等差数列求和公式
等差数列求和公式
等差数列前n 项和公式d n n na n a a S n n 2
)1(2)(11-+=+=,是数列部分最重要公式之一,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次:
1.直接套用公式 从公式d n n na n a a n a a S m n m n n 2
)1(2)(2)(111-+=+=+=+-中,我们可以看到公式中出现了五个量,包括,,,,,1n n S n a d a 这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求.
例1 设等差数列{}n a 的公差为d,如果它的前n 项和2n S n -=,那么( ).
(A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n
(C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n
解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(22+-=-+-=n n n a n
],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C).
解法2 ,2
)1(21n d n n na S n -=-+=Θ对照系数易知,2-=d 此时由21)1(n n n na -=--知,11-=a 故,12+-=n a n 选(C).
例 2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知331S 与441S 的等比中项为551S ,331S 与44
1S 的等差中项为1,求等差数列{}n a 的通项n a . 解 设{}n a 的通项为,)1(1d n a a n -+=前n 项和为.2
)1(1d n n na S n -+= 由题意知?????=+=? 2413
1)51(4131432543S S S S S , 即?????=?++?+?+=?+??+ 2)2344(41)2233(3
1)2455(251)2344(41)2233(31112111d a d a d a d a d a
化简可得,2252053121??
???=+=+d a d d a 解得???==101a d 或?????=-=45121a d 由此可知1=n a 或.5
12532)512)(1(4n n a n -=--+= 经检验均适合题意,故所求等差数列的通项为1=n a 或.5
12532n a n -= 2.逆向活用公式
在公式的学习中,不仅要从正向认识公式,而且要善于从反向分析弄清公式的本来面目.重视逆向地认识公式,逆向运用公式,无疑将大大地提高公式的解题功效,体现了思维的灵活性.
例3 设,N n ∈求证:
.2)3()1(32212)1(+<+++?+?<+n n n n n n Λ 证明 ,3212
)1(n n n ++++=+ΛΘ 又,211?<,322?<
,)1(,+ )1(+++?+?<+∴n n n n Λ 又),1(4322 )3(+++++=+n n n ΛΘ 且,221 .2 )3()1(3221+<+++?+?∴n n n n Λ 例4 数列{}n a 对于任意自然数n 均满足2)(1n a a S n n += ,求证: {}n a 是等差数列. 证明 欲证n n a a -+1为常数, 由2)(1n a a S n n +=及2 )1)((111++=++n a a S n n 可得 11)1(+-+=n n a n a na 推出,)1(211+++=+n n na a a n 作差可得,221+++=n n n na na na 因此.112n n n n a a a a -=-+++ 由递推性可知: d d a a a a a a n n n n (12112=-==-=-+++Λ为常数),所以命题得证. 这是九四年文科全国高考试题,高考中得分率极低,我们不得不承认此为公式教学与学习中的一个失误,倘若能重视逆向地认识公式,理解公式,应用公式,还“和”为“项”,结局还能如此惨重吗 3.横向联系,巧用公式 在公式的学习过程中,还要从运动、变化的观点来认识公式,从函数及数列结合的角度分 析透彻理解公式,公式d n n na S n 2 )1(1-+=表明是关于n 的二次函数,且常数项为0,同时也可以看出点列),(n S n 均在同一条抛物线上,且此抛物线过原点,体现了思维的广阔性,请再看例2. 解 设bn an S n +=2,则可得 ?????=++++?=?+???+? 2)416(41)39(3 1)]55(51[)44(41)33(312222b a b a b a b a b a 解得???==10b a 或?? ???=-=526 56b a ,所以n S n =或,526562n n S n +-= 从而1=n a 或.5 12532n a n -= 例5 设等差数列{}n a 的前项和为n S ,已知,0,0,1213123<>=S S a 指出12321,,,,S S S S Λ中哪一个值最大,并说明理由. 解 由于d n n na S n 2 )1(1-+=表明点列),(n S n 都在过原点的抛物线上,再由,0,01312<>S S 易知此等差数列公差d<0,且,01>a 图象如图所示, 易知其对称轴为)5.6,6(,00∈=x x x , 于是0,076<>a a ,故6S 最大. 4.恰当变形妙用公式 对公式进行适当变形,然后再运用公式是公式应用的较高层次,从而丰富了公式本身的内涵,往往给解题带来捷径,体现了思维的深刻性. 对于公式2 )(1n a a S n n += ,变形可得 2 ))((2)(2)(111m n a a m a a n a a S n m m m n m n -+++=+=++-, 对于公式d n n na S n 2)1(1-+=,变形可得,211d n a n S n -+= 它表明对于任意N n ∈,点列), (n S n n 都在同一直线)2 (2:1d a x d y l -+=上. 例6 等差数列{}n a 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)260 解法1 23)(313m a a S m m += Θ 又由于1002 30212=?++=+m a a S m m m , 140)(21=+∴+m m a a m ,=+∴)(31m a a m 140)(21=++m m a a m , 从而,210231403=?= m S 选(C). 解法2 由于点),(m S m m )2,2(2m S m m )3,3(3m S m m 在同一直线)2 (21d a x d y -+=上,因此 m m m S m S m m m S m S m m m m --=--222323223,化简可得:210)(323=-=m m m S S S ,选(C). 解法3 由于点列),(n S n n 均在同一直线上,说明数列? ?????n S n 成等差数列,从而可得 ?????????=+=??=+ 243 )5(434253432543453S S S S S S S S ,解得?????=== 5S 43543S S 或?????????-===4 58524543S S S 从而可求得???==1154a a 或?? ???-=-=528 51654a a , 故等差数列{}n a 通项为1=n a 或.5 12532n a n -= 从以上可以看出,对公式的学习不应仅仅停留在公式的表面.对公式深刻而丰富的内涵忽视或视而不见,而应充分挖掘出这些隐藏在内部的思想方法为我所用,提高公式的解题功效,才能达到灵活运用公式的较高境界.