广州中考数学 反比例函数 综合题

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，点A在函数y= （x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y= 图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．

（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；

（2）试问：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．

（3）试说明：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．

【答案】（1）解：∵点C在y= 的图象上，且C点横坐标为1，

∴C（1，1），

∵AC∥y轴，AB∥x轴，

∴A点横坐标为1，

∵A点在函数y= （x＞0）图象上，

∴A（1，4），

∴B点纵坐标为4，

∵点B在y= 的图象上，

∴B点坐标为（，4）；

（2）解：设A（a，），则C（a，），B（，），

∴AB=a﹣ = a，AC= ﹣ = ，

∴S△ABC= AB?AC= × × = ，

即△ABC的面积不发生变化，其面积为；

（3）解：如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，

∵AB∥x轴，

∴△ABC∽△EFC，

∴ = ，即 = ，

∴EF= a，

由（2）可知BG= a，

∴BG=EF，

∵AE∥y轴，

∴∠BDG=∠FCE，

在△DBG和△CFE中

∴△DBG≌△CEF（AAS），

∴BD=EF．

【解析】【分析】（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y= 可求得B点坐标；（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．

2．如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣

2），与y轴交于点C．

（1）m=________，k1=________；

（2）当x的取值是________时，k1x+b＞；

（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP 与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE=3：1时，求点P的坐标．

【答案】（1）4；

（2）﹣8＜x＜0或x＞4

（3）解：由（1）知，y1= x+2与反比例函数y2= ，∴点C的坐标是（0，2），点A 的坐标是（4，4）．

∴CO=2，AD=OD=4．

∴S梯形ODAC= ?OD= ×4=12，

∵S四边形ODAC：S△ODE=3：1，

∴S△ODE= S梯形ODAC= ×12=4，

即OD?DE=4，

∴DE=2．

∴点E的坐标为（4，2）．

又点E在直线OP上，

∴直线OP的解析式是y= x，

∴直线OP与y2= 的图象在第一象限内的交点P的坐标为（4 ，2 ）．

【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数y2= 的图象过点B（﹣8，﹣2），∴k2=（﹣8）×（﹣2）=16，

即反比例函数解析式为y2= ，

将点A（4，m）代入y2= ，得：m=4，即点A（4，4），

将点A（4，4）、B（﹣8，﹣2）代入y1=k1x+b，

得：，

解得：，

∴一次函数解析式为y1= x+2，

故答案为：4，；（2）∵一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，4）和B（﹣8，﹣2），

∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣8＜x＜0或x＞4，

故答案为：﹣8＜x＜0或x＞4；

【分析】（1）由A与B为一次函数与反比例函数的交点，将B坐标代入反比例函数解析式中，求出k2的值，确定出反比例解析式，再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值；（2）由A与B 横坐标分别为4、﹣8，加上0，将x轴分为四个范围，由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可；（3）先求出四边形ODAC的面积，由S四边形ODAC：S△ODE=3：1得到△ODE的面积，继而求得点E的坐标，从而得出直线OP的解析式，结合反比例函数解析式即可得．

3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（﹣2，3）和点B（m，﹣2）．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）直线x=1上有一点P，反比例函数图象上有一点Q，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标．

【答案】（1）解：∵点A（﹣2，3）在反比例函数y= 的图形上，

∴k=﹣2×3=﹣6，

∴反比例函数的解析式为y=﹣，

∵点B在反比例函数y=﹣的图形上，

∴﹣2m=﹣6，

∴m=3，

∴B（3，﹣2），

∵点A，B在直线y=ax+b的图象上，

∴，

∴，

∴一次函数的解析式为y=﹣x+1

（2）解：∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，

∴AB=PQ，AB∥PQ，

设直线PQ的解析式为y=﹣x+c，

设点Q（n，﹣），

∴﹣ =﹣n+c，

∴c=n﹣，

∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣，

∴P（1，n﹣﹣1），

∴PQ2=（n﹣1）2+（n﹣﹣1+ ）2=2（n﹣1）2，

∵A（﹣2，3）．B（3，﹣2），

∴AB2=50，

∵AB=PQ，

∴50=2（n﹣1）2，

∴n=﹣4或6，

∴Q（﹣4. ）或（6，﹣1）

【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再用待定系数法求出直线解析式；（2）先判断出AB=PQ，AB∥PQ，设出点Q的坐标，进而得出点P的坐标，即可求出PQ，最后用PQ=AB建立方程即可得出结论．

4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2= （c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围；

（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：把B（3，2）代入得：k=6

∴反比例函数解析式为：

把C（﹣1，n）代入，得：

n=﹣6

∴C（﹣1，﹣6）

把B（3，2）、C（﹣1，﹣6）分别代入y1=ax+b，得：，解得：

所以一次函数解析式为y1=2x﹣4

（2）解：由图可知，当写出y1＞y2时x的取值范围是﹣1＜x＜0或者x＞3．

（3）解：y轴上存在点P，使△PAB为直角三角形

如图，

过B作BP1⊥y轴于P1，

∠B P1 A=0，△P1AB为直角三角形

此时，P1（0，2）

过B作BP2⊥AB交y轴于P2

∠P2BA=90，△P2AB为直角三角形

在Rt△P1AB中，

在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB

∴

∴P2（0，）

综上所述，P1（0，2）、P2（0，）．

【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用图象直接得出结论；（3）分三种情况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论．

5．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．

（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

（2）若某函数是反比例函数y= （k＞0），他的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；

（3）若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________，写出符合题意的其中一条抛物线解析式________，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数________．

【答案】（1）解：如图1，

当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，

∵OC=0D=1，

∴正方形ABCD的边长CD= ；∠OCD=∠ODC=45°，

当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，

设小正方形的边长为a，

易得CL=小正方形的边长=DK=LK，故3a=CD= ．

解得a= ，所以小正方形边长为，

∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为或

（2）解：如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，

易知△ADE≌△BAO≌△CBF

此时，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2﹣m，

∴OF=BF+OB=2，

∴C点坐标为（2﹣m，2），

∴2m=2（2﹣m），解得m=1．

反比例函数的解析式为y= ．

（3）（3，4）；y=﹣ x2+ ；偶数

【解析】【解答】解：（3）实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合

①当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点

为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；

②当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，

③当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在

④当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点

C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y= x2+ ；

⑤当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时，另一个顶点C

的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣；

⑥当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D

的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y= x2+ ；

∵由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，

∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．

【分析】解答此题时，要特别注意认真读题，分析题意，注意已知条件点A，B分别是x 轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点。

（1）一次函数y=x+1的图像与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，正确画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标，从而计算出正方形的边长；

（2）由于ABCD是正方形，添加辅助线，作DE，CF分别垂直于x、y轴，得到的等腰直角三角形都是全等的，再利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标，从而可以求解；

（3）抛物线的开口可能向上，也可能向下，当抛物线的开口向上时，正方形的另一个顶点也在抛物线上，这个点可能在（3，4）的左侧，也可能在（3，4）的右侧，因此过点（3，4）作x轴的垂线，利用全等三角形确定线段的长，即可求出抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也一样分两种情况来讨论；由抛物线的伴侣正方形的定义知一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，因此所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数。

6．平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1= （x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．

（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；

（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；

（3）作边长为2的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点，请说明理由．

【答案】（1）解：由题意知，点A（a，），B（b，﹣），

∵AB∥x轴，

∴，

∴a=﹣b；

∴AB=a﹣b=2a，

∴S△OAB= ?2a? =3

（2）解：由（1）知，点A（a，），B（b，﹣），

∴OA2=a2+（）2， OB2=b2+（﹣）2，

∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，

∴OA=OB，

∴OA2=OB2，

∴a2+（）2=b2+（﹣）2，

∴a2﹣b2=（）2﹣（）2，

∴（a+b）（a﹣b）=（ + ）（﹣）= ，

∵a＞0，b＜0，

∴ab＜0，a﹣b≠0，

∵a+b≠0，

∴1= ，

∴ab=3（舍）或ab=﹣3，

即：ab的值为﹣3；

（3）解：对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点．理由：如图，

∵a≥3，AC=2，

∴直线CD在y轴右侧且平行于y轴，

∴直线CD一定与函数y1= （x＞0）的图象有交点，

∵四边形ACDE是边长为2的正方形，且点D在点A（a，）的左上方，

∴C（a﹣2，），

∴D（a﹣2， +2），

设直线CD与函数y1= （x＞0）相交于点F，

∴F（a﹣2，），

∴FC= ﹣ = ，

∴2﹣FC=2﹣ = ，

∵a≥3，

∴a﹣2＞0，a﹣3≥0，

∴≥0，

∴2﹣FC≥0，

∴FC≤2，

∴点F在线段CD上，

即：对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y1= （x＞0）的图象都有交点．

【解析】【分析】（1）先判断出a=﹣b，即可得出AB=2a，再利用三角形的面积公式即可得出结论；（2）利用等腰三角形的两腰相等建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出

直线CD和函数y1= （x＞0）必有交点，根据点A的坐标确定出点C，F的坐标，进而得出FC，再判断FC与2的大小即可．

7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段，的长是一元二次方程的两根，，．

（1）直接写出点的坐标________点 C的坐标________；

（2）若反比例函数的图象经过点，求k的值；

（3）如图过点作轴于点；在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；

（2）解：如图，过点作，垂足为，

∵，

∴，

设，

∵ =12，

∴EC=12-x，

在RtΔBEC中，，

∴

整理得：，

解得：（不合题意舍去），，∴，，

∴，

把代入，得

（3）解：存在．

如图2，

若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，

则，即，

解得：OP=2或OP=6，

∴P（0，2）或P（0，6）；

如图3，

若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，

则，即，

解得：OP=12，

∴P（0，12）；

如图4，

若点P在OD上方，△BDP∽△AOP，

则，即，

解得：OP=4+2 或OP=4-2 （不合题意舍去），

∴P（0，4+2 ）；

如图5，

若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，

则，即，

解得：OP=-4+2 或-4-2 （不合题意舍去），

则P点坐标为（0，4-2 ）

故点的坐标为：或或或或

【解析】【解答】解：（1）解一元二次方程，

解得：，

所以，

所以，；

【分析】（1）首先利用直接开平方法求出方程的两根，从而得出OA=OC=6，进而得出A,C两点的坐标；

（2）如图，过点作，垂足为，根据等腰直角三角形的性质得出，设，EC=12-x，在RtΔBEC中利用勾股定理建立方程，求解并检验即可得出BE,OE 的长从而得出B点的坐标，然后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；

（3）存在．如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解即可得出P点的坐标；如图3，若点P在

OD上方，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出则根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；如图4，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，根

据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P 点的坐标；如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比

例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标，综上所述即可得出答案。

8．理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：

思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接

AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC= ．tanD=tan15°= = = ．

思路二利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）= ．假设

α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）= =

= ．

思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…

思路四…

请解决下列问题（上述思路仅供参考）．

（1）类比：求出tan75°的值；

（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；

（3）拓展：如图3，直线与双曲线交于A，B两点，与y轴交于点C，

将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）解：方法一：如图1，

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC= ．tan∠DAC=tan75°= = = = ；

方法二：tan75°=tan（45°+30°）= = = =

（2）解：如图2，

在Rt△ABC中，AB= = = ，sin∠BAC= ，即

∠BAC=30°．∵∠DAC=45°，∴∠DAB=45°+30°=75°．在Rt△ABD中，tan∠DAB= ，∴DB=AB?tan∠DAB= ?（）= ，∴DC=DB﹣BC= = ．

答：这座电视塔CD的高度为（）米

（3）解：①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3．过点C 作CD∥x轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F．

解方程组：，得：或，∴点A（4，1），点B（﹣2，﹣2）．对于，当x=0时，y=﹣1，则C（0，﹣1），OC=1，∴CF=4，AF=1﹣（﹣1）=2，∴tan∠ACF= ，∴tan∠PCE=tan（∠ACP+∠ACF）=tan

（45°+∠ACF）= = =3，即 =3．设点P的坐标为（a，b），则有：，

解得：或，∴点P的坐标为（﹣1，﹣4）或（，3）；

②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如图4．

由①可知∠ACP=45°，P（，3），则CP⊥CG．过点P作PH⊥y轴于H，则∠GOC=∠CHP=90°，∠GCO=90°﹣∠HCP=∠CPH，∴△GOC∽△CHP，∴．∵CH=3

﹣（﹣1）=4，PH= ，OC=1，∴，∴GO=3，G（﹣3，0）．设直线CG的解析式为，则有：，解得：，∴直线CG的解析式为

．联立：，消去y，得：，整理得：，∵△= ，∴方程没有实数根，∴点P 不存在．

综上所述：直线AB绕点C旋转45°后，能与双曲线相交，交点P的坐标为（﹣1，﹣4）或

（，3）．

【解析】【分析】tan∠DAC=tan75°，tan∠DAC用边的比值表示.在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB，由三角函数得出∠BAC=30°，从而得到∠DAB=75°，在Rt△ABD中，可求出DB，DC=DB﹣BC.分两种情况讨论，设点P的坐标为（a，b），根据tan∠PCE和P在图像上列出含有a，b的方程组，求出a，b.利用已知证明△GOC∽△CHP，根据相似三角形的性质可求出G的坐标，设出直线CG的解析式，与反比例函数组成方程组消元，△<0 点P不存在.

9．如图，已知矩形OABC中，OA=3，AB=4，双曲线y= （k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于D、E，且BD=2AD

（1）求k的值和点E的坐标；

（2）点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE=90°？若存在，求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：∵AB=4，BD=2AD，

∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，

∴AD= ，

又∵OA=3，

∴D（，3），

∵点D在双曲线y= 上，

∴k= ×3=4；

∵四边形OABC为矩形，

∴AB=OC=4，

∴点E的横坐标为4．

把x=4代入y= 中，得y=1，

∴E（4，1）；

（2）解：（2）假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4﹣m．

∵∠APE=90°，

∴∠APO+∠EPC=90°，

又∵∠APO+∠OAP=90°，

∴∠EPC=∠OAP，

又∵∠AOP=∠PCE=90°，

∴△AOP∽△PCE，

∴，

∴，

解得：m=1或m=3，

∴存在要求的点P，坐标为（1，0）或（3，0）．

【解析】【分析】（1）由矩形OABC中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值，继而求得点E的坐标；（2）首先假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4﹣m，由∠APE=90°，易证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标．

10．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B、与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．