公共解. 【考点】线性方程组的公共解【难易度】★★★★

【详解】解析：方法1：因为方程组(1)、(2)有公共解，将方程组联立

1231232

1231

23020(3)4021

x x x x x ax x x a x x x x a ++=??++=??++=??++=-?

并对联立方程组的增广矩阵作初等行变换

21110120()140121a A b a a ?? ? ?= ? ? ?

00110112140121a a a ?? ?

- ?

?-+ ? ?

u u u u u u u u u u u u u u u u u r 行（）行 21

001101130310121a a a ?? ?- ??-+ ?- ???u u u u u u u u u u u u u u u u r 行（）行2

001101140

3100101a a a ??

- ?

?-+ ?-

-??u u u u u u u u u u u u u u u u u r 行（）行 211

000111203100101a a a a ?? ?-- ??-+ ?- ?-??u u u u u u u u u u u u u u u u u r 4行（）行21

0011330

01330101a a a a a ??

-- ?

?-+ ?

-??

u u u u u u u u u u u u u u u u u r 4行（）行

211

010100110

0133a a a a a ?? ?- ? ?-- ?--??u u u u u x 换行1

001013--140

011000(1)(2)a a a a

a a ??

- ??+ ?--

--??

u u u u u u u u u u u u u u u u u u u x 行（）行

由此可知，要使此线性方程组有解，a 必须满足(1)(2)0a a --=，即1a =或2a =.

当1a =时，()2r A =，联立方程组（3）的同解方程组为12320

x x x x ++=??

由()2r A =，方程组有321n r -=-=个自由未知量.选1x 为自由未知量，取：11x =，解得两方程组的公共解为[1,0,1]T

k -，其中k 是任意常数.

当2a =时, 联立方程组（3）的同解方程组为12323

001x x x x x ++=??

=??=-?

解得两方程的公共解为[0,1,1]T

方法2：将方程组（1）的系数矩阵A 作初等行变换

21111214A a a ????=??????211111201114a a ?????-+-??????

u u u u u u u u u u u u u u u u u r 行（）行

111113011031a a ?????-+-????-??u u u u u u u u u u u u u u u u r 行（）行1113301100(1)(2)a a a ?????-+-??

??--??

u u u u u u u u u u u u u u u u u r 2行（）行

当1a =时，()2r A =，方程组（1）的同解方程组为12320

x x x x ++=??

由()2r A =，方程组有321n r -=-=个自由未知量.选1x 为自由未知量，取：11x =，解得（1）的通解为[1,0,1]T

k -，其中k 是任意常数.

将通解[1,0,1]T

k -代入方程（2）0()0k k ++-=.对任意的k 成立，故当1a =时，[1,0,1]T k -是（1）、（2）的公共解.

当2a =时，()2r A =，方程组（1）的同解方程组为12323

0x x x x x ++=??+=?

由()2r A =，方程组有321n r -=-=个自由未知量.选2x 为自由未知量，取：21x =，解得（1）的通解为[0,1,1]T

μ-,其中μ是任意常数.

将通解[0,1,1]T

μ-代入方程（2）21μμ-=.得1μ=，故当2a =时，（1）和（2）的公共解为[0,1,1]T

（24）（本题满分11分）

设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T

λλλα===-=-是A 的属于1λ的一

个特征向量.记53

4B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.

（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；

（Ⅱ）求矩阵B .

【考点】实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵【难易度】★★★★

【详解】（Ⅰ）由11A αα=，可得 11

1111()k k k A A A A αααα--====L ，k 是正整数,故 5311(4)B A A E αα=-+53

1114A A E ααα=-+111142αααα=-+=-

于是1α是矩阵B 的特征向量（对应的特征值为12λ'=-）.

若Ax x λ=，则()(),m

kA x k x A x x λλ==因此对任意多项式()f x ，()()f A x f x λ=，即()f λ是()f A 的特征值.

故B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，A 的特征值11,λ=22,λ=

32,λ=-则B 有特征值112

233()2,()1,()1,f f f λλλλλλ'''==-====所以B 的全部特征值为－2，1，1.

由A 是实对称矩阵及B 与A 的关系可以知道，B 也是实对称矩阵，故属于不同的特征值的特征向量正交.由前面证明知1α是矩阵B 的属于特征值12λ'=-的特征向量，设B 的属于1的特征向量为123(,,)T

x x x ，1α与123(,,)T

x x x 正交，所以有方程如下：

1230x x x -+=

选23,x x 为自由未知量，取23230,11,0x x x x ====和，于是求得B 的属于1的特征向量

为 23(1,0,1),(1,1,0)T T

αα=-=

故B 的所有的特征向量为：对应于12λ'=-的全体特征向量为11k α，其中1k 是非零任意常数，

对应于2

31λλ''==的全体特征向量为2233k k αα+，其中23,k k 是不同时为零的任意常数. (II)方法1：令矩阵[]123111,,101110P ααα-??

??==-??????，求P 的逆矩阵1P -.

111100101010110001-????-??????M M M 11110012012110110001-??

??+-??

????

M M u u u u u u u u u r M 行行

11110013012110021101-????+-????--??M M u u u u u u u u u r M 行行1111003012110003121-?????+-??

????

M M u u u u u u u u u u u u r M 行2行

111100111100330121100101/31/32/30011/32/31/30011/32/31/3--????????÷-?---????????????

M M M M u u u u u u u r u u u u u u u u u u u u u u u u r M M 行3行(-2)+2行 1102/32/31/30101/31/32/30011/32/31/3---??

???---??????M M u u u u u u u u u u u u u u u u r M 3行(-1)+1行 1001/31/31/30101/31/32/30011/32/31/3-?????---??

????M M u u u u u u u u u u u u u u u u r M 2行(-1)+1行

1001/31/31/30101/31/32/30011/32/31/3-?????-??????M M u u u u u u u u u u r M 2行(-1) 则1P -1/31/31/311111/31/32/311231/32/31/3121--????

????=-=-????

????????

由1

(2,1,1)P BP diag -=-，所以

1112001111(2,1,1)1010101123110001121B P diag P ----??????

??????=?-?=--??????????????????

1112220331110111230333110121330----????????????=--=?

???????????-??????011101110-??

??=????-??

方法2：由()I 知1,α与23,αα分别正交，但是23αα和不正交，现将23,αα正交化：取22331221

111,(1,1,0)(,0,)(,1,)2222

k βαβαβ==+=+-=. 其中，32122222(,)1(1)11

(1,0,1)(,0,)(,)(1)(1)1122

T k αβββββ?-=-

=--=--?-+?

再对1,α23,ββ单位化：

2017高考全国2卷理科数学试题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1. =++i i 13（） A 、i 21+ B 、i 21- C 、i +2 D 、i -2 2、设集合} 04|{},4,2,1{2 =+-==m x x x B A ，若} 1{=B A I ，则= B （） A 、}3,1{- B 、}0,1{ C 、}3,1{ D 、}5,1{ 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座７层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A 、1盏 B 、3盏 C 、5盏 D 、9盏 4、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平

面将一圆柱截取一部分所得，则该几何体的体积为（） A 、90π B 、63π C 、42π D 、36π 5、设y x ,满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320 332y y x y x ，则y x z +=2的最小值为（） A 、15- B 、9- C 、1 D 、9 6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A 、12种 B 、18种 C 、24种 D 、36种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。

全国硕士研究生入学统一考试数学一考试大纲

全国硕士研究生入学统一考试数学一考试大纲高等数学一、函数、极限、连续考试内容：函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:，函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则. 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连

续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容：导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系． 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数． 4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数. 5．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日 (Lagrange)中值定理和泰勒 (Taylor)定理，了解并会用柯西中值定理． 6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法． 7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和

2018年高考全国二卷理科数学真题(解析版)

2018年高考全国二卷理科数学真题（解析版）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解：，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.

3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ，所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A

2019研究生数学考试数一真题

2019年考研数学—真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。（1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k = （A ）1. （B ）2. （C ）3. （D ）4. （2）设函数(),0, ln ,0,x x x f x x x x ?≤?=?>??则0x =是()f x 的 A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. （3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是 A.1m n n u n =∑ B.() 1 11m n n n u =-∑ C.111m n n n u u =+??- ?? ?∑ D.()22 11 m n n n u u +=-∑ （4）设函数()2,x Q x y y = .如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有() (),,0C P x y d x Q x y d y +=?，那么函数(),P x y 可取为 A.2 3x y y -. B.231x y y -. C.11x y -. D.1x y - . （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3 阶单位矩阵。若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为 A.222123y y y ++. B.222 123y y y +- C.222123y y y -- D.222123y y y --- （6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则

2020年考研数学一真题及答案(全)

全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在x 连续，则 (A) 12 ab =． (B) 12 ab =- ． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A 【详解】由0 11lim 2x b ax a + →-==,得1 2 ab =. （2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则 (A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-. 【答案】C 【详解】2() ()()[]02 f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6． (C) 4． (D)2 ．【答案】D 【详解】方向余弦12 cos ,cos cos 33 = ==αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则

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2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、若反常积分01(1)a b dx x x +∞ +?收敛，则（A ）1a <且1b >. （B ）1a >且1b >. （C ）1a <且1a b +>. （D ）1a >且1a b +>. 2、已知函数2(1), 1,()ln ,1, x x f x x x -

(完整版)2019考研数学三真题及参考答案解析

2019全国研究生考试数学三真题及参考答案解析一、选择题 1.（）为同阶无穷小，则与时，若当=-→k x x x x k tan 0 A.0 B.1 C.2 D.3 2. 的取值范围为（）个不同的实根，则有已知k k x x 3055=+- A.()4-∞-, B.()∞+，4 C.]44[,- D. ），（44- 3. c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为（） A.1,0,1 B.1,0,2 C.2,1,3 D.2,1,4 4.的是（）条件收敛，则下列正确绝对收敛，已知∑∑∞ =∞ =11n n n n n v nu A. 条件收敛n n n v u ∑∞=1 B.绝对收敛∑∞ =1n n n v u C. ）收敛（n n n v u +∑ ∞ =1 D.）发散（n n n v u +∑∞ =1 5个的基础解析有的伴随矩阵，且为阶矩阵，为已知204* =Ax A A A 线性无关的解，则 ) ()(=* A r A.0 B.1 C.2 D.3 6.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22 =+，且4=A ，则二次型 Ax x T 的规范形为 A.232221y y y ++. B.232221y y y -+. C.232221y y y --. D.2 32221y y y ---. 7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是

A.).()()(B P A P B A P +=Y B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P = 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2 σμN ，则{} 1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2 ,σμ都有关. D.与2,σμ都无关. 二．填空题，9~14小题，每小题4分，共24分. 9. ()=???? ? ?+++?+?∞→n n n n 11321211lim Λ 10. 曲线?? ? ??-+=232 cos 2sin ππ ＜＜x x x y 的拐点坐标为 11. 已知()t t x f x d 11 4? += ，则()=?x x f x d 10 2 12. A, B 两种商品的价格为A p ,B p ,A 商品的价格需求函数为 2 22500B B A A p p p p +--,则当A p =10，B p =20时，A 商品的价格需求弹性AA η(0＞AA η)= 13. 设????? ??---=11011 11012a A ，??? ? ? ??=a b 10，若b Ax =有无穷多解，则a= 14 设随机变量X 的概率密度为?????<<=，其他， 02 0,2)(x x x f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题

历年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案

全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分．把答案填在题中横线上．）（1）曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为．【答案】1y x =- 【考点】导数的几何意义【难易度】★ 【详解】解析：由11 )(ln == '='x x y ，得1x =, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-?=-x y ，即 1-=x y . （2）已知()x x f e xe -'=，且(1)0f =，则()f x = ．【答案】 2 1ln 2 x 【考点】不定积分的换元法【难易度】★★ 【详解】解析：令t e x =，则t x ln =，于是有 t t t f ln )(='，即 .ln )(x x x f = ' 积分得2ln 1()ln (ln )ln 2x f x dx xd x x C x = ==+??. 利用初始条件(1)0f =, 得0C =，故所求函数为()f x = 2 1ln 2 x . （3）设L 为正向圆周2 2 2x y +=在第一象限中的部分，则曲线积分x y y x L d 2d -?的值为．【答案】 π2 3 【考点】第二类曲线积分的计算；格林公式【难易度】★★★ 【详解】解析：正向圆周22 2 =+y x 在第一象限中的部分，可表示为 . 2 0:, sin 2,cos 2π θθθ→ ?? ?==y x

于是 θθθθθπ d ydx xdy L ]sin 2sin 22cos 2cos 2[220 ?+?=-?? =.2 3sin 220 2πθθππ = + ? d （4）欧拉方程)0(02d d 4d d 222 >=++x y x y x x y x 的通解为．【答案】22 1x C x C y += ，其中12,C C 为任意常数【考点】欧拉方程【难易度】★★ 【详解】解析：令t e x =，则 dt dy x dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1= =?=-， ][11122222222dt dy dt y d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=?+-=，代入原方程，整理得 0232 2=++y dt dy dt y d ，解此方程，得通解为 .22 1221x c x c e c e c y t t += +=-- （5）设矩阵210120001A ????=?? ???? ，矩阵B 满足**2ABA BA E ＝＋，其中* A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则 B = ．【答案】 19 【考点】抽象型行列式的计算；伴随矩阵【难易度】★★ 【详解】解析：方法1：已知等式两边同时右乘A ，得 A A BA A ABA +=**2，而3=A ，于是有 A B AB +=63，即 A B E A =-)63(，再两边取行列式，有 363==-A B E A ，

2016全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案解析

2016考研数学（一）真题及详细答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分 () 11b a dx x x +∞ +? 收敛，则（） ()()()()11111111 A a b B a b C a a b D a a b <>>><+>>+>且且且且【答案】（C ）（2）已知函数()()21,1 ln ,1 x x f x x x -

2019考研数学三真题及答案

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠?????=x x x x x f 若若λ 其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____. （2）已知曲线 b x a x y +-=2 33与x 轴相切，则2 b 可以通过a 表示为 =2b ________. （3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤?? ?==而 D 表示全平面，则 ??-=D dxdy x y g x f I )()(=_______. （4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 ] T E A αα-=，T a E B αα 1+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a=______. （5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若4.0-=X Z ，则 Y 与Z 的相关系数为________. （6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时， ∑==n i i n X n Y 1 2 1依概率收敛于______. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g )()(= [] (A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0. (C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0. 》（2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是[] (A)),(0y x f 在0y y =处的导数等于零.（B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C)),(0y x f 在0y y =处的导数小于零.(D)),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. （3）设2 n n n a a p += ， 2 n n n a a q -= ， ,2,1=n ，则下列命题正确的是[] (A)若∑∞ =1 n n a 条件收敛，则∑∞ =1 n n p 与∑∞ =1 n n q 都收敛. (B)若∑∞ =1 n n a 绝对收敛，则∑∞ =1 n n p 与∑∞ =1 n n q 都收敛. (C)若∑∞ =1n n a 条件收敛，则∑∞ =1n n p 与∑∞ =1n n q 敛散性都不定. (D)若∑∞ =1 n n a 绝对收敛，则 ∑∞ =1 n n p 与 ∑∞ =1 n n q 敛散性都不定. 【（4）设三阶矩阵 ?? ??? ?????=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有[] (A)a=b 或a+2b=0.(B)a=b 或a+2b ≠0. (C)a ≠b 且a+2b=0.(D)a ≠b 且a+2b ≠0. （5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是[]

考研数学(数学一,数学二,数学三的区别)

三类数学试卷最大的区别在对于知识面的要求上：数学一最广，数学三其次，数学二最低。考试内容：数学一： ①高等数学(函数、极限、连续、一元函数微积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数的微积分学、无穷级数、常微分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);③概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其概率分布、二维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。数学二： ①高等数学(函数、极限、连续、一元函数微积分学、常微分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量)。数学三： ①微积分(函数、极限、连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);③概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其概率分布、随机变量的联合概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。适用专业：数学(一)适用的招生专业为： (1)工学门类的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、治金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、计算机科学与技术、土木工程、水利工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等一级学科中所有的二级学科、专业。

(2)管理学门类中的管理科学与工程一级学科中所有的二级学科、专业。数学(二)适用的招生专业为：工学门类的纺织科学与工程、轻工技术与工程、农业工程、林业工程、食品科学与工程等一级学科中所有的二级学科、专业。数学(一)、数学(二)可以任选其一的招生专业为：工学门类的材料科学与工程、化学工程与技术、地质资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程等一级学科中所有的二级学科、专业。数学(三)适用的招生专业为： (1)经济学门类的理论经济学一级学科中所有的二级学科、专业。 (2)经济门类的应用经济学一级学科中的二级学科、专业：统计学、数量经济学、国民经济学、区域经济学、财政学(含税收学)、金融学(含保险学)、产业经济学、国际贸易学、劳动经济学、国防经济 (3)管理学门类的工商管理一级学科中的二级学科、专业：企业管理(含财务管理、市场营销、人力资源管理)、技术经济及管理、会计学、旅游管理。 (4)管理学门类的农林经济管理一级学科中所有的二级学科、专业。。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】(C) 【考点】拐点的定义【难易度】★★ 【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由()f x ''的图形可知，曲线()y f x =存在两个拐点，故选(C). 2、设21123x x y e x e ?? =+- ?? ?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（）（A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c === 【答案】(A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】★★ 【详解】 211,23 x x e e -为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根，从而()123,122,a b =-+=-=?=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得： 1.c =- 3、若级数 1 n n a ∞=∑条件收敛，则x =3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的：（A ）收敛点，收敛点（B ）收敛点，发散点（C ）发散点，收敛点（D ）发散点，发散点【答案】(B) 【考点】级数的敛散性【难易度】★★★

考研数三真题及答案解析(完整版)

2013年考研数三真题及答案解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（A ）)()(3 2 x o x o x =? （B ）)()()(3 2 x o x o x o = （C ）)()()(2 2 2 x o x o x o =+ （D ）)()()(2 2 x o x o x o =+ 【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2 3 3 2 x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是 )(2x o 故应该选（D ）． 2．函数x x x x x f x ln )1(1)(+-= 的可去间断点的个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x e x x x x ln ~11ln -=-， 1ln ln lim ln )1(1lim )(lim 0 ==+-=→→→x x x x x x x x x f x x x x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点． 2 1 ln 2ln lim ln )1(1lim )(lim 0 1 1 = =+-=→→→x x x x x x x x x f x x x x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→x x x x x x x x x f x x x x ln )1(ln lim ln )1(1lim )(lim 1 1 1 ，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的可去间断点．故应该选（C ）．３．设k D 是圆域{ } 1|),(2 2≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记??-=k D k dxdy x y I )(，则（）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知

2020年全国2卷理科数学

2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B =（） A ．{?2，3} B ．{?2，2，3} C ．{?2，?1，0，3} D ．{?2，?1，0，2，3} 2．若α为第四象限角，则（） A ．cos20α> B ．cos20α< C ．sin20α> D ．sin20α< 3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（） A ．10名 B ．18名 C ．24名 D ．32名 4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（）(不含天心石) A ．3699块 B ．3474块 C ．3402块 D ．3339块 5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（） A B C D

考研数学试题及参考答案数学一

2011年考研数学试题（数学一）一、选择题 1、曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（）（A ）（1，0）（B ）（2，0）（C ）（3，0）（D ）（4，0）【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()234 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知 (1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，则幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域为（）（A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≥。因此，幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数收敛，2 x =时幂级数发散。可知收敛域为 [)0,2。 3、设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（）（A ） 0)0(1 )0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1 )0(>''

2017年全国二卷理科数学高考真题及详解(全)

20XX 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项: 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．=++i 1i 3 A ．i 21+ B ．i 21- C ．i 2+ D ．i 2- 2．设集合{}4 2 1，，=A ，{} 042=+-=m x x B ，若{}1=B A ,则=B A ．{}3 1-， B. ．{}0 1， C ．{}3 1， D ．{}5 1， 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．π90 B ．π63 C ．π42 D ．π36 5．设y x 、满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+，，，0303320332y y x y x 则y x z +=2的最小值是 A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A ．12种 B ．18种 C ． 24种 D ．36种理科数学试题第1页（共4页）

考研数学一历年真题

1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (2) , (3) (4) . 有特征值_____________. (5) , 均匀分布 , _____________. 二、选择题(本题共5小题, 每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) , (2) (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 (3) 小 (4)设矩阵是满秩的, (A)相交于一点 (B)重合 (C)平行但不重合 (D)异面 (5) , 三、(本题满分5分) , 所成曲面的方程. 四、(本题满分6分) , 五、(本题满分6分) 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求, ) 间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用. , , 六、(本题满分7分)

. 七、(本题满分6分) 八、（本题满分5分） , , ?并说明理由. 九、（本题满分6分） . (1)试证存得在区高的矩形面积,等于在区以 . (2) ,(1) . 十、（本题满分6分）十一、（本题满分4分） , 证明:. 十二、（本题满分5分）已知方程组 (Ⅰ (Ⅱ 的通解,并说明理由. 十三、（本题满分6分） ,且都服从均值为0,. 十四、（本题满分4分） , 于0.95,? 附:标准正态分布表十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程. 附

考研数学三真题及答案解析

考研数学三真题及答案解析 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

2010年考研数学三真题一.选择题 1.若1])1 (1[lim =--→x o x e a x x 则a = A0 B1 C2 D3 2.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则 For personal use only in study and research; not for commercial use A 21,21==μλ B 21,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 3 2,32==μλ 3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是 For personal use only in study and research; not for commercial use A 0)(<'a f B 0)(>'a f C 0)(<''a f D 0)(>''a f 4设10 10 )(,)(,ln )(x e x h x x g x x f ===则当x 充分大时有 Ag(x)s For personal use only in study and research; not for commercial use C 若向量组II 线性无关，则s r ≤ D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于

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