01-04集合与逻辑
1、集合的概念及其运算（1）
【知识网络】
1.集合的有关概念：集合、全集、子集、空集、集合的包含与相等
2.集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图法 【典型例题】
例1.（1）下列集合中，是空集的是 （ ）
A ．2{|33}x x +=
B ．2{(,)|,,}x y y x x y R =-∈
C ．2{|0}x x -≥
D ．},01|{2R x x x x ∈=+-
（2）若集合{},,M a b c =中的元素是A B C ?的三边长，则△ABC 一定不是 （ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形 （3）若全集{}{}0,1,2,3,42,3U U C A ==且，则集合A 的真子集共有 （ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个
（4）方程组?
??=-=+91
2
2y x y x 的解集是 . （5）设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或，则a = ，b = . 例2.已知集合???
???
∈-∈=N x N x A 68
|
，试求集合A 的所有子集.
例3.已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B φ≠，且B A ?,求m 的取值范围.
例 4.全集{}321,3,32S x x x =++，{}1,21A x =-，如果{},0=A C S 则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由.
【课内练习】
1.设集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为 （ ）
A ．0X ?
B ．{}0X ∈
C ．X φ∈
D ．{}0X ?
2.设集合{
|A y y ==
，{
|B x y ==
，则下列关系中正确的是（ ）
A ．A
B = B ．A B ?
C ．B A ?
D ．[1,)A B ?=+∞ 3.下列说法中，正确的是 （ ）
A.任何一个集合必有两个子集
B.若,A B φ= 则,A B 中至少有一个为φ
C.任何集合必有一个真子集
D.若S 为全集，且,A B S = 则A B S == 4.已知集合{|8}M x N x N =∈-∈，则M 中元素的个数是 （ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
5.集合111
{1,
,,,}234
???可用描述法表示为 . 6.设集合3
{|(3)(2)0},{|
0}3
x A x x x B x x -=-+===+，则,A B 之间的关系是 A B .（填,??或=）
7.设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ?，则实数k 的取值范围是 .
8. 已知集合,,A B C ,且,A B A C ??,若{0,1,2,3,4}B =,{0,2,4,8}C =,集合A 中最多含有几个元素?
9.设U Z =,{|2,},{|21,}A x x k k N B x x k k N ==∈==+∈,求,U U C A C B .
10.已知集合2
{|210,}A x R ax x a R =∈++=∈中只有一个元素(A 也可叫作单元素集合),求a 的值,并求出这个元素.
1、集合的概念及其运算（1）（作业）
1.(3,2)A =-，且,x A x Z ∈∈，则x 组成的集合为 （ ）
A.{1}
B.{0,1}
C.{2,1,0,1}--
D.{3,2,1,0,1,2}--- 2.设全集U R =，2{|1},{|22}U C A y y B y y x x =≤==-+，则下列各式中正确的是
A.A B =
B.A B
C. B
A D.
B A ?
3.设集合},4
12|{Z k k x x M
∈+=
=，},2
14|{Z k k x x N ∈+==，则
（ ）
A ．N M =
B ．M N
C ．N M
D ．M N φ=
4.用列举法表示集合：M m m Z m Z =+∈∈{|
,}101
= .
5. 若{}|1,I x x x Z =≥-∈，则N C I = .
6.已知集合2{|310,}A a m a a a R =++=∈只含有一个元素，求m 的值.
7.当,a b 满足什么条件时，集合{|0}A x ax b =+=是有限集、无限集、空集.
8. 设S 为满足下列条件的实数构成的非空集合：①1S ∈；②若a S ∈，则
11S a
∈-.
(1)0是否为集合S 中的元素？为什么？(2)若2S ∈，试确定一个符合条件的集合S ; (3)集合S 中至少有多少个元素？试证明你的结论.
B 组
1.下列各选项中的M 与P 表示同一集合的是 （ ）
A.{0},M P ==?
B.{(3,7)},{(7,3)}M P =-=-
C.2{(,)|3,}M x y y x x R ==+∈, 2{|3,}P y y x x R ==+∈
D. 22{|1,},{|(1)1,}M y y t t R P t t y y R ==+∈==-+∈
2.集合2{|6,}y N y x x N ∈=-+∈的真子集的个数是 （ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
3.集合{|2,}A x x k k Z ==∈，{|21,}B x x k k Z ==+∈，{|41,}C x x k k Z ==+∈， 又,a A b B ∈∈，则有 （ ） A.a b A +∈ B. a b B +∈
C. a b C +∈
D. a b +不属于A 、B 、C 中任一集合 4.设全集{1,2,3,4,5}U =，集合2{1,1,4},{2,3}U A a C A a =-=+，则a 的值为 . 5. 已知集合}023|{2=+-=x ax x A .(1)若A 中至多有一个元素，则a 的取值范围是 ；（2）若A 中至少有一个元素，则a 的取值范围是 . 6.设{}{}(){}2
,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++====求.
7.已知：{|3},{|}A x x B x x a =<=<.(1)若B A ?，求a 的取值范围；(2)若R C A
R C B ，
求a 的取值范围.
8. 对于集合,A B ，我们把{(,)|,}a b a A b B ∈∈记为A B ?，若{1,0},{1,2}A B =-=，求,A B A A ??.
2、集合的概念及其运算（2）
【知识网络】
集合的运算：交集、并集、补集 【典型例题】
例1.（1）设22{|0},{|0}A x x x B x x x =-==+=，则集合A B = （ ）
A ．0
B ．{}0
C ．φ
D ．{}1,0,1- （2）全集{,,,,}U a b c d e =，集合{,,},{,,}M c d e N a b e ==，则集合{,}a b 可表示为 A ．M N ? B ．()U C M N ? C ．()U M C N ? D ．()()U U C M C N ? （3）下列表示图形中的阴影部分的是 （ ）
A ．()()A C
B C
B ．()()A B A C
C ．()()A B B C
D ．()A B C （4）已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =- ，则实数a
的值为 .
（5）给出下列六个等式：①A A A ?=；②()U A C A U ?=；③()U A C A ?=?； ④()A A B A B ??=?；⑤()()A B A B A B ???=?；⑥()A B A A ??=（其中 ,A B 为全集U 的子集）.其中正确的有 个.
例 2.设全集U R =，{|M m =方程210mx x --=有实数根}，{|N n =方程
2
0x x n -+=有实数根}，求()U C M N ?.
例 3.已知{|3}A x a x a =≤≤+,{|1B x x =<-或5}x >.(1)若A B =? ,求a 的取值范围;(2) 若A B B = ,求a 的取值范围.
A B C
例4.已知222{|190},{|560}A x x ax a B x x x =-+-==-+=,是否存在实数a ,使A ,
B 同时满足下列三个条件:①A B ≠,②A B B ?=,③?
()A B ?.若存在,试求出a 的值;
若不存在,请说明理由.
【课内练习】
1.若集合{}{}
22
(,)0,(,)1,,M x y x y N x y x y x R y R =+==+=∈∈，则M N ?=
A ．{(1,1),(1,1)}--
B ． {(22-
C ． 22-
D ． {(2222
-
-
2．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =?，则m 的值为 （ ）
A ．1
B ．1-
C ．1或1-
D ．1或1-或0
3.50名同学参加跳远和铅球测验，测验成绩及格的分别为40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数是 （ ）
A ．35
B ．25
C ．28
D ．15
4.{|24},{|}A x x B x x a =-<<=≥，若A B ?=?，且A B ?中不含元素6，则a 的一个可能值为 （ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7 5.若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B = ，则x = .
6. 已知{}
{}2
21,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B = _________.
7.设集合{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，则满足()C A B ??的集合C 为 .
8.设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=； 若()U C A B =? ，求m 的值.
2、集合的概念及其运算（2）（作业）
A 组
1.已知{||2|1},{|A x x B x y =->==
，那么有 （ ）
A.A B =
B. A B B =
C.A B B =
D.()()R R C A C B R = 2.I 为全集，M 、N 、P 都是它的子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A. ()M N P ??
B. ()
I M N P ??e
C. [()()]I I M N P ??痧
D. ()()M N N P ???
3.已知集合{
}
2
|10A x x =+
+=,若A R φ= ，则实数m 的
取值范围是（ ）
A ．4 B ．4>m C ．40<≤m D ．40≤≤m 4.某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人. 5.已知集合22{|230},{|0}A x x x B x x ax b =-->=++≤，若,A B R = A B {|34}x x =<≤，则a b +的值等于 . 6. 设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}S =，A 、B 是S 的子集且 (){1,9},{2}S C A B A B == ,()(){4,6,8}S S C A C B = .求A 、B . 7. 设222 {40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈,如果 A B B = ，求实数 a 的取值范围。 8.已知{|24},{|A x x B x x a =-≤≤=<.(1)若A B =? ,求a 的取值范围;(2)若A B A ≠ ,求a 的取值范围;(3) 若A B ≠? 且A B A ≠ ,求a 的取值范围. B 组 1.设全集}3,2,1,0,1,2,3{---=U ，集合},023|{2R x x x x E ∈=+-=，2 cos |{x x F π= },0R x ∈=，则=?F E C U )( （ ） A.}3,0,1,3{-- B. }3,1,3{-- C. }3,1,1,3{-- D. }3,3{- 2.已知集合{(,)|(1)1,,}P x y y k x x R y R ==-+∈∈，22{(,)|20,Q x y x y y =+-= ,}x R y R ∈∈，那么集合P Q 中 （ ） A.没有一个元素 B.至多有一个元素 C.只有两个元素 D.有一个或两个元素 3.若不等式102≤+-≤a ax x 的解集是单元素集，则a 的值为 （ ） A. 0 B.2 C. 4 D. 6 4.集合},,22|{m n N m n x M m n >∈-=且，},20041912|{N x x x P ∈≤≤=，则P M ?中所有元素的和等于 . 5. 已知集合}02|),{(},1|),{(22≤--==+=y kx y x B y x y x A ，其中R y x ∈,.若 B A ?，则实数k 的取值范围是 . 6.已知非空集合S 同时满足下列两个条件：①{1,2,3,4,5}S ?，②若a S ∈，则6a S -∈. 试写出满足条件的所有集合S . 7. 集 合 {} 2 2 |190A x x ax a =-+-=， {} 2 |560B x x x =-+=， {}2 |280C x x x =+-=满足,A B φ≠ ，,A C φ= 求实数a 的值。 8.已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}2|,C z z x x A ==∈, 且C B ?,求a 的取值范围。 3、命题及其关系 【知识网络】 1.四种命题及其相互关系 2.充分条件和必要条件 【典型例题】 例1.（1）下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于N ，则a 属于N ；③若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；④x x 212=+的解可表示为{}1,1.其中真命题的个数为 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 （2）命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是 （ ） A.若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠ B.若0,0(,)a b a b R ≠≠∈且，则220a b +≠ C. 若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠ D.若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则220a b +≠ （3）若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 （4）给出以下四个条件：①0ab >；②0a >或0b >；③2a b +>；④0a >且0b >.其中可以作为“若,a b R ∈，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是 . （5）设有两个命题：:p 不等式|||1|x x a ++>的解集为R ，命题:q ()(73)x f x a =--在R 上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是 . 例2.写出命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假. 例3. . 例4.已知方程2 2 (21)0x k x k +-+=,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件。 【课内练习】 1. 有下列四个命题：①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题. 其中真命题为 （ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④ 2.已知三个不等式：0,0, 0c d ab bc ad a b >->->（其中,,,a b c d 均为实数）.用其中两 个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. “αβ≠”是“cos cos αβ≠”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知不等式||1x m -<成立的充分不必要条件是 1132 x << ，则m 的取值范围是（ ） A.41{|}32 m m - ≤≤ B.1{|}2m m < C. 14{|}2 3 m m -≤≤ 4{|}3 m m ≥ D. 5. 命题“若,x y 是奇数，则x y +是偶数”的逆否命题是 ;它是 命题. 原命题的逆否命题是“若x y +不是偶数，则,x y 不都是奇数”， 它是真命题. 6. 若[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是___________. 7.(1)(2)0x x -+<的一个必要不充分条件是 . 8.写出命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题，判断其真假，并加以证明. 9.已知下列三个方程：2 2 2 2 4430,(1)0,220x ax a x a x a x ax a +-+=+-+=+-= 至少有一个方程有实数根，求实数a 的取值范围。 10.求“直线:10l ax by ++=经过两直线1:230l x y --=和2:230l x y --=的交点”的充要条件，并加以证明. 3、命题及其关系（作业） A 组 1.给出下列四个命题：① 1=，则1x =±；③命题“两个全等的三角形面积相等”的否命题；④平行于同一平面的两条直线平行.其中真命题有 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2.设a R ∈，则1a >是 11a < 的 （ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3.设,a b R ∈，则不等式a b >与 1 1 a b >都成立的充要条件是 （ ） A.0ab > B.0,0a b >< C.0ab < D.0ab ≠ 4.在空间中①若四点不共面，则其中任何三点不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.以上两个命题中，逆命题为真的是 . 5.增加条件 ，可使命题“22bc ac >，则22b a >”为真命题. 6.求证：关于x 的一元二次不等式210ax ax -+>对于一切实数x 都成立的充要条件是 7.若222a b c +=，求证：,,a b c 不可能都是奇数. 8.已知命题:p 方程22 20a x ax +-=在[1,1]-上有解；命题:q 只有一个实数满足不等式 2 220x ax a ++≤.若,p q 都是假命题，求a 的取值范围. B 组 1.给出下列命题：①0a b >>是22a b >的充要条件； ②0a b >>是 b a 11< 的充要条件； ③0a b >>是3 3 a b >的充要条件.则其中为真命题的有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2.已知命题:p 函数212 log (2)y x x a =++的值域为R ；命题:q 函数(52)x y a =--是减 函数.若p 和q 一真一假，则实数的取 （ ） A.1a ≤ B.2a < C.12a << D.1a ≤或2a ≥ 3.已知命题:p 40k -<<;命题:q 函数21y kx kx =--的值恒为负.则命题p 是命题q 成立的 （ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4. 有下列四个命题： ①命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1m ≤，则022=+-m x x 有实根”的逆否命题；④命题“若A B B = ，则A B ?”的逆否命题. 其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）. 5.不等式(1||)(1)0x x -+>成立的充要条件是 . 6.命题:20,01p m n -<<<<；命题:q 关于x 的方程20x mx n ++=有两个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件. 7.证明：若22 2=+q p ，则2≤+q p . 8.设,,a b c 为A B C ?的三边，求方程2220x ax b ++=与22 20x cx b +-=有公共根的充 要条件. 4、逻辑连接词、全称量词与存在量词 【知识网络】 1.逻辑连接词及复合命题 2.含全称量词与存在量词的命题及其否定 【典型例题】 例1.（1）下列判断正确的是 ( ) A.22x y x y ≠?≠或x y ≠- B.命题“a 、b 都是偶数，则a b +是偶数” 的逆否命题是“若a b +不是偶数，则a 、b 都不是偶数” C.若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是真命题 D.已知,,a b c 是实数，关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集是空集，必有0a >且0?≤ （2）已知命题p 且q 为假命题，则可以肯定 ( ) A.p 为真命题 B.q 为假命题 C.,p q 中至少有一个是假命题 D.,p q 都是假命题 （3）已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ?是q ?的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 （4）命题:0p 不是自然数；命题:q 是无理数，则在命题“p 或q ”、“p 且q ”、“非 p ” 、“非q ”中，真命题是 ；假命题是 . （5）命题“对一切非零实数x ，总有12x x + ≥”的否定是 ， 它是 命题.(填“真”或“假”) 例2.写出下列命题的“ p ?”命题： （1）正方形的四边相等； （2）平方和为0的两个实数都为0； （3）若A B C ?是锐角三角形， 则A B C ?的任何一个内角是锐角； （4）若0abc =，则,,a b c 中至少有一个为0； （5）若(1)(2)0,12x x x x --≠≠≠则且. 例3.判断下列命题的真假： (1)对任意的,x y 都有2 2 2x y xy +≥； (2)所有四边形的两条对角线都互相平分； (3)?实数2a ≠且1b ≠-使22 425a b a b +-+≤-； (4)存在实数x 使函数4()(0)f x x x x =+>取得最小值4. 例4.已知1:|1|23 x p -- ≤；)0(012:2 2 >≤-+-m m x x q 若p ?是q ?的必要非充分 条件，求实数m 的取值范围. 【课内练习】 1.若命题“p 且q ”为假，且“p ?”为假，则 ( ) A ．p 或q 为假 B ．q 假 C ．q 真 D ．p 假 2.若条件B A x P ?∈:,则P ?是 ( ) A.x A ∈且x B ? B. x A ?或 x B ? C. x A ?且x B ? D. B A x ?∈ 3.设集合{}{}|2,|3M x x P x x =>=<,那么“x M ∈,或x P ∈”是“x M P ∈ ” 的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4. 如果命题“非p 或非q ”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p 且q ”是真命题； ②命题“p 且q ”是假命题；③命题“p 或q ”是真命题；④命题“p 或q ”是假命题.其中正确的结论是 ( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④ 5. 用“充分、必要、充要”填空：①p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的_______条 件；②p ?为假命题是p q ∨为真命题的_________条件. 6.已知命题：:p “若1a >，则32a a >”；命题:q “若0a >，则1a a >”.则在①“p 或 q ” 、 ②“p 且q ”、③“非p ”、④“非q ”四个命题中，真命题是 . 7．命题p 的否定是“对所有正数1x x >+”，则命题p 是 . 8.若:{|1},:{0}p N x R x q ?∈>-=?.写出由其构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ” 形式的新命题，并指出其真假. 9.对于下述命题p ，写出“p ?”形式的命题，并判断“p ”与“p ?”的真假： （1）:p 有一个素数是偶数； p ： p ?： . （2）:p 任意正整数都是质数或合数； p ： p ?： . （3）:p 三角形有且仅有一个外接圆. p ： p ?： . 10.命题:p 方程2 10x mx ++=有两个不等的正实数根，命题:q 方程 2 44(2)10 x m x ++ +=无实数根.若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围. 4、逻辑连接词、全称量词与存在量词（作业） A 组 1.下列命题中正确的是 （ ） A.对所有正实数t t <碍 B.不存在实数x ，使4x <，且25240x x +-= C.存在实数x ，使|1|1x +≤且20x > D.不存在实数x ，使310x x ++= 2.||||0x y +≠等价于 （ ） A.0x ≠或0y ≠ B. 0x ≠且0y ≠ C. 0x =或0y = D. 0x =且0y = 3.命题:p 若,a b R ∈，则||||1a b +>是||1a b +>的充分而不必要条件；命题:q 函数 y = (,1][3,)-∞-+∞ ，则 （ ） A ．“p 或q ”为假 B ．“p 且q ”为真 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真 4.用“或”、“且”、“非”填空：（1）若(1)(2)0x x --≠，则1x ≠ 2x ≠；（2）若 (1)(2)0x x --=，则1x = 2x =. 5. 命题p ：函数1)6 2s in ()(+- =π x x f 满足)3 ( )3( x f x f -=+π π ；命题q ：函数 ()g x =s i n (2)1 x θ++可能是奇函数.则复合命题“p 或q ”、“p 且q ”、“非q ”中正命题的个数为 . 6.判断下列命题的真假： （1）已知,,,,a b c d R ∈若,a c ≠或b d ≠，则.a b c d +≠+ （2）32,x N x x ?∈> （3）若1,m >则方程220x x m -+=无实数根. 7.判断下列全称命题的真假： （1）所有的质数是奇数； （2）2 ,11x R x ?∈+≥； （3）对每一个无理数，2 x 也是无理数. 8.已知命题2 :||6,:p x x q x Z -≥∈且“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，求x 的值。 B 组 1.命题:0p 是偶数；命题:2q 是3的约数，则下列命题中为真命题的是 （ ） A. p 且q B. p 或q C.非p D. 非p 且非q 2.给出下列命题：①若命题p 是真命题，则命题p 且q 是真命题；②若命题p 且q 是真命题，则命题p 是真命题；③若命题p 且q 是假命题，则命题p 是假命题；④若命题p 或q 是假命题，则命题p 是假命题；⑤若命题p 是假命题，则命题p 或q 是假命题；⑥如果“若 p 则q ”是真命题，则“若非q 则非p ”是真命题.其中真命题是 （ ） A.①③⑤ B.②④⑥ C. ①②⑤ D. ③④⑥ 3.已知命题P :关于x 的方程042=+-ax x 有实根; 命题Q :关于x 的函数 422 ++=ax x y 在),3[+∞上是增函数.若P 或Q 是真命题, P 且Q 是假命题,则实数a 的取值范围是 （ ） A.),4[]4,12(+∞?-- B. ),4[]4,12[+∞?-- C. )4,4()12,(-?--∞ D. ),12[+∞- 4.命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定是 ；它的否命题是 . 5.0m n +>的一个充分而不必要的条件可以是 ；不等式 2 210ax ax ++>的解集是R 的一个充要条件是 . 6.判断下列特称命题的真假,并说明理由： （1）有一个实数x ，使2230x x ++=； （2）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （3）有一些整数只有两个正因数. 7.写出下列全称命题的否定，并判断其真假，并说明理由： （1）:p 所有能被3整除的整数都是奇数； （2）:p 每一个四边形的四个顶点共圆； （3）:p 对任意2 ,x Z x ∈的个位数字不等于3. 8.已知条件2 :6;:p x x q x Z -≥∈，求x 取值组成的集合M ，使得当x M ∈时，“p 且q ”与“p ?”同时为假命题. {}9B =,;B A =B B = )()(); U U B A B =? )()()U U B A B =? ()()card A B card A =+ ()()card B card A B - ()U A =e()U A =e13设全集，2，3，4A = {3，4，5} B = {4，7，8}, 求：（C U A ）∩ B), (C U A)(A ∪B), C U B). 有两相)(,2121x x x x <有两相等a b x x 221- ==无实根 有意义的 ①一个命题的否命题为真，它的逆 命题一定为真. （否命题?逆命 题.）②一个命题为真，则它的逆 否命题一定为真.（原命题?逆 否命题.） 4.反证法是中学数学的重要方法。 会用反证法证明一些代数命题。 充分条件与必要条件 答案见下一页 数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案 例1选A; 例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集. 例3解:∵{}9A B =,∴9A ∈.⑴若219a -=,则5a =,此时{}{}4,9,25,9,0,4A B =-=-, {}9,4A B =-,与已知矛盾,舍去.⑵若29a =,则3a =±①当3 a =时,{}{}4,5,9,2,2,9A B =-=--.B 中有两个元素均为2-,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当3a =-时,{}{}4,7,9,9,8,4A B =--=-,符合题意.综上所述,3a =-. [点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集 合中元素用字母表示，检验必不可少。 例4C 例5C 例6①?,②ü,③ü,④ 例7填2 例8C 例9? 例10解：∵M={y|y =x 2+1，x ∈R}={y |y ≥1}，N={y|y =x +1，x ∈R}={y|y ∈R}∴ M∩N=M={y|y ≥1} 注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M 、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合。实际上，从函数角度看，本题中的M ，N 分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y |y =f (x )，x ∈A}应看成是函数y =f (x )的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y =x 2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例如{y|y ≥1}={x |x ≥1}。 例11填?注：点集与数集的交集是φ. 例12埴?,R 例13解：∵C U A = {1，2，6，7，8} ,C U B = {1，2，3，5，6}, ∴(C U A)∩(C U B) = {1，2，6} ,(C U A)∪(C U B) = {1，2，3，5，6，7，8}, A ∪ B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴ C U (A ∪B) = {1,2,6} ,C U (A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8} 例145,6a b ==-; 例15原不等式的解集是{}37|<<-x x 例16 53|332 2x R x x ??∈-<-+-->+?? ≥或,即3344123x x x x ? 2或x <31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <31}.方法2：(整体换元转化法)分析：把右边看成常数c ，就同)0(>>+c c b ax 一样∵|4x -3|>2x +1?4x -3>2x +1或4x -3<-(2x +1) ? x >2 或x < 31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <3 1}. 例18分析：关键是去掉绝对值. 方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义） ①当1- 集合与逻辑用语练习题 1．设集合 集合 则 ( ) A ． B ． C ． D ． ? 2．已知命题 ： ， ， ，则 是（ ） A ． ， ， B ． ， ， C ． ， ， D ． ， ， 3．已知集合M ={x ∈Z|–1≤x ≤1}，N ={x |x 2=x }，则M ∪N = A ． {–1} B ． {–1，1} C ． {0，1} D ． {–1，0，1} 4．设集合 ，则下列结论正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．已知集合 ， ，则 等于 A ． B ． C ． ∞ D ． ∞ 6．命题 的否定为( ) A ． “ ” B ． “ ” C ． “ ” D ． “ ” 7．已知全集 集合 ，则 用区间可表示为( ) A ． ， B ． ， C ． ， D ． ∞ ， 8．已A ． B ． C ． D ． 9．设集合 ，则 A ． B ． C ． D ． 10．已知全集{}0,1,2,3,4,5U =， {}2,4A =， {}0,1,2B =，则如图阴影部分表示的集合为（ ） A ． {}0,2 B ． {}0,1,3 C ． {}0,1,4 D ． {}0,2,4 11．下列有关命题的说法正确的是( ) A ． 命题“若 ,则 ”的否命题为:“若 ,则 ” B ． “ ” 是“ ”的必要不充分条件 C ． 命题“若 ,则 ”的逆否命题为真命题 D ． 命题“ 使得 ”的否定是:“ 均有 ” 二、解答题 12．已知全集 . （1）求 ； （2）求 ． 13．设集合 ，集合 ， . (1)求 ； (2)求 及 14．已知全集 ，其子集 ， ，求： （ ） ． （ ） ． （ ） ． （ ） ． 15．写出命题“若2320x x -+≠，则1x ≠且2x ≠”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假. 三、填空题 16．已知全集 ， ， ，则 _________知特称命题p ： 则命题p 的否定是 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 一、基础知识 1．集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. (4)五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2．集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B (或B ?A )． (2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A . A B ?????? A ? B ，A ≠B . 既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不 属于A . (3)集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B . 两集合相等：A ＝B ?? ???? A ? B ， A ? B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一 个元素也符合A 中元素的特性． (4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}． 3．集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . 二、常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 (2)已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中 元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． 集合、简易逻辑 知识梳理： 1、 集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系：A a ∈或A a ? 集合的常用表示法： 列举法 、 描述法 。集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。 常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N ；正整数集*N ，整数集Z ；有理数集Q ；实数集R 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ?B 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ?B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 注：空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集 结论：设集合A 中有n 个元素，则A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n 个 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 记住两个常见的结论：B A A B A ??=?；A B A B A ??=?； 集合与简易逻辑重要知识点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一）集合 1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用 . 2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ； ②空集是任何集合的子集，记为A ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ，同时A B ，那么A=B. 如果C A C B B A ，那么，. [注]：①Z ={整数}（√）Z ={全体整数}（×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例： S=N ；A=N ， 则C s A={0}） ③空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A =，C A B =C S （C A B ）=D （注：C A B =）. 3.①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R 二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R }一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例：1323 y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是.（例：A={(x ，y )|y =x +1}B={y |y =x 2+1}则A ∩B =） 4.①n 个元素的子集有2n 个.②n 个元素的真子集有2n －1个.③n 个元素的非空真子集有2n －2个. 5.⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题. 例：①若325b a b a 或，则应是真命题. 解：逆否：a =2且b =3，则a+b =5，成立，所以此命题为真. ②，且21y x 3y x . 解：逆否：x+y =3x=1或y =2. 21y x 且3y x ,故3y x 是21y x 且的既不是充分，又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3.例：若255x x x 或，. 4.集合运算：交、并、补. 5.主要性质和运算律 （1）包含关系：,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B I I U U C （2）等价关系：U A B A B A A B B A B U I U U C （3）集合的运算律： 交换律：. ;A B B A A B B A 结合律:) ()();()(C B A C B A C B A C B A 分配律:.) ()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A 0-1律：,,,A A A U A A U A U I U I U 等幂律：. ,A A A A A A 求补律：A ∩C U A =φA ∪C U A=U?C U U =φ?C U φ=U 反演律：C U (A ∩B)=(C U A)∪(C U B)C U (A ∪B)=(C U A )∩(C U B) 6.有限集的元素个数 定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card(A)规定card(φ)=0. 基本公式： (3)card (?U A )=card(U)-card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） ①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”； (为了统一方便) 专题一集合与逻辑用语 环节一：集合 1．集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系． (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3．集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． (3)能使用Venn图表示集合的关系及运算． 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． (4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R. (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集． 2．集合间的基本关系 表示 关系 文字语言符号语言 相等集合A与集合B中的所有元素都相 同 A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A?B或B?A 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是 A 中的元素 A?B或B?A 空集 空集是任何集合A的子集，是任何 非空集合B的真子集 ??A， ??B(B≠?) 3.集合的基本运算 并集交集补集符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合 A的补集为C U A 图形 表示 意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A} 1．集合的运算性质 并集的性质： A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A． 交集的性质： A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B． 补集的性质： A∪(C U A)＝U；A∩(C U A)＝?；C U(C U A)＝A． 2．判断集合关系的三种方法 (1)一一列举观察； (2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合关系； (3)数形结合法：利用数轴或Venn图（封闭曲线）． 3．数形结合思想 知识点——集合与常用逻辑用语【知识梳理】 一、集合及其运算 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系 关系自然语言符号语言Venn图 子集集合A中所有元素都在集合B中(即若 x∈A，则x∈B) A?B (或B?A) 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中 至少有一个元素不在集合A中 A?B (或B?A) 集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B 互为子集 A＝B 3.集合的基本运算 运算自然语言符号语言Venn图 交集由属于集合A且属于集合B 的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集由所有属于集合A或属于集 合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集由全集U中不属于集合A的 所有元素组成的集合 ?U A＝{x|x∈U且x?A} 【知识拓展】 1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. 3．A∩(?U A)＝?；A∪(?U A)＝U；?U(?U A)＝A. 二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1．四种命题及相互关系 2．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件 (1)如果p ?q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件； (2)如果p ?q ，但q p ，则p 是q 的充分不必要条件； (3)如果p ?q ，且q ?p ，则p 是q 的充要条件； (4)如果q ?p ，且p q ，则p 是q 的必要不充分条件； (5)如果p q ，且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 【知识拓展】 1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．若A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则 (1)若A ?B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ?B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； (4)若A ?B ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若A ?B ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若A B 且A ?B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 【易错提醒】 1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集． 2．易混淆0，?，{0}：0是一个实数；?是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0??，而??{0}． 3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性． 4．空集是任何集合的子集．由条件A ?B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 求解集合A 时，务必分析研究A ＝?的情况． 5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p ，则q ”，则该命题的否定为“若p ，则q ?”，其否命题为“若p ?，则q ?”． 6．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论． 00 集合与逻辑 一、相关概念 （一）．集合的含义与表示 ①集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． ②集合中元素与集合的关系 ③集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图． ④常用数集的表示 2 ①子集：若对?x∈A，都有x∈B，则A?B．②真子集：若A?B，但?x∈B，且x?A，则A B．③相等：若A?B，且B?A，则A＝B．④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． {x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B} ?U A＝{x|x∈U且x?A} 4．集合A元素的个数为n则①A的子集个数为2n．②A的真子集个数为2n-1． （二）．逻辑 （1）命题的定义：可以判断真假的陈述句叫做命题． （2）四种命题的形式： （3）四种命题的关系： 2．逻辑连接词 （1）命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑连接词． （2）复合命题的真值表 ()() ()21:,2,3??全称量词“ 所有的”、“任意一个”用“”表示． 含有全称量词的命题叫全称命题．“存在一个”“ 至少一个”用“”表示． 含有存在量词的命题叫特称命题． 含有一个量词的的否定 1．定义法： 若A B ?，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件． 若B A ?，则A 是B 的必要条件，B 是A 的充分条件． 若B A ?，则A 是B 的充要条件． 2．利用集合的包含关系 若A B ?，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件． 若A B ，则A 是B 的充分不必要条件． 若A B =，则A 是B 的充要条件． 二、相关题型（一）集合相关题型 考点1 集合元素的特征 例1：（2012 全国高考）已知集合{1A =，{1,}B m =，A B A = ，则m =（ ） A ．0 B ．0或3 C ．1 D ．1或3 【答案】B 【解析】∵A B A = ，∴A B ?，∴3=m 或m m =． 若3=m ，则}3,1{},3,3,1{==B A ，满足A B A = ． 若m m = ，解得0=m 或1=m ． 若0=m ，则{1,3,0},{1,0}A B ==，满足A B A = ． 若1=m ，}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立， 综上：0=m 或3=m ． 练习：（2012厦门质检）设,a b R ∈，现有三个实数的集合，既可表示为{1,,}a b a +，也可以表示为{0,,}b b a ，则2012 2011b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 【答案】C 【解析】∵{1,,}a b a +{0, ,}b b a =，可知0a ≠． ∴01a b b a a b +=???=??=??① ， 或01a b b a b a +=???=??=??②，由①得11a b =-??=?，符合题意；②无解； ∴20122011201220111(1)2b a -=--=． 考点2 集合与集合的关系 例2：已知集合{1,1}A =-，{10}B x ax =+=，若B A ?，则实数a 的所有可能取值的集合为（ ） A ．{1}- B ．{1} C ．{1,1}- D ．{1,0,1}- 【答案】D 【解析】(1)若0a =时，得B =?，满足B A ?； （2）若0a ≠时，得1B a ?? =-??? ?．∵B A ?，∴11a - =-或1 1a -=， 解得1a =，或1a =-．故所求实数a 的值为0，或1，或1-． 练习：1.已知集合A ={|25}x x -<≤，}121|{-≤≤+=m x m x B 且A B A = ，则实数m 的取值范 围是（ ） A ．[2,3] B ．(2,3] C ．(,3]-∞ D ．(2,)+∞ 高考冲刺第1讲 集合与简易逻辑 一、知识要点与基本方法： （一）集合的概念 1．集合元素的三大特征：无序、互异、确定 2．集合的表示方法：描述、区间、列举、Venn 3．元素与集合的关系：元素与元素，元素与集合，集合与集合 （二）集合的运算 1．交集 2．并集 3. 补集 4. 集合中所含元素个数及子集个数。 （三）逻辑联结词和四种命题 1. 量词 2. 基本逻辑连接词 3. 真值表 4. 四种命题 （四）充分条件与必要条件 二、典型例题： 例1、设A 、B 是两个集合，对于A B ?，下列说法正确的是（ ） A ．存在0x A ∈，使0x B ∈ B ．B A ?一定不成立 C ．B 不可能为空集 D ．0x A ∈是0x B ∈的充分条件 例2．设集合{}{} 021x M x x m N y y x R =-≤==-∈,,，若 M N φ= ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥－1 B ．m ＞－1 C ．m ≤－1 D ．m ＜－1 例3．集合M ＝{x ││x │＝1}，N ＝{ x │ax ＝1}，M ∪N ＝M ，则实数a 的所有可能值的集合为（ ） A ．{1，－1} B ．{1} C ．{0，1} D ．{－1，0，1} 例4．设集合}|20{},|11{22N q q B N p p A ∈+=∈+=。若M B A = ，则M 中元素的个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、至少3 例5．已知+∈∈R y R x ,，集合}1,2 ,{},1,,1{2+--=---++=y y y B x x x x A ，若A=B ，则2 2y x +的值是（ ） （A ）5 （B ）4 （C ）25 （D ）10 例6.下列4个命题 111:(0,),()()23 x x p x ?∈+∞< 2:(0,1),p x ?∈㏒1/2x>㏒1/3x 31p :(0,),()2x x ?∈+∞>㏒1/2x 411:(0,),()32 x p x ?∈<㏒1/3x 其中的真命题是( ) A 13,p p B 14,p p C 23,p p D 24,p p 例7．设集合101 x A x x -=<+{|},B={x ||x －1|＜a }，若“a =1”是“A ∩B ≠?的( )” A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 例8．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n ＋k|n ∈Z}， k ＝0，1，2，3，4。给出如下四个结论： ①2011∈[1]； ②－3∈[3]； ③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]。 其中，正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 高考数学概念方法题型易误点技巧总结（一） 集合与简易逻辑 基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若 {0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。 （答：8）（2）设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|B x y x y n =+-0}≤，那么点)()3,2(B C A P u ∈的充要条件是________（答：5,1<->n m ）；（3）非空集合 }5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6” ，这样的S 共有_____个（答：7） 2.遇到A B =?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；同样当A B ?时，你是否忘记?=A 的情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝______.（答：10,1,2 a =） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7） 4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =??； ⑵A B B B A =??；⑶A B ?? u u A B ?痧； ⑷u u A B A B =???痧； ⑸u A B U A B =??e； ⑹()U C A B U U C A C B =；⑺()U U U C A B C A C B =.如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =） 5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如 （1）设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N =___（答： [4,)+∞） ；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+， }R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--） 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知函 数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使 0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3(3,)2 -） 7.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑵“p 且q ”为假是“p 或 第一章：集合与常用逻辑用语 §·集合的概念及运算 一、知识清单 1.集合的含义与表示 （1）集合：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。 （2）常用的集合表示法：①列举法；②描述法；③数轴或图像表示法；④venn 图法 2.集合的特性 3.常用的集合 特 性 理 解 应 用 确定性 要么属于该集合，要么不属于，二者必居其一； 判断涉及的总体是否构成集 合 互异性 集合中的任意两个元素都是不同的； 1.判断集合表示是否正确； 2.求集合中的元素 无序性 集合的不同与元素的排列无关； 通常用该性质判断两个集合 的关系 集合 (){}0|=x f x (){}0|>x f x (){}x f y x =| (){}x f y y =| ()(){}x f y y x =|, (){}x f y = 常见数集的记法： 4.集合间的基本关系 （2）有限集合中子集的个数 【提醒】空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。符号表示为：5.集合的运算 集），写作C S A。 二、高考常见题型及解题方法 1.解决集合问题的常用方法 2.集合问题常见题型 （1）元素与集合间关系问题 （2）集合与集合间关系问题 （3）集合的基本运算： ①有限集（数集）间集合的运算； ②无限集间集合的运算：数轴（坐标系）画图、定域、求解； ③用德·摩根公式法求解集合间的运算。 【针对训练】 例1.已知集合A={0,1,2}，则集合B={x-y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是（ ） A.1 B.3 C.5 D.9 例2.设集合{} {}R x x x P R x x x y y M ∈≤≤-=∈--==,42|,,12|2 ，则集合M 与P 之间的关系式为（ ） 精心整理 第一练集合与常用逻辑用语一.强化题型考点对对练 1.（集合的基本运算）已知集合{|1A x x =≤-或1}x ≥，集合{|01}B x x =<<，则（） A.{}1A B ?= B.A B R ?= C.()(]0,1R C A B ?= D.()R A C B A ?= 【答案】D 2．（集合的基本运算）若集合{}02A x x =<<，且A B B =I ，则集合B 可能是（） A.{}0 2， B.{}0 1， C.{}0 1 2，， D.{}1 【答案】D 【解析】由题意得,因为,所以选B. 3.（集合的基本运算）设集合{}|2M x x =<，{}1,1N =-，则集合M C N 中整数的个数为() A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C 【解析】{}(){}|22,2,1,1M x x N =<=-=-Q ，()()()2,11,11,2,M N ∴=--?-?∴e集合M N e中整数只有0，故个数为1，故选C. 4.（集合间的关系）已知集合 ，若，则（） A.0或1 B.0或2 C.1或2 D.0或1或2 【答案】C 【解析】或.故选C. 5．（充分条件和必要条件）设x R ∈，i 是虚数单位， 则“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯虚数”的 A.充分不必要条 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由3x =-，得()()2 22332330x x +-=-+?--=，1314x -=--=-． 而由2230{ 10 x x x +-=-≠，得3x =-．所以“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯数”的充要条件．故选C. 集合、简易逻辑 集合知识梳理： 1、 集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系：A a ∈或A a ? 集合的常用表示法： 列举法 、 描述法 。集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。 常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N ；正整数集*N ，整数集Z ；有理数集Q ；实数集R 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ?B 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为 A ? B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 注：空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集 结论：设集合A 中有n 个元素，则A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n 个 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 记住两个常见的结论：B A A B A ??=?；A B A B A ??=?； 命题知识梳理： 1、命题：可以判断真假的语句叫做命题。（全称命题 特称命题） ⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“?”表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示； 1 高中数学第一册（上） 第一章集合与简易逻辑 ◇教材分析 【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（可看做集合的化简）、简易逻辑三部分： 【知识点与学习目标】 【高考评析】 集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法． ◇学习指导 【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆． 【数学思想】1．等价转化的数学思想；2．求补集的思想； 3．分类思想；4．数形结合思想． 2 【解题规律】 1．如何解决与集合的运算有关的问题？ 1）对所给的集合进行尽可能的化简； 2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系； 3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素． 2．如何解决与简易逻辑有关的问题？ 1）力求寻找构成此复合命题的简单命题； 2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题． 引言 通过一个实际问题，目的是为了引出本章的内容。 1、分析这个问题，要用数学语言描述它，就是把它数学化，这就需要集合与逻辑的知识； 2、要解决问题，也需要集合与逻辑的知识． 在教学时，主要是把这个问题本身讲清楚，点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对．而要进一步认识、讨论这个问题，就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了． §1.1集合 〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求： (1)初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；(2)初步了解“属于”关系的意义； (3)初步了解有限集、无限集、空集的意义． 〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法；难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合． 〖教学过程〗 ☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子． 1、集合的概念： 在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”等此外，对于一元一次不等式2x一1＞3，所有大于2的实数都是它的解．我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集． 在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合． 一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．这句话，只是对集合概念的描述性说明．集合则是集合论中原始的、不定义的概念．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．例如，“我校篮球队的队员”组成一个集合；“太平洋、大西洋、印度集合与简易逻辑知识点归纳(1)
集合与逻辑用语练习题
集合与常用逻辑用语
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集合与常用逻辑用语重要知识点
高中数学知识点集合与逻辑用语知识点
知识点集合与常用逻辑用语
00 集合与逻辑用语(教师用)
集合与常用逻辑语句
集合与简易逻辑知识点
集合与常用逻辑用语(高三复习、教案设计)
集合与常用逻辑用语练习测试题.doc
必修一集合与简易逻辑知识点经典总结
第一章集合与简易逻辑(教案)