例谈三角函数值域(最值)的几种求法
例谈三角函数值域(最值)的几种求法
南县一中 肖胜军
有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各类考试考察的热点之一，这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。掌握这类问题的解法，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。 一、合理转化，利用有界性求值域 例1、求下列函数的值域：
（1）1sin cos y x x =+ （2）cos 3
cos 3
x y x -=
+
（3）2
2
sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ （4）3sin()4cos()44
y x x π
π
=+
++解析：
（1）根据11sin cos sin 222x x x ≤
≤可知：13
22
y ≤≤ （2）将原函数的解析式化为：3(1)cos 1y x y +=
-，由cos 1x ≤可得：1
22
y -≤≤-
(3) 原函数解析式可化为：2
1sin 22cos 2sin 2cos 22)4
y x x x x x π
=++=++=++
可得：
22y ≤≤+
（4）根据sin cos )a x b x x φ?+=+∈?可得：55y -≤≤
二、单调性开路，定义回归
例2、求下列函数的值域：
（1）y =
（2）y =
（3）2cos ,63y x x x ππ??
??=+∈ ??
?????
（4）y
1sin 02x ≤≤≤解析：（1）由-1知：
1sin 1,cos1cos sin 1
2
2
x x π
π
≤-≤≤≤
≤≤≤≤（2）由-
有（）125sin()663366
x x x ππππππ
+≤≤≤+≤≤≤（3）y=2由知：由正弦函数的单调性：1y 2
[](4)0,2y ==
三、抓住结构特征，巧用均值不等式
2222min 9sin 4
30,()sin 0sin 0,4()9sin 12
sin 44
9sin sin ()12
sin 9
x x x f x x x
x x x f x x x x x x x x x f x x x ππ+<<=<<>=+≥====例、若求的最小值
解析：由得：根据均值不等式：
当即时， 例4、sin cos(),sin β
αβαββα=+已知其中、为锐角，求tan 的最大值
[][
]2
2
sin sin ()sin()cos cos()sin sin cos()sin()cos 2sin cos(),tan()2tan tan()tan tan 1tan tan ()1
1tan tan()12tan 42tan tan 112tan tan tan 2βαβααβααβαααβαβαααβαβααβαα
βαβαααβα
αα
ααα=+-=+-+=++=++=+-=+-=
==≤++++==解析：由即有于是：当即
时，有max tan 4
β=（）
四、易元变换，整体思想求解
5sin cos sin cos y x x x x =++例、求函数的值域
222
11)sin 2)12sin ()424241
sin ())442
sin()1
42y x x x x x x x ππππππ??=++=+--+??
??
=+++-
?=++-???
解法一：
max 1
sin()142
x y π+==当
时，2
22max 1sin cos ),sin cos 42
11
(1)122
1
,2
t x x t t x x x t y t t t y π
-?+==+∈=?-?∴=+=+-∈?==解法二：设，则，t 故当有
2222222
2
2
max sin ,cos ,sin cos 2,sin cos 1
sin cos 1,2221
sin cos sin cos 222,2221
22
x m n x m n x x m x x m n x m n m y x x x x m m n m m m m y =+=-+==-?+=+=∈-???
?∴=++=+-=+-∈-???
=
=+解法三、构造对偶式转化为某一变量的二次函数在闭区间内求最大值设则由，得故当
五、方程架桥，问题转化
()()[]
221sin 3sin 62sin sin (4)sin 320sin ,1
32011x x y x
x y x y t x t t y ++=++-+-==≤∴++-=-例：求函数的最大值、最小值。
解析：将问题转化为求一元二次方程在闭区间上有解的充要条件： 原函数解析式转化为： 令则t 在，上有解,故有：2(4)4411
2(1)0(1)0
y y f f ?=--≥--≤-≤-≥≥（3-2y ）0
或(1)(1)0f f -≤
8
03
y ≤≤解得：
六、运用模型、数形结合
22sin 82cos 4138303
x
y x
k k -=
-±=-+=??
例：求函数的值域。
解析：函数的值域可看作求过点P(2,2)的单位圆切线的斜率k 的最大、最小值设切线PA 的方程为：y-2=k(x-2)即：kx-y-2k+2=0 设原点到切线的距离d,则d=1 即：即解得：k=