高中数学竞赛解题方法篇
高中数学竞赛中不等式的解法
摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个着名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.
1．排序不等式 定理1
设1
212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有
1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)
1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和）
1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）
其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.
（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和
顺序积和.）
证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。
不等式
1212...n
r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当
121,2,...,n r r r n
===时，S 达到最大值
1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个
()k a k n <搭配时有
.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）
事实上， ()()()0n n n n n
k r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥
不等式（1-1）告诉我们当n
r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n
a 和n
b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122
...n n a b a b a b +++，这就证明了
1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.
再证不等式左端,
由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，
得
1211(...)n
n n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++
即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .
例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3
()
a b c a b c
a b c abc ++≥.
思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥ 根据排序不等式有：
lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++
lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++
有
3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++
即
lg lg 3
a b c a b c
a b c abc ++≥
故
3
()
a b c a b c
a b c abc ++≥ .
例2 设a,b,c R +
∈，求证：222222333
222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab
+++++≤
++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111
c b a
≥≥
根据排序不等式，有
222222111a b c a b c c a b a b c
++≥++ 222222111
a b c a b c b c a a b c
++≥++ 两式相加除以2，得
222222
222a b b c c a a b c c a b
+++++≤++
再考虑3
33a
b c ≥≥，并且
111
bc ca ab
≥≥
利用排序不等式，
333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc
++≥++
333333111
a b c a b c bc ca ab ab bc ac
++≥++
两式相加并除以2，即得
222222333
222a b b c c a a b c c a b bc ca ab
+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.
例3 设1
2120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列.
求证：
11
11
r s
n
n
n n
i j r s
r s r s a b a b r s
r s
====≥++∑∑∑∑
. （1-2） 思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.
证明：令
1
s n
j r s b d r s
==+∑
（r=1,2,...,n ）
显然
12...n d d d ≥≥≥ 因为
12...n b b b ≤≤≤ ， 且
111...(1)1
r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式
1
n
s
r s b d r s =≤+∑ 又因为
12...n a a a ≤≤≤
所以
11r n
n
r r i r r r a d a d ==≤∑∑且111
n
n
n
s
r r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）
故
11
1
1
1
r s
s
r
n n
n n
n
i j j ir
i r
r s r s r a b b a a d
r s r s =======++∑∑∑∑∑
11111n n n
n n
s r s r r r r r s r s b a b
a d a r s r s
=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故 原式得证.
2.均值不等式
定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.
其中，
121()111
...n
H n a a a =
+++，
()G n =，
12...()n
a a a A n n
+++=
，
()Q n =
分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明： 先证
()()G n A n ≤.
记
c =
i i a b c
=
，
则 原不等式12...n b b b n ?+++≥
其中
12121
...(...)1n n n
b b b a a a
c =
= 取
12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x x
b b b x x x --=
== 则 1
.n n x b x = 由排序不等式，易证
11
12
21
......n n n n x x x b b b n x x x -+++=
+++≥
下证
()()A n Q n ≤
因为 222
212121...[(...)n n a a a a a a n +++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-
2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]
2121
(...)n a a a n
≥
+++ 所以
12...n a a a n +++≤
从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.
下面证明
()()H n G n ≤ 对n 个正数
12111
,,...,n
a a a ，应用
()()G n H n ≤，得
12111
...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.
例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1
log ()log 28
x y a a a a +≤+
. 证明：由于
01a <<，0,0x y a a >>，
有
x y a a +≥=
从而
log ()log log 22
x y a a a x y
a a ++≤=+
下证 128x y +≤ ， 即 1
4
x y +≤。 又因为 2
111()244x y x x x +=-=--+≤，等号在x=12(这时y=14
)时取得
所以 1log ()log 28
x y
a a a a +≤+ .
例5（IMO ）设a,b,c 是正实数，且满足abc=1. 证明：111
(1)(1)(1)1a b c b c a
-+
-+-+≤
证明：令
,,y y z
a b c x z x
=
==，其中x,y,z 是正实数，将原不等式变形为 ()()()x y z y z x z x y xyz -+-+-+≤ （2-1）
记
,,u x y z v y z x w z x y =-+=-+=-+，
注意到u,v,w 任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数. 如果恰有一个负数，那么0uvw xyz ≤<
，
（2-1）式成立. 如果这三个数都大于0，由算术—几何平均不等式
1
()2
x y z y z x x -++-+=
y ≤
z ≤ 于是
xyz ≤
即 uvw xyz ≤，
（2-1）式得证.
例6 已知12,,...,0n a a a >，且12...1n a a a +++=.
求证：
1223131211...1...1 (21)
n n n n a a a n
a a a a a a a a a n -++≥++++++++++++-.
思路分析：左边各项形式较复杂，首先将其化简为112
(1)22n
n
i i i i i
a a a ===---∑∑. 左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平均难以求证，而左边各项
2
2i
a -可看为倒
数形式，尝试用调和平均. 证明：不等式左边化为
112
(1)22n
n
i i i i i a a a ===---∑∑， 对
12222
,, (222)
a a a ---，利用
()()A n H n ≥有
11
1222n i
n
i i i
i a n a n a ==≥--∑∑
即
222
1
1
221122122n
i
n
i i i a n n n n n n a ==-≥==
--
-∑∑ 所以
2
111222(1)22221n
n n
i i i i i i i a a n n n a a n ===-=-=-≥----∑∑∑21n n =- .
3．柯西不等式
柯西不等式的推广 命题1
若级数∑∑==n
i i n
i i b a 12
12
与收敛，则有不等式∑∑∑===≤??
? ??n
i i n i i n i i i b a b a 12
122
1。
证明：∑∑==n
i i n i i b a 12
12,Θ收敛，??
? ????? ??≤??? ??≤∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 12122
10
i n
i i b a ∑=∴1
收敛，且∑∑∑=∞
→=∞→=∞→≤??? ??n
i i
n n i i n n i i i n b a b a 12
122
1lim lim lim
从而有不等式∑∑∑===≤??
? ??n
i i n i i n i i i b a b a 12
122
1成立。
命题2[3]
若级数∑∑==n
i i n
i i b a 12
12
与收敛，且对N n ∈?有∑∑∑===≤??
? ??n
i i n i i n i i i b a b a 12
122
1，则对定义在[]b a ,上的任意连续函
数
()()x g x f ,有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f b
a b a
b a ???≤??
? ??222
证明：因为函数
()()x g x f ,在区间[]b a ,上连续，所以函数()()()()x g x f x g x f 22、、与在[]b a ,上可积，将
[]b a ,区间n 等分，取每个小区间的左端点为i ξ，由定积分的定义得：
()()()()()()()()x
g dx x g x f dx x f x
g dx x g x f dx x f i n
i n b
a
i n
i n b
a
n
i i
n b
a
n
i i
n b
a
?=?=?=?=∑?∑?
∑?∑?=∞
→=∞
→=∞
→=∞
→ξξξξ1
221
221
1
lim ,lim lim ,lim
令()()12
21
12
2
1
,ξξg b f a
==，则∑∑==n
i i
n i i b a 1
2
1
2
与收敛，由柯西不等式得
()()()()()()()()??? ?????? ???≤??? ?????
? ?????? ???≤??? ???∑∑∑∑∑∑=∞→=∞→=∞→===n i i n n i i n n i i i n n i i n i i n i i i x g x f x g f x g x f x g f 1212
2
112122
1lim lim lim ,ξξξξξξξξ从而有不等式
()()()()dx x g dx x f dx x g x f b
a b a
b a ???≤??
? ??222
。 赫尔德不等式[4]
例7设
12
,,...,
n
x x x R+
∈，求证：
22
22
1
12
12
231
......
n n
n
n
x x
x x
x x x
x x x x
-
++++≥+++.思路分析：注意到式子中的倒数关系，考虑运用柯西不等式来证明.
证明：因为
12
,,...,
n
x x x>0，故由柯西不等式，得
22
22
1
12
231
231
2
2
231
(...)(...)
...
(...)
n n
n
n
n
x x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
-
++++++++
≥++
=++++
所以
22
22
1
12
12
231
......
n n
n
n
x x
x x
x x x
x x x x
-
++++≥+++.
例8 已知实数,,,a b c d ，e 满足222228,16a b c d e a b c d e ++++=++++=，求e 的取值范围.
思路分析：由2
2222a
b c d e ++++联想到应用柯西不等式.
解：因为
222222224()(1111)()a b c d a b c d +++=++++++
2
(),a b c d ≥+++
即
224(16)(8)e e -≥-，
2
26446416e e e -≥-+
即
25160e e -≤，所以
(516)0e e -≤，
故
605
e ≤≤
. 评述：此题十分巧妙地应用柯西不等式求最值，十分典型，它是将重要不等式应用于求最值问题的一道重要题目.
例9
123,,x x x R +∈满足222
1231x x x ++=，求
312
222
123
111x x x x x x ++---的最小值.
解
：容易猜到123x x x ===
312222
123
111x x x x x x ++---
为了证明这一点，利用柯西不等式，得
3
33
32
22111.(1)11i i
i i i i i i x x x x x ===-≥=-∑∑∑， 只需要证明
3
321
(1)i i i x x =-≤
∑
等价于
3
3
5
31
1
i i i i x x ==+≥∑∑ （3-1）
由几何—算术平均不等式，得
25311x x +≥=， 同理可证，
25322x x +≥=，
2
53
33
x x
+≥=，
以上三式相加，（3-1）式得证，进而证得
3
12
222
123
111
x
x x
x x x
++
---
的最小值是
2
，当且仅当
123
x x x
===
评述：柯西不等式中的
i i
a b
∑的项i i a b如何拆成两个因式i a和i b
的积，可以说是应用此不等式的主要技巧（上例
3
32
1
(1)
i i
i
x x
=
-≤
∑，我们将32
1
i
i
x
=
∑中的2i x
表示为
的积），正因为i i
a b可以按照我们的需要加以分解，柯西不等式的应用更为广泛.
例10试问：当且仅当实数
01
,,...,(2)
n
x x x n≥满足什么条件是，存在实数
01
,,...,
n
y y y使得
2222
012
...
n
z z z z
=+++成立，其中
k k k
z x iy
=+，i为虚数单位，k=0,1,…,n. 证明你的结论.（高中联赛，1997）
思路分析：将2222
012
...
n
z z z z
=+++成立转换到实数范围内求解。根据表达式的特点，结合柯西不等式寻找
(1,2,...,)
i
x i n
=的范围.
解：将2222
012
...
n
z z z z
=+++转化到实数范围内，即
2222
00
11
00
1
,
n n
k k
k k
n
k k
k
x x y y
x y x y
==
=
?
-=-
??
?
?=
??
∑∑
∑
（3-2）
若存在实数
01
,,...,
n
y y y使（3-2）成立，则222
00
1
()
n
k k
k
x y x y
=
=∑.
由柯西不等式可得2222
00
11
()()
n n
k k
k k
x y x y
==
≤∑∑（3-3）
如果22
1
n
k
k
x x
=
>∑，由（3-2）可知22
1
n
k
k
y y
=
>∑，从而
2222
00
11
()()
n n
k k
k k
x y x y
==
>∑∑与（3-3）矛盾
于是得
220
1
n
k k x x =≤∑ （3-4）
反之若（3-4）成立，有两种情况：
⑴220
1n
k k x
x ==∑，则取k k y x =，k=0,1,2,…,n ，显然（3-2）成立.
⑵220
1
n
k
k x
x
=<∑，记2
22
01
0n
k k a
x x ==->∑，则1,...,n x x 不全为0. 不妨设0n
x ≠，
取
0,0,1,2,...,2k y k n ==-，并且取
1n n y y -=
=
易知（3-2）成立.
综上，所求的条件为
220
1
n
k k x x =≤∑.
4．切比雪夫不等式 定理4 设
12,,...,n
x x x ，
12,,...,n
y y y 为任意两组实数，若
12...n
x x x ≤≤≤且
12...n
y y y ≤≤≤或
12...n x x x ≥≥≥且12...n y y y ≥≥≥，则
11
1111()()n n n
i i i i i i i x y x y n n n ===≥∑∑∑ （4-1） 若12...n x x x ≤≤≤且12...n y y y ≥≥≥或12...n x x x ≥≥≥且12...n y y y ≤≤≤，则
111
111()()n n n
i i i i i i i x y x y n n n ===≤∑∑∑ （4-2） 当且仅当12...n x x x ===或12...n y y y ===时，（4-1）和（4-2）中的不等式成立.
证明： 设1212,,...,,,,...,n n x x x y y y 为两个有相同次序的序列，由排序不等式有
11221122......n n n n x y x y x y x y x y x y +++=+++ 112212231......n n n x y x y x y x y x y x y +++≥+++ 1122
13242......n n n x y x y x y x y x y x y +++≥+++
…………
11221211......n n n n n x y x y x y x y x y x y -+++≥+++
把上述n 个式子相加，得
1
1
1
()()n n n
i i i i i i i n x y x y ===≥∑∑∑
上式两边同除以2
n ，得
11
1111()()n n n
i i i i i i i x y x y n n n ===≥∑∑∑ 等号当且仅当1
2...n x x x ===或12...n y y y ===时成立.
例 10 设0(1,2,...,)i a i n >=，
求证：121
21
(...)1
2
12...(...)
n n a a a a a a n
n
n a
a a a a a +++≥
证明：不妨令 12...0n a a a ≥≥≥>，则
12lg lg ...lg n a a a ≥≥≥
由切比雪夫不等式，有
11221212lg lg ...lg 1
(...)(lg lg ...lg )n n
n n a a a a a a a a a a a a n
+++≥
++++++ 即
12121
(...)12
12lg(...)lg(...)
n n a a a a a a n
n
n a
a a a a +++≥
从而证得 12121
(...)12
12...(...)
n n a a a a a a n
n
n a a a a a a +++≥.
例11 已知1
211...0,...0n n n a a a b b b -≥≥≥>≥≥≥>.
求证：
111
n
i
n
i i n
i i
i
i a b n a b
===≥∑∑∑.
证明：取,i i i i x a y b ==，则由2211...0,...0n n n a a a b b b -≥≥≥>≥≥≥>，
可知i x ，i b 满足切比雪夫不等式的条件，故
11111111
()()n n n i
i i i i i i
a a n
b n n b ===≥∑∑∑ 又由均值不等式，正数12,,...,n b b b 的调和平均数不大于它们的算术平均数，
即
1
11n
i
i n
i i
b
n n
b ==≤
∑∑.
其中等号仅在12...n b b b ===时成立.
这样就有
111
1n
i
n i i n i i
i
i a
b n a b
===≥∑∑∑，
即
111
n
i
n
i i n
i i
i
i a b n a b
===≥∑∑∑， 而且等号仅在1
2...n b b b ===时成立.
高中数学课外活动计划
高中数学课外活动计划 篇一：高一数学兴趣小组活动计划 高一数学兴趣小组活动计划 为了培养学生学习数学的兴趣，丰富学生知识，提高学生学习数学的能力，提高学生实际能力，创设新环境。巩固加深第一课堂的知识，培养各班对数学有兴趣的学生分析问题，解决问题的能力，提高实践应用能力，开阔学生的视野，尽可能照顾学生的知识水平，形成灵活多样的活动方式，充分调动他们的积极性，争取成绩拔尖，促进优秀率的提高，同时准备参加“希望杯”数学竞赛，决定成立高一数学兴趣小组。 具体活动计划如下： 一、活动宗旨：以课堂教学为基础，创设新环境，巩固加深第一课 堂的知识，提高实践应用能力，开阔学生的视野，开发学生的智力。 二、活动目的要求：激发学生学习数学的兴趣，积极性，巩固加深课堂基础知识，锻炼培养学生分析问题，解决问题的能力，最终能正确应用所学知识，真正体现新课程标准的培养学生的应用能力，发展逻辑思维能力。 三．活动规模：一个班，人数50-60人。
四．辅导教师工作：备课组统一确定教学内容。辅导教师提前编制学案，认真备好课，及时上好辅导课。 五．活动具体安排如下： 活动时间：每周六早上7:30-9:30 活动地点：化学实验室 六、兴趣小组学生名单 一班（9人）：1号陈伟鸿 2号廖文伟3号王国祥13号沈海洋 15号李良培 16号胡安志 20号陈茵茵 24号王炳文 29号李志滨 二班（7人）：1号陈建彬 24号王志刚 47号黄世腾 三班（9人）： 2号黄燕美 13号林通星 21号王水龙 四班（8人）：8号苏桂鑫 18号赵君屹 38号翁继超 五班（3人）：9号林金阳 六班（3人）：15号李兆伟 七班（3人）：10号孙长宁 16号黄泽辉 17号徐春晓 33号陈洪祥 37号许鑫钰 3号苏艺扬 4号林伟鹏
高中数学竞赛校本课程
高中数学竞赛校本课程 一、课程目标 数学是研究空间形式和数量关系的学科，也是研究模式与秩序的一门学科。数学本身的特点决定了它作为科学基础的地位，中学数学的内容与其中蕴含的数学思想方法，尤其是通过数学学习培养的思考问题、解决问题的数学能力将在更深一层次的科学研究中大有作为。 1、夯实学生数学基础，使学生熟练掌握各种数学基本技能；全面提高学生演绎推理、直觉猜想、归纳抽象、体系构建、算法设计等诸多方面的能力，并在此基础上培养学生学习新的数学知识的能力，数学地提出、分析、解决问题的能力，数学表达与交流的能力；发展学生数学应用意识与数学创新意识。 2、努力扩展学生的数学视野，全面渗透研究性学习，激发学生学习数学的兴趣，使学生能欣赏数学的美学魅力，认识数学的价值，崇尚数学的思考，培养从事科学研究的精神与方法。 3、多角度衔接高等教育，大胆引入现代数学基本理念，为学生继续从事高深科学领域的学习奠定所必需的数学基础。 二、课程设计理念与课程内容特色 本课程始终围绕学生群体设计，从他们的学习与发展的实际学情为基本出发点。课程的内容的选择是严格的，它具有鲜明的针对性，能体现数学教学的特点。本课程设计向要突现以下几点： 1、注重发展学生的数学综合能力 “学以致用”，数学知识的学习必须进入运用的层次，接受实践的考验。20世纪下半叶以来，数学的最大发展是应用，这也对数学教学产生了深刻的影响。本课程在数学知识的理论应用与实践运用上大大加强，数学的融会贯通与“数学建模”成为主体；加强了数学各分支间的结合，以重要的数学思想方法来贯穿数学学习。 2、重视数学思想与数学方法养成的创新学习理念 传授数学知识不是数学教学的重点，‘授人以鱼，不若授之以渔’。引导学生掌握解决问题的科学的数学思想与数学方法是本课程的核心。课程不完全以知识系统为主线，很多例题与练习是为了凸现其中的蕴含的数学思想方法而设计。本课程试图通过数学思想方法的养成为学生形成正确的，积极主动的学习方式创造有利条件，为学生提供“提出问题，探索研究，实践应用”的空间，帮助学生形成独立思考、自主钻研的习惯，培养学生的自主能力，提高理性的数学思维，养成勇于创新的科学理念。 3、拓展数学视野，形成开放体系，努力增强时代感 由于本课程的学习对象为具备教好的数学基础与学习能力的学生，因此在内容上必须有一定的深度与广度，要能够印发学生的思考，要有新的知识内容与视角，传统的 数学课程内容长期以来已经模式化，可选择性不强，本课程大胆突破高考限制，引入“向量几何”、“矩阵理论”、“概率统计”、“线性规划”、“微积分初步”等现代数学内容，摆脱以往数学课程内容的被动与滞后，是本课程力图突破的一点。此外，本课程通过每个章节设置的“本章阅读”介绍著名数学家、数学趣题、数学发展史以及最新数学进展来拓展学生的视野，提高学习数学兴趣。 三、课程内容与数学计划 高一上学期 第一章.集合与命题 第二章.函数 第三章.不等式 第四章.三角函数
历年全国高中数学联赛试题及答案
历年全国高中数学联赛试题及答案 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题。 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效,考试时不 能使用计算器。 参考公式：二次函数图象的顶点坐标是。 温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1．2的相反数是（▲） A．-2 B．2 C．- D． 2．下列计算正确的是（▲）A．Ｂ．9 =3 Ｃ．3-1= -3 Ｄ．2 +3= 5 3．据交通运输部统计，2013年春运期间，全国道路、水路、民航、铁路运送旅客总量超过了3400000000人次，该数用科学记数法可表示为（▲） A．B．C． D． 4．如图是由个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（▲） 5．使分式无意义的的值是（▲） A. B. C. D. 6．如图，已知,若, ，则等于（▲） A．B．C．D． 7．市委、市政府打算在2015年底前，完成国家森林城市创建．这是小明随机抽取我市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表： 小区绿化率（%） 20 25 30 32 小区个数 2 4 3 1 则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（▲） A．中位数是25% B．众数是25% C．极差是13% D．平均数是26．2% 8．将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（▲） A．R＝8r B．R＝6r C．R＝4r D．R＝2r 9．甲、乙两车分别从相距的两地同时出发，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，则下列结论不正确的是( ▲) A．甲车的平均速度为； B．乙车行驶小时到达地,稍作停留后返回地； C．经小时后,两车在途中相遇； D．乙车返回地的平均速度比去地的平均速度小。 10．如图，为等边三角形，点的坐标为，过点作直线交于点，交于，点在反比例函数＜的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积相等，则值为（▲）A．B．C．D． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11．分解因式：= ▲。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个黄球，从中随机摸出一个
2018全国高中数学联赛试题
2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α
高一优秀数学教学计划
高一优秀数学教学计划 一、基本情况分析 任教153班与154班两个班，其中153班是文化班有男生51人，女生22人;154班是美术班有男生23人，女生21人，并且有音乐生8人。两个班基础差，学习数学的兴趣都不高。 二、指导思想 准确把握《教学大纲》和《考试大纲》的各项基本要求，立足于基础知识和基本技能的教学，注重渗透数学思想和方法。针对学生实际，不断研究数学教学，改进教法，指导学法，奠定立足社会所需要的必备的基础知识、基本技能和基本能力，着力于培养学生的创新精神，运用数学的意识和能力，奠定他们终身学习的基础。 三、教学建议 1、深入钻研教材。以教材为核心，深入研究教材中章节知识的内外结构，熟练把握 知识的逻辑体系，细致领悟教材改革的精髓，逐步明确教材对教学形式、内容和教学目标的’影响。 2、准确把握新大纲。新大纲修改了部分内容的教学要求层次，准确把握新大纲对知 识点的基本要求，防止自觉不自觉地对教材加深加宽。同时，在整体上，要重视数学应用;重视数学思想方法的渗透。如增加阅读材料开阔学生的视野，以拓宽知识的广度来求得知识的深度。 3、树立以学生为主体的教育观念。学生的发展是课程实施的出发点和归宿，教师必 须面向全体学生因材施教，以学生为主体，构建新的认识体系，营造有利于学生学习的氛围。 4、发挥教材的多种教学功能。用好章头图，激发学生的学习兴趣;发挥阅读材料的功能，培养学生用数学的意识;组织好研究性课题的教学，让学生感受社会生活之所需;小结和复习是培养学生自学的好材料。 5、加强课堂教学研究，科学设计教学方法。根据教材的内容和特征，实行启发式和 讨论式教学。发扬教学民主，师生双方密切合作，交流互动，让学生感受、理解知识的产生和发展的过程。教研组要根据教材各章节的重难点制定教学专题，每人每学期指定一个专题，安排一至二次教研课。年级备课组每周举行一至二次教研活动，积累教学经验。 6、落实课外活动的内容。组织和加强数学兴趣小组的活动内容，加强对高层次学生 的竞赛辅导，培养拔尖人才。
概率统计-历届全国高中数学联赛真题专题分类汇编
概率统计 1、（2009一试8）某车站每天8 00~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 一旅客820∶【答案】27 【解析】旅客候车的分布列为 候车时间的数学期望为10305070902723361218 ?+?+?+?+?= 2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】 12 17 3、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示） 【答案】 61 243 【解析】用k P 表示第k 周用 A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为 1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k P ? ?-???? 是首项为34，公
比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-，即1311()434k k P -=-+，故761243 P = 4、（2014一试8）设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以 2 1 的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】 3 4 2221219B C D -?-=点相连，且与，中至少一点相连，这样的情况数为（）（） 22(3)AB AD DB 无边，也无CD 边，此时AC,CB 相连有2种情况，，相连也有2种情况， ,,,,AC CB AD DB A B 但是其中均相连的情况被重复了一次，故可用折线连接的情况数为 222+2-1=7. 483++==.644以上三类情况数的总和为329748，故A,B 可用折线连接的概率为 5、（2015一试5）在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 【答案】 2 55 【解析】设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有3 12C =220种. 下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH. 由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为82 22055 =.
全国高中数学联赛试题及答案教程文件
2009年全国高中数学联赛试题及答案
全国高中数学联赛 全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题. 一 试 一、填空（每小题7分，共56分） 1． 若函数( )f x = ()()()n n f x f f f f x ??=??????，则() ()991f = ． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横 坐标范围为 ． 3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ?? ??-? ≥≤≤，N 是随t 变化的区 域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ． 4． 使不等式 1111 200712 213 a n n n +++ <-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ． 5． 椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积 OP OQ ?的最小值为 ． 6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩 上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时
高中数学复习提升-2015--2016年东校区高二年级数学竞赛辅导计划
丰城九中2015-2016学年第二学期高二年级数学竞赛辅导计划 高二数学组钟海荣 为做好2016年全国数学联赛备考工作，并以此为契机，培养我校学生数学学习的积极性，进一步提高我校的办学品位，特举办本届高中数学联赛辅导班。 一、指导思想： 以科学发展观、新课程理论为指导；以提高学生学习数学、应用数学的兴趣，提高学生的数学素养为宗旨；坚持以生为本、有利于学生的终生发展的原则，立足实际、因材施教，开展数学竞赛辅导班工作。 二、目标要求 1、培养学生良好的思维品质，渗透一些常用的数学思想方法、加深对数学本质的认识，提高学生的探究知识及运用数学知识和数学思想方法分析、解决问题的能力。 2、注意培养学生的应用意识、创新意识、协作意识，培养学生良好的科学态度。让学生感受数学文化的博大精深和数学方法的巨大创造力，感受数学的魅力，增强对数学的向往感；从而激发学生学习数学的热情。 3、结合竞赛课程，对学生进行数学思维和解题技能训练，力争在2016年高中数学联赛中至少有30人取得复赛资格，并在本市同层次学校中竞赛成绩靠前，为学校争光。 三、实施计划： 1、依据全国数学联赛考试大纲，结合近几年数学联赛试题特点，根据教学进度和学生认知结构特点，精心选择、合理安排教学内容，循序渐进，逐步提高。 2、精心准备，讲究实效。认真编写讲义（或教案），生。认真上好每一节辅导课，使学生真正学有所得。 3、以集体讲解与学生自主学习和小组合作学习相结合的学习形式组织学习，充分调动学生学习的积极性，保障学生的主体地位。 4、精编课后巩固练习与强化，及时检查、及时批改、及时反馈，确保质量。 5、由高二参加数学竞赛辅导的34人组成辅导班，制定辅导班班规，严格考勤制度。 四、辅导内容： 在高二的基础上，结合正常的教学内容，对现学内容在广度和深度上进行挖掘拓展、对竞赛内容进行适当补充，以便对学有余力的学生进行思维拓展训练；内容难度以略高于高考为标准，具体辅导内容安排见附表1，大致安排如下： 1．强化平面几何知识讲解 2．以套卷讲解为主，结合《全国高中数学联赛（38套）》进行上课辅导。 五、活动时间： 1.每周一下午第三节课及课外活动时间(3:50---5:20) 2.每周五晚自习时间(7:00—9:30) 六、辅导老师：钟海荣吴闯明 七、辅导地点：高一（41 ）班教室 注：1、若有特殊情况须作临时调整，则另行通知。 2、本计划有不周之处或未尽事宜，将在执行过程中进行不断完善。 3、附表1：近期辅导课程安排；附表2：辅导记录表。 2016年2月23 日
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总汇总
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试 类似九点圆 如图，在锐角?ABC 中，AB 2011年高中数学竞赛辅导计划 为搞好2011年全国数学（安徽赛区）联赛备考工作，并以此为契机，培养我校学生数学学习的积极性，进一步提高我校的办学品位，特举办本届高中数学联赛辅导班。 一、指导思想： 以科学发展观、新课程理论为指导；以提高学生学习数学、应用数学的兴趣，提高学生的数学素养为宗旨；坚持以生为本、有利于学生的终生发展的原则，立足实际、因材施教，开展数学竞赛辅导班工作。 二、目标要求 1、适当拓宽学生数学知识视野，注重渗透一些常用的数学思想方法、加深对数学本质的认识。 2、注重培养学生良好的思维品质，提高学生的探究知识及运用数学知识和数学思想方法分析、解决问题的能力。 3、注意培养学生的应用意识、创新意识、协作意识，培养学生良好的科学态度。 4、使学生在探究知识，解决问题的过程中，感受数学文化的博大精深和数学方法的巨大创造力，感受数学的魅力，增强对数学的向往感；从而激发学生学习数学的热情。培养学生不畏困难、敢于攀登科学高峰的勇气。 5、力争在2011年高中数学联赛中至少有两人次取得省级三等以上的奖项，在本市同层次学校中名列前茅，为学校争光。 三、管理措施： 1、依据全国数学联赛考试大纲，结合近几年数学联赛试题特点，根据教学进度和学生认知结构特点，精心选择、合理安排教学内容，循序渐进，逐步提高。 2、精心准备，讲究实效。认真编写讲义（或教案），上课前一周将讲义制好并分发给学生。认真上好每一节辅导课，使学生真正学有所得。 3、以集体讲解与学生自主学习和小组合作学习相结合的学习形式组织学习，充分调动学生学习的积极性，保障学生的主体地位。 4、精编课后巩固练习与强化，及时检查、及时批改、及时反馈，确保质量。 5、制定辅导班班规，严格考勤制度。 6、争取学校有关领导、班主任及数学教师的支持，确保后勤保障。 五、学生选拔：先由学生本人自愿报名，经家长同意后，由有关班主任、任课教师协商并推荐人选，通过选拔考试择优录取50名。 六、辅导教师： 七、活动时间： 八、活动地点： 注： 1、若有特殊情况须作临时调整，则另行通知。 2、本计划有不周之处或未尽事宜，将在执行过程中进行不断完善。 年月日 第1届I M O 1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。 2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程 acos2x+bcosx+c=0, 试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。 4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.)求证AF、BC相交于N点； （b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S； (c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。 6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q 上。 第2届IMO 1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。 2.寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1-√(1+2x))2<2x+9 3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan=4nh/(an2-a). 2020年全国高中数学联赛试题及详细解析 说明： 1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其 他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。 2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．6 2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ?的取值（ ） A ．只有一个 B ．有二个 C ．有四个 D ．有无穷多个 6.记集合},4,3,2,1,|7777{ },6,5,4,3,2,1,0{4 4 33221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的 顺序排列，则第2020个数是（ ） A ． 43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．4327 3707171+++ 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 7.将关于x 的多项式2019 3 2 1)(x x x x x x f +-+-+-=Λ表为关于y 的多项式=)(y g ,202019192210y a y a y a y a a +++++Λ其中.4-=x y 则=+++2010a a a Λ . 8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(2 2 +-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是 。 12.如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列 ,,,,321Λa a a 若,2005=n a 则=n a 5 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13.数列}{n a 满足：.,2 36 457,12 10N n a a a a n n n ∈-+= =+ 证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数。 14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球. 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法） 15.过抛物线2 x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线 学高中数学竞赛辅导计 划 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 2016年高中数学竞赛辅导计划 为搞好2016年全国数学联赛备考工作，并以此为契机，培养我校学生数学学习的积极性，进一步提高我校的办学品位，特举办本届高中数学联赛辅导班。 一、指导思想： 以科学发展观、新课程理论为指导；以提高学生学习数学、应用数学的兴趣，提高学生的数学素养为宗旨；坚持以生为本、有利于学生的终生发展的原则，立足实际、因材施教，开展数学竞赛辅导班工作。 二、目标要求 1、适当拓宽学生数学知识视野，注重渗透一些常用的数学思想方法、加深对数学本质的认识。 2、注重培养学生良好的思维品质，提高学生的探究知识及运用数学知识和数学思想方法分析、解决问题的能力。 3、注意培养学生的应用意识、创新意识、协作意识，培养学生良好的科学态度。 4、使学生在探究知识，解决问题的过程中，感受数学文化的博大精深和数学方法的巨大创造力，感受数学的魅力，增强对数学的向往感；从而激发学生学习数学的热情。培养学生不畏困难、敢于攀登科学高峰的勇气。 5、力争在2016年高中数学联赛中至少有两人次取得省级三等以上的奖项，在本市同层次学校中名列前茅，为学校争光。 三、管理措施： 1、依据全国数学联赛考试大纲，结合近几年数学联赛试题特点，根据教学进度和学生认知结构特点，精心选择、合理安排教学内容，循序渐进，逐步提高。 2、精心准备，讲究实效。认真编写讲义（或教案），上课前一周将讲义制好并分发给学生。认真上好每一节辅导课，使学生真正学有所得。 3、以集体讲解与学生自主学习和小组合作学习相结合的学习形式组织学习，充分调动学生学习的积极性，保障学生的主体地位。 4、精编课后巩固练习与强化，及时检查、及时批改、及时反馈，确保质量。 5、制定辅导班班规，严格考勤制度。 6、争取学校有关领导、班主任及数学教师的支持，确保后勤保障。 五、学生选拔：先由学生本人自愿报名，经家长同意后，由有关班主任、任课教师协商并推荐人选，通过选拔考试择优录取50名。 六、辅导教师： 七、活动时间： 八、活动地点： 注： 1、若有特殊情况须作临时调整，则另行通知。 2、本计划有不周之处或未尽事宜，将在执行过程中进行不断完善。 年月日2016年高中数学联赛辅导课安排表 1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( ) A ．y=－φ(x ) B ．y=－φ(－x ) C ．y=－φ－1(x ) D ．y=－φ－ 1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1 高一数学兴趣小组活动计划 为了培养学生学习数学的兴趣，丰富学生知识，提高学生学习数学的能力，提高学生实际能力，创设新环境。巩固加深第一课堂的知识，培养各班对数学有兴趣的学生分析问题，解决问题的能力，提高实践应用能力，开阔学生的视野，尽可能照顾学生的知识水平，形成灵活多样的活动方式，充分调动他们的积极性，争取成绩拔尖，促进优秀率的提高，同时准备参加“希望杯”数学竞赛，决定成立高一数学兴趣小组。 具体活动计划如下： 一、活动宗旨：以课堂教学为基础，创设新环境，巩固加深第一课堂的知识，提高实践应用能力，开阔学生的视野，开发学生的智力。 二、活动目的要求：激发学生学习数学的兴趣，积极性，巩固加深课堂基础知识，锻炼培养学生分析问题，解决问题的能力，最终能正确应用所学知识，真正体现新课程标准的培养学生的应用能力，发展逻辑思维能力。 三．活动规模：一个班，人数50-60人。 四．辅导教师工作：备课组统一确定教学内容。辅导教师提前编制学案，认真备好课，及时上好辅导课。 五．活动具体安排如下： 活动时间：每周六早上7:30-9:30 活动地点：化学实验室(1) 六、兴趣小组学生名单 一班（9人）：1号陈伟鸿2号廖文伟3号王国祥13号沈海洋15号李良培16号胡安志 20号陈茵茵24号王炳文29号李志滨 二班（7人）：1号陈建彬16号黄泽辉17号徐春晓24号王志刚33号陈洪祥37号许鑫钰 47号黄世腾 三班（9人）：2号黄燕美3号苏艺扬4号林伟鹏 13号林通星14号苏晓航17号王杰辉 21号王水龙27号黄泽敏34号詹美莲 四班（8人）：8号苏桂鑫11号陈梦兰12号王洪杰18号赵君屹30号李界峰34号陈鸿彬 38号翁继超41号陈幼萍 五班（3人）：9号林金阳12号裴文龙27号官思团六班（3人）：15号李兆伟21号黄思斌52号谢聪伟七班（3人）：10号孙长宁11号陈锦阳12号陈铭坡 竞赛讲座一 函数的性质 第一讲 函数的单调性 一．学习目标 会判断较复杂的函数的单调区间，能利用函数的单调性解决最值问题及解不等式、解方程。 二．知识要点 单调性的定义，复合函数的单调性，抽象函数的单调性 三．例题讲解 例1.已知???>≤+-=1)(x log )1( 4)13()(x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （A ）(0,1) （B ）1(0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1[,1)7 【答案】C 【解析】由题意知)1(log )(>=x x x f a 在),1(+∞上为减函数，所以10< ∴该函数在区间[),0∞+上的单调递增。 例3. 已知f ( x )=－x 2 + 2x + 8，g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间． 【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以应“分层剥离”为两个函数 t =－x 2+2 ① y = f ( t ) =－t 2 + 2t + 8 ② 对于②f ( t ) =2)1(--t +9,可知当)1,(-∞∈t 时是增函数，当),1(+∞∈t 时是减函数。 对于①由t =－x 2+2＞1得11<<-x ，当)0,1(-∈x 时是增函数，当)1,0(∈x 时是减函数。 由t =－x 2+2＜1得1>x 或1- 第1届I M O 1.? 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.??设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：? (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.?a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0, 试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。 4.? 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.? 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， ??? (a.) 求证 AF、BC相交于N点； ?? （b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S； ??? (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。 6.? 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第2届IMO 1.? 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2.? 寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - √(1 + 2x))2 ?< ?2x + 9 3.? 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令?为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan ? = 4nh/(an2 - a). 4.? 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。 5.? 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。 a.求XY中点的轨迹； b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。 6.? 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。 ??? (a).? 求证：V1不等于 V2； ??? (b).? 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。 7.? 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为 h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。 第3届IMO 1.? 设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a; ? ? x2 + y2 + z2 = b2; ? ? xy=z2 并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？ 2.? 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证： a2 + b2 + c2>= 4√3 A. 并求出等号何时成立。 3.? 解方程 cos n x - sin n x = 1, 其中n是一个自然数。 4.? P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD, 高中数学教研组计划 新的学年的开始，孕育着新的希望，特别是今年又聘进了不少优秀的大学毕业生和一些优秀的老师，为我们数学组增添了新的活力。临川一中的数学组一直以来都是一个团结奋进的教研组，就是因为我们每一个数学老师的努力，所以在历届的中高考中，我们数学学科每次都是以绝对的优势领先，为临川一中的持续辉煌立下了汗马功劳！这是属于我们教研组每一个数学老师的荣誉，也是摆在全组老师面前的压力，为了能够不断的为临川一中的辉煌作出应有的贡献，我们全组老师在继续保持优良作风的同时，更需要趁着新课程改革的春风不断的学习新的教育教学理念，提高自身的教育教学水平，以求更能很好的适应甚至促进新时期的数学教育。现依据我们学校的实际情况，结合校教研处的指导思想，本学期特制定计划如下： 一、新老师培优计划 对于刚毕业的优秀大学毕业生，他们有的是精力和激情，有的是创造和拚搏精神，唯一缺乏的教学经验，所以我们原有的师徒帮扶带若能落到实处的话，他们就能成长的很快，迅速成为我们组的有力的生力军。由于一个新老师的成长一般需要3-6年，而我们新老师的帮扶带往往第一年落到实处，后面就不如以前那么认真了，因此已经认了师傅的年轻老师，应该在认真向有经验的老师学习了一两年后，继续谦虚的向他们学习，这一块特别是在初二、初三、高二、高三四个年级的数 学备课组需要加强落实。在初一、高一两个年的备课组，在组长的带头下，具体给每一个新老师找好师傅，并指导从以下几个方面去向老老师学习：⑴备：每上一堂课之前，都要提前两天备好课。⑵听：新老师的课可以比老老师的课慢一两节课的节奏，备好课之后争取去听师傅的课。⑶问：听完课之后，一定要问师傅这堂课的设计意图，重难点等一系列相关环节的处理措施，一条条对照自己的备课进行改进，也不完全照搬，自己感觉有创意的地方还是要保留，也可咨询师傅的意见。⑷上：修改好之后，再认真的上好每一堂课，并邀请师傅到堂听课。⑸思：上完课之后，听听师傅的意见，然后及时的写好对这堂课的反思，积极评价这堂课的优劣及改进办法。当然在向师傅学习的过程中，新老师在态度上一定要注意两点：谦虚好学与持之以恒，只有这样才能迅速成长为一个优秀的老师，成为我们组的中坚力量。 二、开好示范课及汇报课 在期中考试之后，大约四月中旬，结合学校教研处的计划，每个备课组，一定要具体落实好开示范课的人选，这次我们是选点下来的优秀老师开示范课，这些老师确实是学校与学生公认的好老师，他们的课也能够起到示范的作用。而汇报课是每一个新老师都要开的，这也是检验我们新老师半个学期以来师徒帮扶带，学习与实践的效果的一次好机会。对于新老师上完的每一堂课，我们组上要给予积极的点评，好的要给予鼓励与肯定，不足的地方也要客观的指出来，以便在以后的教学实践中能够不断的改进，总之这两种课我们要真正发挥它们的功效作用，以促进我们数学组能够不断的发2011年高中数学竞赛辅导计划
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