函数、导数——存在与恒成立问题(理科)

函数、导数——存在与恒成立问题（理科）

已知函数()()()2e e 2x f x ax a =---.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）当1x >时，()0f x >，求a 的取值范围.

已知函数()()()2ln ,f x a x g x x a ==∈R .

（1）令()()()h x f x g x =-，试讨论()h x 的单调性；

（2）若对[)()()2,e x x f x g x ?∈+∞≤，恒成立,求a 的取值范围.

二、(优质试题江西高三六校联一、（优质试题四川春季高三诊断性考试）

已知函数()1f x =1x =为函数()()ln g x x x c =-的极值点.

（1）证明：当1x >时，()22g x x x <-；

（2）对于任意12

m ≤，都存在()0,n ∈+∞，使得()()nf m g n n =+，求n m -的最小值.

三、(优质试题百校联盟高三3月联

【答案】（1）见解析；（2）[)1+∞，．

【解析】（1）()()2e x f x ax a =-+'，

当0a =时，()2e 0x f x '=-<，∴()f x 在R 上单调递减．

当0a >时，令()0f x '<，得2a x a -<，令()0f x '>，得2a x a

->， ∴()f x 的单调递减区间为2a a -??-∞ ???，，单调递增区间为2a a -??+∞ ???

，， 当0a <时，令()0f x '<，得2a x a ->，令()0f x '>，得2a x a

-<， ∴()f x 的单调递减区间为2a a -??+∞ ???，，单调递增区间为2a a -??-∞ ???

，． （2）当0a =时，()f x 在()1+∞，上单调递减，∴()()10f x f <=，不合题意． 当0a <时，()()()()222222e e 22e e 2e 2e 0f a a a =---=--+<，不合题意， 当1a ≥时，()()2e 0x f x ax a '=-+>，()f x 在()1+∞，上单调递增， ∴()()10f x f >=，故1a ≥满足题意．

当01a <<时，()f x 在21a a -?? ???，上单调递减，在2a a -??+∞ ???

，单调递增， ∴()()min 210a f x f f a -??=<= ???

，故01a <<不满足题意． 综上，a 的取值范围为[)1+∞，．

【答案】(1)当0a ≤时，()()0,h x +∞在单调递减，无增区间；当0a >时，二、(优质试题江西高三六校联一、（优质试题四川春季高三诊断性考试）

(

)0,2h x ?? ? ???在上单调递增

，2??+∞ ? ???

在上单调递减；(2)2

4e ln 2a ≤. 【解析】（1）由()()()2

ln h x f x g x a x x =-=-，得()2

2(0)a x h x x x '-=>， 当0a ≤时，()0h x '<恒成立，则()()0,h x +∞在单调递减；

当0a >时，(

)2x x h x x

?-+ ?

???'=， 令(

)()0,0,

,2h x x h x ?>∈ '??

得单调递增， 令()0h x '<

，得(),2x h x ??∈+∞ ? ???

单调递减， 综上：当0a ≤时，()()0,h x +∞在单调递减，无增区间；

当0a >时，(

)0,2h x ? ??在上单调递增

，2??+∞ ? ???

在上单调递减．

（2）由条件可知2ln e x a x x ≤对[)2,x ?∈+∞恒成立，

则当0a ≤时，2ln e x a x x ≤对[)2,x ?∈+∞恒成立，

当0a >时，由2ln e x

a x x ≤得2e 2ln x x a x x ≤≥（）. 令()()2e 2ln x x x x x ?=≥，则()()()2e 2ln 1ln x x x x x x ?+-????'=，

因为2x ≥，所以()0x ?'>，即()x ?在[)2,+∞上单调递增，

所以()()24e 2=ln2x ??≥，从而可知24e 0ln 2

a <≤． 综上所述，所求24e ln2

a ≤．

【答案】（1）见解析；（2）1． 三、(优质试题百校联盟高三3月联