数列1

(完整版)数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积

§1.1+++数列的概念

§1.1 数列的概念 宜黄县安石中学 万 杰 教学目标 1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项． 2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想． 3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性． 教学重难点 教学重点是数列的定义的归纳与认识； 教学难点是数列与函数的联系与区别． 教学过程 一．揭示课题 先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数 （板书） 象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列． （板书）第三章 数列 （一）数列的概念 二．讲解新课 要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数： ①各排钢管的数量:3,4,5,6,7,8,9 ②我国1998~2002年GDP 值(亿元):78345 82067 89442 95933 102389 ③五次人口普查的数量(百万):60193 72307 103188 116002 129533 ④正弦函数x y sin =的图像在y 轴左边所有最低点从右向左,它们的横坐标依次排成一 列数:2π- 2 5π- 29π- 213π- 217π- …… ⑤正整数 的倒数排成一列数：4 1,31,21,1...... ⑥某人2006年1~~12月工资,按月顺序排列为:1100 1100 1100 (1100) ⑦函数21x y =当 依次取n ,...,3,2,1(*∈N n )时得到一列数：21,...,91,41,1n 请学生观察7列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数． （板书）1．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列． 为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述七个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数． 由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．

函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为

《数列的概念与简单表示法》第一课时教学设计

《数列的概念与简单表示法》第一课时教学设计 一、教材与教学分析 1．数列在教材中的地位 根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)． 2．教学任务分析 (1)了解数列的概念 新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类． (2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系． 3．教学重点与难点 重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系 二、教学方法 小组合作、探究学习模式 通过对问题情境的分析讨论的方式，运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方法，引导学生探究数学归纳法。 三、学习过程设计 【问题情境】 1．国际象棋的传说（在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍）：每格棋盘上的麦粒数排成一列数； 2．古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数； 3．童谣：一只青蛙，一张嘴 ，两只眼睛，四条腿； 两只青蛙，两张嘴 ，四只眼睛，八条腿； 三只青蛙，三张嘴 ，六只眼睛，十二条腿； 4．中国体育代表团参加六届奥运会获得的金牌数依次排成一列数 。 教师：以上四个问题中的数蕴涵着哪四列数呢？ 学生： 1：23631,2,2,2, ,2 2一列数：23451111122222???????? ? ? ? ?????????，，，，， 3： 青蛙 嘴 眼睛 腿 1 1 2 4 2 2 4 8 3 3 6 12 4 4 8 16

数学竞赛用数列求和(1)

专题 数列求和在全国高中数学联赛中的应用 数列求和的过程中蕴含着丰富的数学思想方法，是高中数学竞赛的常见内容，同时也是研究数列性质的一个重要层面。常用的数列求和方法主要有：公式法、累加法、错位相减法、倒序相加法、通项展开分类求和法、裂项法、和利用数列周期性、递推关系求和法等。 一、 基础知识 1.常用的数列求和公式： (1)d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= (2)=n S ? ?? ??≠--=--=)1(11)1()1111q q q a a q q a q na n n （ (3))1(211+=∑ =n n k n k ；)12)(1(61 1 2++=∑ =n n n k n k ； 21 3 )]1(2 1 [+=∑=n n k n k 2.累加法：给出数列｛a n ｝的递推式和初始值（等差数列和等比数列有时可以看成是特殊的递推式），求数列通项时常用累加法，也叫叠加法。 3.错位相减法：主要用于求形如{n n b a ?}数列前n 项的和，其中｛a n ｝、｛b n ｝分别成等差数列和等比数列。等比数列的求和公式，当1≠q 时的情况： q q a S n n --=1)1(1就是通过错位相减法得到的。 4.倒序相加法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这样的数列可用倒序相加法求和。等差数列的求和公式：2 ) (1n n a a n S += 就是用倒序相加法推导出来的。 5.通项展开分类求和法：把数列的每一项都写成通项的形式，然后根据不同数列的特点进行分类求和。 例1. 已知数列｛a n ｝的通项公式是：)12)(1(++=n n n a n ，试求｛a n ｝ 的前n 项和n S 。 导析：很多学生会试图计算出 ,84,30,6321===a a a 以此找出规律，但这很难解决问题。因此需要对数列的通项展开进行分析。 把通项展开得：n n n a n ++==2332，故可把｛a n ｝分成三类分别求和。

《1.1 数列的概念》教学案2

《1.1 数列的概念》教学案2 学习目标： 了解数列的概念和数列几种常见表示方法(列表、图像、通项公式)并能根据一定条件求数列的通项公式。 学习重点：数列概念 学习难点：根据条件求数列的通项公式 学习过程： 一、课前准备：阅读P 3—4 二、新课导入： ①什么是数列数： ②数列项是： ③按项分类数列分为： 和 ④数列通项公式： 自主测评 1、判断下列是否有通项公式若有，写出其通项公式。 ①3，3，3，3…… ②2，4，6，8，10…… ③1，3，5，7，9…… ④0，1，0，1，0，1…… ⑤0，1，-2，4，-7，6，10，5，9…… 2、数列{}n a 中，22(3)2n a log n =+-，写出数列前五项，32 log 是这个数列 的第几项 探究：(1)是不是所有数列都有通项公式，能否举例说明 (2)若数列有通项公式，通项公式是不是唯一的，若不是能否举例说明 三、巩固应用 例1. P 5 试一试：P 6 T 1-2 例2. P 5 试一试：P 6 T 3 1、写出下列数列的一个通项公式 ①-2，-2，-2，-2…… ②7，77，777，7777…… ③0.7，0.77，0.777，0.7777…… ④3，5，9，17，33…… ⑤0，-1，0，1，0，-1，0，1…… ⑥1112,,,6323 ……

四、总结提升 1、探究新知： 2、数列通项公式n a 与函数有何联系 五、知识拓展 数列前几项和123n n S a a a a a n-1…+=++++ 且 1 1(1)() n n n a n a s s n -=?=? -?≥2 六、能力拓展 1、数列 210210210 1,1,1,1223(1) g g g n n +…………××中首次出现负值的项是第几项 ≥≤ 2、已知数例{}n a 的通项公式254n a n n =-+ (1)数列{}n a 中有多少项是负项？ (2)当n 为何值时，n a 有最小值，最小值是多少？ 3、已知数列{}n a 的前n 项和221n s n n =++，求数列{}n a 的通项公式？ 自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？ 作业：P 9 A ：T 4 T 6 B ：T 1

沪教版高三C专题(二轮复习-函数与数列3星)

专题：函数与数列★★★ 教学目标 1．理解并能知道数列是一个定义域在N *上的函数； 2．掌握好等差数列的相关函数性质． 知识梳理 5 min 1．数列的定义：数列可以看作以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值； 2．等差数列的通项公式：11(1)()n a a n d dn a d n N * =+-=+-∈，不难看出： 当0d =，则等差数列为一个常数列； 当0d ≠，则等差数列的通项公式可以看作是一个一次函数． 3．等差数列的前n 项和公式：2111()(1)()()2222 n n n a a n n d d S a n d n a n n N *+-= =+=+-∈． 当0d =，则等差数列前n 项和为一次函数（10a ≠）； 当0d ≠，则等差数列前n 项和为过原点的二次函数，开口方向由d 的符号决定． 典例精讲 33 min 例1．(★★)设数列{}n a 的通项公式是14 13--=n n a n ，则该数列中最最大的项是第__________项，最小 的项是第__________项． 解：131414131413 1141414 n n n a n n n --+--= ==+---， 由函数图象可知：最大的项是第4项，最小的项是第3项． 例2．(★★★)已知数列2 n a n kn =-为递增数列，则k 的取值范围是__________． 解：结合函数图象可知：对称轴3 (,)22 k n = ∈-∞，则3k <．

例3．(★★★)已知数列{}n a 满足1116,2n n a a a n +=-=，则n a n 的最小值为__________． 解：由题意得：2 16n a n n =-+，16 121617n a n n n ∴ =+-≥-=， 当且仅当16 n n = ，即4n =时等号成立． 课堂检测 1．(★★★)公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若11,51n a a ==，则n d +的最小值为__________． 解：150(1)1n a a n d d n =+-?= -，则5050 11250111 n d n n n n +=+=-++≥+--， 但n N * ∈ ，∴能成立，所以根据分析得：当115n d =?? =?或6 10n d =??=? 时，原式有最小值16． 2．(★★★)已知数列{}n a 的通项公式为9(1)( )10 n n a n =+，是否存在自然数m ，使对于一切n N *∈，n m a a ≤恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由． 解：本题只要求出数列n a 的最大值即可，所以根据119 8n n n n a a n a a n -+≥≤?????≥≥??， 所以8m =或9m =时满足题意． 3．(★★★)已知等差数列{}n a 中，120032004200320040,0,0a a a a a >+>?<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是__________． 解：由题意得：2003140054005200414007400720032004140064006000 00000 a a a S a a a S a a a a S >+>>?????? +>>???，所以4006n =． 4．(★★★★)已知函数121()(0),,4x f x m x x R m =>∈+，当121x x +=时，12 1 ()()2 f x f x +=． （1） 求()f x 的解析式； （2） 数列{}n a ，若1 21(0)()()( )()n n n a f f f f f n n n n -=+++++ ，求n a ； （3） 对任意的自然数n N * ∈，1 1 n n n n a a a a ++<恒成立，求正实数a 的取值范围． 解：（1）令1212x x == ，则有111222m m +=++，得2m =.1 ()42 x f x =+；

数列的定义

⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列 [补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) 3 2, 15 4, 35 6, 63 8, 99 10, ……； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……； 解：(1) n a ＝2n ＋1； (2) n a ＝ ) 12)(12(2+-n n n ； (3) n a ＝ 2 ) 1(1n -+； (4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……, ∴n a ＝n ＋ 2 ) 1(1n -+； 1、 通项公式法 如果数列{}n a 的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 例3 设数列{}n a 满足1111 1(1).n n a a n a -=? ? ?=+>?? 写出这个数列的前五项。 解：分析：题中已给出{}n a 的第1项即11=a ，递推公式：111-+ =n n a a 解：据题意可知：3 211,211,12 31 21= + ==+ ==a a a a a ，5 8,3 51153 4= = + =a a a 例4已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a ． 法一：21=a 2 2222=?=a 323222=?=a ，观察可得 n n a 2= 法二：由n n a a 21=+ ∴12-=n n a a 即 21 =-n n a a

数列求和公开课教案(1)

《数列求和复习》教学设计 开课时间：2016/12/22 开课人：洪来春一、学情分析： 学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节复习课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。 二、教法设计： 本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以具体题目为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。 在教学过程中采取如下方法： （1）诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性； （2）讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 三、教学设计： 1、教材的地位与作用： 对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。 2、教学重点、难点： 教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点复习分组求和与裂项法求和。 教学难点：解题过程中方法的正确选择。 3、教学目标： (1)知识与技能： 会根据通项公式选择求和的方法，并能运用分组求和与裂项法求数列的前n项。 (2)过程与方法： ①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力； ②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。

函数导数与数列结合题

1已知函数)0.()1ln()(2≤++=a ax x x f (1)若)(x f 在0=x 处取得极值，求ａ的值； (2)讨论)(x f 的单调性； (3)证明：e N n e n ,()311)...(8111)(911(*2∈<++ +为自然对数的底数） （本题满分14分） （1）()()的使x f x a x x x f 0,122=++=' 一个极值点，则 ()0,00=∴='a f ，验证知a=0符合条件…………………….3分 （2）()2221212x a x ax a x x x f +++=++=' 1）若a=0时， ()+∞∴,0)(在x f 单调递增，在()0,∞-单调递减； 2）若()恒成立，对时，得，当R x x f a a ∈≤'-≤? ??≤?<0100 R x f 在)(∴上单调递减…………………………………6分 3）若()020012 >++>'<<-a x ax x f a 得时，由 a a x a a 2 21111---<<-+-∴ 再令()可得,0<'x f a a x a a x 2 21111-+-<--->或 上单调递增，在)11,11()(2 2a a a a x f ----+-∴ 在上单调递减和),11()11,(2 2+∞----+--∞a a a a 综上所述，若),()(1+∞-∞-≤在时，x f a 上单调递减， 若时，01<<-a 上单调递增，在)11,11()(2 2a a a a x f ----+-

上单调递减和),11()11,(2 2+∞----+--∞a a a a 。 若()()分单调递减，单调递增，在在时，9..................0,0)(0∞-+∞=x f a (3)由（2）知，当()单调递减，在时，∞+∞--=)(1x f a 当()0)0()(,0=<+∞∈f x f x 时，由 分14.......................,.........)3 11)...(8111)(911(21311213 113113131......3131)3 11ln(......)8111ln()911()]311)...(8111)(911ln[()1ln(2122222e e x x n n n n n n =<+++∴

教学目标1理解数列概念

3.1.1数列 教学目标：1．理解数列概念，了解数列和函数之间的关系；2．了解数列的通项公式，并会用通项公 式写出数列的任意一项；3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式；4．提高观察、抽象的能力． 教学重点：1．理解数列概念；2．用通项公式写出数列的任意一项． 教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式． 教学方法：发现式教学法 教学过程： （1）复习回顾 在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义． 由学生齐声回答函数定义． 函数定义(板书)： 如果A 、B 都是非空擞 集，那么A 到B 的映射B A f →:就叫做A 到B 的函数，记作：)(x f y =，其中.,B y A x ∈∈ （Ⅱ）讲授新课 在学习第二章的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们来看一些例子。 观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义） 由学生归纳、总结上述例子共同特点：均是一列数；有一定次序 引出数列及有关定义 一、 定义： 1、数列：按一定次序排列的一列数叫做数列； 2、项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）。第2项，…，第n 项…。 如：上述例子均是数列，其中例①：“4”是这个数列的第1项（或首项）“9”是这个数列的第6项。 数列的一般形式：Λ Λ,,,,,3 21n a a a a ，或简记为 {}n a ，其中n a 是数列的第n 项 综合上述例子，理解数列及项定义 如：例②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31 ”是这个数列的第“3”项，等等。 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 51 41312 1 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5

4数列求和(1)

第四节数列求和 、基础知识 1. 公式法 (1)等差数列｛a n｝的前n项和S n = n?1]* = na j + 卑— 推导方法：倒序相加法. 严1, q = 1, ⑵等比数列｛a n｝的前n项和S n = a1(1-q n) q^ 1 L. 1 q 推导方法：乘公比，错位相减法. ⑶一些常见的数列的前n项和: ①1 + 2+ 3+…+ n =吨严 ②2+4+6+…+ 2n= n(n+ 1); ③ 1 + 3+5+…+ 2n— 1 = n2 2. 几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. ⑵裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得前n项和. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解. ⑷倒序相加法：如果一个数列｛a n｝与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.

考点一分组转化法求和 ［典例］ n 2 + n 已知数列｛ a n ｝的前n 项和S n = —2—，n € N . (1)求数列｛a n ｝的通项公式； ⑵设b n = 2a n + (— 1)n a n ，求数列｛b n ｝的前2n 项和. [解](1)当 n = 1 时，a 1= S 1= 1; 2 2 当 n >2 时，a n = S n -S n — 1= 又a 1= 1也满足a n = n ,故数列｛a *｝的通项公式为a n = n. ⑵由⑴知 a n = n , 故 b n = 2"+ ( — 1) n n. 记数列｛b n ｝的前2n 项和为T 2n , 则 T 2n = (21 + 2?+ …+ 22n )+ (— 1 + 2— 3 +4—…+ 2n). 记 A =:勺 + :2+ …+ 22n , B =— 1 + 2— 3 + 4—…+ 2n , 则 A =红1二幼 22n + 1 — 2, 1 — 2 B = (— 1 + 2) + (— 3 + 4) +…+ [ — (2n — 1) + 2n] = n. 故数列｛b n ｝的前2n 项和 ［解题技法］ 1.分组转化求和的通法 若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数 解析：选C T 2n = A + B = 22n + 1+ n — 2. 数列求和应从通项入手, 列或等比数列或可求数列的前 n 项和的数列求和. 2.分组转化法求和的常见类型 厂I 叫=也士*?，血｝, 为等差或竽 分组求和 ［题组训练］ 1. 已知数列｛a n ｝的通项公式是a n = 2n — g),则其前20项和为( ) 379 + 2^ B . 399 + 220 C . 419 + 尹 D . 439 + 220

三角函数与数列

三角函数与数列（高考题） 1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝. (1)证明：sin A sin B＝sin C；(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B. 2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c. (1)求C； (2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 3.在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac. (1)求∠B的大小； (2)求cos A＋cos C的最大值． 4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a sin 2B＝b sin A. (1)求B； (2)若cos A＝，求sin C的值．

5.设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值． 6.设f(x)＝sin x cos x－cos2. (1)求f(x)的单调区间； (2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值． 7.△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． (1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．

8.已知向量＝，＝(sinx，cos2x)，x∈R,设函数f(x)＝·. (1) 求f(x)的最小正周期. (2) 求f(x) 在上的最大值和最小值． 9.已知ΔABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量，， ． （1）若知数列{a n}的前n项和S n＝3n2＋8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n＋b n＋1. (1)求数列{b n}的通项公式； (2)令c n＝.求数列{c n}的前n项和T n. 11.设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N*. (1)求通项公式a n；(2)求数列{|a n－n－2|}的前n项和． 12.已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。 （Ⅰ）求，的值；

函数与数列综合复习

学员编号： 年 级：高二 课 时 数：2小时 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：曾老师 课程主题：函数与数列综合复习 授课时间：2019. 学习目标 1．函数综合复习 2．数列综合复习 3．推升学生解题经验和运算巧 教学内容 数列综合卷一 一、选择题 1. 已知等差数列{}n a 满足56=28a a +，则其前10项之和为 （ ） A . 140 B . 280 C . 168 D . 56 2. 由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是 A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为3d 的等差数列 D ．非等差数列 3. 等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为( ) A.130 B.170 C. 210 D. 260 4．已知数列 满足：10a > ，11 2n n a a +=，则数列是（ ）[ A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 不确定 5. 已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12，a 4+a 6=－4，则S 20为（ ） A ．－90 B ．－180 C ．90 D ． 180 6．设数列的前n 项和，则8a 的值为（ ） A . 15 B. 16 C. 49 D. 64 7. 已知等比数列满足，且，则当 时， （ ） {}n a {}n a {}n a 2n S n ={}n a 0,1,2,n a n >=L 25252(3)n n a a n -?=≥1 n ≥2123221log log log n a a a -+++=L

高中数列求和公式

数列求和的基本方法和技巧 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 自然数列 4、 )12)(1(611 2++==∑=n n n k S n k n 自然数平方组成的数列 [例1] 已知3log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 12log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64 341 ++＝50)8 (12+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.

数列的概念与表示(一)

数列的概念与表示导学案 一、基础知识 引例：按一定次序排列的一列数 （1）1，2，3，4，5 （2）1，51,41,31,21 （3）,1,1,1,1--…… （4）1，1，1，1，…… （5）1，3，5，4，2 （6）2的精确到1，0.1，0.01，0.001，……的不足近似值排列成一列数 1、概念：（1）数列： 注：①按一定次序排列 ②同一个数在数列中可重复出现 上例中能构成数列的是： 。（1）与（5）相同吗？ （2）项： （3）项的序号： 2、表示：数列的一般形式为： ，简化为 。 例：,41,31,21, 1…,1,n …简记为： 1，3，5，7，…12-n ，…简记为 注：}{n a 与n a 的区别： 3、数列与函数的关系： 4、数列的通项公式： 作用：①以序号代n 可求数列各项；②可验证某数是否是数列中的项 注：①通项公式有时不存在；②一个数列的通项公式形式可能不唯一。 5、递推公式： 6、分类： 二、例题解析 例1、根据}{n a 的通项公式，写出它的前5项。 （1）1+=n n a n （2）n a n n ?-=)1( 例2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数 （1）1，2，3，4； （2）1，3，5，7； （3）5 15,414,313,2122222----； 例3、已知：}{n a 中，11=a ，以后各项由111-+ =n n a a 给出，写出这个数列的前5项。

三、课后练习 1、根据}{n a 的通项公式，写出它的前5项： （1）1)1(5+-?=n n a （2）1 122++=n n a n 2、根据通项公式，写出它的第7项与第10项 （1）)2(+=n n a n （2）32+-=n n a 3、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数。 （1）1，2，3，4 （2）2，4，6，8 （3）161,81,41,21-- （4）5141.4131,3121,211---- 4、写出下面数列}{n a 的前5项 （1）)2(35 11≥+==-n a a a n n （2）)2(2211≥==-n a a a n n

2.1数列的定义(1)

学习日期：姓名：班级：小组： 学习主题： 2.1数列的概念与简单表示法(1) 学习目标：1．理解数列的概念、表示、分类． 2．理解数列的通项公式及其简单应用． 3．能根据数列的前几项写出一个通项公式． 学习流程及内容： 我的疑问一、学习目标一 1．数列 (1)定义：按照一定顺序排列的一列____叫做数列． (2)项：数列中的每一个数都叫做这个数列的____．数列中的每一项都和它的序号有 关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做______)，排在第二位的数称为这 个数列的第2项……排在第____位的数称为这个数列的第n项． (3)表示：数列的一般形式可以写成：a1，a2，…，a n，…，简记为______．a n表示数 列中的第n个数． 2．数列的分类 (1)按数列的项数是否有限，分为有穷数列和无穷数列． 项数______的数列叫做有穷数列；项数______的数列叫做无穷数列． (2)按数列的每一项随序号的变化趋势，分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数 列． 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项 都______它的前一项的数列叫做递减数列；各项______的数列叫做常数列；从第2项起， 有些项______它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列． 【做一做1】下列说法错误的是() A．数列4,7,3,4的首项是4 B．数列{a n}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列－1,0,1,2与数列0,1,2，－1不相同 D．数列中的项不能是三角形 【做一做2】数列5,4,3，m，…，是递减数列，则m的取值范围是__________． 我的发现与总结： 数列的特征：_________________________________________________________________。

数列与函数例题分析

第26课 数列与函数 ●考试目标 主词填空 1.函数的定义域常要推导或计算才能确定，而数列的定义域都是已知的，是事先确定的，要么是集合{1，2，3，…，n }.要么是{1，2，3，…，n ，…}. 2.函数的值域须依其定义域推算确定，数列的值域也是计算所得：且为{a 1，a 2，…，a n }或{a 1，a 2，a 3，…，a n ，…}. 3.函数的图像最常见的是连续不断的曲线(若是分段函数则在每一段上是连续不断的曲线)，而数列对应的点(n ，a n )描绘出来的图形是一些“孤零零的点”，不是线状图形. 4.函数的单调性考察，须在其定义域内任取x 1，x 2，不妨设x 110.故n ∈{11，12，13，…}. 【解后归纳】 考察数列{a n }的单调性，关键是看a n a n +1)成立与否. 【例2】 判断并证明函数f (x )=1+x -x (x ∈N *)的单调性. 【解前点津】 化函数f (x )为) 1(1 x x ++再比较f (x +1)与f (x )的大小. 【规范解答】 证明：f (x )= )1(1x x ++>0(x ∈N *),故)()1(x f x f +=121+++++x x x x <1，∴ f (x +1)