届高考数学大一轮复习第十一章统计与统计案例112学案理北师大版(数学教案)

§11.2 统计图表、用样本估计总体

1．统计图表

统计图表是表达和分析数据的重要工具，常用的统计图表有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、茎叶图等． 2．数据的数字特征 (1)众数、中位数、平均数

众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数．

中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数．

平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1

n

(x 1＋x 2＋…＋x n )．

在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． (2)样本方差、标准差 标准差s ＝

1n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2

]，

其中x n 是样本数据的第n 项，n 是样本容量，x 是平均数．

标准差是刻画数据的离散程度的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差． 3．用样本估计总体

(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的频率分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征．

(2)在频率分布直方图中，纵轴表示f i

Δx i ，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，

各小长方形的面积总和等于1.

(3)在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，称之为频率折线图．

(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它没有信息的缺失，而且可以随时记录，方便表示与比较． 知识拓展

1．频率分布直方图的特点

(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示f i Δx i ，频率＝组距×f i

Δx i .

(2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积总和等于1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比．

(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观． 2．平均数、方差的公式推广

(1)若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，mx 3＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a .

(2)数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2

.

①数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也为s 2

； ②数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2

.

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( √ ) (2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．( × ) (3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．( √ )

(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( × )

(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( √ ) (6)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．( × ) 题组二 教材改编

2．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 答案 B

解析 设频数为n ，则n

32＝0.25，

∴n ＝32×1

4

＝8.

3.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )

A ．91.5和91.5

B ．91.5和92

C ．91和91.5

D ．92和92

答案 A

解析 ∵这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位数是91＋92

2＝91.5，

平均数x ＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96

8

＝91.5.

4．如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2,2.5)范围内的居民有________人．

答案 25

解析 0.5×0.5×100＝25. 题组三 易错自纠

5．若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数x＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3x n＋1的平均数和方差分别为( )

A．5,2 B．16,2

C．16,18 D．16,9

答案 C

解析∵x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，

∴x1＋x2＋x3＋…＋x n

n

＝5，

∴3x1＋3x2＋3x3＋…＋3x n

n

＋1＝3×5＋1＝16，

∵x1，x2，x3，…，x n的方差为2，

∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3x n＋1的方差是32×2＝18.

6．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为x，则m，n，x的大小关系为________．(用“<”连接)

答案n

解析由图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5,6)的平均数，即m＝5.5；又5出现次数最多，故n＝5；

x＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10

30

≈5.97.

故n

题型一茎叶图的应用

1．(2017·山东)如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为( )