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2018年考研数学模拟试题(数学二)

2018年考研数学模拟试题（数学二）

一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）

1.设0x 是多项式4

()P x x ax bx cx d =++++的最小实根，则（）. （A ）0()0P x '≤（B ）0()0P x '<（C ）0()0P x '≥（D ）0()0P x '>. 2.设

1x a

→= 则函数()f x 在点x a =（）. （A ）取极大值（B ）取极小值（C ）可导（D ）不可导 3.设(,)f x y 连续，且满足(,)(,)f x y f x y -=，则

221

(,)x y f x y dxdy +≤=??

（）.

（A ）1

002(,)dx f x y dy ?

? （B ）1

2(,)dy f x y dx ??

（C ）

(,)dx f x y dy ??

（D ）1

2(,)dy f x y dx ??

4.微分方程22e x

y y x '''-=的特解*

y 形式为（）.

(A) *2()e x y ax b =+ (B) *2e x

y ax =

y ax bx =+

5. 设函数()f x 连续，则下列函数中，必为偶函数的是（）.

（A ）

()x f t dt ? （B ）20

()x

f t dt ?

（C ）

[()()]x t f t f t dt +-?

（D ）0

[()()]x

t f t f t dt --?

6. 设在全平面上有0)

y x f ，

0),(>??y y x f ，则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是（）

（A ）21x x >，21y y <. （B ）21x x <，21y y <. （C ）21x x >，21y y >.

（D ）21x x <，21y y >.

7.设A 和B 为实对称矩阵，且A 与B 相似，则下列结论中不正确的是（）.

(A)A E λ-与B E λ-相似 (B) A 与B 合同 (C) A E B E λλ-=- (D) A E B E λλ-=- 8. n m A A ?=，r A R =)(，b 为m 维列向量，则有（）. (A)当r m =时，方程组Ax b =有解 (B)当n r =时，方程组Ax b =有唯一解 (C)当n m =时，方程组Ax b =有唯一解 (D)当n r <时，方程组Ax b =有无穷多解

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上） 9. 1

0(1)e

lim x

x x x

→+-= .

10设f 有二阶连续偏导数，(,,)u f x xy xyz =，则2u

z y

?=?? .

11.设微分方程()y x y x y ?'=+的通解为ln x y Cx

=，则()x ?= .

12.数列中最大的项为 .

13.方程805201x

x t --=+?在区间(0,1)内的实根个数为 .

14.设n 阶矩阵A 的秩为2n -，123,,ααα是非齐次线性方程组Ax b =的三个线性无关的解，

则Ax b =的通解为 .

三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本题满分9分）求极限1

0)x

x →

16. （本题满分9分）设()f x 单调且具有一阶连续导数，(())z f x y ?=+满足

()

0z z y x y

???-=??，求可导函数()y ?.

17. （本题满分9分）

计算积分

131

1sin )dy y dx -?

18. （本题满分11分）

求微分方程2

()0(0)y a y a '''-=>满足初始条件00x y ==，01x y ='=-的特解.

19. （本题满分11分）

设()f x 和()g x 在区间(,)a b 可导，并设在(,)a b 内()()()0f x g x f x ''-≠，证明在(,)a b 内至多存在一点ξ，使得()0f ξ=. .

20. （本题满分11分）

设有抛物线Γ：2

y a bx =-，试确定常数,a b 的值，使得 ⑴Γ与直线1y x =+相切；

⑵Γ与x 轴所围图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积最大.

21.（本题满分11分）

v从原点沿y轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平一质量为m的物体以速度

k ），试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物方成正比（比例系数0

体上升的最大高度.

22. （本题满分11分）

设()()()()()T

12341,2,3,1,1,1,2,1,1,3,,3,3,5,7,1,0,1,1,a b ααααβ==-==-=. ⑴当,a b 满足什么条件时，β可由1234,,,αααα线性表示，且表示式唯一？

⑵当,a b 满足什么条件时，β可由1234,,,αααα线性表示，且表示式不唯一？并求出β的表示式.

23. （本题满分11分）

设,A P 为n 阶矩阵，P 可逆，且AP PA =，证明：

⑴若α是A 的特征向量，则P α也是A 的特征向量；

⑵若A 有n 个不同的特征值，α是A 的特征向量，则α也是P 的特征向量.